第4章

section*{1．选择题} （1）微分方程 $x y^{\prime \prime \prime}+\left(y^{\prime \prime}\right)^{2}=x^{5}$ 的阶数是（ ）； A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 （2）微分方程 $3 y^{2} \mathrm{~d} y+3 x^{2} \mathrm{~d} x=0$ 的阶数是（ ）； A． 1 B． 3 C． 2 D． 0 （3）下列方程中，不是微分方程的是（）； A．$\left(y^{\prime}\right)^{2}+3 y=0$ B． $\mathrm{d} y+\frac{1}{x} \mathrm{~d} x=2 \mathrm{~d} x$ C．$y^{\prime \prime}=\mathrm{e}^{x-y}$ D．$x^{2}+y^{2}=K^{2}$ （4）下列函数中，（ ）是微分方程 $\mathrm{d} y-2 x \mathrm{~d} x=0$ 的解； A．$y=2 x$ B．$y=-2 x$ C．$y=-x$ D．$y=x^{2}$ （5）方程 $\frac{\mathrm{d}^{3} y}{\mathrm{~d} x^{3}}+3 \frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}+\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\mathrm{e}^{x}=1$ 的通解应该包含的常数的个数为（）。 A． 2 B． 3 C． 1 D． 0

2．指出下列方程哪些是微分方程，并指出方程的阶数。 （1）$x y y^{\prime \prime}+x\left(y^{\prime}\right)^{3}-y^{4} y^{\prime}=0$ ； （2）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \cos x+y \sin x=0$ ； （3）$y^{2}-\frac{y}{x}=\frac{x}{y}$ ； （4） $3 y^{2} \mathrm{~d} y+3 x^{2} \mathrm{~d} x=1$ ； （5）$(x-2 y) y^{\prime \prime \prime}=2 x^{4}-y$ ； （6）$y^{\prime}=3 y^{\frac{2}{3}}$ ．

3．验证函数 $x=C_{1} \cos k t+C_{2} \sin k t$ 是微分方程 $\frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} t^{2}}+k^{2} x=0$ 的解．并求满足初始条件 $\left.x\right|_{t=0} =A,\left.\frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0}=0$ 的特解．

4．确定下列函数中 $C_{1}, C_{2}$ 的值，使得函数满足所给定的条件． （1）$y=C_{1} \cos x+C_{2} \sin x,\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=3$ ； （2）$y=\left(C_{1}+x C_{2}\right) \mathrm{e}^{2 x},\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1$ ．

5．试求下列微分方程在指定形式下的解． （1）$y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=0$ ，形如 $y=\mathrm{e}^{r x}$ 的解； （2）$x^{2} y^{\prime \prime}+6 x y^{\prime}+4 y=0$ ，形如 $y=x^{\lambda}$ 的解。

6．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 （1）曲线在点 $(x, y)$ 处的切线的斜率等于该点的横坐标的平方； （2）曲线在点 $P(x, y)$ 处的法线与 $x$ 轴的交点为 $Q$ ，且线段 $P Q$ 被 $y$ 轴平分； （3）曲线在点 $M(x, y)$ 处的切线与 $x$ 轴、 $y$ 轴的交点分别为 $P 、 Q$ ，线段 $P Q$ 被点 $M$ 平分，且曲线通过点 $(3,1)$ ．

7．已知曲线过点 $(1,2)$ ，且在该曲线上任意点 $(x, y)$ 处的切线斜率为 $3 x^{2}$ ，求此曲线方程．

1．求下列可分离变量微分方程的通解： （1）$x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x=0$ ； （2）$x y^{\prime}+y=0$ ； （3）$x \mathrm{~d} y+\mathrm{d} x=\mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} x$ ； （4）$\frac{x}{1+y} \mathrm{~d} y-\frac{y}{1+x} \mathrm{~d} x=0$ ； （5）$y^{\prime}=\mathrm{e}^{x+y}$ ； （6）$y \ln x \mathrm{~d} x+x \ln y \mathrm{~d} y=0$ ； （7） $\cos ^{2} x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+y=0$ ； （8）$x\left(y^{2}-1\right) \mathrm{d} x+y\left(x^{2}-1\right) \mathrm{d} y=0$ ．

2．求下列齐次方程的通解： （1）$y^{2}+x^{2} \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=x y \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}$ ； （2）$\frac{\mathrm{d} x}{x^{2}-x y+y^{2}}=\frac{\mathrm{d} y}{2 y^{2}-x y}$ ； （3）$x(\ln x-\ln y) \mathrm{d} y-y \mathrm{~d} x=0$ ； （4）$\left(x+y \cos \frac{y}{x}\right) \mathrm{d} x-x \cos \frac{y}{x} \mathrm{~d} y=0$ ．

3．求下列一阶线性微分方程的通解： （1）$y^{\prime}-\frac{1}{x} y=\frac{1}{1+x}$ ； （2）$y^{\prime}=-2 x y+2 x e^{-x^{2}}$ ； （3）$y^{\prime}+y=\mathrm{e}^{-x}$ ； （4）$y^{\prime}+2 x y=4 x$ ； （5）$x y^{\prime}=x-y$ ； （6）$\left(x^{2}+1\right) y^{\prime}+2 x y=4 x^{2}$ ； （7）$x y^{\prime}+(1-x) y=\mathrm{e}^{2 x}$ ； （8）$\left(y^{2}-6 x\right) y^{\prime}+2 y=0$ ．

4．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）$\left\{\begin{array}{c}y^{\prime} \sin x=y \ln y, \\ \left.y\right|_{x=\frac{\pi}{2}}=\mathrm{e} ;\end{array}\right.$ （2）$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-x^{2}} y^{\prime}=x, \\ \left.y\right|_{x=0}=0 ;\end{array}\right.$ （3）$\left\{\begin{array}{l}(y+3) \mathrm{d} x+\cot x \mathrm{~d} y=0, \\ \left.y\right|_{x=0}=1 ;\end{array}\right.$ （4）$\left\{\begin{array}{l}\cos y \mathrm{~d} x+\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right) \sin y \mathrm{~d} y=0, \\ \left.y\right|_{x=0}=\frac{\pi}{4} ;\end{array}\right.$ （5）$\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=\mathrm{e}^{2 x-y}, \\ \left.y\right|_{x=0}=0 ;\end{array}\right.$ （6）$\left\{\begin{array}{l}x y^{\prime}+y=3, \\ \left.y\right|_{x=1}=0 ;\end{array}\right.$ （7）$\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x y}, \\ \left.y\right|_{x=1}=1 ;\end{array}\right.$ （8）$\left\{\begin{array}{l}\sin x \cos y \mathrm{~d} x=\cos x \sin y \mathrm{~d} y, \\ \left.y\right|_{x=0}=\frac{\pi}{4} ;\end{array}\right.$ （9）$\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-y \tan x=\sec x, \\ \left.y\right|_{x=0}=0 ;\end{array}\right.$ （10）$\left\{\begin{array}{l}x y^{\prime}+y=\sin x, \\ \left.y\right|_{x=\frac{\pi}{2}}=0 ;\end{array}\right.$ （11）$\left\{\begin{array}{l}2 x y^{\prime}=y-x^{3}, \\ \left.y\right|_{x=1}=0 ;\end{array}\right.$ （12）$\left\{\begin{array}{l}x^{2} y^{\prime}+(1-2 x) y=x^{2}, \\ \left.y\right|_{x=1}=0 ;\end{array}\right.$ （13）$\left\{\begin{array}{l}y^{\prime} \cos ^{2} x+y=\tan x, \\ \left.y\right|_{x=0}=0 ;\end{array}\right.$ （14）$\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}+y \cot x=5 \mathrm{e}^{\cos x}, \\ \left.y\right|_{x=\frac{\pi}{2}}=-4 .\end{array}\right.$

5．一曲线通过点 $(2,3)$ ，它在两坐标轴之间的任意切线均被切点所平分，求该曲线的方程．

6．求一曲线方程，该曲线过原点，并且它在点 $(x, y)$ 处的切线斜率等于 $2 x+y$ ．

7．方程 $\displaystyle{\int}_{0}^{x}\left[2 y(t)+\sqrt{t^{2}+y^{2}(t)}\right] \mathrm{d} t=x y(x)$ 是否为齐次方程？

＊8．求微分方程 $y^{\prime}=\frac{1}{2} \tan ^{2}(x+2 y)$ 的通解．

＊9．求微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\cos \frac{x-y}{2}=\cos \frac{x+y}{2}$ 的通解．

1．求下列微分方程的通解： （1）$y^{\prime \prime}=\frac{1}{1+x^{2}}$ ； （2）$y^{\prime \prime}=x+\sin x$ ； （3）$y^{\prime \prime \prime}=x \mathrm{e}^{x}$ ； （4）$y^{\prime \prime}=2 x \ln x$ ； （5）$\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}=2$ ； （6）$y^{\prime \prime}=y^{\prime}+x$ ； （7）$y^{\prime \prime}=1+\left(y^{\prime}\right)^{2}$ ； （8）$x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}=1$ ．

10．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）$y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=5,\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2$ ； （2）$y^{\prime \prime}-y^{\prime}=4 x \mathrm{e}^{x},\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1$ ； （3）$y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=1,\left.y\right|_{x=0}=2,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2$ ； （4）$y^{\prime \prime}+y+\sin 2 x=0,\left.y\right|_{x=\pi}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=\pi}=1$ ； （5）$y^{\prime \prime}-y^{\prime}=2(1-x),\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1$ ； （6）$y^{\prime \prime}-y=4 x \mathrm{e}^{x},\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1$ ．

2．求下列微分方程满足初始条件的特解： （1）$y^{\prime \prime}=\left(y^{\prime}\right)^{\frac{1}{2}},\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1$ ； （2）$\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}=3,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=0$ ； （3）$y^{3} y^{\prime \prime}+1=0,\left.y\right|_{x=1}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=1}=0$ ； （4）$y^{\prime \prime}-a y^{\prime 2}=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=-1$ ； （5）$y^{\prime \prime}=3 \sqrt{y},\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2$ ； （6）$y y^{\prime \prime}=2\left(y^{\prime 2}-y^{\prime}\right),\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2$ ．

3．求微分方程 $\left\{\begin{array}{l}2 y^{\prime \prime}+\frac{1}{y^{2}}=0, \\ \left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1\end{array}\right.$ 的通解．

4．试求 $y^{\prime \prime}=x$ 的经过点 $P(0,1)$ 且在此点处与直线 $y=\frac{x}{2}+1$ 相切的积分曲线方程．

5．下列函数组在其定义域内哪些是线性无关的？ （1） $\mathrm{e}^{x^{2}}, x \mathrm{e}^{x^{2}}$ ； （2） $\mathrm{e}^{a x}, \mathrm{e}^{b x}(a \neq b)$ ．

6．求下列微分方程的通解： （1） $4 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+y=0$ ； （2）$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+13 y=0$ ； （3）$y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}=0$ ； （4）$y^{\prime \prime}-10 y^{\prime}-11 y=0$ ； （5）$y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0$ ； （6）$y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0$ ； （7）$y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=0$ ； （8）$y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0$ ； （9）$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+5 y=0$ ； （10）$y^{(4)}-2 y^{\prime \prime}+y=0$ ； （11）$y^{(4)}+2 y^{\prime \prime}+y=0$ ； （12）$y^{(4)}+3 y^{\prime \prime}-4 y=0$ ．

7．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）$y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-4 y=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=-5$ ； （2）$y^{\prime \prime}+25 y=0,\left.y\right|_{x=0}=2,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=15$ ； （3）$y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+29 y=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=15$ ； （4）$y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=3$ ； （5）$y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0,\left.y\right|_{x=0}=2,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=-1$ ； （6）$y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1$ ； （7）$y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2$ ； （8）$y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0,\left.y\right|_{x=0}=2,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime \prime}\right|_{x=0}=-1$ ．

8．已知 $y_{1}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}, y_{2}=x \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}, y_{3}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{-x}$ 是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解： （1）求此方程的通解； （2）写出此微分方程； （3）求此微分方程满足 $y(0)=7, y^{\prime}(0)=6$ 的特解．

9．求下列微分方程的通解： （1）$y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=2 \mathrm{e}^{x}$ ； （2） $2 y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}=5 x^{2}-2 x-1$ ； （3）$y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=5 \mathrm{e}^{-x}$ ； （4）$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=\mathrm{e}^{-2 x}$ ； （5）$y^{\prime \prime}-y^{\prime}=7 \mathrm{e}^{-x}$ ； （6）$y^{\prime \prime}-y=\mathrm{e}^{2 x}$ ； （7）$y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{3 x}$ ； （8） $2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=2 \mathrm{e}^{x}$ ； （9）$y^{\prime \prime}-y^{\prime}=4 \sin x$ ； （10）$y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=\cos 2 x$ ．

1．质量为 1 g 的质点受外力作用做直线运动，外力与时间成正比．在 $t=10 \mathrm{~s}$ 时，速率为 $50 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ ，外力为 $4 \mathrm{~g} \cdot \mathrm{~cm} / \mathrm{s}^{2}$ 。从运动开始经过 1 min 后的速率是多少？

2．镭的衰变与它的现存量 $R$ 成正比，经过 1600 年以后，只余下原始量 $R_{0}$ 的一半。试求镭的现存量 $R$ 与时间 $t$ 的函数关系．

3．将质量为 $m$ 的物体垂直上抛，假设初始速度为 $v_{0}$ ，空气阻力与速度成正比（比例系数为 $k)$ ，试求在物体上升过程中速度 $v$ 与时间 $t$ 的函数关系．

4．在 $O x$ 轴上，一质量为 $m$ 的质点受力 $A \cos \omega t$ 而运动，初始条件为 $\left.x\right|_{t=0}=a,\left.v\right|_{t=0}=$ 0 ，求该质点的运动方程．

5．一质量为 $m$ 的物体，在黏性液体中由静止自由下落。假设液体阻力与运动速度成正比，试求物体的运动规律．

6．大炮以仰角 $\alpha$ 、初速度 $v_{0}$ 发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线． \begin{tabular}{|l|l|} \hline 基本概念 & 了解微分方程、阶、通解、特解、初始条件、初值问题的概念 \\ \hline 一阶微分方程 & \begin{tabular}{l} 掌握可分离变量方程和齐次方程的解法 \\ 会求一阶线性微分方程的解 \end{tabular} \\ \hline 二阶微分方程 & \begin{tabular}{l} 了解 二阶微分方程解的结构 \\ 会求 可降阶的二阶微分方程的解 \\ 掌握二阶齐次线性微分方程的解法 \\ 会求二阶非齐次线性微分方程（两种基本类型） \end{tabular} \\ \hline 微分方程应用 & 会用微分方程求解一些简单的几何问题和物理问题 \\ \hline \end{tabular}