第三章 一元函数积分学
1
📝 有解析
第1题
例 1 求下列不定积分:
(1) \(\displaystyle \int \frac{{\left( x - 1\right) }^{2}}{\sqrt{x}}\mathrm{\;d}x\) ; (2) \(\displaystyle \int {\left( {\mathrm{e}}^{x} + {\mathrm{e}}^{-x}\right) }^{2}\mathrm{\;d}x\) .
2
📝 有解析
第2题
例 2 求下列不定积分:
(1) \(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{{x}^{4}\left( {1 + {x}^{2}}\right) }\mathrm{d}x\) ; (2) \(\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{1 - {x}^{4}}\mathrm{\;d}x}\) .
3
📝 有解析
第3题
例 3 求下列不定积分:
(1) \(\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{{\tan }^{2}x}}\) ; (2) \(\displaystyle{\int \frac{\cos {2x}}{{\sin }^{2}{2x}}\mathrm{\;d}x}\) ； (3) \(\displaystyle{\int \frac{x\mathrm{\;d}x}{\sqrt{1 + x}}}\) .
4
📝 有解析
第4题
例 4 求不定积分 \(\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{1 + \sin x}}\) .
5
📝 有解析
第5题
例 5 求不定积分 \(\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{2 + {\tan }^{2}x}}\) .
6
📝 有解析
第6题
例 6 求不定积分 \(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{1 + a\cos x}\left( {a > 0}\right)\) .
7
📝 有解析
第7题
例 7 求不定积分 \(\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{{x}^{2} - 1}}}\) .
8
📝 有解析
第8题
例 8 设 \(a < b\) ,求 \(\displaystyle \int \sqrt{\left( {x - a}\right) \left( {b - x}\right) }\mathrm{d}x\) .
9
📝 有解析
第9题
例 9 求不定积分 \(\displaystyle{I = \int \frac{\mathrm{d}x}{1 + {x}^{2} + {x}^{4}},J = \int \frac{{x}^{2}}{1 + {x}^{2} + {x}^{4}}\mathrm{\;d}x}\) .
10
📝 有解析
第10题
例 10 求不定积分 \(\displaystyle{I = \int \frac{{\cos }^{3}x}{\cos x + \sin x}\mathrm{\;d}x,J = \int \frac{{\sin }^{3}x}{\cos x + \sin x}\mathrm{\;d}x}\) .
11
📝 有解析
第11题
例 11 求不定积分 \(\displaystyle{\int \frac{1}{1 + {x}^{3}}\mathrm{\;d}x}\) .
12
📝 有解析
第12题
例 12 求不定积分 \(\displaystyle \int \ln \left( {x + \sqrt{1 + {x}^{2}}}\right) \mathrm{d}x\) .
13
📝 有解析
第13题
例 13 求不定积分 \(\displaystyle{\int \arcsin \frac{2\sqrt{x}}{1 + x}\mathrm{\;d}x}\) .
14
📝 有解析
第14题
例 14 求不定积分 \(\displaystyle \int \frac{x{\mathrm{e}}^{\arctan x}}{{\left( 1 + {x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\mathrm{\;d}x\) .
15
📝 有解析
第15题
例 15 求不定积分 \(\displaystyle{\int \sqrt{1 + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x}\) .
16
📝 有解析
第16题
例 16 求不定积分 \(\displaystyle{\int {x}^{2}\sqrt{{x}^{2} + 1}\mathrm{\;d}x}\) .
17
📝 有解析
第17题
例 17 求 \(\displaystyle \int {\mathrm{e}}^{2x}{\left( \tan x + 1\right) }^{2}\mathrm{\;d}x\) .
18
📝 有解析
第18题
例 18 试利用公式
\[
\int \left( {f\left( x\right) + {f}^{\prime }\left( x\right) }\right) {\mathrm{e}}^{x}\mathrm{\;d}x = \int {\left( {\mathrm{e}}^{x}f\left( x\right) \right) }^{\prime }\mathrm{d}x = {\mathrm{e}}^{x}f\left( x\right) + C
\]
求下列不定积分:
(1) \(\displaystyle \int \frac{x{\mathrm{e}}^{x}}{{\left( 1 + x\right) }^{2}}\mathrm{\;d}x\) ; (2) \(\displaystyle{\int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x}{\mathrm{e}}^{x}\mathrm{\;d}x}\) .
19
📝 有解析
第19题
例 19 求不定积分 \(\displaystyle{\int \frac{{\mathrm{e}}^{x}\mathrm{\;d}x}{{\mathrm{e}}^{x} + {\mathrm{e}}^{-x}}}\) .
20
📝 有解析
第20题
证 因为
\[
{I}_{n} - {I}_{n - 2} = \int \frac{\sin {nx} - \sin \left( {n - 2}\right) x}{\sin x}\mathrm{\;d}x
\]
\[
= 2\int \frac{\cos \left( {n - 1}\right) x\sin x}{\sin x}\mathrm{\;d}x,
\]
所以
\[
{I}_{n} = \frac{2}{n - 1}\sin \left( {n - 1}\right) x + {I}_{n - 2}\;\left( {n > 2}\right) .
\]
评注 建立积分递推公式, 主要是用分部积分法, 但并非只有分部积分法可用, 本题用分部积分法就很难奏效.
21
📝 有解析
第21题
例 21 求不定积分 \(I = \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt[3]{{\left( x + 1\right) }^{2}{\left( x - 1\right) }^{4}}}\) .
22
📝 有解析
第22题
例 22 问下列积分是否可积(即原函数是初等函数):
(1) \(\displaystyle{\int \sqrt{1 + \frac{1}{x}}\mathrm{\;d}x}\) ; (2) \(\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1 + {\sin }^{2}x}}}\) .
1
📝 有解析
第1题
例 1 求极限 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\sin \frac{k\pi }{n}}\) .
思路 把上面极限看成函数 \(f\left( x\right) = \sin {\pi x}\) 在 \(\left\lbrack {0,1}\right\rbrack\) 上的黎曼和.
2
📝 有解析
第2题
例 2 (1) 假设定积分定义中采用等分的方法,并且 \({\xi }_{k}\) 取中点, 试写出 \(f\left( x\right)\) 的黎曼和.
(2)又设 \(f\left( x\right)\) 为凹函数,求证: \(\displaystyle{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x \geq \left( {b - a}\right) f\left( \frac{a + b}{2}\right)\) .
3
📝 有解析
第3题
解 原式 \(= {\left. \arctan x\right| }_{-1}^{1} = \frac{\pi }{4} - \left( {-\frac{\pi }{4}}\right) = \frac{\pi }{2}\) .
提问 本题如下计算是否正确?
\[
\text{ 原式 } = - {\int }_{-1}^{1}\frac{\mathrm{d}\left( \frac{1}{x}\right) }{1 + {\left( \frac{1}{x}\right) }^{2}} = - {\left. \arctan \frac{1}{x}\right| }_{-1}^{1} = - \frac{\pi }{2}.
\]
解答 由定积分的几何意义, 原式积分所表示的曲边梯形面积应为正的, 因此积分值为负数肯定有错误. 错误的原因在于函数 \(F\left( x\right) = - \arctan \frac{1}{x}\) 在点 \(x = 0\) 处不连续.
4
📝 有解析
第4题
解 因为积分区间在 \(\left\lbrack {-2, - \sqrt{2}}\right\rbrack\) 上,所以 \(\left| x\right| = - x\) ,故有
\[
\text{ 原式 } = - {\int }_{-2}^{-\sqrt{2}}\frac{\mathrm{d}x}{{x}^{2}\sqrt{1 - \frac{1}{{x}^{2}}}} = {\int }_{-2}^{-\sqrt{2}}\frac{\mathrm{d}\left( \frac{1}{x}\right) }{\sqrt{1 - {\left( \frac{1}{x}\right) }^{2}}}
\]
\[
= {\left. \arcsin \frac{1}{x}\right| }_{-2}^{-\sqrt{2}} = - \arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} + \arcsin \frac{1}{2}
\]
\[
= - \frac{\pi }{12}\text{ . }
\]
5
📝 有解析
第5题
例 5 设 \(f\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 + {x}^{2}, & x < 0, \\ {\mathrm{e}}^{-x}, & x \geq 0, \end{array}\right.\) 求 \(\displaystyle{\int }_{1}^{3}f\left( {x - 2}\right) \mathrm{d}x\) .
6
📝 有解析
第6题
例 6 计算定积分 \(I = {\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos x\mathrm{\;d}x}{{a}^{2}{\sin }^{2}x + {b}^{2}{\cos }^{2}x}\left( {a,b > 0}\right)\) .
7
📝 有解析
第7题
例 7 设 \(f\left( x\right) \in R\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) ,求证: \({\mathrm{e}}^{f\left( x\right) } \in R\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) .
8
📝 有解析
第8题
例 8 设 \(f\left( x\right) \in R\left\lbrack {a,b}\right\rbrack ,g\left( x\right)\) 与 \(f\left( x\right)\) 只有有限个点上取值不等. 求证:
\[
g\left( x\right) \in R\left\lbrack {a,b}\right\rbrack \text{ ,且 }{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{b}g\left( x\right) \mathrm{d}x\text{ . }
\]
9
📝 有解析
第9题
例 9 求证: (1) 极限 \(\mathop{\lim }\limits_{{b \rightarrow 1}}{\int }_{0}^{b}\frac{\cos x}{\sqrt{1 - {x}^{2}}}\mathrm{\;d}x\left( {0 < b < 1}\right)\) 存在;
(2) \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{b \rightarrow 1}}{\int }_{0}^{b}\frac{\cos x}{\sqrt{1 - {x}^{2}}}\mathrm{\;d}x > 1}\) .
10
📝 有解析
第10题
例 10 设 \(f\left( x\right) ,g\left( x\right) \in R\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) ,求证:
\[
\left| {{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq \sqrt{{\int }_{a}^{b}{f}^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x} \cdot \sqrt{{\int }_{a}^{b}{g}^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x}.
\]
1
📝 有解析
第1题
例 1 求积分 \(\displaystyle{\int }_{0}^{a}\arctan \sqrt{\frac{a - x}{a + x}}\mathrm{\;d}x\left( {a > 0}\right)\) .
2
📝 有解析
第2题
例 2 (1) 设 \(f\left( x\right)\) 为 \(\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack\) 上的三次多项式,求证:
\[
{\int }_{-1}^{1}f\left( x\right) \mathrm{d}x = \frac{1}{3}\{ f\left( {-1}\right) + {4f}\left( 0\right) + f\left( 1\right) \} . \tag{3.1}
\]
(2)设 \(f\left( x\right)\) 为 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上的三次多项式,求证:
\[
{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = \frac{b - a}{6}\left\{ {f\left( a\right) + {4f}\left( \frac{a + b}{2}\right) + f\left( b\right) }\right\} . \tag{3.2}
\]
3
📝 有解析
第3题
例 3 设 \(f\left( x\right)\) 是可积的且以 \(T\) 为周期的周期函数. 求证:
\[
{\int }_{0}^{T}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{a + T}f\left( x\right) \mathrm{d}x\;\left( {\forall a \in \mathbf{R}}\right) .
\]
4
📝 有解析
第4题
例 4 若 \(f\left( x\right)\) 是连续的且以 \(T\) 为周期的周期函数,求证: \(f\left( x\right)\) 的任一原函数是以 \(T\) 为周期的周期函数与线性函数之和.
思路 只要证明 \(\displaystyle{\int }_{0}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t = \varphi \left( x\right) + {kx}\) ,其中 \(\varphi \left( x\right)\) 是以 \(T\) 为周期的周期函数, \(k\) 是待定常数. 由 \(\varphi \left( T\right) = \varphi \left( 0\right) = 0\) ,容易确定
\[
k = \frac{1}{T}{\int }_{0}^{T}f\left( t\right) \mathrm{d}t
\]
5
📝 有解析
第5题
解( 1 )由题设条件, 有
\[
{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x\frac{x = \frac{a + b}{2} + u}{2}{\int }_{-\frac{b - a}{2}}^{\frac{b - a}{2}}f\left( {\frac{a + b}{2} + u}\right) \mathrm{d}u
\]
\[
= {\int }_{-\frac{b - a}{2}}^{0}f\left( {\frac{a + b}{2} + u}\right) \mathrm{d}u + {\int }_{0}^{\frac{b - a}{2}}f\left( {\frac{a + b}{2} + u}\right) \mathrm{d}u
\]
\[
= {\int }_{0}^{\frac{b - a}{2}}f\left( {\frac{a + b}{2} - u}\right) \mathrm{d}u + {\int }_{0}^{\frac{b - a}{2}}f\left( {\frac{a + b}{2} + u}\right) \mathrm{d}u
\]
\[
\overset{\left( {3.3}\right) \text{ 式 }}{ = }2{\int }_{0}^{\frac{b - a}{2}}f\left( {\frac{a + b}{2} + u}\right) \mathrm{d}u,
\]
\[
{\int }_{a}^{b}g\left( x\right) \mathrm{d}x = \frac{x + b + u}{2}{\int }_{-\frac{b - a}{2}}^{\frac{b - a}{2}}g\left( {\frac{a + b}{2} + u}\right) \mathrm{d}u
\]
\[
= {\int }_{-\frac{b - a}{2}}^{0}g\left( {\frac{a + b}{2} + u}\right) \mathrm{d}u + {\int }_{0}^{\frac{b - a}{2}}g\left( {\frac{a + b}{2} + u}\right) \mathrm{d}u
\]
\[
= {\int }_{0}^{\frac{b - a}{2}}g\left( {\frac{a + b}{2} - u}\right) \mathrm{d}u + {\int }_{0}^{\frac{b - a}{2}}g\left( {\frac{a + b}{2} + u}\right) \mathrm{d}u
\]
\[
= {\int }_{0}^{\frac{b - a}{2}}\left\{ {g\left( {\frac{a + b}{2} - u}\right) + g\left( {\frac{a + b}{2} + u}\right) }\right\} \mathrm{d}u
\]
\[
\frac{\left( {3.3}\right) }{n} = 0\text{ . }
\]
(2) \(\displaystyle{\int }_{0}^{\pi }\frac{x}{1 + {\cos }^{2}x}\mathrm{\;d}x = {\int }_{0}^{\pi }\frac{x - \frac{\pi }{2}}{1 + {\cos }^{2}x}\mathrm{\;d}x + \frac{\pi }{2}{\int }_{0}^{\pi }\frac{1}{1 + {\cos }^{2}x}\mathrm{\;d}x}\)
\[
\overset{\text{ 由(1) }}{ = }\pi {\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{1 + {\cos }^{2}x}\mathrm{\;d}x
\]
\[
= \pi {\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{{\cos }^{2}x\left( {1 + {\sec }^{2}x}\right) }\mathrm{d}x
\]
\[
\frac{u = \tan x}{}\pi {\int }_{0}^{\infty }\frac{1}{2 + {u}^{2}}\mathrm{\;d}u = \frac{{\pi }^{2}}{2\sqrt{2}}.
\]
6
📝 有解析
第6题
解( 1 )因为
\[
I = {\int }_{0}^{a}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x = \frac{u - x}{}{\int }_{0}^{a}f\left( {a - u}\right) g\left( {a - u}\right) \mathrm{d}u
\]
\[
\overset{\left( {3.4}\right) }{ = }k{\int }_{0}^{a}f\left( u\right) \mathrm{d}u - I,
\]
所以
\[
I = \frac{1}{2}k{\int }_{0}^{a}f\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
(2)令 \(f\left( x\right) = \frac{\sin x}{1 + {\cos }^{2}x},g\left( x\right) = x\) ,显然, \(f\left( x\right) ,g\left( x\right)\) 满足 (3.4) 式,所以
\[
{\int }_{0}^{\pi }\frac{x\sin x}{1 + {\cos }^{2}x}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{2}{\int }_{0}^{\pi }\frac{\sin x}{1 + {\cos }^{2}x}\mathrm{\;d}x
\]
\[
\overset{x = - \cos x}{ = }\frac{\pi }{2}{\int }_{-1}^{1}\frac{1}{1 + {u}^{2}}\mathrm{\;d}u = \frac{{\pi }^{2}}{4}.
\]
7
📝 有解析
第7题
例 7 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上连续,求证:
\[
{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{b}f\left( {a + b - x}\right) \mathrm{d}x,
\]
并由此计算
\[
{\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\frac{{\cos }^{2}x}{x\left( {\pi - {2x}}\right) }\mathrm{d}x.
\]
8
📝 有解析
第8题
例 8 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上二阶连续可微,且 \({f}^{\prime \prime }\left( x\right) > 0\) ,求证
\[
{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x - \frac{1}{2}\left( {b - a}\right) \left( {f\left( a\right) + f\left( b\right) }\right) \mathrm{d}x
\]
\[
= \frac{1}{2}{\int }_{a}^{b}{f}^{\prime \prime }\left( x\right) \left( {x - a}\right) \left( {x - b}\right) \mathrm{d}x. \tag{3.5}
\]
9
📝 有解析
第9题
例 9 设 \({f}^{\prime \prime }\left( x\right) > 0\left( {\forall x \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack }\right)\) ,求证 \(\displaystyle{\int }_{0}^{1}f\left( {x}^{\lambda }\right) \mathrm{d}x \geq f\left( \frac{1}{\lambda + 1}\right)\) , 其中 \(\lambda\) 为任意正实数.
10
📝 有解析
第10题
例 10 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上连续且单调增加,求证:
\[
{\int }_{a}^{b}{xf}\left( x\right) \mathrm{d}x \geq \frac{a + b}{2}{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
11
📝 有解析
第11题
例 11 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {0,1}\right\rbrack\) 上连续可导,且 \(f\left( 0\right) = 0,f\left( 1\right) = 1\) ,求证:
\[
{\int }_{0}^{1}\left| {f\left( x\right) - {f}^{\prime }\left( x\right) }\right| \geq {\mathrm{e}}^{-1}. \tag{3.14}
\]
12
📝 有解析
第12题
例 12 设函数 \(f\left( x\right)\) 二阶可微,求证: 存在 \(\xi \in \left( {a,b}\right)\) ,使得
\[
\left| {{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x - \left( {b - a}\right) f\left( \frac{a + b}{2}\right) }\right| \leq \frac{{M}_{2}}{24}{\left( b - a\right) }^{3}, \tag{3.16}
\]
其中 \({M}_{2} = \mathop{\max }\limits_{{x \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack }}\left| {{f}^{\prime \prime }\left( x\right) }\right|\) .
13
📝 有解析
第13题
例 13 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {0,1}\right\rbrack\) 上有连续的一阶导数,且 \(f\left( x\right) \geq 0\) , \({f}^{\prime }\left( x\right) \leq 0\) . 若 \(F\left( x\right) \overset{\text{ 定义 }}{ = }{\int }_{0}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t\) ,求证: 对任意的 \(x \in \left( {0,1}\right)\) ,都有
\[
{xF}\left( 1\right) \leq F\left( x\right) \leq 2{\int }_{0}^{1}F\left( t\right) \mathrm{d}t.
\]
第一个不等式的证明
14
📝 有解析
第14题
例 14 设 \({f}^{\prime }\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {0,1}\right\rbrack\) 上连续,求证:
\[
{\int }_{0}^{1}\left| {f\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x \leq \max \left\{ {{\int }_{0}^{1}\left| {{f}^{\prime }\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x,\left| {{\int }_{0}^{1}f\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| }\right\} .
\]
15
📝 有解析
第15题
例 15 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {0,1}\right\rbrack\) 上二阶连续可导, \(f\left( 0\right) = f\left( 1\right) = 0\) ,并且 \(f\left( x\right) \neq 0\left( {\forall x \in \left( {0,1}\right) }\right)\) . 求证:
\[
{\int }_{0}^{1}\left| \frac{{f}^{\prime \prime }\left( x\right) }{f\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x > 4. \tag{3.18}
\]
16
📝 有解析
第16题
例 16 设 \(f\left( x\right) \geq 0\) 在 \(\left\lbrack {0,1}\right\rbrack\) 上连续,且单调下降, \(0 < \alpha < \beta < 1\) . 求证:
\[
{\int }_{0}^{\alpha }f\left( x\right) \mathrm{d}x \geq \frac{\alpha }{\beta }{\int }_{\alpha }^{\beta }f\left( x\right) \mathrm{d}x. \tag{3.26}
\]
17
📝 有解析
第17题
例 17 设 \(a > 0,{f}^{\prime }\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {0,a}\right\rbrack\) 上连续,求证:
\[
\left| {f\left( 0\right) }\right| \leq \frac{1}{a}{\int }_{0}^{a}\left| {f\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x + {\int }_{0}^{a}\left| {{f}^{\prime }\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x.
\]
18
📝 有解析
第18题
例 18 设 \(f\left( x\right)\) 是在 \(\left( {-\infty , + \infty }\right)\) 上的周期函数,周期为 \(T\) ,并满足:
(1) \(\left| {f\left( x\right) - f\left( y\right) }\right| \leq L\left| {x - y}\right| \left( {\forall x,y \in \left( {-\infty , + \infty }\right) }\right)\) ,其中 \(L\) 为常数;
(2) \(\displaystyle{\int }_{0}^{T}f\left( x\right) \mathrm{d}x = 0\) .
求证: \(\mathop{\max }\limits_{{x \in \left\lbrack {0,T}\right\rbrack }}\left| {f\left( x\right) }\right| \leq \frac{1}{2}{LT}\) .
19
📝 有解析
第19题
例 19 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {0,1}\right\rbrack\) 上可微,且 \(0 < {f}^{\prime }\left( x\right) < 1(\forall x \in\)
\(\left( {0,1}\right) ),f\left( 0\right) = 0\) . 求证:
\[
{\left( {\int }_{0}^{1}f\left( x\right) \mathrm{d}x\right) }^{2} > {\int }_{0}^{1}{f}^{3}\left( x\right) \mathrm{d}x. \tag{3.29}
\]
20
📝 有解析
第20题
例 20 设 \(f\left( x\right) \geq 0\) 在 \(\left\lbrack {0,1}\right\rbrack\) 上连续, \(f\left( 1\right) = 0\) . 求证: 存在 \(\xi \in\) (0,1),使得
\[
f\left( \xi \right) = {\int }_{0}^{\xi }f\left( x\right) \mathrm{d}x. \tag{3.33}
\]
21
📝 有解析
第21题
例 21 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上连续、不恒等于常数,且
\[
f\left( a\right) = \mathop{\min }\limits_{{a \leq t \leq b}}f\left( t\right) = f\left( b\right) .
\]
求证: \(\exists \xi \in \left( {a,b}\right)\) ,使得
\[
{\int }_{a}^{\xi }f\left( x\right) \mathrm{d}x = \left( {\xi - a}\right) f\left( \xi \right) .
\]
22
📝 有解析
第22题
例 22 设函数 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {0,\pi }\right\rbrack\) 上连续,且
\[
{\int }_{0}^{\pi }f\left( x\right) \mathrm{d}x = 0,\;{\int }_{0}^{\pi }f\left( x\right) \cos x\mathrm{\;d}x = 0.
\]
求证: 在 \(\left( {0,\pi }\right)\) 内至少存在两个不同的点 \({\xi }_{1},{\xi }_{2}\) ,使
\[
f\left( {\xi }_{1}\right) = f\left( {\xi }_{2}\right) = 0.
\]
23
📝 有解析
第23题
例 23 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {0,1}\right\rbrack\) 上连续, \(f\left( x\right) > 0\) . 求证:
(1) 存在惟一的 \(a \in \left( {0,1}\right)\) ,使得 \(\displaystyle{\int }_{0}^{a}f\left( t\right) \mathrm{d}t = {\int }_{a}^{1}\frac{1}{f\left( t\right) }\mathrm{d}t\) .
(2)对任意的自然数 \(n\) ,存在惟一的 \({x}_{n} \in \left( {0,1}\right)\) ,使得
\[
{\int }_{\frac{1}{n}}^{{x}_{n}}f\left( t\right) \mathrm{d}t = {\int }_{{x}_{n}}^{1}\frac{1}{f\left( t\right) }\mathrm{d}t\text{ 且 }\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = a.
\]
24
📝 有解析
第24题
例 24 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {0,1}\right\rbrack\) 上连续,在(0,1)内有二阶导数,且
\[
f\left( 0\right) \cdot f\left( 1\right) > 0,\;{f}^{\prime \prime }\left( x\right) > 0\left( {\forall x \in \left( {0,1}\right) }\right) ,
\]
\[
{\int }_{0}^{1}f\left( x\right) \mathrm{d}x = 0.
\]
求证:
( 1 )函数 \(f\left( x\right)\) 在(0,1)内恰有两个零点;
(2)至少存在一点 \(\xi \in \left( {0,1}\right)\) ,使得 \({f}^{\prime }\left( \xi \right) = {\int }_{0}^{\xi }f\left( t\right) \mathrm{d}t\) .
25
📝 有解析
第25题
例 25 设函数 \(f\left( x\right) \in C\left\lbrack {a,b}\right\rbrack ,f\left( x\right) \geq 0\) ,且 \(\displaystyle{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = 0\) . 求证: 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上, \(f\left( x\right) \equiv 0\) .
26
📝 有解析
第26题
例 26 设 \(f\left( x\right) \in C\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) ,且在(a, b)上有 \(m\) 个零点,如果每个零点的左、右邻域内 \(f\left( x\right)\) 的符号相反,又
\[
{\int }_{a}^{b}{x}^{n}f\left( x\right) \mathrm{d}x = 0\;\left( {n = 0,1,\cdots ,m}\right) . \tag{3.36}
\]
求证: \(f\left( x\right) \equiv 0\) .
27
📝 有解析
第27题
例 27 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\lbrack 0, + \infty )\) 上连续, \(\displaystyle{\int }_{0}^{+\infty }\left| {f\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x\) 收敛,并且
\[
\left| {f\left( x\right) }\right| \leq {\int }_{0}^{x}\left| {f\left( t\right) }\right| \mathrm{d}t\;\left( {x \geq 0}\right) , \tag{3.37}
\]
求证 \(f\left( x\right) \equiv 0\) .
分析 注意到 (3.37) 式右端的导数恰是 (3.37) 式的左端, 因此想到用 (3.37) 式右端去除 (3.37) 式的两端, 使得左端凑成对数导数, 但是又遇到 (3.37) 式右端可能等于零而不能做除数的麻烦. 于是想到用添加 \(\varepsilon\) 的技巧.
28
📝 有解析
第28题
例 28 求证: \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\mathrm{\;d}x = 0}\) .
29
📝 有解析
第29题
例 29 已知 \(f\left( x\right)\) 在 \(\lbrack 0, + \infty )\) 上有二阶连续导数, \(f\left( 0\right) = {f}^{\prime }\left( 0\right)\) \(= 0\) ,且 \({f}^{\prime \prime }\left( x\right) > 0\) . 若对任意的 \(x > 0\) ,函数 \(u\left( x\right)\) 表示曲线 \(y = f\left( x\right)\) 在切点 \(\left( {x,f\left( x\right) }\right)\) 处的切线在 \(x\) 轴上的截距 (如图 3.5 所示).
(1) 写出 \(u\left( x\right)\) 的表达式,并求 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {0}^{ + }}}u\left( x\right)\) 及 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {0}^{ + }}}{u}^{\prime }\left( x\right)\) ;
(2) 求 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {0}^{ + }}}\frac{{\int }_{0}^{u\left( x\right) }f\left( t\right) \mathrm{d}t}{{\int }_{0}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t}\) .
\begin{center}
<img src=\"/static/img/math_analysis/026.jpg\" class=\"math-img\" style=\"max-width:100%;margin:10px 0;\">
\end{center}
\hspace*{3em}
图 3.5
30
📝 有解析
第30题
例 30 若 \(f\left( x\right)\) 是连续的以 \(T\) 为周期的周期函数,求证:
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}\frac{1}{x}{\int }_{0}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t = \frac{1}{T}{\int }_{0}^{T}f\left( t\right) \mathrm{d}t.
\]
31
📝 有解析
第31题
例 31 设 \(f\left( x\right) \in C\left\lbrack {a,b}\right\rbrack ,A < a < b < B\) . 求证:
\[
\mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}{\int }_{a}^{b}\frac{f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) }{h}\mathrm{\;d}x = f\left( b\right) - f\left( a\right) .
\]
32
📝 有解析
第32题
例 32 设 \({f}^{\prime }\left( x\right) \in C\left\lbrack {0,1}\right\rbrack\) ,求证:
\[
{\int }_{0}^{1}{x}^{n}f\left( x\right) \mathrm{d}x = \frac{f\left( 1\right) }{n} + o\left( \frac{1}{n}\right) \;\left( {n \rightarrow \infty }\right) .
\]
33
📝 有解析
第33题
例 33 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack\) 上单调. 求证:
\[
\mathop{\lim }\limits_{{\lambda \rightarrow \infty }}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( x\right) \sin {\lambda x}\mathrm{\;d}x = 0.
\]
34
📝 有解析
第34题
例 34 求证: \(\pi\) 是无理数.
1
📝 有解析
第1题
例 1 过点(4,0)作曲线 \(y = \sqrt{\left( {x - 1}\right) \left( {3 - x}\right) }\) 的切线.
(1)求切线的方程；
(2)求由这条切线与该曲线及 \(x\) 轴所围成的平面图形(如图 3.6 所示) 绕 \(x\) 轴旋转一周所得的旋转体的体积.
\begin{center}
<img src=\"/static/img/math_analysis/027.jpg\" class=\"math-img\" style=\"max-width:100%;margin:10px 0;\">
\end{center}
\hspace*{3em}
图 3.6
2
📝 有解析
第2题
例 2 求双纽线 \({r}^{2} = {a}^{2}\cos {2\theta }\left( {a > 0}\right)\) 所围的面积与绕极轴旋转的侧面积.
3
📝 有解析
第3题
解法 1 如图 3.8 所示. 所围图形面积为
\[
S = - {\int }_{0}^{2\pi }y\left( t\right) {x}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t = \frac{4}{3}{\pi }^{3}{a}^{2} + \pi {a}^{2}.
\]
解法 \(\displaystyle{2S} = \frac{1}{2}{\int }_{0}^{2\pi }x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x +}\) \(\bigtriangleup {OAB}\) 的面积,
\[
\bigtriangleup {OAB}\text{ 的面积 } = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {2\pi a} = \pi {a}^{2}\text{ , }
\]
\[
\frac{1}{2}{\int }_{0}^{2\pi }x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x = \frac{1}{2}{\int }_{0}^{2\pi }{a}^{2}\left\lbrack {\left( {\cos t + t\sin t}\right) t\sin t}\right.
\]
\[
- \left( {\sin t - t\cos t}\right) t\cos t\rbrack \mathrm{d}t
\]
\[
= \frac{1}{2}{\int }_{0}^{2\pi }{a}^{2}{t}^{2}\mathrm{\;d}t = \frac{4}{3}{\pi }^{3}{a}^{2},
\]
即得 \(S = \frac{4}{3}{\pi }^{3}{a}^{2} + \pi {a}^{2}\) .
解法 3 用极坐标. \(S = \frac{1}{2}{\int }_{0}^{{\theta }_{0}}{r}^{2}\left( \theta \right) \mathrm{d}\theta + \bigtriangleup {OAB}\) 的面积,其中 \(r =\) \(r\left( \theta \right)\) 为曲线的极坐标方程, \({\theta }_{0}\) 为向径 \({OB}\) 的极角 \(\left( {0 < {\theta }_{0} < {2\pi }}\right)\) . 当 \(0 \leq\) \(\theta \leq {\theta }_{0}\) 时, \(0 \leq t \leq {2\pi }\) ,
\[
{r}^{2} = {x}^{2} + {y}^{2} = {a}^{2}{\left( \cos t + t\sin t\right) }^{2} + {a}^{2}{\left( \sin t - t\cos t\right) }^{2}
\]
\[
= {a}^{2}\left( {1 + {t}^{2}}\right) \text{ . }
\]
又
\[
\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{\sin t - t\cos t}{\cos t + t\sin t} \Rightarrow \mathrm{d}\theta = \frac{{t}^{2}\mathrm{\;d}t}{1 + {t}^{2}},
\]
于是
\[
S = \frac{1}{2}{\int }_{0}^{2\pi }{a}^{2}\left( {1 + {t}^{2}}\right) \cdot \frac{{t}^{2}}{1 + {t}^{2}}\mathrm{\;d}t + \pi {a}^{2}
\]
\[
= \frac{4}{3}{\pi }^{3}{a}^{2} + \pi {a}^{2}.
\]
求曲线的弧长. 因为 \({x}^{\prime }\left( t\right) = {at}\cos t,{y}^{\prime }\left( t\right) = {bt}\sin t\) ,所以弧长为
\[
s = {\int }_{0}^{2\pi }\sqrt{{x}^{\prime 2}\left( t\right) + {y}^{\prime 2}\left( t\right) }\mathrm{d}t = {\int }_{0}^{2\pi }{at}\mathrm{\;d}t = 2{\pi }^{2}a.
\]
4
📝 有解析
第4题
例 4 设 \(a < c < d < b\) ,求 \(\displaystyle{\int }_{c}^{d}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{\left( {x - a}\right) \left( {b - x}\right) }}\) .
5
📝 有解析
第5题
例 5 求曲线 \({\left( \frac{x}{a}\right) }^{\frac{2}{3}} + {\left( \frac{y}{b}\right) }^{\frac{2}{3}} = 1\left( {a > 0,b > 0}\right)\) 的全长.
6
📝 有解析
第6题
例 6 (1)求由曲线 \(y = \cos x\left( {-\frac{\pi }{2} \leq x \leq \frac{\pi }{2}}\right)\) 与直线 \(y = 0\) 围成的图形绕 \(x\) 轴旋转一周所得旋转体的侧面积.
( 2 )设上题中的侧面积为 \(S\) ,求证: \({4\pi } < S < \frac{14\pi }{3}\) .
7
📝 有解析
第7题
例 7 (1) 求证: 球带的面积等于球的最大圆周长与球带高的乘积;
(2) 求半球面 \(z = \sqrt{{R}^{2} - {x}^{2} - {y}^{2}}\) 的重心.
8
📝 有解析
第8题
例 8 已知抛物叶形线 \({y}^{2} = \frac{x}{9}{\left( 3 - x\right) }^{2}\) ,如图 3.11 所示,其中当 \(0 \leq x \leq 3\) 时的叶形部分记作 \(M\) . 求
(1) \(M\) 的面积；
(2) \(M\) 的周长；
\begin{center}
<img src=\"/static/img/math_analysis/032.jpg\" class=\"math-img\" style=\"max-width:100%;margin:10px 0;\">
\end{center}
\hspace*{3em}
图 3.11
(3) \(M\) 绕 \(x\) 轴旋转所得旋转体的体积 \({V}_{x}\) ；
(4) \(M\) 绕 \(x\) 轴旋转所得旋转体的侧面积 \({P}_{x}\) ；
(5) \(M\) 的重心.
9
📝 有解析
第9题
例 9 设 \(f\left( x\right) \in {C}^{1}\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) ,且 \(f\left( x\right) \geq 0\left( {a \leq x \leq b}\right) ,a > 0\) .
( 1 )求由曲线 \(y = f\left( x\right) \left( {a \leq x \leq b}\right)\) 绕 \(y\) 轴旋转所成曲面的侧面积;
(2)求由平面图形 \(\{ \left( {x,y}\right) \mid a \leq x \leq b,0 \leq y \leq f\left( x\right) \}\) 绕 \(y\) 轴旋转所得旋转体的体积.
10
📝 有解析
第10题
例 10 设 \(0 < \alpha < \beta \leq \pi ,r\left( \theta \right) \in C\left\lbrack {\alpha ,\beta }\right\rbrack\) ,且 \(r\left( \theta \right) \geq 0\left( {\alpha \leq \theta \leq \beta }\right)\) . 求证: 由极坐标表示的平面图形
\[
\{ \left( {\theta ,r}\right) \mid \alpha \leq \theta \leq \beta ,0 \leq r \leq r\left( \theta \right) \}
\]
绕极轴旋转所得的立体体积为
\[
V = \frac{2\pi }{3}{\int }_{a}^{\beta }{r}^{3}\left( \theta \right) \sin \theta \mathrm{d}\theta .
\]
11
📝 有解析
第11题
例 11 求抛物体 \({x}^{2} + {y}^{2} \leq z \leq h\) 的重心和绕 \(z\) 轴的转动惯量 (已知抛物体的密度为 1 ).
12
📝 有解析
第12题
例 12 设半径为 1 的球正好有一半沉入水中, 球的密度为 1 . 现将球从水中取出, 问要做多少功?
思路 把球的质量 \(\frac{4\pi }{3}\) 集中到球心,球从水中取出作功的问题可以看成求质量为 \(\frac{4\pi }{3}\) 的质点向上移动距离为 1 时所做的功. 因此,问题归结为如何求出变力, 即求球在提起过程中受到的重力与浮力的合力. 因为球和水的密度都是 1 , 所以
球受的重力 \(= g \times\) 球的体积,
球受的浮力 \(= g \times\) 浸在水中部分球的体积,
其中 \(g = {9.8}\mathrm{\;m}/{\mathrm{s}}^{2}\) . 因此,球在提起过程中受到的重力与浮力的合力等于球露出水面部分的体积 (如图 3.14 所示).
1
📝 有解析
第1题
解 (1) 积分有瑕点 \(x = 0\) 与 \(\displaystyle{x = + \infty}\) .
当 \(\displaystyle{x \rightarrow + \infty}\) 时, \(\frac{1}{\sqrt{x}\left( {1 + {x}^{2}}\right) } \sim \frac{1}{{x}^{\frac{5}{2}}}\) ,因为 \(p = \frac{5}{2} > 1\) ,所以 \(\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}\left( {1 + {x}^{2}}\right) }\) 收敛;
当 \(x \rightarrow 0 + 0\) 时, \(\frac{1}{\sqrt{x}\left( {1 + {x}^{2}}\right) } \sim \frac{1}{\sqrt{x}}\) ,因为 \(p = \frac{1}{2} < 1\) ,所以 \(\displaystyle{\int }_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}\left( {1 + {x}^{2}}\right) }\) 收敛.
以上两方面结合起来, 则原广义积分收敛.
(2)积分有瑕点 \(x = 0\) 与 \(x = \pi\) .
当 \(x \rightarrow 0 + 0\) 时, \(\frac{1}{\sqrt{\sin x}} \sim \frac{1}{\sqrt{x}}\) ,因为 \(p = \frac{1}{2} < 1\) ,所以 \(\displaystyle{\int }_{0}^{\pi }\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{\sin x}}}\) 收敛；
当 \(x \rightarrow \pi - 0\) 时, \(\frac{1}{\sqrt{\sin x}} = \frac{1}{\sqrt{\sin \left( {\pi - x}\right) }} \sim \frac{1}{\sqrt{\left( \pi - x\right) }}\) ,因为 \(p = \frac{1}{2}\) \(< 1\) ,所以 \(\displaystyle{\int }_{1}^{\pi }\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{\sin x}}}\) 收敛.
以上两方面结合起来, 则原广义积分收敛.
2
📝 有解析
第2题
解 (1) 因为对 \(\forall N \in N\) ,有 \({\mathrm{e}}^{-x} = O\left( \frac{1}{{x}^{N}}\right) \left( {x \rightarrow + \infty }\right)\) ,即 \({\mathrm{e}}^{-{x}^{2}} = O\left( \frac{1}{{x}^{2N}}\right)\) ,所以对 \(N = 1\) ,便知积分 \(\displaystyle{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\mathrm{\;d}x}\) 收敛.
又解 当 \(x \geq 1\) 时, \({\mathrm{e}}^{-{x}^{2}} \leq x{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\) ,而
\[
\mathop{\lim }\limits_{{A \rightarrow + \infty }}{\int }_{1}^{A}x{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = \mathop{\lim }\limits_{{A \rightarrow + \infty }}\frac{1}{2}\left( {1 - {\mathrm{e}}^{-{A}^{2}}}\right) = \frac{1}{2},
\]
即广义积分 \(\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }x{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\mathrm{\;d}x}\) 收敛,从而 \(\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\mathrm{\;d}x}\) 收敛,即得 \(\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\mathrm{\;d}x}\) 收敛.
(2)因为 \(\left| {{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\cos {bx}}\right| \leq {\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\) ,所以由第 (1) 小题知广义积分 \(\displaystyle{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\cos {bx}\mathrm{\;d}x}\) 收敛.
3
📝 有解析
第3题
例 3 判别下列广义积分的收敛性:
(1) \(\displaystyle{\int }_{0}^{+\infty }\frac{\ln \left( {1 + x}\right) }{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x\) ; (2) \(\displaystyle{\int }_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{\ln x}{\sqrt{x}{\left( 1 - x\right) }^{2}}\mathrm{\;d}x\) .
4
📝 有解析
第4题
例 4 讨论如下广义积分的收敛性:
\[
{\int }_{0}^{+\infty }\left\lbrack {\ln \left( {1 + \frac{1}{x}}\right) - \frac{1}{1 + x}}\right\rbrack \mathrm{d}x.
\]
5
📝 有解析
第5题
解 改写
\[
{\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin {x}^{2}}{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x = \frac{x - \sqrt{t}}{t}{\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin t}{2{t}^{\frac{p + 1}{2}}}\mathrm{\;d}t. \tag{5.1}
\]
当 \(t \rightarrow 0 + 0\) 时,因为 \(\frac{\sin t}{{t}^{\frac{b + 1}{2}}} = \frac{\sin t}{t} \cdot \frac{1}{{t}^{\frac{b - 1}{2}}} \sim \frac{1}{{t}^{\frac{b - 1}{2}}}\left( {t \rightarrow 0 + 0}\right)\) ,所以当 \(\frac{p - 1}{2} < 1\) 时,即当 \(p < 3\) 时,积分 \(\displaystyle{\int }_{0}^{1}\frac{\sin t}{2{t}^{\frac{p + 1}{2}}}\mathrm{\;d}t}\) 收敛,由于被积函数是正值, 此收敛也是绝对收敛.
当 \(\displaystyle{t \rightarrow + \infty}\) 时,因为 \(\displaystyle{\left| {{\int }_{1}^{A}\sin t\mathrm{\;d}t}\right| \leq 2}\) ,又当 \(\frac{p + 1}{2} < 0\) 时,即当 \(p > - 1\) 时, \(\frac{1}{{t}^{\frac{p + 1}{2}}} \searrow 0\) ,所以由狄利克雷判别法知积分 \(\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\sin t}{2{t}^{\frac{p + 1}{2}}}\mathrm{\;d}t}\) 收敛. 当 \(\frac{p + 1}{2} > 1\) 时,即当 \(p > 1\) 时,积分 \(\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\sin t}{2{t}^{\frac{p + 1}{2}}}\mathrm{\;d}t}\) 绝对收敛; 当 \(0 < \frac{p + 1}{2} \leq 1\) 时,即当 \(- 1 < p \leq 1\) 时, \(\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\sin t}{2{t}^{\frac{p + 1}{2}}}\mathrm{\;d}t}\) 条件收敛.
综合以上结果, 并由 (5.1) 式得
\(\displaystyle{\left\{ \begin{array}{ll} \text{ 当 } - 1 < p \leq 1\text{ 时, } & {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin {x}^{2}}{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x\text{ 条件收敛; } \\ \text{ 当 }1 < p < 3\text{ 时, } & {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin {x}^{2}}{{x}^{p}}\mathrm{\;d}x\text{ 绝对收敛. } \end{array}\right.}\)
6
📝 有解析
第6题
例 6 求 \(I = {\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left( {\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}}\right) \mathrm{d}x\) .
3.1
📝 有解析
第3.1题
3. 1.1 求下列不定积分:
(1) \(\displaystyle{\int \frac{{\mathrm{e}}^{3x} + 1}{{\mathrm{e}}^{x} + 1}\mathrm{\;d}x}\) ; (2) \(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{{x}^{2}\left( {1 + {x}^{2}}\right) }\) ;
(3) \(\displaystyle{\int \sqrt{x\sqrt{x}}\mathrm{\;d}x}\) ; (4) \(\displaystyle{\int \left\lbrack {\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}} + \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}}\right\rbrack \mathrm{d}x}\) ;
(5) \(\displaystyle{\int {\tan }^{2}x\mathrm{\;d}x}\) ; (6) \(\displaystyle{\int \frac{1 + {\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}\mathrm{\;d}x}\) ;
(7) \(\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x}}\) ; (8) \(\displaystyle{\int \frac{\cos {2x}}{{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x}\mathrm{\;d}x}\) ;
(9) \(\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{2 + 3{x}^{2}}}\) ; (10) \(\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{2 - 3{x}^{2}}}\) ;
(11) \(\displaystyle{\int \sqrt[3]{1 - {3x}}\mathrm{\;d}x}\) ; (12) \(\displaystyle{\int x \cdot \sqrt[3]{1 - {3x}}\mathrm{\;d}x}\) .
3.1
📝 有解析
第3.1题
3.1.2 求不定积分 \(\displaystyle{I = \int \frac{1}{1 + {x}^{4}}\mathrm{\;d}x,J = \int \frac{{x}^{2}}{1 + {x}^{4}}\mathrm{\;d}x}\) .
3.1
📝 有解析
第3.1题
3.1.3 求下列不定积分:
(1) \(\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{3{x}^{2} - 2}}}\) ; (2) \(\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{{x}^{2} + 1}}}\) ；
(3) \(\displaystyle \int \sqrt{\frac{a + x}{a - x}}\mathrm{\;d}x\left( {a > 0}\right)\) ; (4) \(\displaystyle \int \sqrt{\frac{x - a}{x + a}}\mathrm{\;d}x\left( {a \geq 0}\right)\) ;
(5) \(\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1 + x + {x}^{2}}}}\) ; (6) \(\displaystyle{\int \frac{x + 3}{\sqrt{4{x}^{2} + {4x} + 3}}\mathrm{\;d}x}\) ;
(7) \(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{\left( {x + a}\right) \left( {x + b}\right) }}\mathrm{d}x\left( {a < b}\right)\) ; (8) \(\displaystyle{\int \sqrt{\frac{x}{1 - x\sqrt{x}}}\mathrm{\;d}x}\) .
3.1
📝 有解析
第3.1题
3.1.4 求下列不定积分:
(1) \(\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{{x}^{2}\sqrt{{x}^{2} + 1}}}\) ; (2) \(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{{\left( {a}^{2} + {x}^{2}\right) }^{3}}}\) ;
(3) \(\displaystyle{\int \frac{\sqrt{{a}^{2} - {x}^{2}}}{x}\mathrm{\;d}x}\) ; (4) \(\displaystyle{\int \frac{\sqrt{{x}^{2} - {a}^{2}}}{x}\mathrm{\;d}x}\) ;
(5) \(\displaystyle{\int {x}^{2}\sqrt{4 - {x}^{2}}\mathrm{\;d}x}\) ; (6) \(\displaystyle{\int \frac{x}{1 + \sqrt{x}}\mathrm{\;d}x}\) .
3.1
📝 有解析
第3.1题
3.1.5 求下列不定积分:
(1) \(\displaystyle \int \ln \left( {1 + {x}^{2}}\right) \mathrm{d}x\) ; (2) \(\displaystyle{\int {x}^{\alpha }\ln x\mathrm{\;d}x}\) ;
(3) \(\displaystyle{\int \sqrt{x}\ln {}^{2}x\mathrm{\;d}x}\) ; (4) \(\displaystyle{\int {x}^{2}{\mathrm{e}}^{-{2x}}\mathrm{\;d}x}\) ;
(5) \(\displaystyle{\int x\cos {\beta x}\mathrm{\;d}x}\) ; (6) \(\displaystyle{\int {x}^{2}\sin {2x}\mathrm{\;d}x}\) ;
(7) \(\displaystyle{\int x\arctan x\mathrm{\;d}x}\) ; (8) \(\displaystyle{\int \frac{\arcsin x}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x}\) ;
(9) \(\displaystyle{\int \frac{x}{{\cos }^{2}x}\mathrm{\;d}x}\) ; (10) \(\displaystyle \int \frac{{x}^{2}{\mathrm{e}}^{x}}{{\left( x + 2\right) }^{2}}\mathrm{\;d}x\) .
3.1
📝 有解析
第3.1题
3.1.6 求下列不定积分:
(1) \(\displaystyle{\int \frac{1 + x + {x}^{2}}{\sqrt{1 + {x}^{2}}}{\mathrm{e}}^{x}\mathrm{\;d}x}\) ; (2) \(\displaystyle{\int \frac{1 + \tan x}{\cos x}{\mathrm{e}}^{x}\mathrm{\;d}x}\) ；
(3) \(\displaystyle \int \left( {\cos x - \sin x}\right) {\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{\;d}x\) ; (4) \(\displaystyle \int x\left( {2 - x}\right) {\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{\;d}x\) .
3.1
📝 有解析
第3.1题
3.1.7 求下列不定积分:
(1) \(\displaystyle{\int \sqrt{{a}^{2} - {x}^{2}}\mathrm{\;d}x}\) ; (2) \(\displaystyle{\int \sqrt{{x}^{2} - {a}^{2}}\mathrm{\;d}x}\) ;
(3) \(\displaystyle{\int \arcsin \sqrt{\frac{x}{1 + x}}\mathrm{\;d}x}\) ; (4) \(\displaystyle \int \frac{{\mathrm{e}}^{\arctan x}}{{\left( 1 + {x}^{2}\right) }^{\frac{3
3.1
📝 有解析
第3.1题
3. 1.8 求下列不定积分:
(1) \(\displaystyle \int \sin \left( {\ln x}\right) \mathrm{d}x\) ; (2) \(\displaystyle \int \cos \left( {\ln x}\right) \mathrm{d}x\) ;
(3) \(\displaystyle{\int x{\mathrm{e}}^{x}\cos x\mathrm{\;d}x}\) ; (4) \(\displaystyle{\int x{\mathrm{e}}^{x}\sin x\mathrm{\;d}x}\) .
3.1
📝 有解析
第3.1题
3. 1.9 求下列不定积分的递推公式:
(1) \(\displaystyle{\int {x}^{n}{\mathrm{e}}^{x}\mathrm{\;d}x}\) ; (2) \(\displaystyle \int {x}^{n}{\left( \ln x\right) }^{m}\mathrm{\;d}x\) ;
(3) \(\displaystyle{\int {\sin }^{n}x\mathrm{\;d}x}\) ; (4) \(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{{\sin }^{n}x}\left( {n \geq 2}\right)\) .
3.1
📝 有解析
第3.1题
3. 1.10 求下列不定积分:
(1) \(\displaystyle \int \frac{{2x} + 3}{\left( {x - 2}\right) \left( {x + 5}\right) }\mathrm{d}x\) ; (2) \(\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{8 - {2x} - {x}^{2}}}\) ;
(3) \(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{{\left( x + 1\right) }^{2}\left( {x - 1}\right) }\) ; (4) \(\displaystyle{\int \frac{{2x} - 3}{{x}^{2} + {2x} + 1}\mathrm{\;d}x}\) ;
(5) \(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{\left( {x + 1}\right) \left( {{x}^{2} + 1}\right) }\) ; (6) \(\displaystyle{\int \frac{{x}^{4}}{{x}^{4} + 5{x}^{2} + 4}\mathrm{\;d}x}\) .
3.1
📝 有解析
第3.1题
3.1.11 求下列不定积分:
(1) \(\displaystyle{\int \cos x{\sin }^{2}x\mathrm{\;d}x}\) ; (2) \(\displaystyle{\int \frac{\cos x}{1 + \sin x}\mathrm{\;d}x}\) ；
(3) \(\displaystyle{\int \tan x{\sin }^{2}x\mathrm{\;d}x}\) ; (4) \(\displaystyle{\int {\tan }^{3}x\mathrm{\;d}x}\) ;
(5) \(\displaystyle{\int {\cos }^{4}x{\sin }^{3}x\mathrm{\;d}x}\) ; (6) \(\displaystyle{\int \frac{{\sin }^{3}x}{1 + {\cos }^{2}x}\mathrm{\;d}x}\) ;
(7) \(\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{{\sin }^{2}x\cos x}}\) ; (8) \(\displaystyle{\int \frac{\sin {2x}}{2 + {\tan }^{2}x}\mathrm{\;d}x}\) .
3.1
📝 有解析
第3.1题
3.1.12 求下列不定积分:
(1) \(\displaystyle{\int {\sec }^{3}x\mathrm{\;d}x}\) ; (2) \(\displaystyle{\int \frac{{\sin }^{2}x}{1 + {\cos }^{2}x}\mathrm{\;d}x}\) ；
(3) \(\displaystyle{\int \frac{\sin {2x}}{{\cos }^{4}x + {\sin }^{4}x}\mathrm{\;d}x}\) ； (4) \(\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{2{\cos }^{2}x + \sin x\cos x + {\sin }^{2}x}}\) .
3.1
📝 有解析
第3.1题
3. 1.13 求下列不定积分:
(1) \(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{{\left( 1 + \cos x\right) }^{2}}\) ; (2) \(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}\theta }{1 + {r}^{2} - {2r}\cos \theta }\left( {0 < r < 1}\right)\) ；
(3) \(\displaystyle{\int \frac{\sqrt{x}}{1 + \sqrt[4]{{x}^{3}}}\mathrm{\;d}x}\) ； (4) \(\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x + 1}}}\) ;
(5) \(\displaystyle{\int \frac{x}{x + \sqrt{{x}^{2} - 1}}\mathrm{\;d}x}\) ; (6) \(\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{1 + \sqrt{1 - {2x} - {x}^{2}}}}\) .
3.1
📝 有解析
第3.1题
3.1.14 求下列不定积分:
(1) \(\displaystyle{\int \frac{1}{x}\sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}}\mathrm{\;d}x}\) ; (2) \(\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x + 1} + \sqrt[3]{x + 1}}}\) ；
(3) \(\displaystyle{\int \sqrt{{x}^{2} + \frac{1}{{x}^{2}}}\mathrm{\;d}x}\) ； (4) \(\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{x + \sqrt{{x}^{2} - x + 1}}}\) .
3.1
📝 有解析
第3.1题
3.1.15 问下列积分是否可积(即原函数是否为初等函数):
(1) \(\displaystyle{\int \frac{x\mathrm{\;d}x}{\sqrt{1 + \sqrt[3]{{x}^{2}}}}}\) ; (2) \(\displaystyle{\int \sqrt{\cos x}\mathrm{\;d}x}\) .
3.2
📝 有解析
第3.2题
3. 2.1 设 \(f\left( x\right) \in R\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) ,且 \(f\left( x\right) \geq a > 0\) . 求证:
(1) \(\frac{1}{f\left( x\right) } \in R\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) ; (2) \(\ln f\left( x\right) \in R\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) .
3.2
📝 有解析
第3.2题
3.2.2 求证: \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{0}^{1}\frac{{x}^{n}}{\sqrt{1 + {x}^{4}}}\mathrm{\;d}x = 0}\) .
3.2
📝 有解析
第3.2题
3.2.3 设 \(f\left( x\right) \in R\left\lbrack {0,1}\right\rbrack\) ,且 \(f\left( x\right) \geq a > 0\) . 求证: \(\displaystyle{\int }_{0}^{1}\frac{1}{f\left( x\right) }\mathrm{d}x \geq \frac{1}{{\int }_{0}^{1}f\left( x\right) \mathrm{d}x}\) .
3.2
📝 有解析
第3.2题
3.2.4 求证: \(\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{0}^{1}{\left( 1 - {x}^{2}\right) }^{n}\mathrm{\;d}x = 0\) .
3.2
📝 有解析
第3.2题
3.2.5 设 \(a,b > 0,f\left( x\right) \geq 0\) ,且 \(f\left( x\right) \in R\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) ,又 \(\displaystyle{\int }_{-a}^{b}{xf}\left( x\right) \mathrm{d}x = 0\) . 求证:
\[
{\int }_{-a}^{b}{x}^{2}f\left( x\right) \mathrm{d}x \leq {ab}{\int }_{-a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
3.2
📝 有解析
第3.2题
3.2.6 设 \(f\left( x\right) \geq 0,{f}^{\prime \prime }\left( x\right) \leq 0\left( {\forall x \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack }\right)\) . 求证:
\[
\mathop{\max }\limits_{{a \leq x \leq b}}f\left( x\right) \leq \frac{2}{b - a}{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
3.2
📝 有解析
第3.2题
3.2.7 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上可导,且 \({f}^{\prime }\left( x\right) \in R\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) . 求证:
\[
\mathop{\max }\limits_{{a \leq x \leq b}}\left| {f\left( x\right) }\right| \leq \left| {\frac{1}{b - a}{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| + {\int }_{a}^{b}\left| {{f}^{\prime }\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x.
\]
3.2
📝 有解析
第3.2题
3.2.8 设 \(f\left( x\right) \in R\left\lbrack {0,1}\right\rbrack\) ,且 \(a \leq f\left( x\right) \leq b\) ,又 \(\varphi \left( x\right)\) 是 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上的凹函数. 求证:
(1) \(\varphi \left( {f\left( x\right) }\right) \geq \varphi \left( x\right) + {\varphi }^{\prime }\left( t\right) \left( {f\left( x\right) - t}\right) \left( {\forall t \in \left( {a,b}\right) }\right)\) ;
(2) \(\displaystyle{\int }_{0}^{1}\varphi \left( {f\left( x\right) }\right) \mathrm{d}x \geq \varphi \left( {{\int }_{0}^{1}f\left( x\right) \mathrm{d}x}\right)\) ；
(3) \(\displaystyle{\int }_{0}^{1}{\mathrm{e}}^{f\left( x\right) }\mathrm{d}x \geq {\mathrm{e}}^{{\int }_{0}^{1}f\left( x\right) \mathrm{d}x}\) .
3.2
📝 有解析
第3.2题
3.2.9 求证: 极限 \(\mathop{\lim }\limits_{{b \rightarrow 1}}{\int }_{0}^{b}\frac{\sin x}{\sqrt{1 - {x}^{2}}}\mathrm{\;d}x\left( {0 < b < 1}\right)\) 存在,并且其极限值不超过 1 .
3.2
📝 有解析
第3.2题
3.2.10 求证: \(\displaystyle{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin \left( {\sin x}\right) \mathrm{d}x \leq {\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}\cos \left( {\cos x}\right) \mathrm{d}x\) .
§3 变限定积分、微积分基本定理、
定积分的换元法与分部积分法
3.3
📝 有解析
第3.3题
3. 3.1 设 \(f\left( x\right) = {2x}\sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}\left( {x \neq 0}\right) ;f\left( 0\right) = 0\) .
(1) 问 \(f\left( x\right)\) 是否在 \(\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack\) 上可积?
(2)问变上限积分 \(\displaystyle{\int }_{-1}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t\) 在点 \(x = 0\) 处是否可导？
3.3
📝 有解析
第3.3题
3. 3.1 (1) 因为 \(f\left( x\right)\) 有界,并且只有一个不连续点 \(x = 0\) ,所以 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack\) 上可积.
(2)由微积分基本定理,
\[
{\int }_{-1}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t = {x}^{2}\sin \frac{1}{x} + \sin
3.3
📝 有解析
第3.3题
3. 3.1 (1) 因为 \(f\left( x\right)\) 有界,并且只有一个不连续点 \(x = 0\) ,所以 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack\) 上可积.
(2)由微积分基本定理,
\[
{\int }_{-1}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t = {x}^{2}\sin \frac{1}{x} + \sin
3.3
📝 有解析
第3.3题
3.3.5 设 \(f\left( 2\right) = \frac{1}{2},{f}^{\prime }\left( 2\right) = 0,{\int }_{0}^{2}f\left( x\right) \mathrm{d}x = 1\) ,求 \(\displaystyle{\int }_{0}^{1}{x}^{2}{f}^{\prime \prime }\left( {2x}\right) \mathrm{d}x\) .
3.3
📝 有解析
第3.3题
3. 6 设 \(f\left( x\right) = f\left( {x - \pi }\right) + \sin x\) ,且当 \(x \in \left\lbrack {0,\pi }\right\rbrack\) 时, \(f\left( x\right) = x\) ,求
\[
{\int }_{\pi }^{3\pi }f\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
3.3.7 对任意自然数 \(n\) ,求证:
\[
{\int }_{0}^{n}\frac{1 - {\left( 1 - \frac{t}{n}\right) }^{n}}{t}\mathrm{\;d}t = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}.
\]
3.3
📝 有解析
第3.3题
3. 3.8 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上二阶连续可微,求证:
\[
f\left( x\right) - f\left( a\right) - {f}^{\prime }\left( a\right) \left( {x - a}\right) = {\int }_{a}^{x}{f}^{\prime \prime }\left( t\right) \left( {x - t}\right) \mathrm{d}t\;\left( {\forall x \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack }\right) .
\]
3.3
📝 有解析
第3.3题
3. 3.9 设 \(0 < a < b,f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上连续,并满足
\[
f\left( \frac{ab}{x}\right) = f\left( x\right) \;\left( {\forall x \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack }\right) .
\]
求证:
\[
{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \frac{\ln x}{x}\mathrm{\;d}x = \frac{\ln \left( {ab}\right) }{2}{\int }_{a}^{b}\frac{f\left( x\right) }{x}\mathrm{\;d}x.
\]
3.3
📝 有解析
第3.3题
3. 3.10 设 \(a > 0,f\left( x\right)\) 在 \(\left( {0, + \infty }\right)\) 上连续,并满足
\[
f\left( \frac{{a}^{2}}{x}\right) = f\left( x\right) \;\left( {\forall x > 0}\right) .
\]
求证:
(1) \(\displaystyle{\int }_{a}^{{a}^{2}}\frac{f\left( x\right) }{x}\mathrm{\;d}x = {\int }_{1}^{a}\frac{f\left( x\right) }{x}\mathrm{\;d}x\) ;
(2) \(\displaystyle{\int }_{1}^{a}\frac{f\left( {x}^{2}\right) }{x} = {\int }_{1}^{a}\frac{f\left( x\right) }{x}\mathrm{\;d}x\) ；
(3)如果 \(g\left( x\right)\) 在 \(\left( {0, + \infty }\right)\) 上连续,则 \(\displaystyle{\int }_{1}^{a}g\left( {{x}^{2} + \frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}}\right) \frac{\mathrm{d}x}{x} = {\int }_{1}^{a}g\left( {x + \frac{{a}^{2}}{x}}\right) \frac{\mathrm{d}x}{x}\) .
3.3
第3.3题
3.3.11 (1) 设 \(f\left( x\right)\) 是奇函数,求证: \(f\left( x\right)\) 的任一原函数是偶函数;
(2)设 \(f\left( x\right)\) 是偶函数,求证: \(f\left( x\right)\) 的任一原函数是奇函数与常数之和.
3.3
第3.3题
3.3
📝 有解析
第3.3题
3. 3.13 设函数 \(f\left( x\right)\) 二阶可微,求证: 存在 \(\xi \in \left( {a,b}\right)\) ,使得
\[
\left| {{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x - \left( {b - a}\right) f\left( \frac{a + b}{2}\right) }\right| \leq \frac{{M}_{2}}{24}{\left( b - a\right) }^{3},
\]
其中 \({M}_{2} = \mathop{\max }\limits_{{x \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack }}\left| {{f}^{\prime \prime }\left( x\right) }\right|\) .
3.3
📝 有解析
第3.3题
3.3.14 设 \(f\left( x\right) \in C\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) ,且 \(\exists m \in N\) ,使得
\[
{\int }_{a}^{b}{x}^{n}f\left( x\right) \mathrm{d}x = 0\;\left( {n = 0,1,\cdots ,m}\right) .
\]
求证: \(f\left( x\right)\) 在(a, b)内至少有 \(m + 1\) 个零点.
3.3
📝 有解析
第3.3题
3. 3.15 设 \(S\left( x\right) = {\int }_{0}^{x}\left| {\cos t}\right| \mathrm{d}t\) .
(1)当 \(n\) 为正整数,且 \({n\pi } \leq x < \left( {n + 1}\right) \pi\) 时,证明 \({2n} \leq S\left( x\right) < 2\left( {n + 1}\right)\) ；
(2) 求 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{S\left( x\right) }{x}\) .
3.3
📝 有解析
第3.3题
3.3.16 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left( {-\infty , + \infty }\right)\) 上有连续导数,求
\[
\mathop{\lim }\limits_{{a \rightarrow {0}^{ + }}}\frac{1}{4{a}^{2}}{\int }_{-a}^{a}\left\lbrack {f\left( {t + a}\right) - f\left( {t - a}\right) }\right\rbrack \mathrm{d}t.
\]
3.3
📝 有解析
第3.3题
3. 3.17 (1) 设 \(f\left( x\right)\) 在任一有限区间上可积分,且 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = l\) . 求证:
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{1}{x}{\int }_{0}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t = l
\]
(2)第(1)小题的逆命题是否成立？如果加上一个条件:“ \(f\left( x\right)\) 在 \(\lbrack 0, + \infty )\) 上单调上升”, 第(1)小题的逆命题是否成立?
3.3
📝 有解析
第3.3题
3. 3.18 设 \(f\left( x\right) \in C\lbrack 0, + \infty )\) ,且 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = A\) . 求证:
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{0}^{1}f\left( {nx}\right) \mathrm{d}x = A
\]
3.3
📝 有解析
第3.3题
3. 3.19 设 \(f\left( x\right) \in C\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) ,且 \(f\left( x\right) \geq 0\left( {\forall x \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack }\right)\) . 求证:
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\left\{ {\int }_{a}^{b}{\left\lbrack f\left( x\right) \right\rbrack }^{n}\mathrm{\;d}x\right\} }^{\frac{1}{n}} = \mathop{\max }\limits_{{x \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack }}f\left( x\right) .
\]
3.3
📝 有解析
第3.3题
3. 3.20 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\lbrack 0, + \infty )\) 上单调上升,函数
\[
F\left( x\right) \frac{\text{ 定义 }\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{x}{\int }_{0}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t, & x > 0, \\ f\left( {0 + 0}\right) , & x =
3.3
📝 有解析
第3.3题
0. \end{array}\right. }{}
\]
求证: 在 \(\lbrack 0, + \infty )\) 上, \(F\left( x\right)\) 单调上升且右连续.
3.4
📝 有解析
第3.4题
3. 4.1 求(1)椭圆面 \(\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1\) 的面积；
(2)椭球 \(\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} + \frac{{z}^{2}}{{c}^{2}} \leq 1\) 的体积.
3.4
📝 有解析
第3.4题
3.4.2 求圆柱面 \({x}^{2} + {y}^{2} = {a}^{2}\) 与两平面 \(z = 0,z = 2\left( {x + a}\right)\) 所围立体的体积和侧面积.
3.4
📝 有解析
第3.4题
3.4.3 设心脏线为 \(r = a\left( {1 + \cos \theta }\right) \left( {a > 0}\right)\) . 求
(1)它所围图形的面积；
(2)它的长度；
(3)它绕极轴旋转一周所产生立体的体积；
(4)它绕极轴旋转一周所产生立体的侧面积.
3.4
📝 有解析
第3.4题
3.4.4 (1) 求半圆 \(0 \leq y \leq \sqrt{{R}^{2} - {x}^{2}}\) 的重心;
(2)求半圆周 \(y = \sqrt{{R}^{2} - {x}^{2}}\left( {\left| x\right| \leq R}\right)\) 的重心.
3.4
📝 有解析
第3.4题
3.4.5 求半球 \(0 \leq z \leq \sqrt{{R}^{2} - {x}^{2} - {y}^{2}}\) 的重心.
3.4
📝 有解析
第3.4题
3.4.6 求锥体 \(\sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}} \leq z \leq h\) 的重心和绕 \(z\) 轴的转动惯量(设锥体的密度为 1).
3.4
第3.4题
3.4.7 有一半径 \(R = 3\mathrm{\;m}\) 的圆形溢水洞,水半满,求水作用在闸门上的压力.
3.4
📝 有解析
第3.4题
3.4.8 已知抛物线 \(y = - a{x}^{2} + b\left( {a > 0,b > 0}\right)\) . 求 \(a\) 和 \(b\) 的值,使满足下面两个条件:
(1)抛物线与 \(x\) 轴围成的曲边梯形包含正方形
\[
\{ \left( {x,y}\right) \mid - 1 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 2\} ;
\]
(2)抛物线与 \(x\) 轴围成的曲边梯形面积最小.
3.4
第3.4题
3.4.9 已知抛物线 \({x}^{2} = \left( {p - 4}\right) y + {a}^{2}\left( {p \neq 4,a > 0}\right)\) . 求 \(p\) 和 \(a\) 的值,使满足下面两个条件:
(1)抛物线与 \(y = x + 1\) 相切；
(2)抛物线与 \(x\) 轴围成的图形绕 \(x\) 轴旋转有最大的体积.
3.4
📝 有解析
第3.4题
3.4.10 某建筑工程打地基时,需要汽锤将桩打进土层,汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比 (比例系数为 \(k\left( {k > 0}\right)\) ),汽锤第一次击打将桩打进地下 \(a\mathrm{\;m}\) . 根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数 \(r\) \(\left( {0 < r < 1}\right)\) . 向
(1)汽锤击打桩 3 次后,可将桩打进地下多深？
(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深？
3.5
📝 有解析
第3.5题
3. 5.1 (1) 收敛；(2)收敛；(3)收敛；
(4)当 \(1 < p < 2\) 时,收敛；(5)当 \(p > 1,q < 1\) 时,收敛；
(6) 当 \(p < 1,q < 1\) 时,收敛.
3.5
📝 有解析
第3.5题
3.5.2 (1) 收敛；(2)收敛；(3)收敛；(4)收敛
3.5
📝 有解析
第3.5题
3.5.3 判别广义积分 \(\displaystyle{\int }_{0}^{+\infty }\frac{\arctan {bx} - \arctan {ax}}{x}\mathrm{\;d}x\left( {b > a > 0}\right)\) 的收敛性.
3.5
📝 有解析
第3.5题
3.5.4 (1) 收敛,非绝对收敛；(2)收敛,非绝对收敛；
(3)收敛,非绝对收敛；(4)绝对收敛.
3.5
📝 有解析
第3.5题
3.5.5 (1) 收敛；(2)收敛；(3)收敛.
3.5
📝 有解析
第3.5题
3. 5.6 设 \(f\left( x\right) \leq h\left( x\right) \leq g\left( x\right)\) ,且 \(\displaystyle{\int }_{a}^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x\) 与 \(\displaystyle{\int }_{a}^{+\infty }g\left( x\right) \mathrm{d}x\) 收敛. 求证: \(\displaystyle{\int }_{a}^{+\infty }h\left( x\right) \mathrm{d}x\) 收敛.
3.5
📝 有解析
第3.5题
3.5.7 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\lbrack a, + \infty )\) 上单调下降,且 \(\displaystyle{\int }_{a}^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x\) 收敛. 求证:
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{xf}\left( x\right) =