共 8 题
题20059中国科学院真题
三．（12 分）
设 A 是数域 $\displaystyle F$ 上的 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换。记 $\displaystyle V_{1}=\bigcup_{i=0}^{\infty} K e r \mathrm{~A}^{i}, V_{2}=\bigcap_{i=0}^{\infty} \operatorname{Im} \mathrm{A}^{i}$ ，证明：
（1）$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是 A 的不变子空间；
（2）$\displaystyle V=V_{1}+V_{2}$
设 A 是数域 $\displaystyle F$ 上的 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换。记 $\displaystyle V_{1}=\bigcup_{i=0}^{\infty} K e r \mathrm{~A}^{i}, V_{2}=\bigcap_{i=0}^{\infty} \operatorname{Im} \mathrm{A}^{i}$ ，证明：
（1）$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是 A 的不变子空间；
（2）$\displaystyle V=V_{1}+V_{2}$
题20088中国科学院真题
6．（20 分）给定 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上二维线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换 $\displaystyle A$ 。 $\displaystyle A$ 在一组基下的矩阵表示为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1-a & 0\end{array}\right), a \neq 0$ ，求 $\displaystyle A$ 的不变子空间．
题20177中国科学院真题
六、（15 分）设 $\displaystyle \underline{A}$ 是 $\displaystyle n$ 维实线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换，$\displaystyle n \geq 1$ ．求证：$\displaystyle \underline{A}$ 至少有一个维数为 1 或 2 的不变子空间。
证明：若 $\displaystyle \underline{A}$ 有实特征值 $\displaystyle \lambda$ ，并设 $\displaystyle \underline{A} \alpha=\lambda \alpha$ 且 $\displaystyle \alpha \neq 0$ ，则 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{R}^{n}$ ，且 $\displaystyle L(\alpha)$ 是 $\displaystyle \underline{A}$的一个一维不变子空间；
若 $\displaystyle \underline{A}$ 无实特征值，由于 $\displaystyle \underline{A}$ 是 $\displaystyle n$ 维实线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换，则 $\displaystyle \underline{A}$ 的虚特征值必以共轭对出现，不妨设 $\displaystyle \lambda, \bar{\lambda}$ 是 $\displaystyle \underline{A}$ 的一对虚特征值，并设 $\displaystyle \underline{A} \alpha=\lambda \alpha$ 且 $\displaystyle \alpha \neq 0$ ，则 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{C}^{n}, \alpha \notin \mathbb{R}^{n}, \underline{A} \bar{\alpha}=\bar{\lambda} \bar{\alpha}$ ，可设 $\displaystyle \lambda=a+i b, \alpha=\alpha_{1}+i \alpha_{2}$ ，其中，$\displaystyle a, b \in \mathbb{R}, b \neq 0, \alpha_{1}, \alpha_{2} \in \mathbb{R}^{n}, \alpha_{2} \neq 0$ ，那么
$$
\begin{aligned}
& \underline{A} \alpha_{1}+i \underline{A} \alpha_{2}=\underline{A} \alpha=(a+i b)\left(\alpha_{1}+i \alpha_{2}\right)=\left(a \alpha_{1}-b \alpha_{2}\right)+i\left(a \alpha_{2}+b \alpha_{1}\right) \\
& \underline{A} \alpha_{1}-i \underline{A} \alpha_{2}=\underline{A} \bar{\alpha}=(a-i b)\left(\alpha_{1}-i \alpha_{2}\right)=\left(a \alpha_{1}-b \alpha_{2}\right)-i\left(a \alpha_{2}+b \alpha_{1}\right)
\end{aligned}
$$
所以，$\displaystyle \underline{A} \alpha_{1}=a \alpha_{1}-b \alpha_{2}, \underline{A} \alpha_{2}=a \alpha_{2}+b \alpha_{1}$ ，
故 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)$ 是 $\displaystyle \underline{A}$ 的一个二维不变子空间．
综上可得，$\displaystyle \underline{A}$ 至少有一个维数为 1 或 2 的不变子空间。
证明：若 $\displaystyle \underline{A}$ 有实特征值 $\displaystyle \lambda$ ，并设 $\displaystyle \underline{A} \alpha=\lambda \alpha$ 且 $\displaystyle \alpha \neq 0$ ，则 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{R}^{n}$ ，且 $\displaystyle L(\alpha)$ 是 $\displaystyle \underline{A}$的一个一维不变子空间；
若 $\displaystyle \underline{A}$ 无实特征值，由于 $\displaystyle \underline{A}$ 是 $\displaystyle n$ 维实线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换，则 $\displaystyle \underline{A}$ 的虚特征值必以共轭对出现，不妨设 $\displaystyle \lambda, \bar{\lambda}$ 是 $\displaystyle \underline{A}$ 的一对虚特征值，并设 $\displaystyle \underline{A} \alpha=\lambda \alpha$ 且 $\displaystyle \alpha \neq 0$ ，则 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{C}^{n}, \alpha \notin \mathbb{R}^{n}, \underline{A} \bar{\alpha}=\bar{\lambda} \bar{\alpha}$ ，可设 $\displaystyle \lambda=a+i b, \alpha=\alpha_{1}+i \alpha_{2}$ ，其中，$\displaystyle a, b \in \mathbb{R}, b \neq 0, \alpha_{1}, \alpha_{2} \in \mathbb{R}^{n}, \alpha_{2} \neq 0$ ，那么
$$
\begin{aligned}
& \underline{A} \alpha_{1}+i \underline{A} \alpha_{2}=\underline{A} \alpha=(a+i b)\left(\alpha_{1}+i \alpha_{2}\right)=\left(a \alpha_{1}-b \alpha_{2}\right)+i\left(a \alpha_{2}+b \alpha_{1}\right) \\
& \underline{A} \alpha_{1}-i \underline{A} \alpha_{2}=\underline{A} \bar{\alpha}=(a-i b)\left(\alpha_{1}-i \alpha_{2}\right)=\left(a \alpha_{1}-b \alpha_{2}\right)-i\left(a \alpha_{2}+b \alpha_{1}\right)
\end{aligned}
$$
所以，$\displaystyle \underline{A} \alpha_{1}=a \alpha_{1}-b \alpha_{2}, \underline{A} \alpha_{2}=a \alpha_{2}+b \alpha_{1}$ ，
故 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)$ 是 $\displaystyle \underline{A}$ 的一个二维不变子空间．
综上可得，$\displaystyle \underline{A}$ 至少有一个维数为 1 或 2 的不变子空间。
题20212云南大学真题
5．设 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 是数域 $\displaystyle P$ 上线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换，$\displaystyle W$ 是 $\displaystyle V$ 的子空间，如果对于 $\displaystyle W$ 中任意向量 $\displaystyle \xi$ 有 $\displaystyle \boldsymbol{A} \xi \in W$ ，则称 $\displaystyle W$ 是 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 的－－－－－－－子空间．
（A）非平凡；
（B）不变；
（C）核；
（D）零．
（A）非平凡；
（B）不变；
（C）核；
（D）零．
题20722武汉大学真题
8．设 $\displaystyle V$ 是复数域上的 $\displaystyle n$ 维线性空间，$\displaystyle f, g$ 是 $\displaystyle V$ 的线性变换，且 $\displaystyle f g=g f$ ，证明：
（1）如果 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle f$ 的特征值，那么 $\displaystyle V_{\lambda}$（ $\displaystyle \lambda$ 的特征子空间）是 $\displaystyle g$ 的不变子空间；（8分）
（2）$\displaystyle f, g$ 至少有一个公共的特征向量．（7 分）
（1）如果 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle f$ 的特征值，那么 $\displaystyle V_{\lambda}$（ $\displaystyle \lambda$ 的特征子空间）是 $\displaystyle g$ 的不变子空间；（8分）
（2）$\displaystyle f, g$ 至少有一个公共的特征向量．（7 分）
题20806武汉大学真题
八、（15 分）设 $\displaystyle V$ 是复数域上的 $\displaystyle n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma, \tau$ 是 $\displaystyle V$ 的线性变换，且 $\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$ ．证明：
（1）$\displaystyle \sigma$ 的核 $\displaystyle \sigma^{-1}(\mathbf{0})$ 是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间；
（2）$\displaystyle \sigma$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的特征子空间 $\displaystyle V_{\lambda_{0}}$ 是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间；
（3）$\displaystyle \sigma, \tau$ 至少有一个公共的特征向量．
（1）$\displaystyle \sigma$ 的核 $\displaystyle \sigma^{-1}(\mathbf{0})$ 是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间；
（2）$\displaystyle \sigma$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的特征子空间 $\displaystyle V_{\lambda_{0}}$ 是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间；
（3）$\displaystyle \sigma, \tau$ 至少有一个公共的特征向量．
题20906浙江大学真题
四、（20分）设 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换 $\displaystyle A$ 有 $\displaystyle n$ 个互异的特征值，线性变换 $\displaystyle B$与 $\displaystyle A$ 可交换的充要条件是 $\displaystyle B$ 是 $\displaystyle E, A, A^{2}, \cdots, A^{n-1}$ 的线性组合，其中 $\displaystyle E$ 为恒等变换．五、（ 10 分）证明：$\displaystyle n$ 阶幂零指数为 $\displaystyle n-1$ 的矩阵都相似。
$$
\text { (若 } A^{n-1}=0, \quad A^{n-2} \neq 0 \text { 而称 } A \text { 的幂零指数为 } n-1 \text { ) }
$$
$$
\text { (若 } A^{n-1}=0, \quad A^{n-2} \neq 0 \text { 而称 } A \text { 的幂零指数为 } n-1 \text { ) }
$$
题20933浙江大学真题
七、（8 分）设 $\displaystyle A, B$ 是 $\displaystyle n$ 级复矩阵，且 $\displaystyle A B=B A$ 。求证：存在一个 $\displaystyle n$ 级可逆矩阵 $\displaystyle P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 与 $\displaystyle P^{-1} B P$ 都是上三角矩阵。