习题8-1
8-1-1
📝 有解析
第8-1-1题
1．设 $u=a-b+2 c, v=-a+3 b-c$ ．试用 $a, b, c$ 表示 $2 u-3 v$ ．
8-1-10
📝 有解析
第8-1-10题
10．过点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 分别作平行于 $z$ 轴的直线和平行于 $x O y$ 面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？
8-1-11
📝 有解析
第8-1-11题
11．一棱长为 $a$ 的立方体放置在 $x O y$ 面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在 $x$ 轴和 $y$轴上，求它各顶点的坐标．
8-1-12
📝 有解析
第8-1-12题
12．求点 $M(4,-3,5)$ 到各坐标轴的距离．
8-1-13
📝 有解析
第8-1-13题
13．在 $y O z$ 面上，求与三点 $A(3,1,2), B(4,-2,-2)$ 和 $C(0,5,1)$ 等距离的点．
8-1-14
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第8-1-14题
14．试证明以 $A(4,1,9), B(10,-1,6), C(2,4,3)$ 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形．
8-1-15
📝 有解析
第8-1-15题
15．设已知两点 $M_{1}(4, \sqrt{2}, 1)$ 和 $M_{2}(3,0,2)$ ，计算向量 $\overrightarrow{M_{1} M_{2}}$ 的模、方向余弦和方向角．
8-1-16
📝 有解析
第8-1-16题
16．设向量的方向余弦分别满足（1） $\cos \alpha=0$ ；（2） $\cos \beta=1$ ；（3） $\cos \alpha=\cos \beta=0$ ，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？
8-1-17
📝 有解析
第8-1-17题
17．设向量 $r$ 的模是 4 ，它与 $u$ 轴的夹角是 $\frac{\pi}{3}$ ，求 $r$ 在 $u$ 轴上的投影．
8-1-18
📝 有解析
第8-1-18题
18．一向量的终点在点 $B(2,-1,7)$ ，它在 $x$ 轴、 $y$ 轴和 $z$ 轴上的投影依次为 $4,-4$ 和 7 ．求这向量的起点 $A$ 的坐标．
8-1-19
📝 有解析
第8-1-19题
19．设 $m=3 i+5 j+8 k, n=2 i-4 j-7 k$ 和 $p=5 i+j-4 k$ ，求向量 $a=4 m+3 n-p$ 在 $x$ 轴上的投影及在 $y$ 轴上的分向量．
8-1-2
📝 有解析
第8-1-2题
2．如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形．
8-1-20
📝 有解析
第8-1-20题
20．设 $O$ 是 $A, B$ 的连线以外的一点，证明 $A, B, C$ 三点共线的充分必要条件是 $\overrightarrow{O C}=\lambda \overrightarrow{O A}+\mu \overrightarrow{O B}$ ，其中 $\lambda+\mu=1$ ．
8-1-3
📝 有解析
第8-1-3题
3．把 $\triangle A B C$ 的 $B C$ 边五等分，设分点依次为 $D_{1}, D_{2}, D_{3}, D_{4}$ ，再把各分点与点 $A$ 连接．试以 $\overrightarrow{A B}=c$ ， $\overrightarrow{B C}=a$ 表示向量 $\overrightarrow{D_{1} A}, \overrightarrow{D_{2} A}, \overrightarrow{D_{3} A}$ 和 $\overrightarrow{D_{4} A}$ ．
8-1-4
📝 有解析
第8-1-4题
4．已知两点 $M_{1}(0,1,2)$ 和 $M_{2}(1,-1,0)$ ．试用坐标表示式表示向量 $\overrightarrow{M_{1} M_{2}}$ 及 $-2 \overrightarrow{M_{1} M_{2}}$ ．
8-1-5
📝 有解析
第8-1-5题
5．求平行于向量 $a=(6,7,-6)$ 的单位向量．
8-1-6
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第8-1-6题
6．在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？
$$
A(1,-2,3), \quad B(2,3,-4), \quad C(2,-3,-4), \quad D(-2,-3,1) .
$$
8-1-7
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第8-1-7题
7．在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置：
$$
A(3,4,0), \quad B(0,4,3), \quad C(3,0,0), \quad D(0,-1,0) .
$$
8-1-8
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第8-1-8题
8．求点 $(a, b, c)$ 关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标．
8-1-9
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第8-1-9题
9．自点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标．