1．（15分）求 $\displaystyle A^{n-1}$ 。这里 A 为 $\displaystyle n \times n$ 方阵

$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & 0 & 1 & \ddots & \vdots \\
\vdots & & \ddots & \ddots & 0 \\
\vdots & & & \ddots & 1 \\
0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0
\end{array}\right)
$$

3．（20 分）设 $\displaystyle A$ 是2003阶实方阵，且 $\displaystyle A^{r}=0$ ，这里 $\displaystyle r$ 是自然数．问 $\displaystyle A$ 的秩 $\displaystyle r a n k(A)$ 最大值是多少？

4．（18 分）设 $\displaystyle a$ 为实数，$\displaystyle A=\left(\begin{array}{llll}a & 1 & & \\ & a & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & a\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{100 \times 100}$ ，求 $\displaystyle A^{50}$ 的第一行元素之和。

8．（16 分）$\displaystyle A \in \mathbb{R}^{2006 \times 2006}$ 是给定的幂零阵（即：存在正整数 $\displaystyle p$ 使得 $\displaystyle A^{p}=0$ 而 $\displaystyle A^{p-1} \neq 0$ ），试分析线性方程 $\displaystyle A x=0\left(x \in \mathbb{R}^{2006}\right)$ 非零独立解个数的最大值和最小值．

三、 $\displaystyle (12+8=20$ 分）设 $\displaystyle A, B$ 是 $\displaystyle n$ 阶方阵，$\displaystyle A$ 可逆，$\displaystyle B$ 幂零，$\displaystyle A B=B A$ ．
（1）求证：$\displaystyle A+B$ 可逆；
（2）试举例说明要使（1）结论成立，条件 $\displaystyle A B=B A$ 是不可缺少的．
证明：（1）$\displaystyle \because A B=B A \quad \therefore$ 存在可逆矩阵 $\displaystyle P$ 使 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 同为上三角矩阵，且上三角矩阵的主对角元素是它们的特征值
$\displaystyle \therefore P^{-1}(A+B) P$ 为上三角矩阵，且主对角元素为 $\displaystyle A, B$ 的特征值之和
$\displaystyle \because A$ 可逆，$\displaystyle B$ 幂零 $\displaystyle \therefore A$ 的特征值均不为零，$\displaystyle B$ 的特征值都是零
$\displaystyle \therefore P^{-1}(A+B) P$ 的特征值就是 $\displaystyle A$ 的特征值
$\displaystyle \therefore P^{-1}(A+B) P$ 可逆 $\displaystyle \therefore A+B$ 可逆．
（2）例如 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，显然 $\displaystyle A$ 可逆，$\displaystyle B$ 幂零。
$\displaystyle \because A B=\left(\begin{array}{ll}0 & 2 \\ 0 & 2\end{array}\right) \neq\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 0 & 0\end{array}\right)=B A, \quad A+B=\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right)$ 不可逆
∴ 条件 $\displaystyle A B=B A$ 是不可缺少的．

9．设 $\displaystyle A$ 是一个 $\displaystyle n$ 级矩阵，如果存在一个整数 $\displaystyle m$ 使 $\displaystyle A^{m}=0$ ，则 $\displaystyle A$ 的特征值都为零．

八．（15 分）设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶矩阵，$\displaystyle \lambda_{0}$ 是 $\displaystyle A$ 的 $\displaystyle n$ 重特征值， $\displaystyle \operatorname{rank}\left(\lambda_{0} E-A\right)=n-1$ ．
（1）求使 $\displaystyle \left(\lambda_{0} E-A\right)^{m}=0$ 的最小正整数 $\displaystyle m$ ；
（2）证明：$\displaystyle \left(\lambda_{0} E-A\right)^{n-1}$ 必有一个列向量是 $\displaystyle A$ 的属于 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的特征向量．

八、（7 分）设 $\displaystyle A, B$ 是 $\displaystyle \boldsymbol{n}$ 级复矩阵，其中 $\displaystyle A$ 是幂零矩阵（即存在正整数 $\displaystyle m$ ，使得 $\displaystyle A^{m}=0$ ）而且 $\displaystyle A B=B A$ ，求证：$\displaystyle |A+B|=|B|$ 。

4．（20分）设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n$ 阶复矩阵，若存在正整数 $\displaystyle n$ 使得 $\displaystyle A^{n}=0$ ，则称 $\displaystyle A$ 为幂零矩阵。求证：
（1）$\displaystyle A$ 为幂零矩阵的充要条件是 $\displaystyle A$ 的特征值全为零；
（2）设 $\displaystyle A$ 不可逆，也不是幂零矩阵，那么存在 $\displaystyle n$ 阶可逆矩阵 $\displaystyle P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=\left(\begin{array}{cc}B & 0 \\ 0 & C\end{array}\right)$ ，其中是 $\displaystyle B$ 幂零矩阵，$\displaystyle C$ 是可逆矩阵。

六、（ 15 分）矩阵 $\displaystyle A$ 为幕零矩阵（幂零矩阵是指存在正整数 $\displaystyle m$ ，使得 $\displaystyle \left.A^{m}=O\right), E$ 为单位矩阵，$\displaystyle B$ 为实可逆矩阵。
（1）证明 $\displaystyle |A+E|=1$ ．
（2）若 $\displaystyle A B=B A$ ，证明 $\displaystyle |A+B|=|B|$ ．

八、（ 15 分）矩阵 $\displaystyle A$ 为秩为 $\displaystyle r$ 的 $\displaystyle n$ 阶幕零矩阵，证明 $\displaystyle A^{r+1}=O$ ．
九、 $\displaystyle \left(15\right.$ 分）$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 0\end{array}\right)$ ．
求正交矩阵 $\displaystyle P$ ，使 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角型．