三．（12 分）

设 A 是数域 $\displaystyle F$ 上的 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换。记 $\displaystyle V_{1}=\bigcup_{i=0}^{\infty} K e r \mathrm{~A}^{i}, V_{2}=\bigcap_{i=0}^{\infty} \operatorname{Im} \mathrm{A}^{i}$ ，证明：
（1）$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是 A 的不变子空间；
（2）$\displaystyle V=V_{1}+V_{2}$

七．（10分）
设 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 是 4 维线性空间 $\displaystyle V$ 的一组基，已知线性变换 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 在这组基下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 5 \\ 2 & -2 & 1 & -2\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 的核及值域。

6．（12 分）设 $\displaystyle A$ 是数域 $\displaystyle K$ 上 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 上的一个线性变换．在 $\displaystyle K[x]$ 中，
$\displaystyle f(x)=f_{1}(x) f_{2}(x)$ ，且 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x)$ 互素．用 $\displaystyle \operatorname{KerA}$ 表示线性变换 $\displaystyle A$ 的核．证明：
$\displaystyle \operatorname{Kerf}(A)=\operatorname{Kerf}_{1}(A) \oplus \operatorname{Kerf}_{2}(A)$.

7．（14 分）设 $\displaystyle A$ 是数域 $\displaystyle K$ 上 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 上的一个线性变换，$\displaystyle I$ 是恒等变换．证明： $\displaystyle A^{2}=A$ 的充要条件是 $\displaystyle r(A)+r(A-I)=n$ ．

5．设 $\displaystyle V$ 为数域 $\displaystyle P$ 上的有限维线性空间，$\displaystyle A, B, C$ 都是 $\displaystyle V$ 上的线性变换，并且 $\displaystyle \mathcal{A}$ 不是零变换．如果 $\displaystyle \mathcal{A B}=\mathcal{A C}$ ，则 $\displaystyle B=\mathcal{C}$ ．

八、（15 分）设 $\displaystyle V$ 是复数域上的 $\displaystyle n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma, \tau$ 是 $\displaystyle V$ 的线性变换，且 $\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$ ．证明：
（1）$\displaystyle \sigma$ 的核 $\displaystyle \sigma^{-1}(\mathbf{0})$ 是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间；
（2）$\displaystyle \sigma$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的特征子空间 $\displaystyle V_{\lambda_{0}}$ 是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间；
（3）$\displaystyle \sigma, \tau$ 至少有一个公共的特征向量．

六、（20分）设 $\displaystyle A, B$ 是 $\displaystyle n$ 维欧氏空间 $\displaystyle V$ 的线性变换。对任意 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，都有 $\displaystyle (A(\alpha), \beta)=(\alpha, B(\beta))$ 。证明：$\displaystyle A$ 的核等于 $\displaystyle B$ 的值域的正交补．

九、（6 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换，$\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle V$ 的某组基下的矩阵是 $\displaystyle A$ ，用 $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma$ 表示 $\displaystyle \sigma$ 的核，$\displaystyle \sigma(V)$ 表示 $\displaystyle \sigma$ 的值域。求证：秩 $\displaystyle \left(A^{2}\right)=$ 秩 $\displaystyle (A)$ 的充要条件是 $\displaystyle V=\sigma(V) \oplus \operatorname{Ker} \sigma$