四．（14 分）
设实二次型 $\displaystyle Q(x)=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-x\right)^{2}$ ，其中的 $\displaystyle x=\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}}{n}$ ，试求 $\displaystyle Q(x)$ 的秩和正负惯性指数．

5．（20 分）令 $\displaystyle f(x, y)=2 x^{2}-7 x y+y^{2}$ ．求 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中单位圆上的极大值与极小值及极值点．

5．（20 分）（i）考虑如下形式的矩阵：

$$
P=\left(\begin{array}{cccc}
a_{1}^{2} & a_{1} a_{2} & \cdots & a_{1} a_{n} \\
a_{2} a_{1} & a_{2}^{2} & \cdots & a_{2} a_{n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n} a_{1} & a_{n} a_{1} & \cdots & a_{n}^{2}
\end{array}\right)
$$


其中，$\displaystyle a_{i}, 1 \leq i \leq n$ 都为实数。证明：矩阵 $\displaystyle P$ 非负定；（ii）证明：非零实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)$可以写成 $\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=\left(u_{1} x_{1}+\cdots+u_{n} x_{n}\right)\left(v_{1} x_{1}+\cdots v_{n} x_{n}\right)$ 的充要条件是：或者它的秩为 1 ，或者它的秩为 2 且符号差为零．

二．（30 分）

3．用正交变换化下面二次型为标准形

$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3} ;
$$

（要求写出正交变换的矩阵和相应的标准形）。
解：二次型矩阵：

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -2 & -2 \\
-2 & 1 & -2 \\
-2 & -2 & 1
\end{array}\right)
$$


找其正交矩阵：

$$
T=\left(\begin{array}{ccc}
-\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{\sqrt{6}}{4} & -\frac{2 \sqrt{2}}{3} \\
0 & -\frac{\sqrt{6}}{4} & -\frac{\sqrt{2}}{6} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{6}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{6}
\end{array}\right) ;
$$


使得 $\displaystyle T^{-1} A T=\operatorname{diag}\{3,3,-3\}$ ；于是做正交替换化为标准型：

$$
f(x, y, z)=3 x^{*^{2}}+3 y^{*^{2}}-3 z^{*^{2}}
$$

三、（20 分）试用正交线性替换将二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}- 4 x_{1} x_{3}-8 x_{2} x_{3}$ 化成标准形，并写出所用的正交线性替换．

4．（10 分）求实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots x_{n}\right)=n \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{2}(n \geq 2)$ 的秩和正、负惯性指数．

5．（10 分）求 $\displaystyle \lambda$ 的值，使

$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\lambda\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)+2 x_{1} x_{2}-2 x_{2} x_{3}+2 x_{1} x_{3}+x_{4}^{2}
$$


是正定的二次型。

三．（20 分）已知二次型 $\displaystyle f=x_{1}{ }^{2}+x_{2}{ }^{2}+x_{3}{ }^{2}+9 x_{4}{ }^{2}+2 a\left(x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+x_{3} x_{1}\right)$ 问当 $\displaystyle a$ 取何值时， $\displaystyle f$ 是正定的，半正定的，以及不定的二次型．

六、（20分）用正交线性替换化下面的实二次型为标准型，并写出所用的正交线性替换。

$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{1} x_{4}-2 x_{2} x_{3}+2 x_{2} x_{4}+2 x_{3} x_{4}
$$

9．（10 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 是可逆的对称实矩阵。证明：二次型的矩阵
$\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=\left|\begin{array}{cccc}0 & x_{1} & \cdots & x_{n} \\ -x_{1} & a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ -x_{n} & a_{n 1} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|$ 是 $\displaystyle A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 。

4．（题（1）为 $\displaystyle \mathbf{1 5}$ 分，题（2）为 $\displaystyle \mathbf{5}$ 分，共 $\displaystyle \mathbf{2 0}$ 分）
实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 b x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ 经正交线性替换 $\displaystyle \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}=P\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)^{T}$ 化为标准型 $\displaystyle y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2}$ 。
（1）求 $\displaystyle a, b$ 及正交矩阵 $\displaystyle P$ ；
（2）问二次型 $\displaystyle f$ 是正定的吗？为什么？