习题10-2

1．计算下列二重积分： （1） $\displaystyle{\iint}_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y)| | x|\leqslant 1,|y| \leqslant 1\}$ ； （2） $\displaystyle{\iint}_{D}(3 x+2 y) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由两坐标轴及直线 $x+y=2$ 所围成的闭区域； （3） $\displaystyle{\iint}_{D}\left(x^{3}+3 x^{2} y+y^{3}\right) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ； （4） $\displaystyle{\iint}_{D} x \cos (x+y) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D$ 是顶点分别为 $(0,0),(\pi, 0)$ 和 $(\pi, \pi)$ 的三角形闭区域； （5） $\displaystyle{\iint}_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．

10．求由曲面 $z=x^{2}+2 y^{2}$ 及 $z=6-2 x^{2}-y^{2}$ 所围成的立体的体积．

11．画出积分区域，把积分 $\displaystyle{\iint}_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域 $D$ 是 （1）$\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}\right\}(a\gt 0)$ ； （2）$\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x\right\}$ ； （3）$\left\{(x, y) \mid a^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant b^{2}\right\}$ ，其中 $0\lt a\lt b$ ； （4）$\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant 1-x, 0 \leqslant x \leqslant 1\}$ ．

12．化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{0}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{2} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{x}^{\sqrt{3} x} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} y$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{0}^{x^{2}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．

13．把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{2 a} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{0}^{\sqrt{2 a x-x^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{a} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{0}^{x} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{x^{2}}^{x}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{-\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{a} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{0}^{\sqrt{a^{2}-y^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x$ ．

14．利用极坐标计算下列各题： （1） $\displaystyle{\iint}_{D} \mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由圆周 $x^{2}+y^{2}=4$ 所围成的闭区域； （2） $\displaystyle{\iint}_{D} \ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由圆周 $x^{2}+y^{2}=1$ 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域； （3） $\displaystyle{\iint}_{D} \arctan \frac{y}{x} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由圆周 $x^{2}+y^{2}=4, x^{2}+y^{2}=1$ 及直线 $y=0, y=x$ 所围成的在第一象限内的闭区域。

15．选用适当的坐标计算下列各题： （1） $\displaystyle{\iint}_{D} \frac{x^{2}}{y^{2}} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由直线 $x=2, y=x$ 及曲线 $x y=1$ 所围成的闭区域； （2） $\displaystyle{\iint}_{D} \sqrt{\frac{1-x^{2}-y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由圆周 $x^{2}+y^{2}=1$ 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域； （3） $\displaystyle{\iint}_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由直线 $y=x, y=x+a, y=a, y=3 a(a\gt 0)$ 所围成的闭区域； （4） $\displaystyle{\iint}_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 是圆环形闭区域 $\left\{(x, y) \mid \dot{a}^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant b^{2}\right\}$ ； （5） $\displaystyle{\iint}_{D} \sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 是圆形闭区域 $\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant a x\right\}(a\gt 0)$ ．

16．设平面薄片所占的闭区域 $D$ 由螺线 $\rho=2 \theta$ 上一段弧 $\left(0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 与直线 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 所围成，它的 面密度为 $\mu(x, y)=x^{2}+y^{2}$ ．求这薄片的质量（图 10－27）．

17．求由平面 $y=0, y=k x(k\gt 0), z=0$ 以及球心在原点、半径为 $R$ 的上半球面所围成的在第 I 卦限内的立体的体积（图10－28）。 <img src="/static/img/textbook/c9cdc09a82e6.jpg" style="max-width:100%;height:auto;"> <img src="/static/img/textbook/ac6193c4cf76.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">

18．计算以 $x O y$ 面上的圆周 $x^{2}+y^{2}=a x(a\gt 0)$ 围成的闭区域为底，而以曲面 $z=x^{2}+y^{2}$ 为顶的曲顶柱体的体积．

2．画出积分区域，并计算下列二重积分： （1） $\displaystyle{\iint}_{D} x \sqrt{y} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由两条拖物线 $y=\sqrt{x}, y=x^{2}$ 所围成的闭区域； （2） $\displaystyle{\iint}_{D} x y^{2} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由圆周 $x^{2}+y^{2}=4$ 及 $y$ 轴所围成的右半闭区域； （3） $\displaystyle{\iint}_{D} \mathrm{e}^{x+y} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y)| | x|+|y| \leqslant 1\}$ ； （4） $\displaystyle{\iint}_{D}\left(x^{2}+y^{2}-x\right) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由直线 $y=2, y=x$ 及 $y=2 x$ 所围成的闭区域。

22．选取适当的变换，证明下列等式： （1） $\displaystyle{\iint_{D} f(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\displaystyle{\int}_{-1}^{1} f(u) \mathrm{d} u$ ，其中闭区域 $D=\{(x, y)| | x|+|y| \leqslant 1\}$ ； （2） $\displaystyle{\iint_{D} f(a x+b y+c) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=2 \displaystyle{\int}_{-1}^{1} \sqrt{1-u^{2}} f\left(u \sqrt{a^{2}+b^{2}}+c\right) \mathrm{d} u$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ，且 $a^{2}+ b^{2} \neq 0$ ．

3．如果二重积分 $\displaystyle{\iint}_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 的被积函数 $f(x, y)$ 是两个函数 $f_{1}(x)$ 及 $f_{2}(y)$ 的乘积，即 $f(x, y)=f_{1}(x) \cdot f_{2}(y)$ ，积分区域 $D=\{(x, y) \mid a \leqslant x \leqslant b, c \leqslant y \leqslant d\}$ ，证明这个二重积分等于两个定积分的乘积，即 $$ \displaystyle{\iint_{D} f_{1}(x) \cdot f_{2}(y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\left[\displaystyle{\int}_{a}^{b} f_{1}(x) \mathrm{d} x\right] \cdot\left[\displaystyle{\int}_{c}^{d} f_{2}(y) \mathrm{d} y\right] $$

4．化二重积分 $$ I=\displaystyle{\iint}_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma $$ 为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域 $D$ 是 （1）由直线 $y=x$ 及抛物线 $y^{2}=4 x$ 所围成的闭区域； （2）由 $x$ 轴及半圆周 $x^{2}+y^{2}=r^{2}(y \geqslant 0)$ 所围成的闭区域； （3）由直线 $y=x, x=2$ 及双曲线 $y=\frac{1}{x}(x>0)$ 所围成的闭区域； （4）环形闭区域 $\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ．

5．设 $f(x, y)$ 在 $D$ 上连续，其中 $D$ 是由直线 $y=x, y=a$ 及 $x=b(b\gt a)$ 所围成的闭区域，证明 $$ \displaystyle{\int}_{a}^{b} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{a}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y=\displaystyle{\int}_{a}^{b} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{y}^{b} f(x, y) \mathrm{d} x $$

6．交换下列二次积分的积分次序： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{0}^{y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{2} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{y^{2}}^{2 y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{1-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{1}^{2} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{2-x}^{\sqrt{2 x-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{1}^{\mathrm{e}} \mathrm{d} x \displaystyle{\int}_{0}^{\ln x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} \mathrm{d} x \displaystyle{\int}_{-\sin \frac{x}{2}}^{\sin x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．

7．设平面薄片所占的闭区域 $D$ 由直线 $x+y=2, y=x$ 和 $x$ 轴所围成，它的面密度 $\mu(x, y)=x^{2}+y^{2}$ ，求该薄片的质量．

8．计算由四个平面 $x=0, y=0, x=1, y=1$ 所围成的柱体被平面 $z=0$ 及 $2 x+3 y+z=6$ 截得的立体 的体积．

9．求由平面 $x=0, y=0, x+y=1$ 所围成的柱体被平面 $z=0$ 及抛物面 $x^{2}+y^{2}=6-z$ 截得的立体的体积

＊19．作适当的变换，计算下列二重积分： （1） $\displaystyle{\iint}_{D}(x-y)^{2} \sin ^{2}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是平行四边形闭区域，它的四个顶点是 $(\pi, 0),(2 \pi, \pi)$ ， $(\pi, 2 \pi)$ 和 $(0, \pi) ;$ （2） $\displaystyle{\iint}_{D} x^{2} y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由两条双曲线 $x y=1$ 和 $x y=2$ ，直线 $y=x$ 和 $y=4 x$ 所围成的在第一象限内的闭区域； （3） $\displaystyle{\iint}_{D} \frac{y}{\mathrm{e}^{x+y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由 $x$ 轴、 $y$ 轴和直线 $x+y=1$ 所围成的闭区域； （4） $\displaystyle{\iint}_{D}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leqslant 1\right.\right\}$ ．

＊20．求由下列曲线所围成的闭区域 $D$ 的面积： （1）$D$ 是由曲线 $x y=4, x y=8, x y^{3}=5, x y^{3}=15$ 所围成的第一象限部分的闭区域； （2）$D$ 是由曲线 $y=x^{3}, y=4 x^{3}, x=y^{3}, x=4 y^{3}$ 所围成的第一象限部分的闭区域．

＊21．设闭区域 $D$ 是由直线 $x+y=1, x=0, y=0$ 所围成，求证 $\displaystyle{\iint}_{D} \cos \left(\frac{x-y}{x+y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{2} \sin 1$ ．