习题8-6

1．画出下列曲线在第 I 卦限内的图形： （1）$\left\{\begin{array}{l}x=1, \\ y=2 ;\end{array}\right.$ （2）$\left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}, \\ x-y=0 ;\end{array}\right.$ （3）$\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=a^{2}, \\ x^{2}+z^{2}=a^{2} .\end{array}\right.$

2．指出下列方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形： （1）$\left\{\begin{array}{l}y=5 x+1, \\ y=2 x-3 ;\end{array}\right.$ （2）$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1, \\ y=3 .\end{array}\right.$

3．分别求母线平行于 $x$ 轴及 $y$ 轴而且通过曲线 $\left\{\begin{array}{l}2 x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 \\ x^{2}+z^{2}-y^{2}=0\end{array}\right.$ 的柱面方程．

4．求下列两曲面的交线在 $x O y$ 面上的投影的方程： （1）球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$ 与平面 $x+z=1$ ； （2）椭球面 $x^{2}+y^{2}+4 z^{2}=1$ 与圆锥面 $z^{2}=x^{2}+y^{2}$ ．

5．将下列曲线的一般方程化为参数方程： （1）$\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=9, \\ y=x ;\end{array}\right.$ （2）$\left\{\begin{array}{l}(x-1)^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}=4, \\ z=0 .\end{array}\right.$

6．求螺旋线 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos \theta, \\ y=a \sin \theta, \text { 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程．} \\ z=b \theta\end{array}\right.$

7．求上半球 $0 \leqslant z \leqslant \sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 与圆柱体 $x^{2}+y^{2} \leqslant a x(a\gt 0)$ 的公共部分在 $x O y$ 面和 $z O x$ 面上的投影。

8．求旋转抛物面 $z=x^{2}+y^{2}(0 \leqslant z \leqslant 4)$ 在三坐标面上的投影．