习题5-1

1．填空题． （1）已知点 $A(2,-1,1)$ ，则点 $A$ 与 $z$ 轴的距离是 $\_\_\_\_$ ，与 $y$ 轴的距离是 $\_\_\_\_$ ，与 $x$ 轴的距离是 $\_\_\_\_$。 （2）向 量 $\boldsymbol{a}=(-2,6,-3)$ 的模为 $|\boldsymbol{a}|=$ $\_\_\_\_$ ，方 向 余 弦 为 $\cos \alpha=$ $\_\_\_\_$ ， $\cos \beta=$ $\_\_\_\_$ ， $\cos \gamma=$ $\_\_\_\_$ ，与 $\boldsymbol{a}$ 同方向的单位向量 $\boldsymbol{e}_{a}=$ $\_\_\_\_$。 （3）设 $\alpha, \beta, \gamma$ 是向量 $\boldsymbol{a}$ 的三个方向角，则 $\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta+\sin ^{2} \gamma=$ $\_\_\_\_$ ． （4）设向量 $\boldsymbol{a}=(2,-1,4)$ 与向量 $\boldsymbol{b}=(1, k, 2)$ 平行，则 $k=$ $\_\_\_\_$ ． （5）已知三点 $M_{1}(1,-2,3), M_{2}(1,1,4), M_{3}(2,0,2)$ ，则 $\overrightarrow{M_{1} M_{2}} \cdot \overrightarrow{M_{1} M_{3}} =$ $\_\_\_\_$ ， $\overrightarrow{M_{1} M_{2}} \times \overrightarrow{M_{1} M_{3}}=$ $\_\_\_\_$ ． （6）以点 $A(2,-1,-2) 、 B(0,2,1) 、 C(2,3,0)$ 为顶点，作平行四边形 $A B C D$ ，此平行四边形的面积等于 $\_\_\_\_$ ． （7）向量 $\boldsymbol{a}=(4,-3,1)$ 在 $\boldsymbol{b}=(2,1,2)$ 上的投影 $\operatorname{Prj}_{b} \boldsymbol{a}=$ $\_\_\_\_$ ， $\boldsymbol{b}$ 在 $\boldsymbol{a}$ 上的投影 $\operatorname{Prj}_{a} \boldsymbol{b}=$ $\_\_\_\_$ ． （8）设 $\boldsymbol{a}=(1,2,3), \boldsymbol{b}=(-2, k, 4)$ ，而 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$ ，则 $k=$ $\_\_\_\_$。

10．设向量 $\boldsymbol{a}$ 与各坐标轴成相等的锐角，$|\boldsymbol{a}|=2 \sqrt{3}$ ，求向量 $\boldsymbol{a}$ 的坐标表达式．

11．已知 $\boldsymbol{a}=(1,1,-4), \boldsymbol{b}=(1,-2,2)$ ，求： （1） $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ ；（2） $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角 $\theta$ ；（3） $\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 上的投影。

12．已知两点 $M_{1}(2,2, \sqrt{2})$ 和 $M_{2}(1,3,0)$ ，计算向量 $\overrightarrow{M_{1} M_{2}}$ 的模、方向余弦和方向角．

13．设 $|\boldsymbol{a}|=3,|\boldsymbol{b}|=2,(\widehat{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}})=\frac{\pi}{3}$ ，求： （1）$(3 a+2 b) \cdot(2 a-5 b)$ ； （2）$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$ ．

14．已知点 $A(1,-3,4), B(-2,1,-1), C(-3,-1,1)$ ，求： （1）$\angle A B C$ ；（2） $\overrightarrow{A B}$ 在 $\overrightarrow{A C}$ 上的投影．

15．已知 $\boldsymbol{a}=(2,3,1), \boldsymbol{b}=(1,-2,1)$ ，求 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ 及 $\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a}$ ．

16．已知向量 $\boldsymbol{a}=(2,-3,1), \boldsymbol{b}=(1,-1,3), \boldsymbol{c}=(1,-2,0)$ ，求： （1）$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \times(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$ ； （2）$(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}$ ； （3）$(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c}$ ； （4）$(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \boldsymbol{c}-(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \boldsymbol{b}$ ．

17．求与 $\boldsymbol{a}=3 \boldsymbol{i}-2 \boldsymbol{j}+4 \boldsymbol{k}, \boldsymbol{b}=\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}-2 \boldsymbol{k}$ 都垂直的单位向量．

18．已知空间四点 $A(-1,0,3), B(0,2,2), C(2,-2,-1), D(1,-1,1)$ ，求与 $\overrightarrow{A B} 、 \overrightarrow{C D}$ 都垂直的单位向量．

19．设向量 $\boldsymbol{a}=2 \boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}, \boldsymbol{b}=-\boldsymbol{i}+2 \boldsymbol{k}$ ，求以 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b}$ 为邻边的平行四边形的面积．

2．一向量与 $x$ 轴和 $y$ 轴的夹角相等，而与 $z$ 轴的夹角是与 $x$ 轴的夹角的两倍，求向量的方向角。

20．求以点 $A(1,2,3) 、 B(0,0,1) 、 C(3,1,0)$ 为顶点的三角形的面积．

21．设 $\boldsymbol{A}=2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}, \boldsymbol{B}=k \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ ，其中 $|\boldsymbol{a}|=1,|\boldsymbol{b}|=2, \boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$ ，问： （1）$k$ 为何值时， $\boldsymbol{A} \perp \boldsymbol{B}$ ？ （2）$k$ 为何值时，以 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 为邻边的平行四边形的面积为6？

22．已知 $\boldsymbol{a}=2 \boldsymbol{m}+3 \boldsymbol{n}, \boldsymbol{b}=3 \boldsymbol{m}-\boldsymbol{n}, \boldsymbol{m} 、 \boldsymbol{n}$ 是两个互相垂直的单位向量，求： （1） $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ ；（2）$|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|$ ．

23．设 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b} 、 \boldsymbol{c}$ 满足 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\mathbf{0}$ ． （1）证明： $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}+\boldsymbol{c} \cdot \boldsymbol{a}=-\frac{1}{2}\left(|\boldsymbol{a}|^{2}+|\boldsymbol{b}|^{2}+|\boldsymbol{c}|^{2}\right)$ ； （2）若还满足 $|\boldsymbol{a}|=3,|\boldsymbol{b}|=4,|\boldsymbol{c}|=5$ ，求 $|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}+\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{a}|$ ．

24．设 $\boldsymbol{a}+3 \boldsymbol{b}$ 与 $7 \boldsymbol{a}-5 \boldsymbol{b}$ 垂直， $\boldsymbol{a}-4 \boldsymbol{b}$ 与 $7 \boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b}$ 垂直，求 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 之间的夹角 $\theta$ ．

25．试用向量方法证明三角形的余弦定理。

26．利用向量积证明三角形正弦定理。

27．已知向量 $\boldsymbol{a} \neq \mathbf{0}, \boldsymbol{b} \neq \mathbf{0}$ ，证明： $$ |\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|^{2}=|\boldsymbol{a}|^{2} \cdot|\boldsymbol{b}|^{2}-(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^{2} . $$

28．已知 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b} 、 \boldsymbol{c}$ 两两垂直，且 $|\boldsymbol{a}|=1,|\boldsymbol{b}|=2,|\boldsymbol{c}|=3$ ，求 $\boldsymbol{s}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$ 的长度及它和 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b} 、 \boldsymbol{c}$ 的夹角．

29．已知 $\boldsymbol{a}=(7,-4,-4), \boldsymbol{b}=(-2,-1,2)$ ，向量 $\boldsymbol{c}$ 在向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的角平分线上，且 $|\boldsymbol{c}|=3 \sqrt{42}$ ，求 $\boldsymbol{c}$ 的坐标．

3．给定 $M(-2,0,1), N(2,3,0)$ 两点，在 $O x$ 轴上有一点 $A$ ，满足 $|A M|=|A N|$ ，求点 $A$ 的坐标．

30．设向量 $\boldsymbol{x}$ 与 $\boldsymbol{j}$ 成 $60^{\circ}$ ，与 $\boldsymbol{k}$ 成 $120^{\circ}$ ，且 $|\boldsymbol{x}|=5 \sqrt{2}$ ，求 $\boldsymbol{x}$ 。

4．从点 $A(2,-1,7)$ 沿向量 $\boldsymbol{a}=(8,9,-12)$ 方向取长为 34 的线段 $A B$ ，求点 $B$ 的坐标。

5．设点 $P$ 在 $y$ 轴上，它到点 $P_{1}(\sqrt{2}, 0,3)$ 的距离为到点 $P_{2}(1,0,-1)$ 的距离的两倍，求点 $P$ 的坐标。

6．设点 $A$ 位于第 I 卦限，向径 $\overrightarrow{O A}$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴的夹角依次为 $\frac{\pi}{3}$ 和 $\frac{\pi}{4}$ ，且 $|\overrightarrow{O A}|=6$ ，求点 $A$ 的坐标．

7．证明： $\operatorname{Prj}_{u}(\lambda \boldsymbol{a})=\lambda \operatorname{Prj}_{u} \boldsymbol{a}$ ．

8．记 $\boldsymbol{e}_{a}$ 为非零向量 $\boldsymbol{a}$ 的同向单位向量，证明： $\boldsymbol{e}_{a}=\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}$ ．

9．求平行于向量 $\boldsymbol{a}=6 \boldsymbol{i}+7 \boldsymbol{j}-6 \boldsymbol{k}$ 的单位向量．