6．（12 分）设 $\displaystyle A$ 是数域 $\displaystyle K$ 上 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 上的一个线性变换．在 $\displaystyle K[x]$ 中，
$\displaystyle f(x)=f_{1}(x) f_{2}(x)$ ，且 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x)$ 互素．用 $\displaystyle \operatorname{KerA}$ 表示线性变换 $\displaystyle A$ 的核．证明：
$\displaystyle \operatorname{Kerf}(A)=\operatorname{Kerf}_{1}(A) \oplus \operatorname{Kerf}_{2}(A)$.

7．（14 分）设 $\displaystyle A$ 是数域 $\displaystyle K$ 上 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 上的一个线性变换，$\displaystyle I$ 是恒等变换．证明： $\displaystyle A^{2}=A$ 的充要条件是 $\displaystyle r(A)+r(A-I)=n$ ．

6．用 R 表示实数域，定义 $\displaystyle R^{n}$ 的映射 $\displaystyle f$ 如下：
$\displaystyle f(X)=\left|x_{1}\right|+\cdots+\left|x_{r}\right|-\left|x_{r+1}\right|-\cdots-\left|x_{r+s}\right|, \forall X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{T} \in R^{n}$ ，其中：$\displaystyle r \geq s \geq 0$ 。证明：
（1）存在的一个 $\displaystyle \mathrm{n}-\mathrm{r}$ 维子空间 W ，使得 $\displaystyle f(X)=0, \forall X \in W$ ；
（2）若 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 是 $\displaystyle R^{n}$ 的两个 $\displaystyle \mathrm{n}-\mathrm{r}$ 维子空间，且满足 $\displaystyle f(X)=0, \forall X \in W_{1} \cup W_{2}$ ，则一定有 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right) \geq n-(r+s)$.

证明：
（1）只需构造 $\displaystyle n-r$ 个线性无关的向量满足方程。

不妨设 $\displaystyle R^{n}=R^{r+s} \oplus R^{n-(r+s)}$ ，
在 $\displaystyle R^{r+s}$ 中存在一组由 s 个线性无关的向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{\mathrm{s}}$ 构成的子空间
满足方程，其中 $\displaystyle \alpha_{1}=(\underbrace{1,0, \cdots, 0}_{r}, \underbrace{1,0, \cdots, 0}_{s}, \underbrace{0, \cdots, 0}_{\mathrm{n}^{-(\mathrm{r}+\mathrm{s})}}), \cdots \alpha_{\mathrm{s}}=(\underbrace{\overbrace{0,0, \cdots 0}^{s}, 1}_{r}, 0, \cdots, 0, \underbrace{0,0, \cdots, 1}_{s}, \underbrace{0, \cdots, 0}_{\mathrm{n}^{-(\mathrm{r}+\mathrm{s})}})$ ，
在 $\displaystyle R^{n-(r+s)}$ 中存在一组由 $\displaystyle \mathrm{n}-(\mathrm{r}+\mathrm{s})$ 个线性无关的向量 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{\mathrm{n}^{-}(\mathrm{r}+\mathrm{s})}$ 构成的子空间
满足方程，其中 $\displaystyle \beta_{1}=(\underbrace{0, \cdots, 0}_{\mathrm{r}+\mathrm{s}}, \underbrace{1,0, \cdots, 0}_{n-(r+s)}), \cdots \beta_{\mathrm{n}-(\mathrm{r}+\mathrm{s})}=(\underbrace{0, \cdots, 0}_{\mathrm{r}+\mathrm{s}}, \underbrace{0,0, \cdots, 1}_{n-(r+s)})$ ，
$\displaystyle \therefore \exists n-r$ 维的子空间 $\displaystyle W=<\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{\mathrm{s}}>\oplus<\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{\mathrm{n}^{-(\mathrm{r}+\mathrm{s})}}>$
$\displaystyle =<\alpha_{1}, \quad \alpha_{2}, \cdots, \quad \alpha_{\mathrm{s}}, \quad \beta_{1}, \quad \beta_{2}, \cdots, \quad \beta_{\mathrm{n}^{-}(\mathrm{r}+\mathrm{s})}>$ 。
（2）依题意：$\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 满足方程 $\displaystyle f(X)=0$ ，
显然 $\displaystyle W_{1} \cap W_{2}$ 是 $\displaystyle \mathrm{R}^{\mathrm{n}}$ 的一个子空间也满足方程 $\displaystyle f(X)=0$ ，
所以只需证明满足方程 $\displaystyle f(X)=0$ 的最小子空间的维数为 $\displaystyle \mathrm{n}-(\mathrm{r}+\mathrm{s})$ 。

9．（20 分）设 $\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ 是向量空间 $\displaystyle V$ 的子空间，且有 $\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$（即 $\displaystyle V$ 是 $\displaystyle V_{1}$ 与 $\displaystyle V_{2}$ 的直和），若定义映射：

$$
\begin{aligned}
f_{1}: \alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2} & \mapsto \alpha_{1} \\
f_{2}: \alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2} & \mapsto \alpha_{2}
\end{aligned} \text {, 其中 } \alpha \in V, \alpha_{1} \in V_{1}, \alpha_{2} \in V_{2} \text {, }
$$


证明：（1）$\displaystyle f_{1}, f_{2}$ 是 $\displaystyle V$ 的线性变换；
（2）$\displaystyle f_{1}^{2}=f_{1}, \quad f_{2}^{2}=f_{2}$ ；
（3）$\displaystyle f_{1} f_{2}=f_{2} f_{1}=0$（零变换）；

$$
f_{1}+f_{2}=i d_{V} \text { ( } V \text { 的恒等变换). }
$$

6．（20分）设 $\displaystyle V$ 是 $\displaystyle n$ 维欧氏空间，内积记为 $\displaystyle (\alpha, \beta)$ ，又设 $\displaystyle T$ 是 $\displaystyle V$ 的一个正交变换，记 $\displaystyle V_{1}=\{\alpha \in V \mid T \alpha=\alpha\}, V_{2}=\{\alpha-T \alpha \mid \alpha \in V\}$ 。

证明：（1）$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 都是 $\displaystyle V$ 的子空间；（2）$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ 。

8．（16 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换且 $\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ 。令 $\displaystyle V_{1}=\sigma(V), V_{2}=\sigma^{-1}(0)$ 。证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ 且对每个 $\displaystyle \sigma \in V_{1}$ 有 $\displaystyle \sigma(a)=a$ 。

4．空间 $\displaystyle v$ 上的线性变换 $\displaystyle f$ ，可以找到子空间 $\displaystyle U, W$ ，使 $\displaystyle f$ 在 U 上为可逆线性变换，在 W 上为幂零线性变换，且 $\displaystyle v=u \oplus w$