4．（18 分）
（1）设

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
-2 & 3 & -1
\end{array}\right)
$$

a．若把 $\displaystyle A$ 看成有理数域上的矩阵，判断 $\displaystyle A$ 是否可对角化，写出理由．
$\displaystyle b$ ．若把 $\displaystyle A$ 看成复数域上的矩阵，判断 $\displaystyle A$ 是否可对角化，写出理由．
（2）设 $\displaystyle A$ 是有理数域上的 $\displaystyle n$ 阶对称矩阵，并且在有理数域上 $\displaystyle A$ 合同与单位矩阵 $\displaystyle I$ 。用 $\displaystyle \delta$ 表示元素全为 1 的列向量，$\displaystyle b$ 是有理数．证明：在有理数域上

$$
\left(\begin{array}{cc}
A & b \delta \\
b \delta^{T} & b
\end{array}\right) \simeq\left(\begin{array}{cc}
I & 0 \\
0 & b-b^{2} \delta^{T} A^{-1} \delta
\end{array}\right) .
$$

6、设 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的最小多项式与特征多项式相同。求证：$\displaystyle \exists \alpha \in V$ ，使得 $\displaystyle \alpha, A \alpha, A^{2} \alpha, \cdots, A^{n-1} \alpha$ 为 $\displaystyle V$ 的一个基．

【解】据题设，设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的最小多项式与特征多项式同为

$$
d_{n}(\lambda)=\lambda^{n}+b_{n-1} \lambda^{n-1}+\cdots+b_{1} \lambda+b_{0},
$$


则 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的前 $\displaystyle n-1$ 个不变因子为 $\displaystyle 1,1, \cdots, 1$ ，第 $\displaystyle n$ 个不变因子为 $\displaystyle d_{n}(\lambda)$ 。容易知道，矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & & & & -b_{0} \\
1 & \ddots & & & -b_{1} \\
& \ddots & \ddots & & \vdots \\
& & \ddots & 0 & -b_{n-2} \\
& & & 1 & -b_{n-1}
\end{array}\right)
$$


的不变因子也为 $\displaystyle 1,1, \cdots, 1, d_{n}(\lambda)$ ，所以存在 $\displaystyle V$ 的一个基 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}$ ，使得 $\displaystyle \mathbf{A}$ 在这个基下的矩阵为 $\displaystyle A$ ，即

$$
\mathbf{A}\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right)=\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right) A
$$


现在令 $\displaystyle \alpha=\xi_{1} \in V$ ，则 $\displaystyle A \alpha=\xi_{2}, A^{2} \alpha=\xi_{3}, \cdots, A^{n-1} \alpha=\xi_{n}$ ，因此 $\displaystyle \alpha, A \alpha, A^{2} \alpha, \cdots, A^{n-1} \alpha$

为 $\displaystyle V$ 的一个基．

五、（10 分）设 $\displaystyle m(\lambda)$ 是数域 $\displaystyle P$ 上 $\displaystyle n$ 级方阵 $\displaystyle A$ 的最小多项式，$\displaystyle f(\lambda)$ 是数域 $\displaystyle P$ 上任一多项式．证明：$\displaystyle f(A)$ 可逆 $\displaystyle \Longleftrightarrow(m(\lambda), f(\lambda))=1$ ．

2005 南京大学高代解答 下页

7．（求矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \cdots & 1\end{array}\right)$（即 $\displaystyle A$ 中的每个元素都为 1 ）的最小多项式。（15 分）

七．解（1）易知 $\displaystyle A$ 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)=|\lambda E-A|=(\lambda-1)\left(\lambda^{2}-6 \lambda+8-3 a\right)$ ．
若 $\displaystyle \lambda=1$ 是 $\displaystyle f(\lambda)$ 的二重根，则 $\displaystyle \lambda=1$ 是 $\displaystyle \lambda^{2}-6 \lambda+8-3 a$ 的零点，即 $\displaystyle 1^{2}-6+8-3 a=0$ ，解得 $\displaystyle a=1$ 。此时，对 $\displaystyle \lambda E-A$ 作初等变换化为正规形

$$
\lambda E-A=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda-1 & -5 & -5 \\
0 & \lambda-4 & -3 \\
0 & -1 & \lambda-2
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{lll}
1 & & \\
& \lambda-1 & \\
& & (\lambda-1)(\lambda-5)
\end{array}\right)
$$


所以，$\displaystyle A$ 的最小多项式 $\displaystyle m(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-5)$ ．又 $\displaystyle A$ 的初等因子组为 $\displaystyle \lambda-1, \lambda-1, \lambda-5$ ，故 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形为对角阵 $\displaystyle J_{1}=\operatorname{diag}(1,1,5)$ 。

若 $\displaystyle \lambda=1$ 不是 $\displaystyle f(\lambda)$ 的二重根，则 $\displaystyle \lambda^{2}-6 \lambda+8-3 a$ 为完全平方，从而 $\displaystyle 8-3 a=9$ ，解得 $\displaystyle a=-\frac{1}{3}$ ，此时，对 $\displaystyle \lambda E-A$ 作初等变换化为正规形

$$
\lambda E-A=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda-1 & -5 & -5 \\
0 & \lambda-4 & -3 \\
0 & \frac{1}{3} & \lambda-2
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{lll}
1 & & \\
& 1 & \\
& & (\lambda-1)(\lambda-3)^{2}
\end{array}\right)
$$


所以，$\displaystyle A$ 的最小多项式 $\displaystyle m(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-3)^{2}$ ．又 $\displaystyle A$ 的初等因子组为 $\displaystyle \lambda-1,(\lambda-3)^{2}$ ，故 $\displaystyle A$的 Jordan 标准形为

$$
J_{2}=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right)
$$

（2）根据上面解答可知，$\displaystyle A$ 相似于对角矩阵的充分必要条件是 $\displaystyle a=1$ ． \(\square\)

一、（20分）$\displaystyle f(x)$ 是数域 $\displaystyle P$ 上的不可约多项式
（1）$\displaystyle g(x) \in P[x]$ ，且与 $\displaystyle f(x)$ 有一个公共复根，证明 $\displaystyle f(x) \mid g(x)$ ；
（2）若 $\displaystyle c$ 及 $\displaystyle \frac{1}{c}$ 都是 $\displaystyle f(x)$ 的根，$\displaystyle b$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的任一根，证明 $\displaystyle \frac{1}{b}$ 也是 $\displaystyle f(x)$ 的根．
二、（10 分）计算行列式 $\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{ccccccc}2 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 2\end{array}\right|$ 。

2．（16 分）设 $\displaystyle A \in P^{n \times n}, f(x) \in P[x]$ 。已知 $\displaystyle f(A)$ 可逆。求证：存在 $\displaystyle g(x) \in A[x]$ 使 $\displaystyle (f(A))^{-1}=g(A)$ 。（注：P 是数域，$\displaystyle P^{r / x n}$ 表示元素在 $\displaystyle P$ 中的 $\displaystyle n$ 阶方阵的集合）

6．（16 分）设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶复矩阵，且存在正整数 $\displaystyle m$ 使得 $\displaystyle A^{m}=E$（这里 $\displaystyle E$ 是 $\displaystyle n$ 阶单位阵）。证明：$\displaystyle A$ 与对角矩阵相似。

7．A 为对称阵，$\displaystyle A^{3}-6 A^{2}+11 A-6=0 \ldots \ldots . .(I)$
求 $\displaystyle \max _{A} \max _{\|x\|=1} \lambda_{1} x_{1}^{2}+\lambda_{2} x_{2}^{2}+\lambda_{3} x_{3}^{2}$（第一个极大值是对所有满足 I 的矩阵 A 取的）

8．$\displaystyle f(x)$ 为一多项式，$\displaystyle g(x)$ 是 A 的最小多项式，证明：$\displaystyle f(A)$ 可逆的充要条件是 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$