共 9 题
题20066中国科学院真题
五、设 $\displaystyle \alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)^{\prime}, \quad i=1,2, \ldots, m(\leq n)$ 为 $\displaystyle n$ 维欧氏空间中的 $\displaystyle m$ 个向量．又设 $\displaystyle P=\left(p_{i j}\right)_{1 \leq i, j \leq m}$ 其中 $\displaystyle p_{i j}=\sum_{k=1}^{n} a_{i k} a_{j k}$ 。试证明：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 为线性无关的，当且仅当 $\displaystyle P$ 为满秩．
证明：由已知条件，$\displaystyle \alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)^{\prime}, \quad i=1,2, \ldots, m(\leq n)$为 $\displaystyle n$ 维欧氏空间中的 $\displaystyle m$ 个向量。令 $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}\right)$ 为以 $\displaystyle \alpha_{i}(i=1,2, \ldots, m)$ 为列向量的矩阵，则 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 实矩阵，且 $\displaystyle P=A^{\prime} A$（ $\displaystyle A^{\prime}$ 表示 $\displaystyle A$ 的转置矩阵）。
又设 $\displaystyle B=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}, 0, \cdots, 0\right)=(A, O)$ 为 $\displaystyle n$ 阶方阵，则秩 $\displaystyle B=$ 秩 $\displaystyle A$ ，且
$$
B^{\prime} B=\binom{A^{\prime}}{O}\left(\begin{array}{ll}
A & O
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
A^{\prime} A & O \\
O & O
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
P & O \\
O & O
\end{array}\right) \text { 为 } n \text { 阶方阵, 从而 }
$$
秩 $\displaystyle B^{\prime} B=$ 秩 $\displaystyle P$ 。
以下证明秩 $\displaystyle B^{\prime} B=$ 秩 $\displaystyle B$ ．为此考虑齐次线性方程组
$$
\begin{array}{cc}
& B X=O \\
\text { 与 } & B^{\prime} B X=O \tag{2}
\end{array}
$$
令 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 分别表示（1）与（2）的解向量空间，则显然有 $\displaystyle W_{1} \subset W_{2}$ ．另一方面，注意到对任意 $\displaystyle n$ 维实（列）向量 $\displaystyle Y, Y^{\prime} Y=0 \Rightarrow Y=0$ ．我们有
$$
B^{\prime} B X=O \Rightarrow X^{\prime} B^{\prime} B X=O \Rightarrow(B X)^{\prime} B X=O \Rightarrow B X=O \text {. }
$$
所以又有 $\displaystyle W_{2} \subset W_{1}$ 。从而 $\displaystyle W_{1}=W_{2}$ ，维 $\displaystyle W_{1}=$ 维 $\displaystyle W_{2}$ 。
由线性方程组理论可知，秩 $\displaystyle B+$ 维 $\displaystyle W_{1}=n$ ，秩 $\displaystyle B^{\prime} B+$ 维 $\displaystyle W_{2}=n$ ，于是得 秩 $\displaystyle B^{\prime} B=$ 秩 $\displaystyle B$ ．
综上讨论，我们有 秩 $\displaystyle P=$ 秩 $\displaystyle B^{\prime} B=$ 秩 $\displaystyle B=$ 秩 $\displaystyle A$ ．
由此知，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关，当且仅当秩 $\displaystyle A=m$ ，当且仅当秩 $\displaystyle P=m$ ，当且仅当 $\displaystyle P$ 为满秩．
证明：由已知条件，$\displaystyle \alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)^{\prime}, \quad i=1,2, \ldots, m(\leq n)$为 $\displaystyle n$ 维欧氏空间中的 $\displaystyle m$ 个向量。令 $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}\right)$ 为以 $\displaystyle \alpha_{i}(i=1,2, \ldots, m)$ 为列向量的矩阵，则 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 实矩阵，且 $\displaystyle P=A^{\prime} A$（ $\displaystyle A^{\prime}$ 表示 $\displaystyle A$ 的转置矩阵）。
又设 $\displaystyle B=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}, 0, \cdots, 0\right)=(A, O)$ 为 $\displaystyle n$ 阶方阵，则秩 $\displaystyle B=$ 秩 $\displaystyle A$ ，且
$$
B^{\prime} B=\binom{A^{\prime}}{O}\left(\begin{array}{ll}
A & O
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
A^{\prime} A & O \\
O & O
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
P & O \\
O & O
\end{array}\right) \text { 为 } n \text { 阶方阵, 从而 }
$$
秩 $\displaystyle B^{\prime} B=$ 秩 $\displaystyle P$ 。
以下证明秩 $\displaystyle B^{\prime} B=$ 秩 $\displaystyle B$ ．为此考虑齐次线性方程组
$$
\begin{array}{cc}
& B X=O \\
\text { 与 } & B^{\prime} B X=O \tag{2}
\end{array}
$$
令 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 分别表示（1）与（2）的解向量空间，则显然有 $\displaystyle W_{1} \subset W_{2}$ ．另一方面，注意到对任意 $\displaystyle n$ 维实（列）向量 $\displaystyle Y, Y^{\prime} Y=0 \Rightarrow Y=0$ ．我们有
$$
B^{\prime} B X=O \Rightarrow X^{\prime} B^{\prime} B X=O \Rightarrow(B X)^{\prime} B X=O \Rightarrow B X=O \text {. }
$$
所以又有 $\displaystyle W_{2} \subset W_{1}$ 。从而 $\displaystyle W_{1}=W_{2}$ ，维 $\displaystyle W_{1}=$ 维 $\displaystyle W_{2}$ 。
由线性方程组理论可知，秩 $\displaystyle B+$ 维 $\displaystyle W_{1}=n$ ，秩 $\displaystyle B^{\prime} B+$ 维 $\displaystyle W_{2}=n$ ，于是得 秩 $\displaystyle B^{\prime} B=$ 秩 $\displaystyle B$ ．
综上讨论，我们有 秩 $\displaystyle P=$ 秩 $\displaystyle B^{\prime} B=$ 秩 $\displaystyle B=$ 秩 $\displaystyle A$ ．
由此知，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关，当且仅当秩 $\displaystyle A=m$ ，当且仅当秩 $\displaystyle P=m$ ，当且仅当 $\displaystyle P$ 为满秩．
题20116中国科学院真题
8．（20 分）设 $\displaystyle V$ 是 $\displaystyle n$ 维向量空间，$\displaystyle f, g$ 是 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle (f, g \in L(V)$ ），且 $\displaystyle f$ 有 $\displaystyle n$ 个互异的特征根．证明：$\displaystyle f g=g f$ 的充要条件是 $\displaystyle g$ 是 $\displaystyle f^{0}=I$（恒等变换），$\displaystyle f, f^{2}, \cdots, f^{n-1}$的线性组合。
题20148中国科学院真题
5 ．（18 分）若向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}(s>2)$ 线性无关，讨论 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{2}+\alpha_{3}, \cdots, \alpha_{s-1}+\alpha_{s}, \alpha_{s}+\alpha_{1}$ 线性相关性．
题20230北京大学真题
3．（12 分）设 $\displaystyle \omega$ 是复数域 $\displaystyle C$ 上的本原 $\displaystyle n$ 次单位根（即，$\displaystyle \omega^{n}=1$ ，而当 $\displaystyle 0<l<n$ 时， $\displaystyle \left.\omega^{l} \neq 1\right), s, b$ 都是正整数，而且 $\displaystyle s<n$ ．令
$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & \omega^{b} & \omega^{2 b} & \cdots & \omega^{(n-1) b} \\ 1 & \omega^{b+1} & \omega^{2(b+1)} & \cdots & \omega^{(n-1)(b+1)} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 1 & \omega^{b+s-1} & \omega^{2(b+s-1)} & \cdots & \omega^{(n-1)(b+s-1)}\end{array}\right)$
任取 $\displaystyle \beta \in C^{n}$ ，判断线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 有无解？有多少解？写出理由．
$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & \omega^{b} & \omega^{2 b} & \cdots & \omega^{(n-1) b} \\ 1 & \omega^{b+1} & \omega^{2(b+1)} & \cdots & \omega^{(n-1)(b+1)} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 1 & \omega^{b+s-1} & \omega^{2(b+s-1)} & \cdots & \omega^{(n-1)(b+s-1)}\end{array}\right)$
任取 $\displaystyle \beta \in C^{n}$ ，判断线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 有无解？有多少解？写出理由．
题20238北京大学真题
6．用 R 表示实数域，定义 $\displaystyle R^{n}$ 的映射 $\displaystyle f$ 如下：
$\displaystyle f(X)=\left|x_{1}\right|+\cdots+\left|x_{r}\right|-\left|x_{r+1}\right|-\cdots-\left|x_{r+s}\right|, \forall X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{T} \in R^{n}$ ，其中：$\displaystyle r \geq s \geq 0$ 。证明：
（1）存在的一个 $\displaystyle \mathrm{n}-\mathrm{r}$ 维子空间 W ，使得 $\displaystyle f(X)=0, \forall X \in W$ ；
（2）若 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 是 $\displaystyle R^{n}$ 的两个 $\displaystyle \mathrm{n}-\mathrm{r}$ 维子空间，且满足 $\displaystyle f(X)=0, \forall X \in W_{1} \cup W_{2}$ ，则一定有 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right) \geq n-(r+s)$.
证明：
（1）只需构造 $\displaystyle n-r$ 个线性无关的向量满足方程。
不妨设 $\displaystyle R^{n}=R^{r+s} \oplus R^{n-(r+s)}$ ，
在 $\displaystyle R^{r+s}$ 中存在一组由 s 个线性无关的向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{\mathrm{s}}$ 构成的子空间
满足方程，其中 $\displaystyle \alpha_{1}=(\underbrace{1,0, \cdots, 0}_{r}, \underbrace{1,0, \cdots, 0}_{s}, \underbrace{0, \cdots, 0}_{\mathrm{n}^{-(\mathrm{r}+\mathrm{s})}}), \cdots \alpha_{\mathrm{s}}=(\underbrace{\overbrace{0,0, \cdots 0}^{s}, 1}_{r}, 0, \cdots, 0, \underbrace{0,0, \cdots, 1}_{s}, \underbrace{0, \cdots, 0}_{\mathrm{n}^{-(\mathrm{r}+\mathrm{s})}})$ ，
在 $\displaystyle R^{n-(r+s)}$ 中存在一组由 $\displaystyle \mathrm{n}-(\mathrm{r}+\mathrm{s})$ 个线性无关的向量 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{\mathrm{n}^{-}(\mathrm{r}+\mathrm{s})}$ 构成的子空间
满足方程，其中 $\displaystyle \beta_{1}=(\underbrace{0, \cdots, 0}_{\mathrm{r}+\mathrm{s}}, \underbrace{1,0, \cdots, 0}_{n-(r+s)}), \cdots \beta_{\mathrm{n}-(\mathrm{r}+\mathrm{s})}=(\underbrace{0, \cdots, 0}_{\mathrm{r}+\mathrm{s}}, \underbrace{0,0, \cdots, 1}_{n-(r+s)})$ ，
$\displaystyle \therefore \exists n-r$ 维的子空间 $\displaystyle W=<\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{\mathrm{s}}>\oplus<\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{\mathrm{n}^{-(\mathrm{r}+\mathrm{s})}}>$
$\displaystyle =<\alpha_{1}, \quad \alpha_{2}, \cdots, \quad \alpha_{\mathrm{s}}, \quad \beta_{1}, \quad \beta_{2}, \cdots, \quad \beta_{\mathrm{n}^{-}(\mathrm{r}+\mathrm{s})}>$ 。
（2）依题意：$\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 满足方程 $\displaystyle f(X)=0$ ，
显然 $\displaystyle W_{1} \cap W_{2}$ 是 $\displaystyle \mathrm{R}^{\mathrm{n}}$ 的一个子空间也满足方程 $\displaystyle f(X)=0$ ，
所以只需证明满足方程 $\displaystyle f(X)=0$ 的最小子空间的维数为 $\displaystyle \mathrm{n}-(\mathrm{r}+\mathrm{s})$ 。
$\displaystyle f(X)=\left|x_{1}\right|+\cdots+\left|x_{r}\right|-\left|x_{r+1}\right|-\cdots-\left|x_{r+s}\right|, \forall X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{T} \in R^{n}$ ，其中：$\displaystyle r \geq s \geq 0$ 。证明：
（1）存在的一个 $\displaystyle \mathrm{n}-\mathrm{r}$ 维子空间 W ，使得 $\displaystyle f(X)=0, \forall X \in W$ ；
（2）若 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 是 $\displaystyle R^{n}$ 的两个 $\displaystyle \mathrm{n}-\mathrm{r}$ 维子空间，且满足 $\displaystyle f(X)=0, \forall X \in W_{1} \cup W_{2}$ ，则一定有 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right) \geq n-(r+s)$.
证明：
（1）只需构造 $\displaystyle n-r$ 个线性无关的向量满足方程。
不妨设 $\displaystyle R^{n}=R^{r+s} \oplus R^{n-(r+s)}$ ，
在 $\displaystyle R^{r+s}$ 中存在一组由 s 个线性无关的向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{\mathrm{s}}$ 构成的子空间
满足方程，其中 $\displaystyle \alpha_{1}=(\underbrace{1,0, \cdots, 0}_{r}, \underbrace{1,0, \cdots, 0}_{s}, \underbrace{0, \cdots, 0}_{\mathrm{n}^{-(\mathrm{r}+\mathrm{s})}}), \cdots \alpha_{\mathrm{s}}=(\underbrace{\overbrace{0,0, \cdots 0}^{s}, 1}_{r}, 0, \cdots, 0, \underbrace{0,0, \cdots, 1}_{s}, \underbrace{0, \cdots, 0}_{\mathrm{n}^{-(\mathrm{r}+\mathrm{s})}})$ ，
在 $\displaystyle R^{n-(r+s)}$ 中存在一组由 $\displaystyle \mathrm{n}-(\mathrm{r}+\mathrm{s})$ 个线性无关的向量 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{\mathrm{n}^{-}(\mathrm{r}+\mathrm{s})}$ 构成的子空间
满足方程，其中 $\displaystyle \beta_{1}=(\underbrace{0, \cdots, 0}_{\mathrm{r}+\mathrm{s}}, \underbrace{1,0, \cdots, 0}_{n-(r+s)}), \cdots \beta_{\mathrm{n}-(\mathrm{r}+\mathrm{s})}=(\underbrace{0, \cdots, 0}_{\mathrm{r}+\mathrm{s}}, \underbrace{0,0, \cdots, 1}_{n-(r+s)})$ ，
$\displaystyle \therefore \exists n-r$ 维的子空间 $\displaystyle W=<\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{\mathrm{s}}>\oplus<\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{\mathrm{n}^{-(\mathrm{r}+\mathrm{s})}}>$
$\displaystyle =<\alpha_{1}, \quad \alpha_{2}, \cdots, \quad \alpha_{\mathrm{s}}, \quad \beta_{1}, \quad \beta_{2}, \cdots, \quad \beta_{\mathrm{n}^{-}(\mathrm{r}+\mathrm{s})}>$ 。
（2）依题意：$\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 满足方程 $\displaystyle f(X)=0$ ，
显然 $\displaystyle W_{1} \cap W_{2}$ 是 $\displaystyle \mathrm{R}^{\mathrm{n}}$ 的一个子空间也满足方程 $\displaystyle f(X)=0$ ，
所以只需证明满足方程 $\displaystyle f(X)=0$ 的最小子空间的维数为 $\displaystyle \mathrm{n}-(\mathrm{r}+\mathrm{s})$ 。
题20474南京大学真题
10．设 A 是 n 维线性空间 V 上的线性变换，$\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2} \ldots \ldots \varepsilon_{\mathrm{n}}$ 是 V 的一组基，如果 A是单射，则 $\displaystyle A\left(\varepsilon_{1}\right), A\left(\varepsilon_{2}\right) \ldots \ldots A\left(\varepsilon_{n}\right)$ 也是 V 的一组基。
解答：错误，基的条件是要它们线性无关，而由 A 是单射并不能保证 $\displaystyle A\left(\varepsilon_{1}\right), A\left(\varepsilon_{2}\right) \ldots \ldots A\left(\varepsilon_{n}\right)$ 线性无关。
解答：错误，基的条件是要它们线性无关，而由 A 是单射并不能保证 $\displaystyle A\left(\varepsilon_{1}\right), A\left(\varepsilon_{2}\right) \ldots \ldots A\left(\varepsilon_{n}\right)$ 线性无关。
题20723武汉大学真题
9．设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n$ 阶方阵，证明：如果 $\displaystyle r(A)+r(A-E)=n$ ，则 $\displaystyle A$ 可对角化．（20 分）
题20946浙江大学真题
3．（20分）设 $\displaystyle V$ 是数域 $\displaystyle P$ 上 $\displaystyle n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} \in V$ ， $\displaystyle W=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)$ ，又有 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2} \in W$ 且 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 线性无关。求证：可用 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 替换 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 中的两个向量 $\displaystyle \alpha_{i 1}, \alpha_{i 2}$ ，使得剩下的两个向量 $\displaystyle \alpha_{i 3}, \alpha_{i 4}$ 与 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 仍然生成子空间 $\displaystyle W$ ，也即 $\displaystyle W=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \alpha_{i 3}, \alpha_{i 4}\right)$ 。
题20994浙江大学真题
7．（20 分）（1）在 $\displaystyle R^{2}$ 中内积定义为 $\displaystyle \langle x, y\rangle=4 x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}$（其中 $\displaystyle \left.x=\left(x_{1}, x_{2}\right), y=\left(y_{1}, y_{2}\right)^{T} \in R^{2}\right)$ ，令 $\displaystyle S=\{x:\|x\|=1\},\| \|$ 表示向量的长度，说明 $\displaystyle S$ 是什么形状的图形，并画出草图．
（2）令 $\displaystyle W=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]: 2 a-b+3 c+d=0, a, b, c, d \in R\right\}$ 。证明 $\displaystyle W$ 关于矩阵的加法和数乘成为 $\displaystyle R$ 上的线性空间，并求出 $\displaystyle W$ 的一组基．
（2）令 $\displaystyle W=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]: 2 a-b+3 c+d=0, a, b, c, d \in R\right\}$ 。证明 $\displaystyle W$ 关于矩阵的加法和数乘成为 $\displaystyle R$ 上的线性空间，并求出 $\displaystyle W$ 的一组基．