习题10-4

1．求球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 含在圆柱面 $x^{2}+y^{2}=a x$ 内部的那部分面积．

10．设均匀薄片（面密度为常数 1 ）所占闭区域 $D$ 如下，求指定的转动惯量： （1）$D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leqslant 1\right.\right\}$ ，求 $I_{y}$ ； （2）$D$ 由抛物线 $y^{2}=\frac{9}{2} x$ 与直线 $x=2$ 所围成，求 $I_{x}$ 和 $I_{y}$ ； （3）$D$ 为矩形闭区域 $\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant b\}$ ，求 $I_{x}$ 和 $I_{y}$ ．

11．已知均匀矩形板（面密度为常量 $\mu$ ）的长和宽分别为 $b$ 和 $h$ ，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量．

12．一均匀物体（密度 $\rho$ 为常量）占有的闭区域 $\Omega$ 由曲面 $z=x^{2}+y^{2}$ 和平面 $z=0,|x|=a,|y|=a$ 所围成， （1）求物体的体积； （2）求物体的质心； （3）求物体关于 $z$ 轴的转动惯量．

13．求半径为 $a$ 、高为 $h$ 的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量（设密度 $\rho=1$ ）．

14．设面密度为常量 $\mu$ 的质量均匀的半圆环形薄片占有闭区域 $D=\left\{(x, y, 0) \mid R_{1} \leqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant\right. \left.R_{2}, x \geqslant 0\right\}$ ，求它对位于 $z$ 轴上点 $M_{0}(0,0, a)(a\gt 0)$ 处单位质量的质点的引力 $\boldsymbol{F}$ ．

15．设均匀柱体密度为 $\rho_{0}$ ，占有闭区域 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}, 0 \leqslant z \leqslant h\right\}$ ，求它对位于点 $M_{0}(0,0, a)(a\gt h)$ 处的单位质量的质点的引力．

2．求雉面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被柱面 $z^{2}=2 x$ 所割下部分的曲面面积．

3．求底圆半径相等的两个直交圆柱面 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 及 $x^{2}+z^{2}=R^{2}$ 所围立体的表面积．

4．设 $\Sigma$ 为一确定球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$（ $R$ 为正的常数），另有一球心在 $\Sigma$ 上、半径为 $r$ 的球面 $\Sigma_{1}$ ，问 $r$ 取何值时，球面 $\Sigma_{1}$ 在球面 $\Sigma$ 内部的那部分面积最大？

5．设薄片所占的闭区域 $D$ 如下，求均匀薄片的质心： （1）$D$ 由 $y=\sqrt{2 p x}, x=x_{0}, y=0$ 所围成； （2）$D$ 是半椭圆形闭区域 $\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leqslant 1\right., y \geqslant 0\right\}$ ； （3）$D$ 是界于两个圆 $\rho=a \cos \theta, \rho=b \cos \theta(0\lt a\lt b)$ 之间的闭区域．

6．设平面薄片所占的闭区域 $D$ 由抛物线 $y=x^{2}$ 及直线 $y=x$ 所围成，它在点 $(x, y)$ 处的面密度 $\mu(x, y)=x^{2} y$ ，求该薄片的质心．

7．设有一等腰直角三角形薄片，腰长为 $a$ ，各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，求这薄片的质心。

8．利用三重积分计算下列由曲面所围立体的质心（设密度 $\rho=1$ ）： （1）$z^{2}=x^{2}+y^{2}, z=1$ ； ＊（2）$z=\sqrt{A^{2}-x^{2}-y^{2}}, z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}} \quad(A\gt a\gt 0), z=0$ ； （3）$z=x^{2}+y^{2}, x+y=a, x=0, y=0, z=0$ ．

＊9．设球占有闭区域 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 R z\right\}$ ，它在内部各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方．试求这球的质心．