共 7 题
题20034中国科学技术大学真题
4．已知 $\displaystyle A \in R^{4 \times 4}, A=A^{\prime}$（具体数值也忘了），求正交矩阵 $\displaystyle P$ ，使得
$$
P^{-1} A P=\wedge
$$
其中 $\displaystyle \wedge$ 为对角矩阵且主对角线上元素为特征值．
$$
P^{-1} A P=\wedge
$$
其中 $\displaystyle \wedge$ 为对角矩阵且主对角线上元素为特征值．
题20149中国科学院真题
6．（18 分）已知二次曲面方程 $\displaystyle x^{2}+a y^{2}+z^{2}+2 b x y+2 x z+2 y z=4$ 可以经过正交变换 $\displaystyle \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime}\end{array}\right)$ 化为椭圆柱面方程 $\displaystyle y^{\prime 2}+4 z^{\prime 2}=4$ 。求 $\displaystyle a, b$ 的值和正交矩阵 $\displaystyle P$ ．
题20178中国科学院真题
七、 $\displaystyle (12+8=20$ 分）设循环矩阵 $\displaystyle C$ 为
$$
\left(\begin{array}{cccc}
c_{0} & c_{1} & \cdots & c_{n-1} \\
c_{n-1} & c_{0} & \cdots & c_{n-2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
c_{1} & c_{2} & \cdots & c_{0}
\end{array}\right)
$$
（1）求 $\displaystyle C$ 的所有特征值以及相应的特征向量；
（2）求 $\displaystyle |C|$ 。
解：（1）构造多项式：$\displaystyle f(\lambda)=c_{0}+c_{1} \lambda+\cdots+c_{n-1} \lambda^{n-1}$ 。设 $\displaystyle P$ 是 $\displaystyle n$ 阶初等置换矩阵：
$$
\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
1 & 0 & 0 & \cdots & 0
\end{array}\right)
$$
则 $\displaystyle C=f(P)$ ．
$\displaystyle \because|\lambda I-P|=\lambda^{n}-1=\prod_{k=0}^{n-1}\left(\lambda-\omega^{k}\right)$ ，其中 $\displaystyle \omega=e^{i \frac{2 \pi}{n}}$ 是 $\displaystyle \lambda^{n}-1=0$ 的本原单位根．
$\displaystyle \therefore \omega^{0}, \omega^{1}, \cdots, \omega^{n-1}$ 是 $\displaystyle P$ 的所有特征值
$\displaystyle \therefore f\left(\omega^{0}\right), f\left(\omega^{1}\right), \cdots, f\left(\omega^{n-1}\right)$ 是循环矩阵 $\displaystyle C$ 的所有特征值．
$\displaystyle \forall k \in\{0,1,2, \cdots, n-1\}$ ，令 $\displaystyle x_{k}=\left(1, \omega^{k}, \omega^{2 k}, \cdots, \omega^{(n-1) k}\right)^{T}$ ，则
$$
P x_{k}=\left(\omega^{k}, \omega^{2 k}, \cdots, \omega^{(n-1) k}, 1\right)^{T}=\omega^{k} x_{k}
$$
所以
$$
C x_{k}=f(P) x_{k}=f\left(\omega^{k}\right) x_{k}
$$
综上可得
循环矩阵 $\displaystyle C$ 的所有特征值为 $\displaystyle f\left(\omega^{0}\right), f\left(\omega^{1}\right), \cdots, f\left(\omega^{n-1}\right)$ ，它们对应的特征向量分别为
$\displaystyle x_{0}=(1,1, \cdots, 1)^{T}, \quad x_{k}=\left(1, \omega^{k}, \omega^{2 k}, \cdots, \omega^{(n-1) k}\right)^{T}, \quad \cdots, \quad x_{n-1}=\left(1, \omega^{n-1}, \omega^{2(n-1)}, \cdots, \omega^{(n-1)^{2}}\right)^{T}$.
（2）由（1）可得
$$
|C|=\prod_{k=0}^{n-1} f\left(\omega^{k}\right)
$$
$$
\left(\begin{array}{cccc}
c_{0} & c_{1} & \cdots & c_{n-1} \\
c_{n-1} & c_{0} & \cdots & c_{n-2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
c_{1} & c_{2} & \cdots & c_{0}
\end{array}\right)
$$
（1）求 $\displaystyle C$ 的所有特征值以及相应的特征向量；
（2）求 $\displaystyle |C|$ 。
解：（1）构造多项式：$\displaystyle f(\lambda)=c_{0}+c_{1} \lambda+\cdots+c_{n-1} \lambda^{n-1}$ 。设 $\displaystyle P$ 是 $\displaystyle n$ 阶初等置换矩阵：
$$
\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
1 & 0 & 0 & \cdots & 0
\end{array}\right)
$$
则 $\displaystyle C=f(P)$ ．
$\displaystyle \because|\lambda I-P|=\lambda^{n}-1=\prod_{k=0}^{n-1}\left(\lambda-\omega^{k}\right)$ ，其中 $\displaystyle \omega=e^{i \frac{2 \pi}{n}}$ 是 $\displaystyle \lambda^{n}-1=0$ 的本原单位根．
$\displaystyle \therefore \omega^{0}, \omega^{1}, \cdots, \omega^{n-1}$ 是 $\displaystyle P$ 的所有特征值
$\displaystyle \therefore f\left(\omega^{0}\right), f\left(\omega^{1}\right), \cdots, f\left(\omega^{n-1}\right)$ 是循环矩阵 $\displaystyle C$ 的所有特征值．
$\displaystyle \forall k \in\{0,1,2, \cdots, n-1\}$ ，令 $\displaystyle x_{k}=\left(1, \omega^{k}, \omega^{2 k}, \cdots, \omega^{(n-1) k}\right)^{T}$ ，则
$$
P x_{k}=\left(\omega^{k}, \omega^{2 k}, \cdots, \omega^{(n-1) k}, 1\right)^{T}=\omega^{k} x_{k}
$$
所以
$$
C x_{k}=f(P) x_{k}=f\left(\omega^{k}\right) x_{k}
$$
综上可得
循环矩阵 $\displaystyle C$ 的所有特征值为 $\displaystyle f\left(\omega^{0}\right), f\left(\omega^{1}\right), \cdots, f\left(\omega^{n-1}\right)$ ，它们对应的特征向量分别为
$\displaystyle x_{0}=(1,1, \cdots, 1)^{T}, \quad x_{k}=\left(1, \omega^{k}, \omega^{2 k}, \cdots, \omega^{(n-1) k}\right)^{T}, \quad \cdots, \quad x_{n-1}=\left(1, \omega^{n-1}, \omega^{2(n-1)}, \cdots, \omega^{(n-1)^{2}}\right)^{T}$.
（2）由（1）可得
$$
|C|=\prod_{k=0}^{n-1} f\left(\omega^{k}\right)
$$
题20237北京大学真题
5．设正整数 $\displaystyle \mathrm{n} \geq 2$ ，用 $\displaystyle M_{n}(k)$ 表示数域 k 上全体 $\displaystyle \mathrm{n} \times \mathrm{n}$ ，矩阵关于矩阵加法和数乘所构成的 k上的线性空间。在 $\displaystyle M_{n}(k)$ 中定义变换 $\displaystyle \sigma$ 如下：
$\displaystyle \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\left(a_{i j}^{\prime}\right)_{n \times n}, \forall\left(a_{i j}\right)_{n \times n} \in M_{n}(k)$,
其中：$\displaystyle a_{i j}^{\prime}=\left\{\begin{array}{l}a_{i j}, i \neq j ; \\ i \cdot \operatorname{tr}(A), i=j .\end{array}\right.$
（1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle M_{n}(k)$ 上的线性变换；
（2）求出： $\displaystyle \operatorname{ker}(\sigma)$ 的维数与一组基；
（3）求出：$\displaystyle \sigma$ 的全部特征子空间．
证明：
（1）$\displaystyle \forall\left(a_{i j}\right)_{n \times n},\left(b_{i j}\right)_{n \times n} \in M_{n}(\mathrm{k}), \mathrm{k} \in K$ ，则
$\displaystyle \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}+\left(b_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\sigma\left(\left(\left(a_{i j}+b_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}\right)=\sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)+\sigma\left(\left(b_{i j}\right)_{n \times n}\right)\right.$ ；
$\displaystyle \sigma\left(k\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\sigma\left(\left(k a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\left(k a_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}=k\left(a_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}=k \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)$ ；
$\displaystyle \therefore \sigma$ 线性变换。
（2）$\displaystyle \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=0 \Rightarrow\left(a_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}=0 \Rightarrow a_{i j}^{\prime}=\left\{\begin{array}{l}a_{i j}=0, i \neq j ; \\ i \cdot \operatorname{tr}(A)=0, i=j . \Rightarrow \operatorname{tr}(A)=0 ;\end{array}\right.$ ；
$\displaystyle \therefore \operatorname{ker}(\sigma)$ 的维数是 $\displaystyle n-r$ 维，
基为：$\displaystyle \alpha_{1}=\operatorname{diag}(1,-1,0, \cdots, 0), \alpha_{2}=\operatorname{diag}(1,0,-1,0, \cdots, 0), \cdots, \alpha_{n-1}=\operatorname{diag}(1,0, \cdots, 0,-1)$ 。
（3）取 $\displaystyle M_{n}(\mathrm{k})$ 中的标准基（ $\displaystyle \mathrm{e}_{11}, \mathrm{e}_{12}, \cdots, \mathrm{e}_{\mathrm{nn}}$ ），
在这组基下的变换矩阵的特征值 $\displaystyle \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=\frac{n(n+1)}{2}$ ，
对应的特征子空间的维数分别为：$\displaystyle n^{2}-n, n-1,1$ ．
对应的特征子空间的分别为：
$\displaystyle <\mathrm{e}_{\mathrm{ij}}>_{\mathrm{i} \neq \mathrm{j}},<\mathrm{e}_{11}-\mathrm{e}_{22}, \mathrm{e}_{11}-\mathrm{e}_{33}, \cdots, \mathrm{e}_{11}-\mathrm{e}_{\mathrm{nn}}>,<\mathrm{e}_{11}+2 \mathrm{e}_{22}+\cdots+n \mathrm{e}_{\mathrm{nn}}>$ 。
证毕。
$\displaystyle \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\left(a_{i j}^{\prime}\right)_{n \times n}, \forall\left(a_{i j}\right)_{n \times n} \in M_{n}(k)$,
其中：$\displaystyle a_{i j}^{\prime}=\left\{\begin{array}{l}a_{i j}, i \neq j ; \\ i \cdot \operatorname{tr}(A), i=j .\end{array}\right.$
（1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle M_{n}(k)$ 上的线性变换；
（2）求出： $\displaystyle \operatorname{ker}(\sigma)$ 的维数与一组基；
（3）求出：$\displaystyle \sigma$ 的全部特征子空间．
证明：
（1）$\displaystyle \forall\left(a_{i j}\right)_{n \times n},\left(b_{i j}\right)_{n \times n} \in M_{n}(\mathrm{k}), \mathrm{k} \in K$ ，则
$\displaystyle \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}+\left(b_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\sigma\left(\left(\left(a_{i j}+b_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}\right)=\sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)+\sigma\left(\left(b_{i j}\right)_{n \times n}\right)\right.$ ；
$\displaystyle \sigma\left(k\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\sigma\left(\left(k a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\left(k a_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}=k\left(a_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}=k \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)$ ；
$\displaystyle \therefore \sigma$ 线性变换。
（2）$\displaystyle \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=0 \Rightarrow\left(a_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}=0 \Rightarrow a_{i j}^{\prime}=\left\{\begin{array}{l}a_{i j}=0, i \neq j ; \\ i \cdot \operatorname{tr}(A)=0, i=j . \Rightarrow \operatorname{tr}(A)=0 ;\end{array}\right.$ ；
$\displaystyle \therefore \operatorname{ker}(\sigma)$ 的维数是 $\displaystyle n-r$ 维，
基为：$\displaystyle \alpha_{1}=\operatorname{diag}(1,-1,0, \cdots, 0), \alpha_{2}=\operatorname{diag}(1,0,-1,0, \cdots, 0), \cdots, \alpha_{n-1}=\operatorname{diag}(1,0, \cdots, 0,-1)$ 。
（3）取 $\displaystyle M_{n}(\mathrm{k})$ 中的标准基（ $\displaystyle \mathrm{e}_{11}, \mathrm{e}_{12}, \cdots, \mathrm{e}_{\mathrm{nn}}$ ），
在这组基下的变换矩阵的特征值 $\displaystyle \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=\frac{n(n+1)}{2}$ ，
对应的特征子空间的维数分别为：$\displaystyle n^{2}-n, n-1,1$ ．
对应的特征子空间的分别为：
$\displaystyle <\mathrm{e}_{\mathrm{ij}}>_{\mathrm{i} \neq \mathrm{j}},<\mathrm{e}_{11}-\mathrm{e}_{22}, \mathrm{e}_{11}-\mathrm{e}_{33}, \cdots, \mathrm{e}_{11}-\mathrm{e}_{\mathrm{nn}}>,<\mathrm{e}_{11}+2 \mathrm{e}_{22}+\cdots+n \mathrm{e}_{\mathrm{nn}}>$ 。
证毕。
题20491南京大学真题
10．设 $\displaystyle a$ 是一个非零的 $\displaystyle n$ 维实列向量，$\displaystyle A=E_{n}-2 \frac{a a^{\prime}}{a^{\prime} a}$ ．则 $\displaystyle A$ 是正交矩阵并且 1 是 $\displaystyle A$ 的 $\displaystyle n-1$ 重特征值．
题20657武汉大学真题
6．（20 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & \cdots & 1 \\ \vdots & & \vdots \\ 1 & \cdots & 1\end{array}\right)$ 是 $\displaystyle n$ 阶矩阵，
（1）求 $\displaystyle A$ 的特征值和特征向量；
（2）求可逆矩阵 $\displaystyle P$ ，使 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角矩阵．
（1）求 $\displaystyle A$ 的特征值和特征向量；
（2）求可逆矩阵 $\displaystyle P$ ，使 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角矩阵．
题20965浙江大学真题
4．（题（1）为 $\displaystyle \mathbf{1 5}$ 分，题（2）为 $\displaystyle \mathbf{5}$ 分，共 $\displaystyle \mathbf{2 0}$ 分）
实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 b x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ 经正交线性替换 $\displaystyle \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}=P\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)^{T}$ 化为标准型 $\displaystyle y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2}$ 。
（1）求 $\displaystyle a, b$ 及正交矩阵 $\displaystyle P$ ；
（2）问二次型 $\displaystyle f$ 是正定的吗？为什么？
实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 b x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ 经正交线性替换 $\displaystyle \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}=P\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)^{T}$ 化为标准型 $\displaystyle y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2}$ 。
（1）求 $\displaystyle a, b$ 及正交矩阵 $\displaystyle P$ ；
（2）问二次型 $\displaystyle f$ 是正定的吗？为什么？