习题6-4

1．填空题． （1）曲线 $x=\cos t, y=\sin t, z=\sin t+\cos t$ 在对应的点 $t=0$ 处的切线与平面 $x+B y-z=0$ 平行，则 $B=$ $\_\_\_\_$ ； （2）曲面 $z=x^{2}+y^{2}$ 在点 $(1,1,2)$ 处的法线与平面 $A x+B y+z+1=0$ 垂直，则 $A=$ $\_\_\_\_$ ，$B=$ $\_\_\_\_$。

10．证明曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=a \mathrm{e}^{t} \cos t, \\ y=a \mathrm{e}^{t} \sin t, \\ z=a \mathrm{e}^{t}\end{array}\right.$ 与锥面 $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 的母线相交成一定角．

11．设函数 $f(u, v)$ 具有不同时为零的一阶连续偏导数． （1）写出曲面 $\Sigma: f(a x-b z, a y-c z)=0$（其中 $a^{2}+b^{2}+c^{2} \neq 0$ ）上任一点处的切平面方程； （2）证明该曲面上任一点的法线向量都与某确定的向量正交（垂直）并写出该向量。

12．证明曲面 $z=x f\left(\frac{y}{x}\right)$ 上任一点处的切平面都过原点，其中 $z$ 具有连续导数。

13．证明曲面 $x y z=a^{3}(a\gt 0)$ 上任一点处的切平面与坐标面围成的四面体的体积为定值．

14．设曲面 $\Sigma: z=x \mathrm{e}^{\frac{y}{x}}$ ，点 $M(x, y, z) \in \Sigma$ ，试证曲面 $\Sigma$ 在点 $M$ 处的法线垂直于直线 $O M$（其中 $O$ 为坐标原点）。

15．求下列函数的极值． （1）$f(x, y)=x^{3}-4 x^{2}+2 x y-y^{2}+3$ ； （2）$f(x, y)=3 x y-x^{3}-y^{3}$ ； （3）$f(x, y)=\mathrm{e}^{2 x}\left(x+y^{2}+2 y\right)$ ； （4）$f(x, y)=\left(6 x-x^{2}\right)\left(4 y-y^{2}\right)$ ； （5）$f(x, y)=4(x-y)-x^{2}-y^{2}$ ； （6）$f(x, y)=x y+\frac{8}{x}+\frac{27}{y}$ ； （7）$f(x, y)=\mathrm{e}^{x-y}\left(x^{2}-2 y^{2}\right)$ ； （8）$f(x, y)=x^{3}+y^{3}-3\left(x^{2}+y^{2}\right)$ ．

16．要制造一个容积为 $4 \mathrm{~m}^{3}$ 的无盖水箱，问它的长宽高应各取什么样的尺寸时，才能使所用材料最省？

17．求椭圆 $x^{2}+3 y^{2}=12$ 的内接等腰三角形（三角形底边平行于椭圆长轴）的最大面积．

18．求旋转抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 与平面 $x+y-z=1$ 之间的最短距离．

19．在 $x O y$ 面上求一点，使它到直线 $x=0$ ．直线 $y=0$ 和直线 $x+2 y-16=0$ 的距离的平方和最小。

2．求下列曲线在指定点处的切线及法平面方程． （1）$x=t, y=t^{2}, z=\frac{t}{1+t}$ 在点 $\left(1,1, \frac{1}{2}\right)$ 处； （2）$x=\frac{t}{1+t}, y=\frac{1+t}{t}, z=t^{2}$ 在对应点 $t=1$ 处； （3）$x=\frac{2 t}{1+t}, y=\frac{1-t}{t}, z=\sqrt{t}$ 在点 $(1,0,1)$ 处； （4）$x=t-\sin t, y=1-\cos t, z=4 \sin \frac{t}{2}$ 在点 $\left(\frac{\pi}{2}-1,1,2 \sqrt{2}\right)$ 处； （5）$x=2 \sin ^{2} t, y=3 \sin t \cos t, z=\cos ^{2} t$ 在对应点 $t=\frac{\pi}{4}$ 处； （6）$\left\{\begin{array}{l}y=2 x^{2}, \\ z=3 x+1\end{array}\right.$ 在点 $M(0,0,1)$ 处； （7）$\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=2, \\ x^{2}+z^{2}=2\end{array}\right.$ 在点 $M(1,1,1)$ 处； （8）$\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}-3 x=0, \\ 2 x-3 y+5 z-4=0\end{array}\right.$ 在点 $M(1,1,1)$ 处。

20．把正数 $a$ 分成三个正数之和，使它们的乘积为最大，求这三个正数。

21．求内接于半径为 $R$ 的球且有最大体积的长方体．

22．在陏球面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 上求一点，使其三个坐标的乘积最大。

23．证明函数 $z=\left(1+\mathrm{e}^{y}\right) \cos x-y \mathrm{e}^{y}$ 有无穷多个极大值而无一极小值．

24．求二元函数 $z=f(x, y)=x^{2} y(4-x-y)$ 在直线 $x+y=6, x$ 轴和 $y$ 轴所围成的闭区域 $D$ 上的最大值与最小值．

25．求函数 $f(x, y)=3 x^{2}+3 y^{2}-x^{3}$ 在区域 $D: x^{2}+y^{2} \leqslant 16$ 上的最小值．

26．求两直线 $\left\{\begin{array}{l}y=2 x, \\ z=x+1\end{array}\right.$ 与 $\left\{\begin{array}{l}y=x+3 \text { ，之间的最短距离．} \\ z=x\end{array}\right.$ ．

27．证明不等式 $$ a b^{2} c^{3} \leqslant 108\left(\frac{a+b+c}{6}\right)^{6}, $$ 其中 $a 、 b 、 c$ 是任意的非负实数． \begin{tabular}{|l|l|} \hline 多元函数极限与连续 & \begin{tabular}{l} 理解多元函数的概念 \\ 了解二元函数的极限与连续性的概念 \\ 了解有界闭区域上连续函数的性质 \end{tabular} \\ \hline 偏导数与全微分 & \begin{tabular}{l} 理解偏导数和全微分的概念 \\ 了解全微分存在的必要条件和充分条件 \\ 了解一阶全微分形式的不变性 \end{tabular} \\ \hline 复合函数、隐函数求导，方向导数 & \begin{tabular}{l} 掌握复合函数一阶偏导数的求法 \\ 会求复合函数的二阶偏导数 \\ 会求隐函数（包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数）的偏导数 \\ 《解方向导数与梯度的概念及其计算方法 \end{tabular} \\ \hline 多元函数微分的应用 & \begin{tabular}{l} 了解曲线的切线和法平面，会求其方程 \\ 了解曲面的切平面与法线，会求其方程 \\ 了解多元函数极值和条件极值的概念 \\ 会求二元函数的极值 \\ （了解求条件极值的拉格朗日乘数法 \\ 会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题 \end{tabular} \\ \hline \end{tabular}

3．求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=t, \\ y=-t^{2} \\ z=t^{3}\end{array}\right.$ 与平面 $x+2 y+z-4=0$ 平行的切线方程．

4．求下列曲面在指定点处的切平面及法线方程． （1） $\mathrm{e}^{z}-z+x y=3, M(2,1,0)$ ； （2）$z=x^{2}+y^{2}, M(2,1,5)$ ； （3）$z=\arctan \frac{y}{x}, M_{0}\left(1,1, \frac{\pi}{4}\right)$ ； （4）$z=y+\ln \frac{x}{z}, M_{0}(1,1,1)$ ．

5．求抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 的切平面，使该切平面平行于平面 $x-y+2 z=0$ ．

6．试求曲面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y-3=0$ 上垂直于直线 $\left\{\begin{array}{l}x+y+1=0, \\ z-3=0\end{array}\right.$ 的切平面方程．

7．求空间曲线 $\left\{\begin{array}{l}x-y-z=1, \\ x^{3}-y^{2}-z^{3}=1\end{array}\right.$ 在点（1，1，－1）处的切线方程．

8．求空间曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=6, \\ z=x^{2}+y^{2}\end{array}\right.$ 在点 $(1,1,2)$ 处的切线方程．

9．证明螺旋线 $x=a \cos t, y=a \sin t, z=b t$ 上任一点处的切线都与 $z$ 轴形成定角．