1．（15 分）在空间直角坐标系中，点 $\displaystyle A, B, C$ 的坐标依次为：

$$
(-2,1,4),(-2,-3,-4),(-1,3,3)
$$

（1）求四面体 $\displaystyle O A B C$ 的体积；
（2）求三角形 $\displaystyle A B C$ 的面积。

2．（15分）在空间直角坐标系中，

$$
l_{1}: \quad \frac{x-a}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3}
$$


与

$$
l_{2}: \quad \frac{x}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{-2}
$$


是一对相交直线．
（1）求 $\displaystyle a$ ；
（2）求 $\displaystyle l_{2}$ 绕 $\displaystyle l_{1}$ 旋转出的曲面的方程．

5．（10 分）求 $\displaystyle \lambda$ 的值，使

$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\lambda\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)+2 x_{1} x_{2}-2 x_{2} x_{3}+2 x_{1} x_{3}+x_{4}^{2}
$$


是正定的二次型。

一．（20 分）设 $\displaystyle A$ 是元素全为 1 的 $\displaystyle n$ 阶方阵，$\displaystyle E$ 为 $\displaystyle n$ 阶单位矩阵。
（1）求行列式 $\displaystyle |a E+b A|$ 的值，其中 $\displaystyle a, b$ 是实常数；
（2）已知 $\displaystyle 1<\operatorname{rank}(a E+b A)<n$ ，试确定 $\displaystyle a, b$ 所满足的条件，并求下列线性子空间的维数：

$$
W=\left\{x \mid(a E+b A) x=0, x \in R^{n}\right\} .
$$

二、（15 分）设 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 为 $\displaystyle n$ 个实数（ $\displaystyle n \geqslant 2$ ），矩阵

$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}
a_{1}^{2}+1 & a_{1} a_{2}+1 & \cdots & a_{1} a_{n}+1 \\
a_{2} a_{1}+1 & a_{2}^{2}+1 & \cdots & a_{2} a_{n}+1 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n} a_{1}+1 & a_{n} a_{2}+1 & \cdots & a_{n}^{2}+1
\end{array}\right) .
$$


求 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 的行列式 $\displaystyle \operatorname{det}(\boldsymbol{A})$ ．

2．（20分）设有分块矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle A, D$ 都可逆，试证：
（1）$\displaystyle \left|\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right|=\operatorname{det}\left(A-B D^{-1} C\right) \operatorname{det} D$ ；
（2）$\displaystyle \left(A-B D^{-1} C\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1} B\left(C A^{-1} B-D\right)^{-1} C A^{-1}$ 。