习题5-3

1．求满足下列条件的直线方程． （1）过点 $(2,-1,4)$ 且与直线 $\frac{x-1}{3}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{2}$ 平行； （2）过点 $(2,-3,5)$ 且与平面 $9 x-4 y+2 z-1=0$ 垂直； （3）过点 $(3,4,-4)$ 和 $(3,-2,2)$ ．

10．求过直线 $\frac{x-2}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{4}$ 且与平面 $x+4 y-3 z+7=0$ 垂直的平面方程．

11．已知直线过点 $A(2,-3,4)$ 且和 $y$ 轴垂直相交，求该直线方程．

12．求过点 $(0,2,4)$ 且与直线 $\left\{\begin{array}{l}x+2 z=1 \text { ，平行的直线．} \\ y-3 z=2\end{array}\right.$ ．

13．求点 $P_{0}(2,3,1)$ 在直线 $l: \frac{x+7}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+2}{3}$ 上的投影．

14．求点 $P_{0}(3,-1,-1)$ 在平面 $\Pi: x+2 y+3 z-40=0$ 上的投影．

15．求过点 $A(1,0,-2)$ ，且与平面 $\Pi: 3 x-y+2 z+3=0$ 平行，并与直线 $l_{1}: \frac{x-1}{4} =\frac{y-3}{-2}=\frac{z}{1}$ 相交的直线 $l$ 的方程．

16．分别求过直线 $l:\left\{\begin{array}{l}2 x-3 y+4 z-12=0, \\ x+4 y-2 z-10=0\end{array}\right.$ 且垂直于各坐标面的平面方程，并求直线 $l$ 在平面 $3 x+2 y+z-10=0$ 上的投影．

17．过点 $M_{1}(7,3,5)$ 引方向余弦等于 $\frac{1}{3} 、 \frac{2}{3} 、 \frac{2}{3}$ 的直线 $l_{1}$ ，设直线 $l$ 过点 $M_{0}(2,-3,-1)$ ，与直线 $l_{1}$ 相交且和 $x$ 轴成 $\frac{\pi}{3}$ 角，求直线 $l$ 的方程．

18．求通过点（2，1，3）且与直线 $\frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1}$ 垂直相交的直线方程．

19．求证：两直线 $l_{1}: \frac{x-x_{1}}{m_{1}}=\frac{y-y_{1}}{n_{1}}=\frac{z-z_{1}}{p_{1}}, l_{2}: \frac{x-x_{2}}{m_{2}}=\frac{y-y_{2}}{n_{2}}=\frac{z-z_{2}}{p_{2}}$ 在同一平面上的条件为 $\left|\begin{array}{ccc}x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ m_{1} & n_{1} & p_{1} \\ m_{2} & n_{2} & p_{2}\end{array}\right|=0$ ．

2．求过点（1，1，1）且同时与平面 $2 x-y-3 z=0$ 和 $x+2 y-5 z=1$ 平行的直线方程．

20．一直线过点 $(1,2,1)$ ，又与直线 $\frac{x}{2}=y=-z$ 相交，且垂直于直线 $\frac{x-1}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{1}$ ，求该直线方程．

21．一直线 $l$ 过点 $A(-3,5,-9)$ 且与两直线 $l_{1}:\left\{\begin{array}{l}y=3 x+5, \\ z=2 x-3,\end{array} l_{2}:\left\{\begin{array}{l}y=4 x-7, \\ z=5 x+10\end{array}\right.\right.$ 相交，求此直线方程．

3．用点向式方程及参数方程表示直线 $\left\{\begin{array}{l}x+2 y-z-6=0, \\ 2 x-y+z-1=0 .\end{array}\right.$

4．求过点 $(1,0,-2)$ 且与平面 $3 x+4 y-z+6=0$ 平行，又与直线 $\frac{x-3}{1}=\frac{y+2}{4}=\frac{z}{1}$垂直的直线方程．

5．确定下列各组中的直线和平面间的位置关系． （1）$\frac{x-3}{-2}=\frac{y+4}{-7}=\frac{z}{3}$ 和 $4 x-2 y-2 z=3$ ； （2）$\frac{x}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{7}$ 和 $3 x-2 y+7 z=8$ ； （3）$\frac{x-2}{3}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{-4}$ 和 $x+y+z=3$ ．

6．求直线 $\left\{\begin{array}{l}x+y+3 z=0, \\ x-y-z=0\end{array}\right.$ 和平面 $x-y-z+1=0$ 的夹角．

7．求点 $(1,2,1)$ 到平面 $x+2 y+2 z-10=0$ 的距离．

8．求直线 $\left\{\begin{array}{l}2 x-4 y+z=0, \\ 3 x-y-2 z-9=0\end{array}\right.$ 在平面 $4 x-y+z=1$ 的投影直线方程．

9．求过点 $M(3,1,-2)$ 及直线 $\frac{x-4}{5}=\frac{y+3}{2}=\frac{z}{1}$ 的平面方程．

＊22．设直线 $l: \frac{x-x_{0}}{m}=\frac{y-y_{0}}{n}=\frac{z-z_{0}}{p}$ ，其中 $\boldsymbol{s}=(m, n, p), M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ ，直线 $l$外一点为 $M_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ ，证明：点 $M_{1}$ 到直线 $l$ 的距离为 $d=\frac{\left|\overrightarrow{M_{1} M_{0}} \times \boldsymbol{s}\right|}{|\boldsymbol{s}|}$ ．

＊23．设直线 $l_{1}: \frac{x-x_{1}}{m_{1}}=\frac{y-y_{1}}{n_{1}}=\frac{z-z_{1}}{p_{1}}$ ，其中 $\boldsymbol{s}_{1}=\left(m_{1}, n_{1}, p_{1}\right), M_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ ，直线 $l_{2}: \frac{x-x_{2}}{m_{2}}=\frac{y-y_{2}}{n_{2}}=\frac{z-z_{2}}{p_{2}}$ ，其中 $\boldsymbol{s}_{2}=\left(m_{2}, n_{2}, p_{2}\right), M_{2}\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ ，证明：异面直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离为 $d=\frac{\left|\overrightarrow{M_{1} M_{2}} \cdot\left(\boldsymbol{s}_{1} \times \boldsymbol{s}_{2}\right)\right|}{\left|\boldsymbol{s}_{1} \times \boldsymbol{s}_{2}\right|}$ ．

＊24．设直线 $l_{1}: \frac{x-9}{4}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z}{1}$ ，直线 $l_{2}: \frac{x}{-2}=\frac{y+7}{9}=\frac{z-7}{2}$ ，试求： （1）直线 $l_{1} 、 l_{2}$ 之间的距离； （2）直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的公垂线方程．