十．（ 10 分）
设 $\displaystyle \alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2} \cdots a_{i n}\right), i=1,2 \cdots s, \quad \beta=\left(b_{1}, b_{2} \cdots b_{n}\right), A=\left(a_{i j}\right)_{s n}, X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)$ ，如果线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的解全部是 $\displaystyle b_{1} x_{1}+b_{2} x_{2}+\cdots+b_{n} x_{n}=0$ 的解。试证 $\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2} \cdots \alpha_{s}$ 线性表出．

5．（14 分）在实数域上的 $\displaystyle n$ 维列向量空间 $\displaystyle R^{n}$ 中，定义内积为 $\displaystyle (\alpha, \beta)=\alpha^{T} \beta$ ，从而 $\displaystyle R^{n}$ 成为欧几里的空间．
（1）．设实数域上的矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & -3 & 5 & -2 \\
-2 & 1 & -3 & 1 \\
-1 & -7 & 9 & -4
\end{array}\right)
$$


求齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的解空间的一个正交基．
（2）设 $\displaystyle A$ 是实数域 $\displaystyle R$ 上的 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，用 $\displaystyle W$ 表示齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的解空间，用 $\displaystyle U$表示 $\displaystyle A^{T}$ 的列空间（即，$\displaystyle A^{T}$ 的列向量组成的子空间）。证明：$\displaystyle U=W^{\perp}$ ．

4、设 $\displaystyle V$ 是欧几里德空间，$\displaystyle U$ 是 $\displaystyle V$ 的子空间，$\displaystyle \beta \in U$ ．求证：$\displaystyle \beta$ 是 $\displaystyle \alpha \in V$ 在 $\displaystyle U$ 上的正交投影的充分必要条件为：$\displaystyle \forall \gamma \in U$ ，都有 $\displaystyle |\alpha-\beta| \leq|\alpha-\gamma|$ ．

【解】必要性．设 $\displaystyle \beta$ 是 $\displaystyle \alpha$ 在 $\displaystyle U$ 上的正交投影，则存在 $\displaystyle \xi \in U^{\perp}$ ，使 $\displaystyle \alpha=\beta+\xi . \forall \gamma \in U$ ，因为 $\displaystyle \beta-\gamma \in U$ ，所以 $\displaystyle (\alpha-\beta, \beta-\gamma)=(\xi, \beta-\gamma)=0$ ，故由勾股定理，得

$$
\left.|\alpha-\gamma|^{2}=|(\alpha-\beta)+(\beta-\gamma)|^{2}=|\alpha-\beta|^{2}+\mid \beta-\gamma\right)\left.\right|^{2} \geq|\alpha-\beta|^{2}
$$


即 $\displaystyle |\alpha-\beta| \leq|\alpha-\gamma|$ ．

充分性．设 $\displaystyle \forall \gamma \in U$ ，都有 $\displaystyle |\alpha-\beta| \leq|\alpha-\gamma|$ ，下证 $\displaystyle \beta \in U$ 是 $\displaystyle \alpha$ 在 $\displaystyle U$ 上的正交投影．为此，设 $\displaystyle \beta_{1}$ 是 $\displaystyle \alpha$ 在 $\displaystyle U$ 上的正交投影，则由已证得的必要性及题设条件知

$$
\left|\alpha-\beta_{1}\right| \leq|\alpha-\beta| \leq\left|\alpha-\beta_{1}\right|,
$$


所以 $\displaystyle |\alpha-\beta|=\left|\alpha-\beta_{1}\right|$ 。注意到 $\displaystyle \alpha-\beta_{1} \in U^{\perp}, ~ \beta_{1}-\beta \in U$ ，根据勾股定理得

$$
|\alpha-\beta|^{2}=\left|\left(\alpha-\beta_{1}\right)+\left(\beta_{1}-\beta\right)\right|^{2}=\left|\alpha-\beta_{1}\right|^{2}+\left|\beta_{1}-\beta\right|^{2} .
$$


因此，$\displaystyle \left|\beta_{1}-\beta\right|=0$ ，即 $\displaystyle \beta=\beta_{1}$ 是 $\displaystyle \alpha$ 在 $\displaystyle U$ 上的正交投影。

10．（10 分）设 $\displaystyle f$ 是 $\displaystyle n$ 维欧氏空间 $\displaystyle V$ 的对称变换（即 $\displaystyle f$ 是 $\displaystyle V$ 的线性变换，且对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ 都有 $\displaystyle (f(\alpha), \beta)=(\alpha, f(\beta))$ ），证明：$\displaystyle f$ 的像子空间 $\displaystyle \operatorname{Im} f$ 是 $\displaystyle f$ 的核子空间 $\displaystyle \operatorname{ker} f$

的正交补子空间。

六、（20分）设 $\displaystyle A, B$ 是 $\displaystyle n$ 维欧氏空间 $\displaystyle V$ 的线性变换。对任意 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，都有 $\displaystyle (A(\alpha), \beta)=(\alpha, B(\beta))$ 。证明：$\displaystyle A$ 的核等于 $\displaystyle B$ 的值域的正交补．

8．（10 分）$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是 $\displaystyle n$ 维欧氏空间 $\displaystyle V$ 的子空间，且 $\displaystyle V_{1}$ 的维数小于 $\displaystyle V_{2}$ 的维数，证明：$\displaystyle V_{2}$ 中必有一个非零向量正交于 $\displaystyle V_{1}$ 中的一切向量。

9．（16 分）设 $\displaystyle V$ 是 $\displaystyle n$ 维欧氏空间，$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是 $\displaystyle V$ 的子空间，且 $\displaystyle \operatorname{dim} V_{1}<\operatorname{dim} V_{2}$ 。证

明：$\displaystyle V_{2}$ 中存在一个非零向量，它与 $\displaystyle V_{1}$ 中任一个向量正交。
$\displaystyle \operatorname{det} A \geq \operatorname{det} A^{2} \geq \operatorname{det} A^{3} \geq \operatorname{det} A^{4} \geq \cdots$
而秩 A 是有限数，上面的不等式不可能无限不等下去，
必然存在一个正整数 m ，使 $\displaystyle \operatorname{det} A^{m}=\operatorname{det} A^{m+1}$

10．双线性函数巴拉巴拉，
i 全迷向子空间关于以上定义的运算构成空间？
ii．全迷向子空间含于其正交补。