二重积分的概念（曲顶柱体体积、平面薄片质量）

第147题

设积分$D: x^{2}+2 y^{2} \leqslant 1$ ，其中 $x \geqslant 0 . D_{1}$ 是积分$D$ 在 $y \geqslant 0$ 的部分，则
（A） $\iint_{D} \sin ^{3} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \iint_{D_{1}} \sin ^{3} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（B） $\iint_{D} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \iint_{D_{1}} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（C） $\iint_{D} \sin ^{3} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \iint_{D_{1}} \sin ^{3} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（D） $\iint_{D} x y^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \iint_{D_{1}} x y^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．

第148题

$D$ 是由 $y=\ln x, y=0, x=2$ 所围成的，则二重积分 $I=\iint_{D} \frac{\mathrm{e}^{x y}}{x^{x}-1} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$
（A）$-\ln 2$ ．
（B）$\frac{1}{\ln 2}$ ．
（C） $\ln 2$ ．
（D）无法计算．

第149题

设 $D$ 是由直线 $\displaystyle x=0, y=0, x+y=\frac{1}{2}$ 和 $x+y=1$ 所围成，记 $I_{1}=\iint_{D} \ln (x+y) \mathrm{d} \sigma$ ， $I_{2}=\iint_{D}(x+y)^{2} \mathrm{~d} \sigma, I_{3}=\iint_{D}(x+y) \mathrm{d} \sigma$ ，则 $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ 的大小关系为
（A）$I_{1}<I_{2}<I_{3}$ ．
（B）$I_{2}<I_{1}<I_{3}$ ．
（C）$I_{2}<I_{3}<I_{1}$ ．
（D）$I_{3}<I_{2}<I_{1}$ ．

第150题

$D: x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x$ ，则二重积分 $I=\iint_{D}\left(x y^{2}+5 \mathrm{e}^{x} \sin ^{3} y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
（A）$\frac{\pi}{2}$ ．
（B）$\frac{\pi}{3}$ ．
（C）$\frac{\pi}{4}$ ．
（D）$\frac{\pi}{5}$ ．

第153题

设 $f(x, y)$ 连续，且 $f(x, y)=x y+\iint_{D} f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$ ，其中 $D$ 是由 $y=0, y=x^{2}, x=$ 1 所围，则 $f(x, y)$ 等于
（A）$x y$ ．
（B） $2 x y$ ．
（C）$\displaystyle x y+\frac{1}{8}$ ．
（D）$x y+1$ ．

第154题

设 $0<a<1$ ，$D$ 由 $x$ 轴、 $y$ 轴、直线 $x+y=a$ 及 $x+y=1$ 所围成，且
$I=\iint_{D} \sin ^{2}(x+y) \mathrm{d} \sigma, J=\iint_{D} \ln ^{3}(x+y) \mathrm{d} \sigma, K=\iint_{D}(x+y) \mathrm{d} \sigma$ ，则
（A）$I<K<J$ ．
（B）$K<J<I$ ．
（C）$I<J<K$ ．
（D）$J<I<K$ ．

第163题

如果二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=\mathrm{e}^{-x} \cos x$ 有一个特解 $y^{*}= \mathrm{e}^{-x}(x \cos x+x \sin x)$ ，则
（A）$a=-1, b=1$ ．
（B）$a=1, b=-1$ ．
（C）$a=2, b=1$ ．
（D）$a=2, b=2$ ．

第164题

已知曲线 $y=y(x)$ 经过原点，且在原点的切线平行于直线 $2 x-y-5=0$ ，而 $y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{3 x}$ ，则 $y(x)$ 等于
（A） $\sin 2 x$ ．
（B）$\displaystyle \frac{1}{2} x^{2} \mathrm{e}^{2 x}+\sin 2 x$ ．
（C）$\displaystyle \frac{x}{2}(x+4) \mathrm{e}^{3 x}$ ．
（D）$\left(x^{2} \cos x+\sin 2 x\right) \mathrm{e}^{3 x}$ ．

第215题

$\iint_{D}\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x\right) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D$ 由不等式 $x^{2}+y^{2} \leqslant 4$ 和 $x^{2}+(y+1)^{2} \geqslant 1$ 所确定．

第216题

求积分 $I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{1}^{y}\left(\mathrm{e}^{-x^{2}}+\mathrm{e}^{x} \sin x\right) \mathrm{d} x$ ．

第217题

计算 $\iint_{D}|\cos (x+y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中$D$ 为 $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}, 0 \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2}$ ．

第218题

$\iint_{D} f(x, y) $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $f(x, y)= \begin{cases}x^{2} y, & 1 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant x, \\ 0, & \text { 其他，}\end{cases}$ D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+\right. $\left.y^{2} \geqslant 2 x\right\}$ ． 解估$

第219题

求二重积分 $I=\iint_{D}\left[(x+y)^{2}+y^{2} \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中积分$D=\{(x$ ， y） $\left.\mid 0 \leqslant a y \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 2 a y, a>0\right\}$ ．

第220题

计算二重积分 $I=\iint_{D}|3 x+4 y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中积分$D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ．

第222题

设 $f(t)$ 为连续函数，且 $\displaystyle f(t)=\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}} x\left[1+\frac{f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{x^{2}+y^{2}}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y(x \geqslant 0, y \geqslant 0, t> 0)$ ，求 $f(t)$ ．

第255题

设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}0 & -2 & 2 \\ 2 & 4 & -2 \\ a & 2 & 0\end{array}\right]$ 有二重特征值，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

支似容题时门

## 评结

管暄sul错暫记

第63题

$D$ 是由直线 $y=x, y=\pi, x=0$ 所围成的平面，则二重积分 $\iint_{D} \frac{\sin x}{\pi-x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$
$\_\_\_\_$ ．

第64题

$D$ 为 $x^{2}+y^{2}=1$ 的上半圆与 $x^{2}+y^{2}=2 y$ 的下半圆所围成的，则二重积分 $I= \iint_{D}\left(\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}-x^{7} \cos ^{4} y\right) \mathrm{d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ．

第65题

设 $a>0, f(x)=g(x)=\left\{\begin{array}{ll}a, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ 表示全平面，则 $\iint_{D} f(x) g(y-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
$\_\_\_\_$。

第67题

设 $D$ 是由 $0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1$ 所确定的平面，则 $\iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．