3．（20分）（i）求矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{llll}
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$$


的 Jordan 标准形，并计算 $\displaystyle e^{A}$（注：按通常定义 $\displaystyle e^{A}=I+A+\frac{A^{2}}{2!}+\frac{A^{3}}{3!} \cdots$ ）；
（ii）设

$$
B=\left(\begin{array}{ccc}
4 & 4.5 & -1 \\
-3 & -3.5 & 1 \\
-2 & -3 & 1.5
\end{array}\right),
$$


求 $\displaystyle B^{2005}$（精确到小数点后 4 位）．

3．设 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 是复数域上线性空间 $\displaystyle V$ 的一个线性变换，则在 $\displaystyle V$ 中必存在一组基，使 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 在这组基下的矩阵是－－－－－－－矩阵。
（A）单位；
（B）对角；
（C）Jordan（若尔当）；
（D）正交．

八．（15 分）设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶矩阵，$\displaystyle \lambda_{0}$ 是 $\displaystyle A$ 的 $\displaystyle n$ 重特征值， $\displaystyle \operatorname{rank}\left(\lambda_{0} E-A\right)=n-1$ ．
（1）求使 $\displaystyle \left(\lambda_{0} E-A\right)^{m}=0$ 的最小正整数 $\displaystyle m$ ；
（2）证明：$\displaystyle \left(\lambda_{0} E-A\right)^{n-1}$ 必有一个列向量是 $\displaystyle A$ 的属于 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的特征向量．

七．解（1）易知 $\displaystyle A$ 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)=|\lambda E-A|=(\lambda-1)\left(\lambda^{2}-6 \lambda+8-3 a\right)$ ．
若 $\displaystyle \lambda=1$ 是 $\displaystyle f(\lambda)$ 的二重根，则 $\displaystyle \lambda=1$ 是 $\displaystyle \lambda^{2}-6 \lambda+8-3 a$ 的零点，即 $\displaystyle 1^{2}-6+8-3 a=0$ ，解得 $\displaystyle a=1$ 。此时，对 $\displaystyle \lambda E-A$ 作初等变换化为正规形

$$
\lambda E-A=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda-1 & -5 & -5 \\
0 & \lambda-4 & -3 \\
0 & -1 & \lambda-2
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{lll}
1 & & \\
& \lambda-1 & \\
& & (\lambda-1)(\lambda-5)
\end{array}\right)
$$


所以，$\displaystyle A$ 的最小多项式 $\displaystyle m(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-5)$ ．又 $\displaystyle A$ 的初等因子组为 $\displaystyle \lambda-1, \lambda-1, \lambda-5$ ，故 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形为对角阵 $\displaystyle J_{1}=\operatorname{diag}(1,1,5)$ 。

若 $\displaystyle \lambda=1$ 不是 $\displaystyle f(\lambda)$ 的二重根，则 $\displaystyle \lambda^{2}-6 \lambda+8-3 a$ 为完全平方，从而 $\displaystyle 8-3 a=9$ ，解得 $\displaystyle a=-\frac{1}{3}$ ，此时，对 $\displaystyle \lambda E-A$ 作初等变换化为正规形

$$
\lambda E-A=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda-1 & -5 & -5 \\
0 & \lambda-4 & -3 \\
0 & \frac{1}{3} & \lambda-2
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{lll}
1 & & \\
& 1 & \\
& & (\lambda-1)(\lambda-3)^{2}
\end{array}\right)
$$


所以，$\displaystyle A$ 的最小多项式 $\displaystyle m(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-3)^{2}$ ．又 $\displaystyle A$ 的初等因子组为 $\displaystyle \lambda-1,(\lambda-3)^{2}$ ，故 $\displaystyle A$的 Jordan 标准形为

$$
J_{2}=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right)
$$

（2）根据上面解答可知，$\displaystyle A$ 相似于对角矩阵的充分必要条件是 $\displaystyle a=1$ ． \(\square\)

4．（20分）设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n$ 阶复矩阵，若存在正整数 $\displaystyle n$ 使得 $\displaystyle A^{n}=0$ ，则称 $\displaystyle A$ 为幂零矩阵。求证：
（1）$\displaystyle A$ 为幂零矩阵的充要条件是 $\displaystyle A$ 的特征值全为零；
（2）设 $\displaystyle A$ 不可逆，也不是幂零矩阵，那么存在 $\displaystyle n$ 阶可逆矩阵 $\displaystyle P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=\left(\begin{array}{cc}B & 0 \\ 0 & C\end{array}\right)$ ，其中是 $\displaystyle B$ 幂零矩阵，$\displaystyle C$ 是可逆矩阵。

6．（16 分）设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶复矩阵，且存在正整数 $\displaystyle m$ 使得 $\displaystyle A^{m}=E$（这里 $\displaystyle E$ 是 $\displaystyle n$ 阶单位阵）。证明：$\displaystyle A$ 与对角矩阵相似。

六、（ 15 分）矩阵 $\displaystyle A$ 为幕零矩阵（幂零矩阵是指存在正整数 $\displaystyle m$ ，使得 $\displaystyle \left.A^{m}=O\right), E$ 为单位矩阵，$\displaystyle B$ 为实可逆矩阵。
（1）证明 $\displaystyle |A+E|=1$ ．
（2）若 $\displaystyle A B=B A$ ，证明 $\displaystyle |A+B|=|B|$ ．

八、（ 15 分）矩阵 $\displaystyle A$ 为秩为 $\displaystyle r$ 的 $\displaystyle n$ 阶幕零矩阵，证明 $\displaystyle A^{r+1}=O$ ．
九、 $\displaystyle \left(15\right.$ 分）$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 0\end{array}\right)$ ．
求正交矩阵 $\displaystyle P$ ，使 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角型．

9． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} A^{n}=0 \Leftrightarrow A$ 的所有特征值 $\displaystyle |\lambda|<1$