共 12 题
题20086中国科学院真题
4．（20 分）给定 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上线性空间 $\displaystyle V$ 的子空间 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ ．证明：
$$
\operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right) \geq \operatorname{dim}\left(W_{1}\right)+\operatorname{dim}\left(W_{2}\right)-\operatorname{dim}(V) \text {, 这里 } \operatorname{dim} \text { 表示维数. }
$$
$$
\operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right) \geq \operatorname{dim}\left(W_{1}\right)+\operatorname{dim}\left(W_{2}\right)-\operatorname{dim}(V) \text {, 这里 } \operatorname{dim} \text { 表示维数. }
$$
题20230北京大学真题
3．（12 分）设 $\displaystyle \omega$ 是复数域 $\displaystyle C$ 上的本原 $\displaystyle n$ 次单位根（即，$\displaystyle \omega^{n}=1$ ，而当 $\displaystyle 0<l<n$ 时， $\displaystyle \left.\omega^{l} \neq 1\right), s, b$ 都是正整数，而且 $\displaystyle s<n$ ．令
$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & \omega^{b} & \omega^{2 b} & \cdots & \omega^{(n-1) b} \\ 1 & \omega^{b+1} & \omega^{2(b+1)} & \cdots & \omega^{(n-1)(b+1)} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 1 & \omega^{b+s-1} & \omega^{2(b+s-1)} & \cdots & \omega^{(n-1)(b+s-1)}\end{array}\right)$
任取 $\displaystyle \beta \in C^{n}$ ，判断线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 有无解？有多少解？写出理由．
$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & \omega^{b} & \omega^{2 b} & \cdots & \omega^{(n-1) b} \\ 1 & \omega^{b+1} & \omega^{2(b+1)} & \cdots & \omega^{(n-1)(b+1)} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 1 & \omega^{b+s-1} & \omega^{2(b+s-1)} & \cdots & \omega^{(n-1)(b+s-1)}\end{array}\right)$
任取 $\displaystyle \beta \in C^{n}$ ，判断线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 有无解？有多少解？写出理由．
题20238北京大学真题
6．用 R 表示实数域，定义 $\displaystyle R^{n}$ 的映射 $\displaystyle f$ 如下：
$\displaystyle f(X)=\left|x_{1}\right|+\cdots+\left|x_{r}\right|-\left|x_{r+1}\right|-\cdots-\left|x_{r+s}\right|, \forall X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{T} \in R^{n}$ ，其中：$\displaystyle r \geq s \geq 0$ 。证明：
（1）存在的一个 $\displaystyle \mathrm{n}-\mathrm{r}$ 维子空间 W ，使得 $\displaystyle f(X)=0, \forall X \in W$ ；
（2）若 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 是 $\displaystyle R^{n}$ 的两个 $\displaystyle \mathrm{n}-\mathrm{r}$ 维子空间，且满足 $\displaystyle f(X)=0, \forall X \in W_{1} \cup W_{2}$ ，则一定有 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right) \geq n-(r+s)$.
证明：
（1）只需构造 $\displaystyle n-r$ 个线性无关的向量满足方程。
不妨设 $\displaystyle R^{n}=R^{r+s} \oplus R^{n-(r+s)}$ ，
在 $\displaystyle R^{r+s}$ 中存在一组由 s 个线性无关的向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{\mathrm{s}}$ 构成的子空间
满足方程，其中 $\displaystyle \alpha_{1}=(\underbrace{1,0, \cdots, 0}_{r}, \underbrace{1,0, \cdots, 0}_{s}, \underbrace{0, \cdots, 0}_{\mathrm{n}^{-(\mathrm{r}+\mathrm{s})}}), \cdots \alpha_{\mathrm{s}}=(\underbrace{\overbrace{0,0, \cdots 0}^{s}, 1}_{r}, 0, \cdots, 0, \underbrace{0,0, \cdots, 1}_{s}, \underbrace{0, \cdots, 0}_{\mathrm{n}^{-(\mathrm{r}+\mathrm{s})}})$ ，
在 $\displaystyle R^{n-(r+s)}$ 中存在一组由 $\displaystyle \mathrm{n}-(\mathrm{r}+\mathrm{s})$ 个线性无关的向量 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{\mathrm{n}^{-}(\mathrm{r}+\mathrm{s})}$ 构成的子空间
满足方程，其中 $\displaystyle \beta_{1}=(\underbrace{0, \cdots, 0}_{\mathrm{r}+\mathrm{s}}, \underbrace{1,0, \cdots, 0}_{n-(r+s)}), \cdots \beta_{\mathrm{n}-(\mathrm{r}+\mathrm{s})}=(\underbrace{0, \cdots, 0}_{\mathrm{r}+\mathrm{s}}, \underbrace{0,0, \cdots, 1}_{n-(r+s)})$ ，
$\displaystyle \therefore \exists n-r$ 维的子空间 $\displaystyle W=<\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{\mathrm{s}}>\oplus<\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{\mathrm{n}^{-(\mathrm{r}+\mathrm{s})}}>$
$\displaystyle =<\alpha_{1}, \quad \alpha_{2}, \cdots, \quad \alpha_{\mathrm{s}}, \quad \beta_{1}, \quad \beta_{2}, \cdots, \quad \beta_{\mathrm{n}^{-}(\mathrm{r}+\mathrm{s})}>$ 。
（2）依题意：$\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 满足方程 $\displaystyle f(X)=0$ ，
显然 $\displaystyle W_{1} \cap W_{2}$ 是 $\displaystyle \mathrm{R}^{\mathrm{n}}$ 的一个子空间也满足方程 $\displaystyle f(X)=0$ ，
所以只需证明满足方程 $\displaystyle f(X)=0$ 的最小子空间的维数为 $\displaystyle \mathrm{n}-(\mathrm{r}+\mathrm{s})$ 。
$\displaystyle f(X)=\left|x_{1}\right|+\cdots+\left|x_{r}\right|-\left|x_{r+1}\right|-\cdots-\left|x_{r+s}\right|, \forall X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{T} \in R^{n}$ ，其中：$\displaystyle r \geq s \geq 0$ 。证明：
（1）存在的一个 $\displaystyle \mathrm{n}-\mathrm{r}$ 维子空间 W ，使得 $\displaystyle f(X)=0, \forall X \in W$ ；
（2）若 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 是 $\displaystyle R^{n}$ 的两个 $\displaystyle \mathrm{n}-\mathrm{r}$ 维子空间，且满足 $\displaystyle f(X)=0, \forall X \in W_{1} \cup W_{2}$ ，则一定有 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right) \geq n-(r+s)$.
证明：
（1）只需构造 $\displaystyle n-r$ 个线性无关的向量满足方程。
不妨设 $\displaystyle R^{n}=R^{r+s} \oplus R^{n-(r+s)}$ ，
在 $\displaystyle R^{r+s}$ 中存在一组由 s 个线性无关的向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{\mathrm{s}}$ 构成的子空间
满足方程，其中 $\displaystyle \alpha_{1}=(\underbrace{1,0, \cdots, 0}_{r}, \underbrace{1,0, \cdots, 0}_{s}, \underbrace{0, \cdots, 0}_{\mathrm{n}^{-(\mathrm{r}+\mathrm{s})}}), \cdots \alpha_{\mathrm{s}}=(\underbrace{\overbrace{0,0, \cdots 0}^{s}, 1}_{r}, 0, \cdots, 0, \underbrace{0,0, \cdots, 1}_{s}, \underbrace{0, \cdots, 0}_{\mathrm{n}^{-(\mathrm{r}+\mathrm{s})}})$ ，
在 $\displaystyle R^{n-(r+s)}$ 中存在一组由 $\displaystyle \mathrm{n}-(\mathrm{r}+\mathrm{s})$ 个线性无关的向量 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{\mathrm{n}^{-}(\mathrm{r}+\mathrm{s})}$ 构成的子空间
满足方程，其中 $\displaystyle \beta_{1}=(\underbrace{0, \cdots, 0}_{\mathrm{r}+\mathrm{s}}, \underbrace{1,0, \cdots, 0}_{n-(r+s)}), \cdots \beta_{\mathrm{n}-(\mathrm{r}+\mathrm{s})}=(\underbrace{0, \cdots, 0}_{\mathrm{r}+\mathrm{s}}, \underbrace{0,0, \cdots, 1}_{n-(r+s)})$ ，
$\displaystyle \therefore \exists n-r$ 维的子空间 $\displaystyle W=<\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{\mathrm{s}}>\oplus<\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{\mathrm{n}^{-(\mathrm{r}+\mathrm{s})}}>$
$\displaystyle =<\alpha_{1}, \quad \alpha_{2}, \cdots, \quad \alpha_{\mathrm{s}}, \quad \beta_{1}, \quad \beta_{2}, \cdots, \quad \beta_{\mathrm{n}^{-}(\mathrm{r}+\mathrm{s})}>$ 。
（2）依题意：$\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 满足方程 $\displaystyle f(X)=0$ ，
显然 $\displaystyle W_{1} \cap W_{2}$ 是 $\displaystyle \mathrm{R}^{\mathrm{n}}$ 的一个子空间也满足方程 $\displaystyle f(X)=0$ ，
所以只需证明满足方程 $\displaystyle f(X)=0$ 的最小子空间的维数为 $\displaystyle \mathrm{n}-(\mathrm{r}+\mathrm{s})$ 。
题20473南京大学真题
9．设 $\displaystyle \mathrm{V}_{1}, V_{2}$ 是数域 P 上有限维线性空间 V 的子空间，并且维 $\displaystyle \left(V_{1}\right)+$ 维 $\displaystyle \left(V_{2}\right)=$ 维 $\displaystyle (V)$ ，则 $\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$
解答：正确，证明过程参见高教版高等代数（第二版）P268的定理9
解答：正确，证明过程参见高教版高等代数（第二版）P268的定理9
题20659武汉大学真题
8．（12 分）设 $\displaystyle f$ 是向量空间 $\displaystyle V$ 的线性变换，且 $\displaystyle f^{2}=f$ ，证明：$\displaystyle V=\operatorname{Im} f \oplus \operatorname{ker} f$ ，其中 $\displaystyle \operatorname{ker} f=\{\alpha \in V \mid f(\alpha)=0\}, \operatorname{Im} f=\{\alpha \in V \mid$ 存在 $\displaystyle \beta \in V$ ，使 $\displaystyle f(\beta)=\alpha\}$ ．
题20724武汉大学真题
10．设 $\displaystyle A, B$ 是数域 $\displaystyle K$ 上的 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，且 $\displaystyle r(A)=r(B)(r(A)$ 是矩阵 $\displaystyle A$ 的秩）．设齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 和 $\displaystyle B X=0$ 的解空间分别是 $\displaystyle U, V$ ．证明存在 $\displaystyle K$ 上的 $\displaystyle n$ 阶可逆矩阵 $\displaystyle T$ ，使得 $\displaystyle f(y)=T y(\forall y \in U)$ 是 $\displaystyle U$ 到 $\displaystyle V$ 的同构映射。（20分）
题20808武汉大学真题
十、（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 都是 $\displaystyle n$ 阶矩阵，$\displaystyle A B=B A$ ，证明：
$$
\operatorname{rank}(A+B) \leqslant \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)-\operatorname{rank}(A B) .
$$
$$
\operatorname{rank}(A+B) \leqslant \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)-\operatorname{rank}(A B) .
$$
题20931浙江大学真题
五、（11 分）求 $\displaystyle V_{1}=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right), V_{2}=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)$ 的和与交的基与维数。其中
$$
\left\{\begin{array}{c}
\alpha_{1}=(1,2,-1,-2) \\
\alpha_{2}=(3,1,1,1) \\
\alpha_{3}=(-1,0,1,-1)
\end{array},\left\{\begin{array}{l}
\beta_{1}=(2,5,-6,-5) \\
\beta_{1}=(-1,2,-7,3)
\end{array}\right.\right.
$$
$$
\left\{\begin{array}{c}
\alpha_{1}=(1,2,-1,-2) \\
\alpha_{2}=(3,1,1,1) \\
\alpha_{3}=(-1,0,1,-1)
\end{array},\left\{\begin{array}{l}
\beta_{1}=(2,5,-6,-5) \\
\beta_{1}=(-1,2,-7,3)
\end{array}\right.\right.
$$
题20935浙江大学真题
九、（6 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换，$\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle V$ 的某组基下的矩阵是 $\displaystyle A$ ，用 $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma$ 表示 $\displaystyle \sigma$ 的核，$\displaystyle \sigma(V)$ 表示 $\displaystyle \sigma$ 的值域。求证：秩 $\displaystyle \left(A^{2}\right)=$ 秩 $\displaystyle (A)$ 的充要条件是 $\displaystyle V=\sigma(V) \oplus \operatorname{Ker} \sigma$
题20951浙江大学真题
8．（10 分）$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是 $\displaystyle n$ 维欧氏空间 $\displaystyle V$ 的子空间，且 $\displaystyle V_{1}$ 的维数小于 $\displaystyle V_{2}$ 的维数，证明：$\displaystyle V_{2}$ 中必有一个非零向量正交于 $\displaystyle V_{1}$ 中的一切向量。
题20970浙江大学真题
9．（16 分）设 $\displaystyle V$ 是 $\displaystyle n$ 维欧氏空间，$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是 $\displaystyle V$ 的子空间，且 $\displaystyle \operatorname{dim} V_{1}<\operatorname{dim} V_{2}$ 。证
明：$\displaystyle V_{2}$ 中存在一个非零向量，它与 $\displaystyle V_{1}$ 中任一个向量正交。
$\displaystyle \operatorname{det} A \geq \operatorname{det} A^{2} \geq \operatorname{det} A^{3} \geq \operatorname{det} A^{4} \geq \cdots$
而秩 A 是有限数，上面的不等式不可能无限不等下去，
必然存在一个正整数 m ，使 $\displaystyle \operatorname{det} A^{m}=\operatorname{det} A^{m+1}$
明：$\displaystyle V_{2}$ 中存在一个非零向量，它与 $\displaystyle V_{1}$ 中任一个向量正交。
$\displaystyle \operatorname{det} A \geq \operatorname{det} A^{2} \geq \operatorname{det} A^{3} \geq \operatorname{det} A^{4} \geq \cdots$
而秩 A 是有限数，上面的不等式不可能无限不等下去，
必然存在一个正整数 m ，使 $\displaystyle \operatorname{det} A^{m}=\operatorname{det} A^{m+1}$
题21047浙江大学真题
2．线性空间上 $\displaystyle \left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{s}\right)$ 与 $\displaystyle \left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{t}\right)$ 是两个线性无关向量组， $\displaystyle \left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{s}\right)=\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{t}\right) A$ ，证：$\displaystyle n-t-r(A) \leq s \leq \min \{r(A), t\}$