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12．设 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上单调连续，$f(0)=1, f(2)=2$ ，且对任意 $x_{1}, x_{2} \in[0,2]$ 总有 $\displaystyle f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)>\frac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)}{2}, g(x)$ 是 $f(x)$ 的反函数，$P=\int_{1}^{2} g(x) \mathrm{d} x$ ，则（ ）。
（A） $3<P<4$
（B） $2<P<3$
（C） $1<P<2$
（D） $0<P<1$
12．求 $\int_{-1}^{1} x \ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x$ ．
12．曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 与其过原点的切线及 $y$ 轴所围图形的面积为（）。
（A） $\int_{0}^{1}(\ln y-y \ln y) \mathrm{d} x$
（B） $\int_{0}^{1}\left(e^{x}-e x\right) d x$
（C） $\int_{1}^{e}(\ln y-y \ln y) \mathrm{d} x$
（D） $\int_{1}^{0}\left(\mathrm{e}^{x}-x \mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x$
12．设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内非负连续，且
$\int_{0}^{x} t f\left(x^{2}\right) f\left(x^{2}-t^{2}\right) \mathrm{d} t=\sin ^{2} x^{2}$
求 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的平均值．
12．设曲面 $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 与平面 $z=-x$ 的交线为 $L$ ，起点为 $A(0,1,0)$ ，终点为 $B(0,-1,0)$ ，则 $\int_{L}(x+y-z) \mathrm{d} x+|y| \mathrm{d} z=$ $\_\_\_\_$ ．
12．设二维随机变量 $(X, Y)$ 在矩形$D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ 上服从均匀分布，求 $Z=X Y$ 的概率密度．
13．设 $x=t^{3}+2 t+1, \int_{0}^{y+t} \mathrm{e}^{-u^{2}} \mathrm{~d} u=t$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=0}=$ $\_\_\_\_$ ．
13．求 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{d x}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)}$ ．
13．曲线 $y=x^{2} \mathrm{e}^{-x}(0 \leqslant x<+\infty)$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得延展到无穷远的旋转体的体积为 $\_\_\_\_$。
13．已知 $\displaystyle \frac{1}{1+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}$ 是函数 $f(x)$ 的一个原函数，则 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的平均值为 $\_\_\_\_$ ．
13．设函数 $y=f(x)$ 满足
f^{\prime}(x)+2 f(x)+2 x \int_{0}^{1} f(x t) \mathrm{d} t+\mathrm{e}^{-x}=0
且 $f(x)-x$ 在 $x=0$ 处取得极值，求 $f(x)$ 的表达式．
13．设可微函数 $z=z(x, y)$ 在平面上任一点 $(x, y)$ 处沿 $x$ 轴正向 $i$ 与 $y$ 轴正向 $j$ 的方向导数分别为 $\left[\mathrm{e}^{-x}-f(x)\right] y$ 与 $f(x)$ ，其中 $f(x)$ 的一阶导数连续，且 $f(0)=1$ 。
（1）求 $z(x, y)$ 的表达式；
（2）判断 $z(x, y)$ 是否有极值，若有，求之，若无，说明理由．
13．已知随机变量 $X \sim U(0,4)$ ，实数 $c \in[0,4]$ ，且 $X$ 与 $|X-c|$ 不相关，则 $c=$ ．
（A） 1
（B） 2
（C） 3
（D） 4
当 $x \rightarrow 0$ 时下列无穷小中阶数最高的是
（A）$(1+x)^{x^{2}}-1$ ．
（B） $\mathrm{e}^{x^{4}-2 x}-1$ ．
（C） $\int_{0}^{x^{2}} \sin t^{2} \mathrm{~d} t$ ．
（D）$\sqrt{1+2 x}-\sqrt[3]{1+3 x}$ ．
设 $x \rightarrow a$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 分别是 $x-a$ 的 $n$ 阶与 $m$ 阶无穷小，则下列命题
（1）$f(x) g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n+m$ 阶无穷小。
（2）若 $n>m$ ，则 $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $x-a$ 的 $n-m$ 阶无穷小．
（3）若 $n \leqslant m$ ，则 $f(x)+g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小．
（4）若 $f(x)$ 连续，则 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 $x-a$ 的 $n+1$ 阶无穷小．
中，正确的个数是
（A） 1 ．
（B） 2 ．
（C） 3 ．
（D） 4 ．
14．若连续周期函数 $y=f(x)$（不恒为常数），对任何 $x$ 恒有 $\int_{-1}^{x+6} f(t) \mathrm{d} t+\int_{x-3}^{4} f(t) \mathrm{d} t=14$ 成：则 $f(x)$ 的周期是 ．
（A） 7
（B） 8
（C） 9
（D） 10
14．议 $F(x)>0$ 为 $\mathbf{R}$ 上的连续可导函数，$F(0)=\sqrt{\pi}$ ，且 $\displaystyle F(x) F^{\prime}(x)=\frac{\cos x}{2 \sin ^{2} x+\cos ^{2} x}$ 。求 $F(x)$ ，
14．$f(x)=x \ln x(0<x \leqslant 2)$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积为 $\_\_\_\_$ ．
原函数与不定积分的概念
第 12 题
【基础篇】第12题（选择题）
12．设 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上单调连续，$f(0)=1, f(2)=2$ ，且对任意 $x_{1}, x_{2} \in[0,2]$ 总有 $\displaystyle f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)>\frac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)}{2}, g(x)$ 是 $f(x)$ 的反函数，$P=\int_{1}^{2} g(x) \mathrm{d} x$ ，则（ ）。
（A） $3<P<4$
（B） $2<P<3$
（C） $1<P<2$
（D） $0<P<1$
第 12 题
【强化篇】第12题（解答题）
12．求 $\int_{-1}^{1} x \ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x$ ．
第 12 题
【基础篇】第12题（选择题）
12．曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 与其过原点的切线及 $y$ 轴所围图形的面积为（）。
（A） $\int_{0}^{1}(\ln y-y \ln y) \mathrm{d} x$
（B） $\int_{0}^{1}\left(e^{x}-e x\right) d x$
（C） $\int_{1}^{e}(\ln y-y \ln y) \mathrm{d} x$
（D） $\int_{1}^{0}\left(\mathrm{e}^{x}-x \mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x$
第 12 题
【强化篇】第12题（解答题）
12．设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内非负连续，且
$\int_{0}^{x} t f\left(x^{2}\right) f\left(x^{2}-t^{2}\right) \mathrm{d} t=\sin ^{2} x^{2}$
求 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的平均值．
第 12 题
【强化篇】第12题（填空题）
12．设曲面 $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 与平面 $z=-x$ 的交线为 $L$ ，起点为 $A(0,1,0)$ ，终点为 $B(0,-1,0)$ ，则 $\int_{L}(x+y-z) \mathrm{d} x+|y| \mathrm{d} z=$ $\_\_\_\_$ ．
第 12 题
【基础篇】第12题（解答题）
12．设二维随机变量 $(X, Y)$ 在矩形$D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ 上服从均匀分布，求 $Z=X Y$ 的概率密度．
第 13 题
【强化篇】第13题（填空题）
13．设 $x=t^{3}+2 t+1, \int_{0}^{y+t} \mathrm{e}^{-u^{2}} \mathrm{~d} u=t$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=0}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 13 题
【强化篇】第13题（解答题）
13．求 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{d x}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)}$ ．
第 13 题
【基础篇】第13题（填空题）
13．曲线 $y=x^{2} \mathrm{e}^{-x}(0 \leqslant x<+\infty)$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得延展到无穷远的旋转体的体积为 $\_\_\_\_$。
第 13 题
【强化篇】第13题（填空题）
13．已知 $\displaystyle \frac{1}{1+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}$ 是函数 $f(x)$ 的一个原函数，则 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的平均值为 $\_\_\_\_$ ．
第 13 题
【强化篇】第13题（解答题）
13．设函数 $y=f(x)$ 满足
f^{\prime}(x)+2 f(x)+2 x \int_{0}^{1} f(x t) \mathrm{d} t+\mathrm{e}^{-x}=0
且 $f(x)-x$ 在 $x=0$ 处取得极值，求 $f(x)$ 的表达式．
第 13 题
【基础篇】第13题（解答题）
13．设可微函数 $z=z(x, y)$ 在平面上任一点 $(x, y)$ 处沿 $x$ 轴正向 $i$ 与 $y$ 轴正向 $j$ 的方向导数分别为 $\left[\mathrm{e}^{-x}-f(x)\right] y$ 与 $f(x)$ ，其中 $f(x)$ 的一阶导数连续，且 $f(0)=1$ 。
（1）求 $z(x, y)$ 的表达式；
（2）判断 $z(x, y)$ 是否有极值，若有，求之，若无，说明理由．
第 13 题
【基础篇】第13题（选择题）
13．已知随机变量 $X \sim U(0,4)$ ，实数 $c \in[0,4]$ ，且 $X$ 与 $|X-c|$ 不相关，则 $c=$ ．
（A） 1
（B） 2
（C） 3
（D） 4
第 138 题
第138题
当 $x \rightarrow 0$ 时下列无穷小中阶数最高的是
（A）$(1+x)^{x^{2}}-1$ ．
（B） $\mathrm{e}^{x^{4}-2 x}-1$ ．
（C） $\int_{0}^{x^{2}} \sin t^{2} \mathrm{~d} t$ ．
（D）$\sqrt{1+2 x}-\sqrt[3]{1+3 x}$ ．
第 138 题
## 第138题 (高等数学 - 选择题)
当 $x \rightarrow 0$ 时下列无穷小中阶数最高的是
（A）$(1+x)^{x^{2}}-1$ ．
（B） $\mathrm{e}^{x^{4}-2 x}-1$ ．
（C） $\int_{0}^{x^{2}} \sin t^{2} \mathrm{~d} t$ ．
（D）$\sqrt{1+2 x}-\sqrt[3]{1+3 x}$ ．
当 $x \rightarrow 0$ 时下列无穷小中阶数最高的是
（A）$(1+x)^{x^{2}}-1$ ．
（B） $\mathrm{e}^{x^{4}-2 x}-1$ ．
（C） $\int_{0}^{x^{2}} \sin t^{2} \mathrm{~d} t$ ．
（D）$\sqrt{1+2 x}-\sqrt[3]{1+3 x}$ ．
第 139 题
第139题
设 $x \rightarrow a$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 分别是 $x-a$ 的 $n$ 阶与 $m$ 阶无穷小，则下列命题
（1）$f(x) g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n+m$ 阶无穷小。
（2）若 $n>m$ ，则 $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $x-a$ 的 $n-m$ 阶无穷小．
（3）若 $n \leqslant m$ ，则 $f(x)+g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小．
（4）若 $f(x)$ 连续，则 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 $x-a$ 的 $n+1$ 阶无穷小．
中，正确的个数是
（A） 1 ．
（B） 2 ．
（C） 3 ．
（D） 4 ．
第 139 题
## 第139题 (高等数学 - 选择题)
设 $x \rightarrow a$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 分别是 $x-a$ 的 $n$ 阶与 $m$ 阶无穷小，则下列命题
（1）$f(x) g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n+m$ 阶无穷小。
（2）若 $n>m$ ，则 $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $x-a$ 的 $n-m$ 阶无穷小．
（3）若 $n \leqslant m$ ，则 $f(x)+g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小．
（4）若 $f(x)$ 连续，则 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 $x-a$ 的 $n+1$ 阶无穷小．
中，正确的个数是
（A） 1 ．
（B） 2 ．
（C） 3 ．
（D） 4 ．
设 $x \rightarrow a$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 分别是 $x-a$ 的 $n$ 阶与 $m$ 阶无穷小，则下列命题
（1）$f(x) g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n+m$ 阶无穷小。
（2）若 $n>m$ ，则 $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $x-a$ 的 $n-m$ 阶无穷小．
（3）若 $n \leqslant m$ ，则 $f(x)+g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小．
（4）若 $f(x)$ 连续，则 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 $x-a$ 的 $n+1$ 阶无穷小．
中，正确的个数是
（A） 1 ．
（B） 2 ．
（C） 3 ．
（D） 4 ．
第 14 题
【基础篇】第14题（选择题）
14．若连续周期函数 $y=f(x)$（不恒为常数），对任何 $x$ 恒有 $\int_{-1}^{x+6} f(t) \mathrm{d} t+\int_{x-3}^{4} f(t) \mathrm{d} t=14$ 成：则 $f(x)$ 的周期是 ．
（A） 7
（B） 8
（C） 9
（D） 10
第 14 题
【强化篇】第14题（解答题）
14．议 $F(x)>0$ 为 $\mathbf{R}$ 上的连续可导函数，$F(0)=\sqrt{\pi}$ ，且 $\displaystyle F(x) F^{\prime}(x)=\frac{\cos x}{2 \sin ^{2} x+\cos ^{2} x}$ 。求 $F(x)$ ，
第 14 题
【基础篇】第14题（填空题）
14．$f(x)=x \ln x(0<x \leqslant 2)$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积为 $\_\_\_\_$ ．