五、设 $\displaystyle \alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)^{\prime}, \quad i=1,2, \ldots, m(\leq n)$ 为 $\displaystyle n$ 维欧氏空间中的 $\displaystyle m$ 个向量．又设 $\displaystyle P=\left(p_{i j}\right)_{1 \leq i, j \leq m}$ 其中 $\displaystyle p_{i j}=\sum_{k=1}^{n} a_{i k} a_{j k}$ 。试证明：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 为线性无关的，当且仅当 $\displaystyle P$ 为满秩．
证明：由已知条件，$\displaystyle \alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)^{\prime}, \quad i=1,2, \ldots, m(\leq n)$为 $\displaystyle n$ 维欧氏空间中的 $\displaystyle m$ 个向量。令 $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}\right)$ 为以 $\displaystyle \alpha_{i}(i=1,2, \ldots, m)$ 为列向量的矩阵，则 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 实矩阵，且 $\displaystyle P=A^{\prime} A$（ $\displaystyle A^{\prime}$ 表示 $\displaystyle A$ 的转置矩阵）。

又设 $\displaystyle B=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}, 0, \cdots, 0\right)=(A, O)$ 为 $\displaystyle n$ 阶方阵，则秩 $\displaystyle B=$ 秩 $\displaystyle A$ ，且

$$
B^{\prime} B=\binom{A^{\prime}}{O}\left(\begin{array}{ll}
A & O
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
A^{\prime} A & O \\
O & O
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
P & O \\
O & O
\end{array}\right) \text { 为 } n \text { 阶方阵, 从而 }
$$


秩 $\displaystyle B^{\prime} B=$ 秩 $\displaystyle P$ 。
以下证明秩 $\displaystyle B^{\prime} B=$ 秩 $\displaystyle B$ ．为此考虑齐次线性方程组

$$
\begin{array}{cc}
& B X=O \\
\text { 与 } & B^{\prime} B X=O \tag{2}
\end{array}
$$


令 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 分别表示（1）与（2）的解向量空间，则显然有 $\displaystyle W_{1} \subset W_{2}$ ．另一方面，注意到对任意 $\displaystyle n$ 维实（列）向量 $\displaystyle Y, Y^{\prime} Y=0 \Rightarrow Y=0$ ．我们有

$$
B^{\prime} B X=O \Rightarrow X^{\prime} B^{\prime} B X=O \Rightarrow(B X)^{\prime} B X=O \Rightarrow B X=O \text {. }
$$


所以又有 $\displaystyle W_{2} \subset W_{1}$ 。从而 $\displaystyle W_{1}=W_{2}$ ，维 $\displaystyle W_{1}=$ 维 $\displaystyle W_{2}$ 。
由线性方程组理论可知，秩 $\displaystyle B+$ 维 $\displaystyle W_{1}=n$ ，秩 $\displaystyle B^{\prime} B+$ 维 $\displaystyle W_{2}=n$ ，于是得 秩 $\displaystyle B^{\prime} B=$ 秩 $\displaystyle B$ ．

综上讨论，我们有 秩 $\displaystyle P=$ 秩 $\displaystyle B^{\prime} B=$ 秩 $\displaystyle B=$ 秩 $\displaystyle A$ ．
由此知，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关，当且仅当秩 $\displaystyle A=m$ ，当且仅当秩 $\displaystyle P=m$ ，当且仅当 $\displaystyle P$ 为满秩．

六。（10分）

设 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,2,-1,-2), \alpha_{2}=(3,1,-1,1), \quad \alpha_{3}=(-1,0,1,-1), \quad \beta_{1}=(2,5,-1,-5)$ ， $\displaystyle \beta_{2}=(-1,2,-2,3)$ 。由 $\displaystyle \alpha_{i}, i=1,2,3$ 生成的子空间记为 $\displaystyle W_{1}$ ，由 $\displaystyle \beta_{j}, j=1,2$ 生成的子空间记为 $\displaystyle W_{2}$ ．
（1）求 $\displaystyle W_{1} \cap W_{2}$ 的维数；（2）求 $\displaystyle W_{1} \cap W_{2}$ 的一组基。

十．（ 10 分）
设 $\displaystyle \alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2} \cdots a_{i n}\right), i=1,2 \cdots s, \quad \beta=\left(b_{1}, b_{2} \cdots b_{n}\right), A=\left(a_{i j}\right)_{s n}, X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)$ ，如果线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的解全部是 $\displaystyle b_{1} x_{1}+b_{2} x_{2}+\cdots+b_{n} x_{n}=0$ 的解。试证 $\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2} \cdots \alpha_{s}$ 线性表出．

6．（20 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & \cdots & 1 \\ \vdots & & \vdots \\ 1 & \cdots & 1\end{array}\right)$ 是 $\displaystyle n$ 阶矩阵，
（1）求 $\displaystyle A$ 的特征值和特征向量；
（2）求可逆矩阵 $\displaystyle P$ ，使 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角矩阵．

2．（20 分）设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & k & 1 \\ 1 & k & 0 & 1\end{array}\right)$ ，
求：（1）$\displaystyle A$ 的秩；
（2）$\displaystyle A$ 的零化子空间 $\displaystyle N(A)$（即满足 $\displaystyle A X=0$ 的所有4维向量组成的子空间）的维数和一

组基。