习题7-1

1．计算 $\displaystyle{\iint}_{D} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ ： （1）$\{(x, y)|x| \leqslant 1,|y| \leqslant 2\}$ ； （2）$\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{4}+y^{2} \leqslant 1\right.\right\}$ ； （3）$\left\{(x, y) \mid 1^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 3^{2}\right\}$ ．

10．计算二重积分 $I=\displaystyle{\iint}_{D} f(x+y) \operatorname{sgn}(x-y) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，函数 $f(u)$ 在 $D$ 上连续．

11．计算下列二重（二次）积分。 （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{x}^{3 x}(x-y) \mathrm{d} y$ ； （2） $\displaystyle{\iint}_{D} x \mathrm{e}^{-2 x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ； （3） $\displaystyle{\iint}_{D} x y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由 $|x|=2,|y|=1$ 所围闭区域； （4） $\displaystyle{\iint}_{D} y \cos (x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由 $0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant \pi$ 所确定的闭区域； （5） $\displaystyle{\iint}_{D} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由 $y=x, y=2 x, y=1$ 围成的闭区域； （6） $\displaystyle{\iint}_{D} \frac{y}{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由 $y=3 x, y=x, x=1, x=3$ 所确定的闭区域； （7）设 $D$ 是由 $y=2, y=x, y=2 x$ 所确定的闭区域，求 $\displaystyle{\iint}_{D}\left(x^{2}+y^{2}-x\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ； （8）设 $D$ 是由 $x=0, y=\pi, y=x$ 所确定的闭区域，求 $\displaystyle{\iint}_{D} \sin (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ； （9）设 $D$ 是由 $x=\sqrt{y}, x=3-2 y, y=0$ 所确定的闭区域，求 $\displaystyle{\iint}_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ； （10）设 $D$ 是由 $x=0, y=0,2 x+y=4$ 所确定的闭区域，求 $\displaystyle{\iint}_{D}\left(4-x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ； （11）设 $D$ 是由 $y=x, x=y^{2}$ 所围闭区域，求二重积分 $\displaystyle{\iint}_{D} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．

12．把二重积分 $I=\displaystyle{\iint}_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ 转化为两种不同次序的二次积分，其中 $D$ 分别如下。 （1）由直线 $y=x, y=3 x, x=1, x=2$ 所围成的闭区域； （2）由直线 $x+y=1, x-y=1, x=0$ 所围成的闭区域。

13．交换下列二次积分的积分顺序。 （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{3} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{x^{2}}^{3 x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{0}^{y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{1}^{2} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{1}^{y} f(x, y) \mathrm{d} x+\displaystyle{\int}_{2}^{4} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{\frac{y}{2}}^{2} f(x, y) \mathrm{d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{0}^{1-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{0}^{\sqrt{2 x-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y+\displaystyle{\int}_{1}^{2} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{0}^{2-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{2 a} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{\sqrt{2 a x-x^{2}}}^{\sqrt{2 a x}} f(x, y) \mathrm{d} y(a\gt 0)$ ．

14．利用两种方法计算二重积分． （1） $\displaystyle{\iint}_{D} x y \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由直线 $y=1, x=2$ 及 $y=x$ 所围成的闭区域； （2）计算 $\displaystyle{\iint}_{D} \frac{x^{2}}{y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $D$ 由直线 $x=2, y=x$ 及曲线 $x y=1$ 所围成； （3） $\displaystyle{\iint}_{D}(x y+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由 $4 x^{2}+y^{2}=4$ 所围成的闭区域。

15．（1）设 $f(y)$ 在 $[a, b]$ 上连续，证明： $\displaystyle{\int}_{a}^{b} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{a}^{x} f(y) \mathrm{d} y=\displaystyle{\int}_{a}^{b} f(y)(b-y) \mathrm{d} y$ ； （2）计算 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{y}^{1} x^{2} \sin x y \mathrm{~d} x$ 。

16．计算 $\displaystyle{\iint}_{D}\left|y-x^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1, \quad 0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．

17．计算积分 $I=\displaystyle{\int}_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{y}} \mathrm{e}^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} x+\displaystyle{\int}_{\frac{1}{2}}^{1} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{y}^{\sqrt{y}} \mathrm{e}^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} x$ ．

18．把二重积分写成极坐标系下的二次积分． （1）$I=\displaystyle{\iint}_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}, x \geqslant 0, y \leqslant 0, a\gt 0\right\}$ ； （2）$I=\displaystyle{\iint}_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x, y \geqslant 0\right\}$ ； （3）$I=\displaystyle{\iint}_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, D=\left\{(x, y) \mid a^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant b^{2}, x \leqslant y \leqslant \sqrt{3} x, x\gt 0\right\} (0\lt a\lt b) ;$ （4）$I=\displaystyle{\iint}_{D} \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} \sigma, D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ； （5）$I=\displaystyle{\iint}_{D} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 y\right\}$ ．

19．利用极坐标计算下列二重积分． （1） $\displaystyle{\iint}_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由 $1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4$ 围成的圆环形区域； （2） $\displaystyle{\iint}_{D} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 和两坐标轴所围成的第一象限的闭区域； （3） $\displaystyle{\iint}_{D}(h-2 x-3 y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 所围成的闭区域； （4） $\displaystyle{\iint}_{D} \ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是圆 $x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 所围成的闭区域； （5） $\displaystyle{\iint}_{D} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}$ ，其中 $D$ 是由 $1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 2, y \geqslant 0$ 所围成的闭区域； （6） $\displaystyle{\iint}_{D} \arctan \frac{y}{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由 $x^{2}+y^{2}=2$ 与直线 $y=x$ 及 $y$ 轴所围成的闭区域。

2．用二重积分表示立体 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leqslant 1, z \leqslant 0$ 的体积，并写出积分区域的表达式．

20．选用适当的坐标计算下列积分． （1） $\displaystyle{\iint}_{D} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由直线 $x=2, y=x$ 和双曲线 $x y=1$ 所围成的闭区域； （2） $\displaystyle{\iint}_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由 $x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 和 $x+y \geqslant 1$ 所围成的闭区域； （3） $\displaystyle{\iint}_{D} \sqrt{\frac{1-x^{2}-y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由 $x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ 所围成的闭区域； （4） $\displaystyle{\iint}_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由直线 $y=x, y=x+2$ 和 $y=2, y=6$ 所围成的闭区域； （5） $\displaystyle{\iint}_{D} \mathrm{e}^{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由直线 $|x|+|y| \leqslant 1$ 所围成的闭区域； （6） $\displaystyle{\iint}_{D} x^{2} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由直线 $y=0, y=1$ 和双曲线 $x^{2}-y^{2}=1$ 所围成的闭区域； （7） $\displaystyle{\iint}_{D} x y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由直线 $y=\frac{1}{2} x, y=2 x$ 和双曲线 $x y=1, x y=2$ 所围成的闭区域； （8） $\displaystyle{\iint}_{D} \frac{1}{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由圆周 $x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x$ 所围成的闭区域； （9） $\displaystyle{\iint}_{D}(x+2) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由圆周 $x^{2}+y^{2} \leqslant 4, x^{2}+y^{2} \geqslant 2 x$ 与 $y$ 轴围成的位于第一象限内的闭区域； （10） $\displaystyle{\iint}_{D}\left|x^{2}+y^{2}-2\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由圆周 $x^{2}+y^{2} \leqslant 9$ 所围成的闭区域。

21．计算 $\displaystyle{\iint}_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 为由圆 $x^{2}+y^{2}=2 y, x^{2}+y^{2}=4 y$ 及直线 $x-\sqrt{3} y=0$ ， $y-\sqrt{3} x=0$ 所围成的平面闭区域。

22．求半球体 $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 9(z \geqslant 0)$ 的体积．

23．求曲面 $z=1-4 x^{2}-y^{2}$ 与 $x O y$ 面所围成的立体体积。

24．求由四个平面 $x=0, y=0, x=1$ 及 $y=1$ 所围成的柱体被平面 $z=0$ 与 $z=6-2 x-3 y$截得的立体体积。

25．求圆锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被柱面 $z^{2}=2 x$ 所割下的那部分曲面的面积．

26．求抛物柱面 $z=\frac{1}{2} x^{2}$ 含在由平面 $x=1, y=0$ 及 $y=x$ 所围成的柱体内部的那部分曲面的面积。

27．求下列平面图形 $D$ 的形心。 （1）$D$ 由抛物线 $y=\sqrt{2 x}$ 与直线 $x=1, y=0$ 所围成； （2）$D$ 由心形线 $r=1+\cos \theta$ 所围成； （3）$D$ 由右半椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(x \geqslant 0)$ 与 $y$ 轴所围成．

28．设圆盘的圆心在原点上，半径为 $R$ ，面密度 $\rho=x^{2}+y^{2}$ ，求该圆盘的质量．

29．求由坐标轴与直线 $2 x+y=6$ 所围成的三角形均匀薄片的质心。

3．设 $I=\displaystyle{\iint}_{D} \sqrt[3]{x^{2}+y^{2}-1} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是圆环 $1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 2$ 所确定的闭区域，则 $\_\_\_\_$ ． A．$I\gt 0$ B．$I\lt 0$ C．$I=0$ D．$I \neq 0$ 但符号不能确定

30．求曲线 $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2 a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)$ 和 $x^{2}+y^{2} \geqslant a$ 所围成区域 $D$ 的面积．

31．求 $z=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$ 与 $z=4$ 所围立体的体积．

4．比较 $I_{1}=\displaystyle{\iint}_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma$ 与 $I_{2}=\displaystyle{\iint}_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} \mathrm{~d} \sigma$ 的大小，其中 $D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ ，则 $\_\_\_\_$。 A．$I_{1}=I_{2}$ B．$I_{1}\lt I_{2}$ C．$I_{1}\gt I_{2}$ D．无法比较

5．设 $I_{1}=\displaystyle{\iint}_{D} \ln (x+y) \mathrm{d} \sigma, I_{2}=\displaystyle{\iint}_{D}(x+y)^{2} \mathrm{~d} \sigma, I_{3}=\displaystyle{\iint}_{D} \sin ^{2}(x+y) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $$ D=\left\{(x, y) \mid x \geqslant 0, y \geqslant 0, \frac{1}{2} \leqslant x+y \leqslant 1\right\}, $$ 比较 $I_{1} 、 I_{2} 、 I_{3}$ 的大小。

6．利用二重积分的性质估计积分 $I=\displaystyle{\iint}_{D}(x+y+1) \mathrm{d} \sigma$ 的值，其中 $D$ 是矩形闭区域： $0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2$.

7．估计积分值 $I=\displaystyle{\iint}_{D}(x+y+1) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=[1,2] \times[0,1]$ ．

8．设 $I_{1}=\displaystyle{\iint}_{D_{1}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3} \mathrm{~d} \sigma, I_{2}=\displaystyle{\iint}_{D_{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D_{1}=[-1,1] \times[-2,2]$ ， $D_{2}=[0,1] \times[0,2]$ ，试说明 $I_{1}$ 与 $I_{2}$ 的关系．

9．设 $f(x, y)$ 在 $D_{\rho}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant \rho^{2}\right\}$ 上连续，求 $\displaystyle{\lim} _{\rho \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\rho^{2}} \displaystyle{\iint_{D_{\rho}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ．