5．（20分）设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n \times n$ 实方阵

$$
\left(\begin{array}{ccccc}
\lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda & 1 & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
\vdots & & \ddots & \ddots & 1 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda
\end{array}\right)
$$


而 $\displaystyle V$ 是所有与 $\displaystyle A$ 可交换的 $\displaystyle n \times n$ 实方阵全体，即 $\displaystyle V=\{B \mid B A=A B, B$ 为 $\displaystyle n \times n$ 实方阵 $\displaystyle \}$ 。
证明：（i）$\displaystyle V$ 是线性空间；（ii）$\displaystyle V$ 的维数 $\displaystyle \operatorname{dim} V=n$ 。

五、（10 分）设 $\displaystyle m(\lambda)$ 是数域 $\displaystyle P$ 上 $\displaystyle n$ 级方阵 $\displaystyle A$ 的最小多项式，$\displaystyle f(\lambda)$ 是数域 $\displaystyle P$ 上任一多项式．证明：$\displaystyle f(A)$ 可逆 $\displaystyle \Longleftrightarrow(m(\lambda), f(\lambda))=1$ ．

2005 南京大学高代解答 下页

八、（15 分）设 A 是三级正交矩阵并且 $\displaystyle |A|=1$ ，求证：
（1） 1 是 A 的一个特征值
（2） A 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)$ 可表示为 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}-a \lambda^{2}+a \lambda-1$ ，其中 a 是某个实数。
（3）若 A 的特征值全为实数并且 $\displaystyle |A+E| \neq 0$ ，则 A 的转置 $\displaystyle A^{\prime}=A^{2}-3 A+3 E$ ，其中 E 是 3 级单位矩阵。

证明：（1）$\displaystyle |E-A|=\left|A A^{\prime}-A\right|=|A|\left|A^{\prime}-E\right|=|A-E|=(-1)^{3}|E-A|=-|E-A|$ ，故 $\displaystyle |E-A|=0$ ，所以 1 是 A 的一个特征值；
（2）根据哈密尔顿一卡莱定理得到 A 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)$ 为 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}+a \lambda^{2}+b \lambda-1$ ，而根据（1）得出 $\displaystyle \lambda=1$ 是 $\displaystyle f(\lambda)=0$ 的解故解得 $\displaystyle a+b=0$ ，所以 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}-a \lambda^{2}+a \lambda-1$
（3）因为 A 是三级正交矩阵，故 $\displaystyle A A^{\prime}=A^{\prime} A=E$ 即 $\displaystyle |A|^{2}=1$ ，而 $\displaystyle |A+E| \neq 0$ 故 $\displaystyle \lambda=-1$不是 A 的特征值，所以 $\displaystyle \lambda=1,1$ 是 A 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)$ 的解，代入得到 $\displaystyle \mathrm{a}=3$ ，所以 A 的 特 征 多 项 式 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}-3 \lambda^{2}+3 \lambda-1$ ，即 $\displaystyle A^{3}-3 A^{2}+3 A-E=0 \Leftrightarrow A\left(A^{2}-3 A+3 E\right)=E$ ，所以 $\displaystyle A^{\prime}=A^{2}-3 A+3 E$ 。

2．（16 分）设 $\displaystyle A \in P^{n \times n}, f(x) \in P[x]$ 。已知 $\displaystyle f(A)$ 可逆。求证：存在 $\displaystyle g(x) \in A[x]$ 使 $\displaystyle (f(A))^{-1}=g(A)$ 。（注：P 是数域，$\displaystyle P^{r / x n}$ 表示元素在 $\displaystyle P$ 中的 $\displaystyle n$ 阶方阵的集合）

3．（16 分）设 $\displaystyle A, B \in P^{n \times n}$ ，求证：$\displaystyle (A B)^{*}=B^{*} A^{*}$ 。
证明：
（1）当 $\displaystyle |A B| \neq 0$ 时，这时有 $\displaystyle |A| \neq 0,|B| \neq 0$ ，由公式 $\displaystyle A^{*}=|A| A^{-1}$ ，可得

$$
(A B)^{*}=|A B|(A B)^{-1}=|B| B^{-1}|A| A^{-1}=B^{*} A^{*} \text { 。结论成立 }
$$

（2）当 $\displaystyle |A B|=0$ 时，考虑矩阵 $\displaystyle A(\lambda)=A-\lambda E, B(\lambda)=B-\lambda E$ ，由于 $\displaystyle A 、 B$ 都
最多只有有限个特征值，因此存在无穷多个 $\displaystyle \lambda$ ，使得 $\displaystyle |A(\lambda)| \neq 0,|B(\lambda)| \neq 0$
（1）
那么有上面（1）的结论有 $\displaystyle \quad(A(\lambda) B(\lambda))^{*}=(B(\lambda))^{*}(A(\lambda))^{*} \quad$（2）

令 $\displaystyle (A(\lambda) B(\lambda))^{*}=\left(f_{i j}(\lambda)\right)_{n \times n},(B(\lambda))^{*}(A(\lambda))^{*}=\left(g_{i j}(\lambda)\right)_{n \times n}$
由（2）式有 $\displaystyle f_{i j}(\lambda)=g_{i j}(\lambda)$

由于有无穷多个 $\displaystyle \lambda$ 使（1）式成立，从而有无穷多个 $\displaystyle \lambda$ 使（3）式成立，但 $\displaystyle f_{i j}(\lambda), g_{i j}(\lambda)$ 都是多项式，从而（3）式对一切 $\displaystyle \lambda$ 都成立。特别令 $\displaystyle \lambda=0$ ，有

$$
(A B)^{*}=(A(0) B(0))^{*}=B *(0) A *(0)=B * A * \text { 。证毕 }
$$

7．A 为对称阵，$\displaystyle A^{3}-6 A^{2}+11 A-6=0 \ldots \ldots . .(I)$
求 $\displaystyle \max _{A} \max _{\|x\|=1} \lambda_{1} x_{1}^{2}+\lambda_{2} x_{2}^{2}+\lambda_{3} x_{3}^{2}$（第一个极大值是对所有满足 I 的矩阵 A 取的）

8．$\displaystyle f(x)$ 为一多项式，$\displaystyle g(x)$ 是 A 的最小多项式，证明：$\displaystyle f(A)$ 可逆的充要条件是 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$