习题6-3
6-3-1
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第6-3-1题
1．下列函数确定了 $z$ 是 $t$ 的函数，求 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}$ ．
（1）$z=\mathrm{e}^{u v}, u=\sin t, v=\cos t$ ；
（2）设 $z=\arcsin \left(x-y^{2}\right), x=3 t, y=4 t^{2}$ ；
（3）$z=\ln (x+y)+\arctan t, x=2 t, y=2 t^{3}$ ；
（4）$z=\tan \left(3 t+2 x^{2}-y^{2}\right), x=\frac{1}{t}, y=\sqrt{t}$ ．
6-3-10
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第6-3-10题
10．设 $z=f\left(x^{2}+y^{2}\right)$ ，其中函数 $f$ 有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} 、 \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} 、 \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．
6-3-11
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第6-3-11题
11．设 $z=f(u, x, y)$ ，而 $u=x \mathrm{e}^{y}$ ，其中函数 $f$ 有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} 、 \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$ 、
$\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$.
6-3-12
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第6-3-12题
12．设 $z=\mathrm{e}^{u} \sin v$ ，而 $u=x y, v=x+y$ ，利用全微分形式不变性求 $z_{x}$ 和 $z_{y}$ ．
6-3-13
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第6-3-13题
13．利用一阶全微分形式的不变性求函数 $u=\frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ 的偏导数．
6-3-14
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第6-3-14题
14．下列方程确定了 $y$ 是 $x$ 的函数，求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ．
（1） $\sin y+\mathrm{e}^{x}-x y^{2}=0$ ；
（2） $\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\arctan \frac{y}{x}$ ；
（3）$y=1+x \mathrm{e}^{y}$ ；
（4）$x^{y}=y^{x}$ ．
6-3-15
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第6-3-15题
15．下列方程确定了 $z$ 是 $x 、 y$ 的函数，求 $\frac{\partial z}{\partial x} 、 \frac{\partial z}{\partial y}$ ．
（1） $\mathrm{e}^{x}-x y z=0$ ；
（2）$z^{3}-3 x y z=0$ ；
（3） $2 x z+\ln (x y z)=0$ ；
（4） $\sin (x-2 y+3 z)=x+2 y-3 z$ ；
（5）$x^{2}+y^{2}+2 x-2 y z=\mathrm{e}^{z}$ ；
（6）$z^{3}-3 x y z=a^{3}$（ $a$ 是常数）．
6-3-16
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第6-3-16题
16．设 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 z=0$ ，求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$ ．
6-3-17
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第6-3-17题
17．设 $z=z(x, y)$ 由方程 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=y f(z)$ 所确定（其中 $y f^{\prime} \neq 2 z$ ），试求 $\frac{\partial z}{\partial x} 、 \frac{\partial z}{\partial y}$ ．
6-3-18
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第6-3-18题
18．设 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 x y z(*), f(x, y, z)=x y^{2} z^{3}$ 。
（1）设 $z=z(x, y)$ 是由方程（＊）所确定的隐函数，求 $f_{x}(1,1,1)$ ；
（2）设 $y=y(x, z)$ 是由方程（＊）所确定的隐函数，求 $f_{x}(1,1,1)$ ．
6-3-19
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第6-3-19题
19．设方程 $x+y+z=\mathrm{e}^{z}$ 确定了隐函数 $z=z(x, y)$ ，求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} 、 \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} 、 \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$ ．
6-3-2
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第6-3-2题
2．设 $z=u^{2} \ln v, u=\frac{y}{x}, v=2 x-3 y$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ ．
6-3-20
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第6-3-20题
20．设 $z=x y+u, u=\varphi(x, y)$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x} 、 \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} 、 \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．
6-3-21
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第6-3-21题
21．求下列方程组确定的函数的导数或偏导数．
（1）$\left\{\begin{array}{l}z=x^{2}+y^{2}, \\ x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=20,\end{array}\right.$ 求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} 、 \frac{\mathrm{~d} z}{\mathrm{~d} x}$ 。
（2）$\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=\frac{1}{2} z^{2}, \\ x+y+z=2,\end{array}\right.$ 求 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} z} 、 \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} z}$ ．
（3）$\left\{\begin{array}{l}u^{3}+x v-y=0, \\ v^{3}+y u-x=0,\end{array}\right.$ 求 $\frac{\partial u}{\partial x} 、 \frac{\partial v}{\partial x}$ 。
（4）$\left\{\begin{array}{l}x+y=u+v \\ x \sin v=y \sin u,\end{array}\right.$ 求 $\frac{\partial u}{\partial y} 、 \frac{\partial v}{\partial y}$ ．
6-3-22
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第6-3-22题
22．设函数 $u=x^{2}+y z$ ，而 $z=z(x, y)$ 是由方程 $z=f(x, y+z)$ 确定的可微函数，其中 $f$ 具有连续的偏导数且 $f_{2}^{\prime} \neq 1$ ，求偏导数 $\frac{\partial u}{\partial x} 、 \frac{\partial u}{\partial y}$ ．
6-3-23
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第6-3-23题
23．设 $y=f(x, t)$ ，其中 $t=t(x, y)$ 由方程 $F(x, y, t)=0$ 确定，求 $y$ 对 $x$ 的导数，其中函数 $f 、 F$ 均可微．
6-3-24
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第6-3-24题
24．设 $u=f(x, y, z), y=\varphi(x, t), t=\psi(x, z)$ ，其中 $f$ 、 $\varphi$ 、 $\psi$ 均可微，求 $\frac{\partial u}{\partial x}$ ．
6-3-25
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第6-3-25题
25．设函数 $z=f\left(x^{2}-y^{2}, x^{y}\right)$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．
6-3-26
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第6-3-26题
26．设函数 $u=f\left(x y, \frac{x}{y}\right)$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ ．
6-3-27
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第6-3-27题
27．设函数 $f(u)$ 可微，$\varphi^{\prime}(u)$ 连续且 $\varphi^{\prime}(u) \neq 1, P(t)$ 连续，又 $z=f(u)$ 且 $u=\varphi(u)+ \displaystyle{\int}_{y}^{x} P(t) \mathrm{d} t$ ，求 $P(x) \frac{\partial z}{\partial y}+P(y) \frac{\partial z}{\partial x}$ ．
6-3-28
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第6-3-28题
28．设 $z=z(x, y)$ 为可微函数，且当 $y=x^{2}$ 时有 $z(x, y)=1$ 及 $\frac{\partial z}{\partial x}=x(x \neq 0)$ ，求当 $y=x^{2}$ 时的 $\frac{\partial z}{\partial y}$ ．
6-3-29
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第6-3-29题
29．设 $u=f(z), z=y+x \varphi(z)$ ，其中 $f 、 \varphi$ 可导且 $1-x \varphi^{\prime}(z) \neq 0$ ，求 $\frac{\partial u}{\partial x} 、 \frac{\partial u}{\partial y}$ ．
6-3-3
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第6-3-3题
3．设 $z=\mathrm{e}^{u} \sin v$ ，而 $u=x y, v=x+y$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ ．
6-3-30
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第6-3-30题
30．设函数 $u(x, y)$ 满足方程 $F\left(\frac{\partial u}{\partial x} 、 \frac{\partial u}{\partial y}\right)=0$ ，其中 $u(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，$F$具有不同时为零的偏导数 $F_{1}^{\prime} 、 F_{2}^{\prime}$ ，求 $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}\right)^{2}$ ．
6-3-31
📝 有解析
第6-3-31题
31．求函数 $z=x^{2}+y^{2}$ 在点 $(1,2)$ 处沿从该点到点 $(2,2+\sqrt{3})$ 的方向的方向导数．
6-3-32
📝 有解析
第6-3-32题
32．求函数 $z=\cos (x+y)$ 在点 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 处沿向量（ $3,-4$ ）的方向的方向导数．
6-3-33
📝 有解析
第6-3-33题
33．求函数 $z=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$ 在点 $(1,1)$ 处沿方向余弦 $\cos \alpha=\frac{1}{2}, \cos \beta=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的方向的方向导数．
6-3-34
📝 有解析
第6-3-34题
34．求函数 $u=x y^{2}+z^{3}-x y z$ 在点 $(1,1,2)$ 处沿方向角 $\alpha=\frac{\pi}{3}, \beta=\frac{\pi}{4}, \gamma=\frac{\pi}{3}$ 的方向的方向导数．
6-3-35
📝 有解析
第6-3-35题
35．求函数 $u=\left(\frac{x}{y}\right)^{z}$ 在点 $(1,1,1)$ 处沿向量 $(2,1,-1)$ 的方向的方向导数．
6-3-36
📝 有解析
第6-3-36题
36．设 $f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ，求 $\operatorname{grad} f(1,-1,2)$ ．
6-3-37
📝 有解析
第6-3-37题
37．求函数 $u=x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}+3 x-2 y$ 在点 $(1,1,2)$ 处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？
6-3-38
📝 有解析
第6-3-38题
38．求函数 $u=x y^{2}+z^{3}-x y z$ 在点 $P_{0}(1,1,1)$ 处沿哪个方向的方向导数最大？最大值是多少？
6-3-39
📝 有解析
第6-3-39题
39．设 $f(r)$ 为可微函数，$r=|\boldsymbol{r}|, \boldsymbol{r}=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}+z \boldsymbol{k}$ ．求 $\boldsymbol{g r a d} f(r)$ ．
6-3-4
📝 有解析
第6-3-4题
4．设 $z=x^{2} y-x y^{2}, x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial r} 、 \frac{\partial z}{\partial \theta}$ ．
6-3-40
📝 有解析
第6-3-40题
40．设向量 $\boldsymbol{u}=3 \boldsymbol{i}-4 \boldsymbol{j}, \boldsymbol{v}=4 \boldsymbol{i}+3 \boldsymbol{j}$ ，函数 $f(x, y)$ 在点 $P$ 处可微且 $\left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_{P}=-6,\left.\frac{\partial f}{\partial v}\right|_{P}=17$ ，求 $\left.\mathrm{d} f\right|_{P}$ ．
6-3-41
📝 有解析
第6-3-41题
41．一块金属板在 $x O y$ 平面上占据的区域是 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，已知板上各点的温度是 $T=x y(1-x)(1-y)$ ，在点 $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right)$ 处有一条昆虫，为了尽可能快地逃到冷的地方，它应当按什么方向运动？
6-3-42
📝 有解析
第6-3-42题
42．求函数 $u=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}$（其中常数 $\left.a\gt 0, b\gt 0, c\gt 0\right)$ 在已知点 $M(x, y, z)$处沿此点的向径 $\boldsymbol{r}$ 的方向导数，并问当 $a 、 b 、 c$ 为何关系时，才能使方向导数等于梯度的模。
6-3-5
📝 有解析
第6-3-5题
5．设 $u=\sin x+F(\sin y-\sin x)$ ，其中 $F$ 是可微函数，证明：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} \cos y+\frac{\partial u}{\partial y} \cos x=\cos x \cdot \cos y .
$$
6-3-6
📝 有解析
第6-3-6题
6．设 $f$ 具有一阶连续偏导数，求下列函数的一阶偏导数．
（1）$z=f(3 x+2 y, 4 x-3 y)$ ；
（2）$z=f\left(x^{2}-y^{2}, \mathrm{e}^{x y}\right)$ ；
（3）$z=f(y \ln x, 2 x+3 y)$ ；
（4）$z=f\left(\frac{y}{x}, \frac{x}{y}\right)$ ；
（5）$z=f(x, x+y, x-y)$ ；
（6）$u=f(x, x y, x y z)$ ．
6-3-7
📝 有解析
第6-3-7题
7．设 $w=f(x+x y+x y z)$ ，求 $\frac{\partial w}{\partial x} 、 \frac{\partial w}{\partial y} 、 \frac{\partial w}{\partial z}$ ．
6-3-8
📝 有解析
第6-3-8题
8．设 $z=f\left(\mathrm{e}^{x y}, x^{2}-y^{2}\right)$ ，其中 $f(\xi, \eta)$ 有连续的二阶偏导数，求 $\frac{\partial z}{\partial y} 、 \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$ ．
6-3-9
📝 有解析
第6-3-9题
9．设 $w=f(x+y+z, x y z)$ ，其中函数 $f$ 有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial w}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial^{2} w}{\partial x \partial z}$ ．