一、设 $\displaystyle A$ 和 $\displaystyle B$ 为满秩方阵，试求

$$
Q=\left(\begin{array}{ll}
A & C \\
O & B
\end{array}\right) \text { 的逆矩阵 (用 } A^{-1}, B^{-1}, C \text { 表示即可) 。 }
$$


解：由 $\displaystyle \operatorname{det} Q=\operatorname{det} A \cdot \operatorname{det} B \neq 0$ 知，$\displaystyle Q$ 可逆。
令 $\displaystyle Q^{-1}=\left(\begin{array}{ll}X_{11} & X_{12} \\ X_{21} & X_{22}\end{array}\right), E$ 表示与 $\displaystyle Q$ 同阶的单位矩阵，
则由 $\displaystyle Q^{-1} Q=E$ 得

$$
\left(\begin{array}{ll}
X_{11} & X_{12} \\
X_{21} & X_{22}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
A & C \\
O & B
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
E_{1} & O \\
O & E_{2}
\end{array}\right) \text {, 其中 } E_{1} \text { 为与 } A \text { 同阶的单 }
$$


位矩阵，其中 $\displaystyle E_{2}$ 为与 $\displaystyle B$ 同阶的单位矩阵。
于是得

$$
\begin{aligned}
& X_{11} A=E_{1}, \quad X_{21} A=O \\
& X_{11} C+X_{12} B=O, \\
& X_{21} C+X_{22} B=E_{2}
\end{aligned}
$$


由此解出

$$
X_{11}=A^{-1}, \quad X_{21}=O, \quad X_{12}=-A^{-1} C B^{-1}, \quad X_{22}=B^{-1}
$$


所以 $\displaystyle Q^{-1}=\left(\begin{array}{cc}A^{-1} & -A^{-1} C B^{-1} \\ O & B^{-1}\end{array}\right)$ ．

四、设 $\displaystyle A, B$ 为方阵，且 $\displaystyle B$ 为满秩阵，$\displaystyle s$ 为实数，

$$
C=A+s B
$$


试证明：存在正数 $\displaystyle a$ ，使得在 $\displaystyle 0<s<a$ 时，$\displaystyle C$ 满秩．
证明：考虑矩阵 $\displaystyle A B^{-1}+s E=s E-\left(-A B^{-1}\right)$ ，其中 $\displaystyle E$ 为单位阵．
由于关于 $\displaystyle s$ 的方程 $\displaystyle \operatorname{det}\left(s E+A B^{-1}\right)=0$ 仅有有限个根（它们为方 阵 $\displaystyle -A B^{-1}$ 的 全 部 特 征 根）。从 而 数 集 $\displaystyle I=\left\{s>0 \mid \operatorname{det}\left(s E+A B^{-1}\right)=0\right\}$ 为有限集。若 $\displaystyle I \neq \varnothing$ ，则令 $\displaystyle a$ 为数集 $\displaystyle I$ 中的最小数；若 $\displaystyle I=\varnothing$ ，则可取 $\displaystyle a$ 为任何正数．于是，当 $\displaystyle 0<s<a$ 时，必有 $\displaystyle \operatorname{det}\left(s E+A B^{-1}\right) \neq 0$ ．

所以，当 $\displaystyle 0<s<a$ 时，$\displaystyle s E+A B^{-1}$ 为满秩阵，从而

$$
C=A+s B=\left(s E+A B^{-1}\right) B \text { 为满秩阵. }
$$

六、设 $\displaystyle A, B$ 为对称方阵，试证明
$\displaystyle \operatorname{Tr}(\mathrm{ABAB}) \leq \operatorname{Tr}(\mathrm{AABB})$ ，其中＂ $\displaystyle \operatorname{Tr}$＂表示方阵的追迹（即对角元素之和）。

证明：设 $\displaystyle A, B$ 为 $\displaystyle n$ 阶对称方阵

$$
\begin{gathered}
A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right)=\left(\begin{array}{c}
\alpha_{1}^{\prime} \\
\alpha_{2}^{\prime} \\
\vdots \\
\alpha_{n}^{\prime}
\end{array}\right), \\
B=\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right)=\left(\begin{array}{c}
\beta_{1}^{\prime} \\
\beta_{2}^{\prime} \\
\vdots \\
\beta_{n}^{\prime}
\end{array}\right) . \\
\text { 则 } A B=\left(\begin{array}{c}
\alpha_{1}^{\prime} \\
\alpha_{2}^{\prime} \\
\vdots \\
\alpha_{n}^{\prime}
\end{array}\right)\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
\alpha_{1}^{\prime} \beta_{1} & \alpha_{1}^{\prime} \beta_{2} & \cdots & \alpha_{1}^{\prime} \beta_{n} \\
\alpha_{2}^{\prime} \beta_{1} & \alpha_{2}^{\prime} \beta_{2} & \cdots & \alpha_{2}^{\prime} \beta_{n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\alpha_{n}^{\prime} \beta_{1} & \alpha_{n}^{\prime} \beta_{2} & \cdots & \alpha_{n}^{\prime} \beta_{n}
\end{array}\right)
\end{gathered}
$$


所以

$$
(A B)^{2}=\left(\begin{array}{cccc}
\alpha_{1}^{\prime} \beta_{1} & \alpha_{1}^{\prime} \beta_{2} & \cdots & \alpha_{1}^{\prime} \beta_{n} \\
\alpha_{2}^{\prime} \beta_{1} & \alpha_{2}^{\prime} \beta_{2} & \cdots & \alpha_{2}^{\prime} \beta_{n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\alpha_{n}^{\prime} \beta_{1} & \alpha_{n}^{\prime} \beta_{2} & \cdots & \alpha_{n}^{\prime} \beta_{n}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}
\alpha_{1}^{\prime} \beta_{1} & \alpha_{1}^{\prime} \beta_{2} & \cdots & \alpha_{1}^{\prime} \beta_{n} \\
\alpha_{2}^{\prime} \beta_{1} & \alpha_{2}^{\prime} \beta_{2} & \cdots & \alpha_{2}^{\prime} \beta_{n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\alpha_{n}^{\prime} \beta_{1} & \alpha_{n}^{\prime} \beta_{2} & \cdots & \alpha_{n}^{\prime} \beta_{n}
\end{array}\right)
$$


由此得 $\displaystyle \operatorname{Tr}(\mathrm{AB})^{2}=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left(\alpha_{i}^{\prime} \beta_{j}\right) \cdot\left(\alpha_{j}^{\prime} \beta_{i}\right)$ 。
而 $\displaystyle A^{2}=\left(\begin{array}{c}\alpha_{1}^{\prime} \\ \alpha_{2}^{\prime} \\ \vdots \\ \alpha_{n}^{\prime}\end{array}\right)\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right)=\left(\begin{array}{cccc}\alpha_{1}^{\prime} \alpha_{1} & \alpha_{1}^{\prime} \alpha_{2} & \cdots & \alpha_{1}^{\prime} \alpha_{n} \\ \alpha_{2}^{\prime} \alpha_{1} & \alpha_{2}^{\prime} \alpha_{2} & \cdots & \alpha_{2}^{\prime} \alpha_{n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \alpha_{n}^{\prime} \alpha_{1} & \alpha_{n}^{\prime} \alpha_{2} & \cdots & \alpha_{n}^{\prime} \alpha_{n}\end{array}\right)$

$$
B^{2}=\left(\begin{array}{c}
\beta_{1}^{\prime} \\
\beta_{2}^{\prime} \\
\vdots \\
\beta_{n}^{\prime}
\end{array}\right)\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
\beta_{1}^{\prime} \beta_{1} & \beta_{1}^{\prime} \beta_{2} & \cdots & \beta_{1}^{\prime} \beta_{n} \\
\beta_{2}^{\prime} \beta_{1} & \beta_{2}^{\prime} \beta_{2} & \cdots & \beta_{2}^{\prime} \beta_{n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\beta_{n}^{\prime} \beta_{1} & \beta_{n}^{\prime} \beta_{2} & \cdots & \beta_{n}^{\prime} \beta_{n}
\end{array}\right)
$$


所以

$$
A^{2} B^{2}=\left(\begin{array}{cccc}
\alpha_{1}^{\prime} \alpha_{1} & \alpha_{1}^{\prime} \alpha_{2} & \cdots & \alpha_{1}^{\prime} \alpha_{n} \\
\alpha_{2}^{\prime} \alpha_{1} & \alpha_{2}^{\prime} \alpha_{2} & \cdots & \alpha_{2}^{\prime} \alpha_{n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\alpha_{n}^{\prime} \alpha_{1} & \alpha_{n}^{\prime} \alpha_{2} & \cdots & \alpha_{n}^{\prime} \alpha_{n}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}
\beta_{1}^{\prime} \beta_{1} & \beta_{1}^{\prime} \beta_{2} & \cdots & \beta_{1}^{\prime} \beta_{n} \\
\beta_{2}^{\prime} \beta_{1} & \beta_{2}^{\prime} \beta_{2} & \cdots & \beta_{2}^{\prime} \beta_{n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\beta_{n}^{\prime} \beta_{1} & \beta_{n}^{\prime} \beta_{2} & \cdots & \beta_{n}^{\prime} \beta_{n}
\end{array}\right)
$$


由此得 $\displaystyle \operatorname{Tr}\left(\mathrm{A}^{2} \mathrm{~B}^{2}\right)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left(\alpha_{i}^{\prime} \alpha_{j}\right) \cdot\left(\beta_{j}^{\prime} \beta_{i}\right)$ 。

最后由柯西－布涅柯夫斯基不等式易知

$$
\begin{aligned}
& \left(\alpha_{i}^{\prime} \beta_{j}\right) \cdot\left(\alpha_{j}^{\prime} \beta_{i}\right) \leq\left(\alpha_{i}^{\prime} \alpha_{j}\right) \cdot\left(\beta_{j}^{\prime} \beta_{i}\right), \quad 1 \leq i, \quad j \leq n . \\
& \text { 从而得 } \operatorname{Tr}(\mathrm{AB})^{2} \leq \operatorname{Tr}\left(\mathrm{A}^{2} \mathrm{~B}^{2}\right) .
\end{aligned}
$$

1．（15分）求 $\displaystyle A^{n-1}$ 。这里 A 为 $\displaystyle n \times n$ 方阵

$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & 0 & 1 & \ddots & \vdots \\
\vdots & & \ddots & \ddots & 0 \\
\vdots & & & \ddots & 1 \\
0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0
\end{array}\right)
$$

2．（15 分）设 $\displaystyle A 、 B$ 为同阶对称正定矩阵，若 $\displaystyle A>B$（即 $\displaystyle A-B$ 为正定阵），试问是否一定有 $\displaystyle A^{2}>B^{2}$ ？为什么？

1）$\displaystyle A-2 I$ 可逆；

2）求满足下列方程的方阵 $\displaystyle X$ ：

$$
A X+3(A-2 I)^{-1} A=5 X+8 I
$$


证明：

6．对一个 $\displaystyle s \times n$ 矩阵 $\displaystyle A$ 作一初等行变换，就相当于在 $\displaystyle A$ 的—————边乘上相应的初等矩阵。
（A）左边；
（B）右边；
（C）两边；
（D）左边或右边．

9．$\displaystyle A$ 是数域 $\displaystyle P$ 上的 $\displaystyle n$ 级矩阵，$\displaystyle A^{*}$ 是 $\displaystyle A$ 的伴随矩阵，则 $\displaystyle A^{*} A=A A^{*}=\cdots-\cdots$ ．
（A）单位矩阵 $\displaystyle E$ ；
（B）$\displaystyle |A| E$ ；
（C）$\displaystyle \left|A^{-1}\right| E ;$（D）$\displaystyle \frac{E}{|A|}$ ．

2、设 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle A, B$ 可交换，证明： $\displaystyle \operatorname{rank}(A+B) \leq \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)-\operatorname{rank}(A B)$ ．

【解】利用分块初等变换，有

$$
\left(\begin{array}{ll}
A & O \\
O & B
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ll}
A & B \\
O & B
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cc}
A+B & B \\
B & B
\end{array}\right)
$$


因为 $\displaystyle A B=B A$ ，所以

$$
\left(\begin{array}{cc}
E & O \\
B & -A-B
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
A+B & B \\
B & B
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
A+B & B \\
O & -A B
\end{array}\right)
$$


于是，有

$$
\operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)=\operatorname{rank}\left(\begin{array}{cc}
A+B & B \\
B & B
\end{array}\right) \geq \operatorname{rank}\left(\begin{array}{cc}
A+B & B \\
O & -A B
\end{array}\right) \geq \operatorname{rank}(A+B)+\operatorname{rank}(A B)
$$


即 $\displaystyle \operatorname{rank}(A+B) \leq \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)-\operatorname{rank}(A B)$ ．

5．对任意的 $\displaystyle m \times n$ 实矩阵 $\displaystyle A$ ，方程组 $\displaystyle A X=0$ 与方程组 $\displaystyle A^{\prime} A X=0$ 的解集相等。

8．（15 分）设 $\displaystyle \alpha=\left(a_{1}, \cdots, a_{n}\right)$ 是 $\displaystyle n(n \geq 2)$ 维非零向量。证明：$\displaystyle \alpha^{T} \alpha$ 可相似于一对角矩阵，并求此对角矩阵。

一、（15 分）设 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 是一个非零方阵，且 $\displaystyle \boldsymbol{A}^{3}=\boldsymbol{A}^{2}$ ，问是否一定有 $\displaystyle \boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A}$ ？为什么？

二、（12 分）设 $\displaystyle S_{n}=x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots+x_{n}^{k},(k=0,1,2, \cdots) ; a_{i j}=S_{i+j-2}(i, j=1,2, \cdots, n)$ 。

$$
\text { 计算行列式: }\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|
$$

5．（16分）设 $\displaystyle A, B \in P^{n \times n}$ 且秩 $\displaystyle (A)+$ 秩 $\displaystyle (B) \leq n$ 。证明：存在 $\displaystyle n$ 阶可逆矩阵 $\displaystyle M$使得 $\displaystyle A M B=0$ 。

证明：设矩阵 $\displaystyle A, B$ 的秩分别为 $\displaystyle r_{1}, r_{2}$ 。对于矩阵 $\displaystyle A, B$ ，存在着可逆的 $\displaystyle n$ 级矩阵 $\displaystyle P_{1}, Q_{1}, P_{2}, Q_{2}$ ，使得 $\displaystyle P_{1} A Q_{1}=\Lambda_{r_{1}}, P_{2} B Q_{2}=\Lambda_{r_{2}}$ ，则

$$
\begin{aligned}
A Q_{1}= & P_{1}^{-1} \Lambda_{r_{1}}, P_{2} B=\Lambda_{r_{2}} Q_{2}^{-1} \\
& \left(A Q_{1}\right)\left(P_{2} B\right)=A Q_{1} P_{2} B=P_{1}^{-1} \Lambda_{r_{1}} \Lambda_{r_{2}} Q_{2}^{-1}=0, \text { 令 } A M B=0, \text { 则有 } A M B=0 \text { 成立。 }
\end{aligned}
$$