共 16 题
题20031中国科学技术大学真题
1．已知 $\displaystyle A \in P^{m \times n}(m<n)$ ，则存在数域 $\displaystyle P$ 上的 $\displaystyle n$ 阶 $\displaystyle Q$ ，使得 $\displaystyle A=\left(I_{m}, O\right) Q$其中 $\displaystyle O$ 是 $\displaystyle m \times(n-m)$ 阶零矩阵。
题20065中国科学院真题
四、设 $\displaystyle A, B$ 为方阵，且 $\displaystyle B$ 为满秩阵，$\displaystyle s$ 为实数，
$$
C=A+s B
$$
试证明：存在正数 $\displaystyle a$ ，使得在 $\displaystyle 0<s<a$ 时，$\displaystyle C$ 满秩．
证明：考虑矩阵 $\displaystyle A B^{-1}+s E=s E-\left(-A B^{-1}\right)$ ，其中 $\displaystyle E$ 为单位阵．
由于关于 $\displaystyle s$ 的方程 $\displaystyle \operatorname{det}\left(s E+A B^{-1}\right)=0$ 仅有有限个根（它们为方 阵 $\displaystyle -A B^{-1}$ 的 全 部 特 征 根）。从 而 数 集 $\displaystyle I=\left\{s>0 \mid \operatorname{det}\left(s E+A B^{-1}\right)=0\right\}$ 为有限集。若 $\displaystyle I \neq \varnothing$ ，则令 $\displaystyle a$ 为数集 $\displaystyle I$ 中的最小数；若 $\displaystyle I=\varnothing$ ，则可取 $\displaystyle a$ 为任何正数．于是，当 $\displaystyle 0<s<a$ 时，必有 $\displaystyle \operatorname{det}\left(s E+A B^{-1}\right) \neq 0$ ．
所以，当 $\displaystyle 0<s<a$ 时，$\displaystyle s E+A B^{-1}$ 为满秩阵，从而
$$
C=A+s B=\left(s E+A B^{-1}\right) B \text { 为满秩阵. }
$$
$$
C=A+s B
$$
试证明：存在正数 $\displaystyle a$ ，使得在 $\displaystyle 0<s<a$ 时，$\displaystyle C$ 满秩．
证明：考虑矩阵 $\displaystyle A B^{-1}+s E=s E-\left(-A B^{-1}\right)$ ，其中 $\displaystyle E$ 为单位阵．
由于关于 $\displaystyle s$ 的方程 $\displaystyle \operatorname{det}\left(s E+A B^{-1}\right)=0$ 仅有有限个根（它们为方 阵 $\displaystyle -A B^{-1}$ 的 全 部 特 征 根）。从 而 数 集 $\displaystyle I=\left\{s>0 \mid \operatorname{det}\left(s E+A B^{-1}\right)=0\right\}$ 为有限集。若 $\displaystyle I \neq \varnothing$ ，则令 $\displaystyle a$ 为数集 $\displaystyle I$ 中的最小数；若 $\displaystyle I=\varnothing$ ，则可取 $\displaystyle a$ 为任何正数．于是，当 $\displaystyle 0<s<a$ 时，必有 $\displaystyle \operatorname{det}\left(s E+A B^{-1}\right) \neq 0$ ．
所以，当 $\displaystyle 0<s<a$ 时，$\displaystyle s E+A B^{-1}$ 为满秩阵，从而
$$
C=A+s B=\left(s E+A B^{-1}\right) B \text { 为满秩阵. }
$$
题20069中国科学院真题
2．（15 分）设 $\displaystyle A, I-A, I-A^{-1}$ 均为可逆方阵。证明：$\displaystyle (I-A)^{-1}+\left(I-A^{-1}\right)^{-1}=I$ 。
（注：这里的 $\displaystyle I$ 是单位阵）
（注：这里的 $\displaystyle I$ 是单位阵）
题20174中国科学院真题
三、 $\displaystyle (12+8=20$ 分）设 $\displaystyle A, B$ 是 $\displaystyle n$ 阶方阵，$\displaystyle A$ 可逆，$\displaystyle B$ 幂零，$\displaystyle A B=B A$ ．
（1）求证：$\displaystyle A+B$ 可逆；
（2）试举例说明要使（1）结论成立，条件 $\displaystyle A B=B A$ 是不可缺少的．
证明：（1）$\displaystyle \because A B=B A \quad \therefore$ 存在可逆矩阵 $\displaystyle P$ 使 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 同为上三角矩阵，且上三角矩阵的主对角元素是它们的特征值
$\displaystyle \therefore P^{-1}(A+B) P$ 为上三角矩阵，且主对角元素为 $\displaystyle A, B$ 的特征值之和
$\displaystyle \because A$ 可逆，$\displaystyle B$ 幂零 $\displaystyle \therefore A$ 的特征值均不为零，$\displaystyle B$ 的特征值都是零
$\displaystyle \therefore P^{-1}(A+B) P$ 的特征值就是 $\displaystyle A$ 的特征值
$\displaystyle \therefore P^{-1}(A+B) P$ 可逆 $\displaystyle \therefore A+B$ 可逆．
（2）例如 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，显然 $\displaystyle A$ 可逆，$\displaystyle B$ 幂零。
$\displaystyle \because A B=\left(\begin{array}{ll}0 & 2 \\ 0 & 2\end{array}\right) \neq\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 0 & 0\end{array}\right)=B A, \quad A+B=\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right)$ 不可逆
∴ 条件 $\displaystyle A B=B A$ 是不可缺少的．
（1）求证：$\displaystyle A+B$ 可逆；
（2）试举例说明要使（1）结论成立，条件 $\displaystyle A B=B A$ 是不可缺少的．
证明：（1）$\displaystyle \because A B=B A \quad \therefore$ 存在可逆矩阵 $\displaystyle P$ 使 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 同为上三角矩阵，且上三角矩阵的主对角元素是它们的特征值
$\displaystyle \therefore P^{-1}(A+B) P$ 为上三角矩阵，且主对角元素为 $\displaystyle A, B$ 的特征值之和
$\displaystyle \because A$ 可逆，$\displaystyle B$ 幂零 $\displaystyle \therefore A$ 的特征值均不为零，$\displaystyle B$ 的特征值都是零
$\displaystyle \therefore P^{-1}(A+B) P$ 的特征值就是 $\displaystyle A$ 的特征值
$\displaystyle \therefore P^{-1}(A+B) P$ 可逆 $\displaystyle \therefore A+B$ 可逆．
（2）例如 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，显然 $\displaystyle A$ 可逆，$\displaystyle B$ 幂零。
$\displaystyle \because A B=\left(\begin{array}{ll}0 & 2 \\ 0 & 2\end{array}\right) \neq\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 0 & 0\end{array}\right)=B A, \quad A+B=\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right)$ 不可逆
∴ 条件 $\displaystyle A B=B A$ 是不可缺少的．
题20175中国科学院真题
四、（20分）求证：任意 $\displaystyle n$ 阶实方阵 $\displaystyle A$ 的特征向量，也是其伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 的特征向量．
证明：$\displaystyle \because r\left(A^{*}\right)=\left\{\begin{array}{ll}0, & r(A)<n-1 \\ 1, & r(A)=n-1 \\ n, & r(A)=n\end{array} \quad \therefore\right.$ 可对 $\displaystyle r(A)$ 展开讨论．
设 $\displaystyle \lambda$ 为 $\displaystyle A$ 的任意一个特征值，$\displaystyle \xi$ 为 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda$ 的任意一个特征向量，则由二者的任意性可知 $\displaystyle \xi$ 可以代表 $\displaystyle A$ 的任意一个特征值．
若 $\displaystyle r(A)<n-1$ ，则 $\displaystyle r\left(A^{*}\right)=0, A^{*}=0 \Rightarrow A^{*} \xi=0=0 \cdot \xi$ ，故 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle A^{*}$ 的特征向量；
若 $\displaystyle r(A)=n$ ，则 $\displaystyle A$ 可逆，故 $\displaystyle \lambda \neq 0 . \because A A^{*}=A^{*} A=|A| I_{n}$
$\displaystyle \therefore|A| \xi=|A| I_{n} \cdot \xi=A^{*} A \xi=\lambda A^{*} \xi \therefore A^{*} \xi=\frac{|A|}{\lambda} \xi$ ，故 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle A^{*}$ 的特征向量；
若 $\displaystyle r(A)=n-1$ ，则 $\displaystyle r\left(A^{*}\right)=1$ ，故 $\displaystyle A^{*}$ 有且只有一个非零特征值（重根按重数计算），且 $\displaystyle A^{*}$ 必有非零元素，不妨设 $\displaystyle A^{*}$ 的第一行第一列元素非零，则
$$
A^{*}=\left(\begin{array}{cccc}
a & b_{2} a & \cdots & b_{n} a \\
c_{2} a & b_{2} c_{2} a & \cdots & b_{n} c_{2} a \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
c_{n} a & b_{2} c_{n} a & \cdots & b_{n} c_{n} a
\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c}
c_{1} \\
c_{2} \\
\vdots \\
c_{n}
\end{array}\right)\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)
$$
其中，$\displaystyle a \in \mathbb{R}$ 且 $\displaystyle a \neq 0, b_{i}, c_{i} \in \mathbb{R},(i=1,2, \cdots, n)$ 且 $\displaystyle b_{1}=c_{1}=1$ ．
所以，$\displaystyle A^{*}$ 的非零特征值为
$$
a\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)\left(\begin{array}{c}
c_{1} \\
c_{2} \\
\vdots \\
c_{n}
\end{array}\right)=a \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i}
$$
$\displaystyle \because \lambda A^{+} \xi=A^{+} A \xi=0 \quad \therefore \lambda=0$ 或 $\displaystyle A^{+} \xi=0$
若 $\displaystyle A^{*} \xi=0$ ，则 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle A^{*}$ 的属于特征值 0 的特征向量；
若 $\displaystyle A^{*} \xi \neq 0$ ，则 $\displaystyle \lambda=0, A \xi=0$ ．
$\displaystyle \because A A^{*}=0 \quad \therefore\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n}\end{array}\right)$ 是 $\displaystyle A$ 的属于特征值 0 的特征向量．
$\displaystyle \because r(A)=n-1 \quad \therefore A$ 的特征值 0 是单根，故 $\displaystyle \xi=k\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n}\end{array}\right), k \neq 0$
$\displaystyle \therefore A^{*} \xi=k A^{*}\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n}\end{array}\right)=a k\left(\begin{array}{c}\sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i} \\ c_{2} \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i} \\ \vdots \\ c_{n} \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i}\end{array}\right)=a \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i} \cdot k\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n}\end{array}\right)=a \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i} \cdot \xi$
故 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle A^{*}$ 的属于非零特征值 $\displaystyle a \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i}$ 的特征向量．
综上所述，由 $\displaystyle \xi$ 的任意性可得
任意 $\displaystyle n$ 阶实方阵 $\displaystyle A$ 的特征向量，也是其伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 的特征向量。
证明：$\displaystyle \because r\left(A^{*}\right)=\left\{\begin{array}{ll}0, & r(A)<n-1 \\ 1, & r(A)=n-1 \\ n, & r(A)=n\end{array} \quad \therefore\right.$ 可对 $\displaystyle r(A)$ 展开讨论．
设 $\displaystyle \lambda$ 为 $\displaystyle A$ 的任意一个特征值，$\displaystyle \xi$ 为 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda$ 的任意一个特征向量，则由二者的任意性可知 $\displaystyle \xi$ 可以代表 $\displaystyle A$ 的任意一个特征值．
若 $\displaystyle r(A)<n-1$ ，则 $\displaystyle r\left(A^{*}\right)=0, A^{*}=0 \Rightarrow A^{*} \xi=0=0 \cdot \xi$ ，故 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle A^{*}$ 的特征向量；
若 $\displaystyle r(A)=n$ ，则 $\displaystyle A$ 可逆，故 $\displaystyle \lambda \neq 0 . \because A A^{*}=A^{*} A=|A| I_{n}$
$\displaystyle \therefore|A| \xi=|A| I_{n} \cdot \xi=A^{*} A \xi=\lambda A^{*} \xi \therefore A^{*} \xi=\frac{|A|}{\lambda} \xi$ ，故 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle A^{*}$ 的特征向量；
若 $\displaystyle r(A)=n-1$ ，则 $\displaystyle r\left(A^{*}\right)=1$ ，故 $\displaystyle A^{*}$ 有且只有一个非零特征值（重根按重数计算），且 $\displaystyle A^{*}$ 必有非零元素，不妨设 $\displaystyle A^{*}$ 的第一行第一列元素非零，则
$$
A^{*}=\left(\begin{array}{cccc}
a & b_{2} a & \cdots & b_{n} a \\
c_{2} a & b_{2} c_{2} a & \cdots & b_{n} c_{2} a \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
c_{n} a & b_{2} c_{n} a & \cdots & b_{n} c_{n} a
\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c}
c_{1} \\
c_{2} \\
\vdots \\
c_{n}
\end{array}\right)\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)
$$
其中，$\displaystyle a \in \mathbb{R}$ 且 $\displaystyle a \neq 0, b_{i}, c_{i} \in \mathbb{R},(i=1,2, \cdots, n)$ 且 $\displaystyle b_{1}=c_{1}=1$ ．
所以，$\displaystyle A^{*}$ 的非零特征值为
$$
a\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)\left(\begin{array}{c}
c_{1} \\
c_{2} \\
\vdots \\
c_{n}
\end{array}\right)=a \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i}
$$
$\displaystyle \because \lambda A^{+} \xi=A^{+} A \xi=0 \quad \therefore \lambda=0$ 或 $\displaystyle A^{+} \xi=0$
若 $\displaystyle A^{*} \xi=0$ ，则 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle A^{*}$ 的属于特征值 0 的特征向量；
若 $\displaystyle A^{*} \xi \neq 0$ ，则 $\displaystyle \lambda=0, A \xi=0$ ．
$\displaystyle \because A A^{*}=0 \quad \therefore\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n}\end{array}\right)$ 是 $\displaystyle A$ 的属于特征值 0 的特征向量．
$\displaystyle \because r(A)=n-1 \quad \therefore A$ 的特征值 0 是单根，故 $\displaystyle \xi=k\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n}\end{array}\right), k \neq 0$
$\displaystyle \therefore A^{*} \xi=k A^{*}\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n}\end{array}\right)=a k\left(\begin{array}{c}\sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i} \\ c_{2} \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i} \\ \vdots \\ c_{n} \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i}\end{array}\right)=a \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i} \cdot k\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n}\end{array}\right)=a \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i} \cdot \xi$
故 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle A^{*}$ 的属于非零特征值 $\displaystyle a \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i}$ 的特征向量．
综上所述，由 $\displaystyle \xi$ 的任意性可得
任意 $\displaystyle n$ 阶实方阵 $\displaystyle A$ 的特征向量，也是其伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 的特征向量。
题20217云南大学真题
10．设 $\displaystyle A$ 是数域 $\displaystyle P$ 上的 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，如果 $\displaystyle B$ 是 $\displaystyle n$ 级可逆矩阵，则
秩 $\displaystyle (A) \cdots-\cdots$ 秩 $\displaystyle (A \mathbf{B})$ 。
（A）$\displaystyle <$ ；
（B）$\displaystyle \neq$ ；
（C）$\displaystyle >$ ；
（D）$\displaystyle =$ ．
秩 $\displaystyle (A) \cdots-\cdots$ 秩 $\displaystyle (A \mathbf{B})$ 。
（A）$\displaystyle <$ ；
（B）$\displaystyle \neq$ ；
（C）$\displaystyle >$ ；
（D）$\displaystyle =$ ．
题20226云南大学真题
十一．（ 7 分）
在数域 $\displaystyle P$ 上 $\displaystyle n$ 级方阵的全体 $\displaystyle P^{n \times n}$ 中，求出所有仅与自己相似的方阵
在数域 $\displaystyle P$ 上 $\displaystyle n$ 级方阵的全体 $\displaystyle P^{n \times n}$ 中，求出所有仅与自己相似的方阵
题20463南京大学真题
五、（10 分）设 $\displaystyle m(\lambda)$ 是数域 $\displaystyle P$ 上 $\displaystyle n$ 级方阵 $\displaystyle A$ 的最小多项式，$\displaystyle f(\lambda)$ 是数域 $\displaystyle P$ 上任一多项式．证明：$\displaystyle f(A)$ 可逆 $\displaystyle \Longleftrightarrow(m(\lambda), f(\lambda))=1$ ．
2005 南京大学高代解答 下页
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题20471南京大学真题
7．任意一个可逆对称矩阵的逆矩阵也是可逆对称矩阵。
解答：正确，可逆矩阵存在 ⇔ 逆矩阵存在且可逆，$\displaystyle (A B)^{\prime}=B^{\prime} A^{\prime}=B^{\prime} A=E=B A$
解答：正确，可逆矩阵存在 ⇔ 逆矩阵存在且可逆，$\displaystyle (A B)^{\prime}=B^{\prime} A^{\prime}=B^{\prime} A=E=B A$
题20478南京大学真题
六、（10 分）设 A 为 n 级可逆矩阵，U，V 为 $\displaystyle \mathrm{n} * \mathrm{~m}$ 矩阵， $\displaystyle \mathrm{E}_{\mathrm{m}}$ 是 m 级单位矩阵。若秩 $\displaystyle \left(V^{\prime} A^{-1} U+E_{m}\right)<m$ ，则秩 $\displaystyle \left(A+U V^{\prime}\right)<n$ ，其中 $\displaystyle V^{\prime}$ 表示 V 的转置。
分析：该类型涉及比较秩大小的题目基本思路为利用初等行变换、分块矩阵和矩阵秩与解个数的关系，看到该题目时首先想到构造分块矩阵证明但一直没有构造成功，后改用矩阵秩与解个数关系证明。首先发现已知和证明部分是同变化趋势即已知小于 m ，证小于 n ，若能找到 $\displaystyle V^{\prime} A^{-1} U+E_{m}$ 和 $\displaystyle A+U V^{\prime}$ 的联系，即可证明。
证明：构造 $\displaystyle \left(V^{\prime} A^{-1} U+E_{m}\right) X=0$ 和 $\displaystyle \left(A+U V^{\prime}\right) X=0$ ，故 $\displaystyle \left(V^{\prime} A^{-1} U+E_{m}\right) X=0$ 解的个数为 $\displaystyle m-$ 秩 $\displaystyle \left(V^{\prime} A^{-1} U+E_{m}\right),\left(A+U V^{\prime}\right) X=0$ 解的个数为 $\displaystyle n-$ 秩 $\displaystyle \left(A+U V^{\prime}\right)$ ，而 $\displaystyle \left(V^{\prime} A^{-1} U+E_{m}\right) X=0 \Leftrightarrow V^{\prime} A^{-1} U X+X=0$ 和 $\displaystyle \left(A+U V^{\prime}\right) X=0 \Leftrightarrow A^{-1} U V^{\prime} X+X=0$有相同的解个数，故 $\displaystyle m$－秩 $\displaystyle \left(V^{\prime} A^{-1} U+E_{m}\right)=n-$ 秩 $\displaystyle \left(A+U V^{\prime}\right)$ ，所以当秩 $\displaystyle \left(V^{\prime} A^{-1} U+E_{m}\right)<m$ 时有秩 $\displaystyle \left(A+U V^{\prime}\right)<n$ 。
分析：该类型涉及比较秩大小的题目基本思路为利用初等行变换、分块矩阵和矩阵秩与解个数的关系，看到该题目时首先想到构造分块矩阵证明但一直没有构造成功，后改用矩阵秩与解个数关系证明。首先发现已知和证明部分是同变化趋势即已知小于 m ，证小于 n ，若能找到 $\displaystyle V^{\prime} A^{-1} U+E_{m}$ 和 $\displaystyle A+U V^{\prime}$ 的联系，即可证明。
证明：构造 $\displaystyle \left(V^{\prime} A^{-1} U+E_{m}\right) X=0$ 和 $\displaystyle \left(A+U V^{\prime}\right) X=0$ ，故 $\displaystyle \left(V^{\prime} A^{-1} U+E_{m}\right) X=0$ 解的个数为 $\displaystyle m-$ 秩 $\displaystyle \left(V^{\prime} A^{-1} U+E_{m}\right),\left(A+U V^{\prime}\right) X=0$ 解的个数为 $\displaystyle n-$ 秩 $\displaystyle \left(A+U V^{\prime}\right)$ ，而 $\displaystyle \left(V^{\prime} A^{-1} U+E_{m}\right) X=0 \Leftrightarrow V^{\prime} A^{-1} U X+X=0$ 和 $\displaystyle \left(A+U V^{\prime}\right) X=0 \Leftrightarrow A^{-1} U V^{\prime} X+X=0$有相同的解个数，故 $\displaystyle m$－秩 $\displaystyle \left(V^{\prime} A^{-1} U+E_{m}\right)=n-$ 秩 $\displaystyle \left(A+U V^{\prime}\right)$ ，所以当秩 $\displaystyle \left(V^{\prime} A^{-1} U+E_{m}\right)<m$ 时有秩 $\displaystyle \left(A+U V^{\prime}\right)<n$ 。
题20655武汉大学真题
4．（12 分）设 $\displaystyle A 、 B$ 分别是 $\displaystyle r 、 s$ 阶可逆矩阵，求分块矩阵 $\displaystyle D=\left(\begin{array}{cc}A & C \\ 0 & B\end{array}\right)$ 的逆矩阵．
题20724武汉大学真题
10．设 $\displaystyle A, B$ 是数域 $\displaystyle K$ 上的 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，且 $\displaystyle r(A)=r(B)(r(A)$ 是矩阵 $\displaystyle A$ 的秩）．设齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 和 $\displaystyle B X=0$ 的解空间分别是 $\displaystyle U, V$ ．证明存在 $\displaystyle K$ 上的 $\displaystyle n$ 阶可逆矩阵 $\displaystyle T$ ，使得 $\displaystyle f(y)=T y(\forall y \in U)$ 是 $\displaystyle U$ 到 $\displaystyle V$ 的同构映射。（20分）
题20892浙江大学真题
三、（10 分）矩阵 $\displaystyle A_{m \times n}$ 是行满秩（即秩 $\displaystyle A=m$ ），证明：
（1）存在可逆阵 $\displaystyle Q$ ，使得 $\displaystyle A=\left(E_{m}, 0\right) Q$ ；
（2）存在矩阵 $\displaystyle B_{n \times m}$ ，使得 $\displaystyle A B=E_{m}$ ．
（1）存在可逆阵 $\displaystyle Q$ ，使得 $\displaystyle A=\left(E_{m}, 0\right) Q$ ；
（2）存在矩阵 $\displaystyle B_{n \times m}$ ，使得 $\displaystyle A B=E_{m}$ ．
题20964浙江大学真题
3．（16 分）设 $\displaystyle A, B \in P^{n \times n}$ ，求证：$\displaystyle (A B)^{*}=B^{*} A^{*}$ 。
证明：
（1）当 $\displaystyle |A B| \neq 0$ 时，这时有 $\displaystyle |A| \neq 0,|B| \neq 0$ ，由公式 $\displaystyle A^{*}=|A| A^{-1}$ ，可得
$$
(A B)^{*}=|A B|(A B)^{-1}=|B| B^{-1}|A| A^{-1}=B^{*} A^{*} \text { 。结论成立 }
$$
（2）当 $\displaystyle |A B|=0$ 时，考虑矩阵 $\displaystyle A(\lambda)=A-\lambda E, B(\lambda)=B-\lambda E$ ，由于 $\displaystyle A 、 B$ 都
最多只有有限个特征值，因此存在无穷多个 $\displaystyle \lambda$ ，使得 $\displaystyle |A(\lambda)| \neq 0,|B(\lambda)| \neq 0$
（1）
那么有上面（1）的结论有 $\displaystyle \quad(A(\lambda) B(\lambda))^{*}=(B(\lambda))^{*}(A(\lambda))^{*} \quad$（2）
令 $\displaystyle (A(\lambda) B(\lambda))^{*}=\left(f_{i j}(\lambda)\right)_{n \times n},(B(\lambda))^{*}(A(\lambda))^{*}=\left(g_{i j}(\lambda)\right)_{n \times n}$
由（2）式有 $\displaystyle f_{i j}(\lambda)=g_{i j}(\lambda)$
由于有无穷多个 $\displaystyle \lambda$ 使（1）式成立，从而有无穷多个 $\displaystyle \lambda$ 使（3）式成立，但 $\displaystyle f_{i j}(\lambda), g_{i j}(\lambda)$ 都是多项式，从而（3）式对一切 $\displaystyle \lambda$ 都成立。特别令 $\displaystyle \lambda=0$ ，有
$$
(A B)^{*}=(A(0) B(0))^{*}=B *(0) A *(0)=B * A * \text { 。证毕 }
$$
证明：
（1）当 $\displaystyle |A B| \neq 0$ 时，这时有 $\displaystyle |A| \neq 0,|B| \neq 0$ ，由公式 $\displaystyle A^{*}=|A| A^{-1}$ ，可得
$$
(A B)^{*}=|A B|(A B)^{-1}=|B| B^{-1}|A| A^{-1}=B^{*} A^{*} \text { 。结论成立 }
$$
（2）当 $\displaystyle |A B|=0$ 时，考虑矩阵 $\displaystyle A(\lambda)=A-\lambda E, B(\lambda)=B-\lambda E$ ，由于 $\displaystyle A 、 B$ 都
最多只有有限个特征值，因此存在无穷多个 $\displaystyle \lambda$ ，使得 $\displaystyle |A(\lambda)| \neq 0,|B(\lambda)| \neq 0$
（1）
那么有上面（1）的结论有 $\displaystyle \quad(A(\lambda) B(\lambda))^{*}=(B(\lambda))^{*}(A(\lambda))^{*} \quad$（2）
令 $\displaystyle (A(\lambda) B(\lambda))^{*}=\left(f_{i j}(\lambda)\right)_{n \times n},(B(\lambda))^{*}(A(\lambda))^{*}=\left(g_{i j}(\lambda)\right)_{n \times n}$
由（2）式有 $\displaystyle f_{i j}(\lambda)=g_{i j}(\lambda)$
由于有无穷多个 $\displaystyle \lambda$ 使（1）式成立，从而有无穷多个 $\displaystyle \lambda$ 使（3）式成立，但 $\displaystyle f_{i j}(\lambda), g_{i j}(\lambda)$ 都是多项式，从而（3）式对一切 $\displaystyle \lambda$ 都成立。特别令 $\displaystyle \lambda=0$ ，有
$$
(A B)^{*}=(A(0) B(0))^{*}=B *(0) A *(0)=B * A * \text { 。证毕 }
$$
题20966浙江大学真题
5．（16分）设 $\displaystyle A, B \in P^{n \times n}$ 且秩 $\displaystyle (A)+$ 秩 $\displaystyle (B) \leq n$ 。证明：存在 $\displaystyle n$ 阶可逆矩阵 $\displaystyle M$使得 $\displaystyle A M B=0$ 。
证明：设矩阵 $\displaystyle A, B$ 的秩分别为 $\displaystyle r_{1}, r_{2}$ 。对于矩阵 $\displaystyle A, B$ ，存在着可逆的 $\displaystyle n$ 级矩阵 $\displaystyle P_{1}, Q_{1}, P_{2}, Q_{2}$ ，使得 $\displaystyle P_{1} A Q_{1}=\Lambda_{r_{1}}, P_{2} B Q_{2}=\Lambda_{r_{2}}$ ，则
$$
\begin{aligned}
A Q_{1}= & P_{1}^{-1} \Lambda_{r_{1}}, P_{2} B=\Lambda_{r_{2}} Q_{2}^{-1} \\
& \left(A Q_{1}\right)\left(P_{2} B\right)=A Q_{1} P_{2} B=P_{1}^{-1} \Lambda_{r_{1}} \Lambda_{r_{2}} Q_{2}^{-1}=0, \text { 令 } A M B=0, \text { 则有 } A M B=0 \text { 成立。 }
\end{aligned}
$$
证明：设矩阵 $\displaystyle A, B$ 的秩分别为 $\displaystyle r_{1}, r_{2}$ 。对于矩阵 $\displaystyle A, B$ ，存在着可逆的 $\displaystyle n$ 级矩阵 $\displaystyle P_{1}, Q_{1}, P_{2}, Q_{2}$ ，使得 $\displaystyle P_{1} A Q_{1}=\Lambda_{r_{1}}, P_{2} B Q_{2}=\Lambda_{r_{2}}$ ，则
$$
\begin{aligned}
A Q_{1}= & P_{1}^{-1} \Lambda_{r_{1}}, P_{2} B=\Lambda_{r_{2}} Q_{2}^{-1} \\
& \left(A Q_{1}\right)\left(P_{2} B\right)=A Q_{1} P_{2} B=P_{1}^{-1} \Lambda_{r_{1}} \Lambda_{r_{2}} Q_{2}^{-1}=0, \text { 令 } A M B=0, \text { 则有 } A M B=0 \text { 成立。 }
\end{aligned}
$$
题21053浙江大学真题
8．$\displaystyle f(x)$ 为一多项式，$\displaystyle g(x)$ 是 A 的最小多项式，证明：$\displaystyle f(A)$ 可逆的充要条件是 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$