习题9-6

1．设 $\boldsymbol{f}(t)=f_{1}(t) \boldsymbol{i}+f_{2}(t) \boldsymbol{j}+f_{3}(t) \boldsymbol{k}, \boldsymbol{g}(t)=g_{1}(t) \boldsymbol{i}+g_{2}(t) \boldsymbol{j}+g_{3}(t) \boldsymbol{k}, \displaystyle{\lim} _{t \rightarrow t_{0}} \boldsymbol{f}(t)=\boldsymbol{u}, \displaystyle{\lim} _{t \rightarrow t_{0}} \boldsymbol{g}(t)=\boldsymbol{v}$ ，证明 $$ \displaystyle{\lim} _{t \rightarrow t_{0}}[f(t) \times g(t)]=u \times v . $$

10．求椭球面 $x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=1$ 上平行于平面 $x-y+2 z=0$ 的切平面方程．

11．设曲面 $3 x^{2}+y^{2}-z^{2}=27$ 的切平面通过直线 $L:\left\{\begin{array}{l}10 x+2 y-2 z=27, \\ x+y-z=0 .\end{array}\right.$ 求此切平面的方程．

12．设 $L$ 是曲面 $\Sigma: z=y^{2}+x^{3} y$ 上一条曲线的切线，切点为 $P(2,1,9), L$ 在 $x O y$ 面上的投影平行于 $x$ 轴，求切线 $L$ 的参数方程．

13．求旋转椭球面 $3 x^{2}+y^{2}+z^{2}=16$ 上点 $(-1,-2,3)$ 处的切平面与 $x O y$ 面的夹角的余弦．

14．试证曲面 $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{a} \quad(a\gt 0)$ 上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于 $a$ ．

15．设 $\boldsymbol{u}(t), \boldsymbol{v}(t)$ 是可导的向量值函数，证明： （1）$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\boldsymbol{u}(t) \pm \boldsymbol{v}(t)]=\boldsymbol{u}^{\prime}(t) \pm \boldsymbol{v}^{\prime}(t)$ ； （2）$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\boldsymbol{u}(t) \cdot \boldsymbol{v}(t)]=\boldsymbol{u}^{\prime}(t) \cdot \boldsymbol{v}(t)+\boldsymbol{u}(t) \cdot \boldsymbol{v}^{\prime}(t)$ ； （3）$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\boldsymbol{u}(t) \times \boldsymbol{v}(t)]=\boldsymbol{u}^{\prime}(t) \times \boldsymbol{v}(t)+\boldsymbol{u}(t) \times \boldsymbol{v}^{\prime}(t)$ ．

2．下列各题中，$r=f(t)$ 是空间中的质点 $M$ 在时刻 $t$ 的位置，求质点 $M$ 在时刻 $t_{0}$ 的速度向量和加速度向量以及在任意时刻 $t$ 的速率： （1）$r=f(t)=(t+1) i+\left(t^{2}-1\right) j+2 t k, t_{0}=1$ ； （2）$r=f(t)=(2 \cos t) i+(3 \sin t) j+4 t k, t_{0}=\frac{\pi}{2}$ ； （3）$r=f(t)=(2 \ln (t+1)) i+t^{2} j+\frac{1}{2} t^{2} k, t_{0}=1$ ．

3．求曲线 $r=f(t)=(t-\sin t) i+(1-\cos t) j+\left(4 \sin \frac{t}{2}\right) k$ 在与 $t_{0}=\frac{\pi}{2}$ 相应的点处的切线及法平面方程．

4．求曲线 $x=\frac{t}{1+t}, y=\frac{1+t}{t}, z=t^{2}$ 在对应于 $t_{0}=1$ 的点处的切线及法平面方程．

5．求曲线 $y^{2}=2 m x, z^{2}=m-x$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的切线及法平面方程．

6．求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}-3 x=0, \\ 2 x-3 y+5 z-4=0\end{array}\right.$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切线及法平面方程．

7．求出曲线 $x=t, y=t^{2}, z=t^{3}$ 上的点，使在该点的切线平行于平面 $x+2 y+z=4$ ．

8．求曲面 $\mathrm{e}^{z}-z+x y=3$ 在点 $(2,1,0)$ 处的切平面及法线方程．

9．求曲面 $a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}=1$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的切平面及法线方程．