1．（15 分）设四元齐次线性方程组（I）$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{3}=0 \\ x_{2}-x_{4}=0\end{array}\right.$ ，又知某齐次线性方程组（II）的通解为 $\displaystyle k_{1}(0,1,1,0)^{T}+k_{2}(-1,2,2,1)^{T}$ ．（i）求线性方程组（I）的基础解系；（ii）问线性方程组
（I）和（II）是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解，若没有，则说明理由．

8．设 $\displaystyle A$ 是数域 $\displaystyle P$ 上的 $\displaystyle s \times n$ 矩阵且秩 $\displaystyle (A)=r, \quad X=\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)$ 。若方程组 $\displaystyle A X=0$ 有非零解，则它的基础解系所含解的个数为——－－－－个。
（A）$\displaystyle n$ ；
（B）$\displaystyle r$ ；
（C）$\displaystyle n-r$ ；
（D） 0 ．

七．（10分）
设 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 是 4 维线性空间 $\displaystyle V$ 的一组基，已知线性变换 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 在这组基下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 5 \\ 2 & -2 & 1 & -2\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 的核及值域。

5．（14 分）在实数域上的 $\displaystyle n$ 维列向量空间 $\displaystyle R^{n}$ 中，定义内积为 $\displaystyle (\alpha, \beta)=\alpha^{T} \beta$ ，从而 $\displaystyle R^{n}$ 成为欧几里的空间．
（1）．设实数域上的矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & -3 & 5 & -2 \\
-2 & 1 & -3 & 1 \\
-1 & -7 & 9 & -4
\end{array}\right)
$$


求齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的解空间的一个正交基．
（2）设 $\displaystyle A$ 是实数域 $\displaystyle R$ 上的 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，用 $\displaystyle W$ 表示齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的解空间，用 $\displaystyle U$表示 $\displaystyle A^{T}$ 的列空间（即，$\displaystyle A^{T}$ 的列向量组成的子空间）。证明：$\displaystyle U=W^{\perp}$ ．

5．（12分）设线性方程组
I ）$\displaystyle \left\{\begin{array}{c}2 x_{1}+x_{2}-x_{3}=1 \\ x_{1}-x_{2}+x_{3}=2 \\ 4 x_{1}+5 x_{2}-5 x_{3}=-1\end{array}\right.$ 与 II ）$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a x_{1}+b x_{2}-x_{3}=0 \\ 2 x_{1}-x_{2}+a x_{3}=3\end{array}\right.$
同解，求其通解和 $\displaystyle a, b$ ．

2．（20 分）设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & k & 1 \\ 1 & k & 0 & 1\end{array}\right)$ ，
求：（1）$\displaystyle A$ 的秩；
（2）$\displaystyle A$ 的零化子空间 $\displaystyle N(A)$（即满足 $\displaystyle A X=0$ 的所有4维向量组成的子空间）的维数和一

组基。

1．（20 分）令 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 是 $\displaystyle R^{n}$ 中 $\displaystyle s$ 个线性无关的向量。证明：存在含 $\displaystyle n$ 个未知量的齐次线性方程组，使得 $\displaystyle \left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}\right\}$ 是它的一个基础解系。

3．（10 分）设 $\displaystyle \xi_{1}, \cdots, \xi_{s}$ 是某个齐次线性方程组的一个基础解系，$\displaystyle \eta_{1}, \cdots, \eta_{k}$ 是该齐次方程组的 $\displaystyle k$ 个线性无关的解．证明：若 $\displaystyle k<s$ ，则在 $\displaystyle \xi_{1}, \cdots, \xi_{s}$ 中必可取出 $\displaystyle s-k$ 个向量使与 $\displaystyle \eta_{1}, \cdots, \eta_{k}$ 共同构成该齐次方程组的一个基础解系．