习题6-2

1．选择题． （1）以下二元函数的性质中，（ ）是其他的充分条件。 A．连续 B．偏导数存在 C．可微 D．偏导数连续 （2）若函数 $z=f(x, y)$ 在点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处两个偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 存在，则在 $P_{0}$ 处 （ ） A．连续 B．可微 C．不一定连续 D．一定不连续 （3）设 $z=x^{y}$ ，则 $\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(\mathrm{e}, 1)}=(\quad)$ ． A． 1 B． e C． 0 D．$\frac{1}{\mathrm{e}}$ （4）设 $z=\ln \frac{x}{y}$ ，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=(\quad)$ ． A．$\frac{y}{x}$ B．$\frac{1}{x}$ C．$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$ D．$\frac{1}{y}$ （5）设 $z=\mathrm{e}^{x y}$ ，则 $\mathrm{d} z=$（ ）． A． $\mathrm{e}^{x y} \mathrm{~d} x$ B．$(x \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} x) \mathrm{e}^{x y}$ C．$x \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} x$ D．$(x+y) \mathrm{e}^{x y}$

10．求函数 $z=\frac{y}{x}$ ，当 $x=2, y=1, \Delta x=0.1, \Delta y=-0.2$ 时的全增量和全微分．

11．求下列函数的全微分． （1）$z=\frac{y}{x}$ ； （2）$z=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$ ； （3）$u=\mathrm{e}^{z+\frac{x}{y}}$ ； （4）$u=x^{2} y z+\cos 2 y$ ．

12．设 $z=\ln \left(1+\frac{x}{y}\right)$ ，求 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(1,1)}$ ．

13．设 $z=x \ln (x y)$ ，求 $\frac{\partial^{3} z}{\partial x^{2} \partial y}, \frac{\partial^{3} z}{\partial x \partial y^{2}}$ ．

14．证明函数 $u=\frac{1}{r}$ 满足拉普拉斯方程： $$ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0 $$ 其中 $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ． ＊ 15 ．求 $\sqrt{1.02^{3}+1.97^{3}}$ 的近似值．

2．填空题． （1）设 $z=\arctan (x y)$ ，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$ $\_\_\_\_$ ； （2）设 $f(x, y)=\ln \left(x+\frac{y}{2 x}\right)$ ，则 $f_{y}(1,0)=$ $\_\_\_\_$ ； （3）函数 $z=\frac{x^{2} y^{2}}{x+y}$ 在点 $(1,1)$ 的偏导数 $\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{\substack{x=1 \\ y=1}}$ 为 $\_\_\_\_$ ； （4）设 $f(x, y)=x+y-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ，则 $f_{x}(3,4)=$ $\_\_\_\_$ ； （5）设 $z=f^{2}(x y)$ ，其中 $f$ 可微，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$ $\_\_\_\_$ ； （6）设 $u=\mathrm{e}^{x+x y}$ ，则全微分 $\mathrm{d} u=$ $\_\_\_\_$ ； （7）设 $z=\ln \sqrt{1+x^{2}+y^{2}}$ ，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(1,1)}=$ $\_\_\_\_$ ； （8）设 $u=\left(\frac{x}{y}\right)^{z}$ ，则 $\left.\mathrm{d} u\right|_{(1,1,1)}=$ $\_\_\_\_$ ．

3．计算下列函数的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ ． （1）$z=\cos \left(x y^{2}\right)$ ； （2）$z=\ln \left(x^{2}+y\right)$ ； （3）$z=\mathrm{e}^{x+y}+y x^{2}$ ； （4）$z=\arctan \frac{y}{x}$ ； （5）$z=\frac{\mathrm{e}^{x y}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{y}}$ ； （6）$z=\ln \tan \frac{x}{y}$ ．

4．求下列函数在指定点的偏导数． （1）$z=(2 y+1)^{x}$ ，求 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\substack{x=0 \\ y=0}}$ ； （2）$f(x, y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ，求 $f_{y}(3,4)$ ； （3）$f(x, y)=x+(y-1) \arcsin \sqrt{\frac{x}{y}}$ ，求 $f_{x}(x, 1)$ ； （4）$f(x, y)=x^{2}+\ln \left(y^{2}+1\right) \arctan x^{y+1}$ ，求 $f_{x}(x, 0)$ ．

5．设 $z=\mathrm{e}^{-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)}$ ，求证 $x^{2} \frac{\partial z}{\partial x}+y^{2} \frac{\partial z}{\partial y}=2 z$ ．

6．求曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=\frac{x^{2}+y^{2}}{4}, \\ y=4\end{array}\right.$ 在点 $(2,4,5)$ 处的切线关于 $x$ 轴的斜率．

7．求下列三元函数的偏导数 $\frac{\partial u}{\partial x} 、 \frac{\partial u}{\partial y} 、 \frac{\partial u}{\partial z}$ ． （1）$u=x^{y z}$ ； （2）$u=x^{\sin \frac{y}{z}}$ ．

8．求下列函数 $z=f(x, y)$ 的二阶偏导数 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} 、 \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} 、 \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ． （1）$z=2 x^{2}+3 x y-y^{2}$ ； （2）$z=\mathrm{e}^{a x} \cos b y$ ； （3）$z=\cos ^{2}(2 x+3 y)$ ； （4）$z=\ln \left(x+y^{2}\right)$ ； （5）$z=\arcsin (x y)$ ； （6）$z=x \sin (x+y)+y \cos (x+y)$ ．

9．求函数 $z=\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)$ 当 $x=1, y=2$ 时的全微分．

＊16．当 $x 、 y$ 的绝对值很小时，推出函数 $\arctan \frac{x y}{1+x y}$ 的近似公式．

＊17．已知边长为 $x=6 \mathrm{~m}$ 与 $y=8 \mathrm{~m}$ 的矩形，如果 $x$ 边增加 5 cm 而 $y$ 减少 10 cm ，问这个矩形的对角线的近似变化怎样？

＊18．设函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 讨论该函数在 $(0,0)$点的连续性、可导性与可微性。

＊19．设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}x y \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 试求 $f_{x y}(0,0)$ 及 $f_{y x}(0,0)$ 。