4．已知 $\displaystyle A \in R^{4 \times 4}, A=A^{\prime}$（具体数值也忘了），求正交矩阵 $\displaystyle P$ ，使得

$$
P^{-1} A P=\wedge
$$


其中 $\displaystyle \wedge$ 为对角矩阵且主对角线上元素为特征值．

六、设 $\displaystyle A, B$ 为对称方阵，试证明
$\displaystyle \operatorname{Tr}(\mathrm{ABAB}) \leq \operatorname{Tr}(\mathrm{AABB})$ ，其中＂ $\displaystyle \operatorname{Tr}$＂表示方阵的追迹（即对角元素之和）。

证明：设 $\displaystyle A, B$ 为 $\displaystyle n$ 阶对称方阵

$$
\begin{gathered}
A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right)=\left(\begin{array}{c}
\alpha_{1}^{\prime} \\
\alpha_{2}^{\prime} \\
\vdots \\
\alpha_{n}^{\prime}
\end{array}\right), \\
B=\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right)=\left(\begin{array}{c}
\beta_{1}^{\prime} \\
\beta_{2}^{\prime} \\
\vdots \\
\beta_{n}^{\prime}
\end{array}\right) . \\
\text { 则 } A B=\left(\begin{array}{c}
\alpha_{1}^{\prime} \\
\alpha_{2}^{\prime} \\
\vdots \\
\alpha_{n}^{\prime}
\end{array}\right)\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
\alpha_{1}^{\prime} \beta_{1} & \alpha_{1}^{\prime} \beta_{2} & \cdots & \alpha_{1}^{\prime} \beta_{n} \\
\alpha_{2}^{\prime} \beta_{1} & \alpha_{2}^{\prime} \beta_{2} & \cdots & \alpha_{2}^{\prime} \beta_{n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\alpha_{n}^{\prime} \beta_{1} & \alpha_{n}^{\prime} \beta_{2} & \cdots & \alpha_{n}^{\prime} \beta_{n}
\end{array}\right)
\end{gathered}
$$


所以

$$
(A B)^{2}=\left(\begin{array}{cccc}
\alpha_{1}^{\prime} \beta_{1} & \alpha_{1}^{\prime} \beta_{2} & \cdots & \alpha_{1}^{\prime} \beta_{n} \\
\alpha_{2}^{\prime} \beta_{1} & \alpha_{2}^{\prime} \beta_{2} & \cdots & \alpha_{2}^{\prime} \beta_{n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\alpha_{n}^{\prime} \beta_{1} & \alpha_{n}^{\prime} \beta_{2} & \cdots & \alpha_{n}^{\prime} \beta_{n}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}
\alpha_{1}^{\prime} \beta_{1} & \alpha_{1}^{\prime} \beta_{2} & \cdots & \alpha_{1}^{\prime} \beta_{n} \\
\alpha_{2}^{\prime} \beta_{1} & \alpha_{2}^{\prime} \beta_{2} & \cdots & \alpha_{2}^{\prime} \beta_{n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\alpha_{n}^{\prime} \beta_{1} & \alpha_{n}^{\prime} \beta_{2} & \cdots & \alpha_{n}^{\prime} \beta_{n}
\end{array}\right)
$$


由此得 $\displaystyle \operatorname{Tr}(\mathrm{AB})^{2}=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left(\alpha_{i}^{\prime} \beta_{j}\right) \cdot\left(\alpha_{j}^{\prime} \beta_{i}\right)$ 。
而 $\displaystyle A^{2}=\left(\begin{array}{c}\alpha_{1}^{\prime} \\ \alpha_{2}^{\prime} \\ \vdots \\ \alpha_{n}^{\prime}\end{array}\right)\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right)=\left(\begin{array}{cccc}\alpha_{1}^{\prime} \alpha_{1} & \alpha_{1}^{\prime} \alpha_{2} & \cdots & \alpha_{1}^{\prime} \alpha_{n} \\ \alpha_{2}^{\prime} \alpha_{1} & \alpha_{2}^{\prime} \alpha_{2} & \cdots & \alpha_{2}^{\prime} \alpha_{n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \alpha_{n}^{\prime} \alpha_{1} & \alpha_{n}^{\prime} \alpha_{2} & \cdots & \alpha_{n}^{\prime} \alpha_{n}\end{array}\right)$

$$
B^{2}=\left(\begin{array}{c}
\beta_{1}^{\prime} \\
\beta_{2}^{\prime} \\
\vdots \\
\beta_{n}^{\prime}
\end{array}\right)\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
\beta_{1}^{\prime} \beta_{1} & \beta_{1}^{\prime} \beta_{2} & \cdots & \beta_{1}^{\prime} \beta_{n} \\
\beta_{2}^{\prime} \beta_{1} & \beta_{2}^{\prime} \beta_{2} & \cdots & \beta_{2}^{\prime} \beta_{n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\beta_{n}^{\prime} \beta_{1} & \beta_{n}^{\prime} \beta_{2} & \cdots & \beta_{n}^{\prime} \beta_{n}
\end{array}\right)
$$


所以

$$
A^{2} B^{2}=\left(\begin{array}{cccc}
\alpha_{1}^{\prime} \alpha_{1} & \alpha_{1}^{\prime} \alpha_{2} & \cdots & \alpha_{1}^{\prime} \alpha_{n} \\
\alpha_{2}^{\prime} \alpha_{1} & \alpha_{2}^{\prime} \alpha_{2} & \cdots & \alpha_{2}^{\prime} \alpha_{n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\alpha_{n}^{\prime} \alpha_{1} & \alpha_{n}^{\prime} \alpha_{2} & \cdots & \alpha_{n}^{\prime} \alpha_{n}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}
\beta_{1}^{\prime} \beta_{1} & \beta_{1}^{\prime} \beta_{2} & \cdots & \beta_{1}^{\prime} \beta_{n} \\
\beta_{2}^{\prime} \beta_{1} & \beta_{2}^{\prime} \beta_{2} & \cdots & \beta_{2}^{\prime} \beta_{n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\beta_{n}^{\prime} \beta_{1} & \beta_{n}^{\prime} \beta_{2} & \cdots & \beta_{n}^{\prime} \beta_{n}
\end{array}\right)
$$


由此得 $\displaystyle \operatorname{Tr}\left(\mathrm{A}^{2} \mathrm{~B}^{2}\right)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left(\alpha_{i}^{\prime} \alpha_{j}\right) \cdot\left(\beta_{j}^{\prime} \beta_{i}\right)$ 。

最后由柯西－布涅柯夫斯基不等式易知

$$
\begin{aligned}
& \left(\alpha_{i}^{\prime} \beta_{j}\right) \cdot\left(\alpha_{j}^{\prime} \beta_{i}\right) \leq\left(\alpha_{i}^{\prime} \alpha_{j}\right) \cdot\left(\beta_{j}^{\prime} \beta_{i}\right), \quad 1 \leq i, \quad j \leq n . \\
& \text { 从而得 } \operatorname{Tr}(\mathrm{AB})^{2} \leq \operatorname{Tr}\left(\mathrm{A}^{2} \mathrm{~B}^{2}\right) .
\end{aligned}
$$

3．（20 分）证明：若 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle n$ 阶实对称正定矩阵，则（i）存在唯一的对称正定矩阵 $\displaystyle S_{1}$ ，使得 $\displaystyle S=S_{1}{ }^{2}$ ；（ii）若 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶实对称矩阵，则 $\displaystyle A S$ 的特征值是实数．

7．（20 分）设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n \times n$ 阶实对称矩阵，$\displaystyle b$ 为 $\displaystyle n \times 1$ 维实向量．证明：$\displaystyle A-b b^{T}>0$ 的充分必要条件是

$$
A>0 \text { 及 } b^{T} A^{-1} b<1 \text {. 其中 } b^{T} \text { 表示 } b \text { 的转置. }
$$

5．（20 分）（i）考虑如下形式的矩阵：

$$
P=\left(\begin{array}{cccc}
a_{1}^{2} & a_{1} a_{2} & \cdots & a_{1} a_{n} \\
a_{2} a_{1} & a_{2}^{2} & \cdots & a_{2} a_{n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n} a_{1} & a_{n} a_{1} & \cdots & a_{n}^{2}
\end{array}\right)
$$


其中，$\displaystyle a_{i}, 1 \leq i \leq n$ 都为实数。证明：矩阵 $\displaystyle P$ 非负定；（ii）证明：非零实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)$可以写成 $\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=\left(u_{1} x_{1}+\cdots+u_{n} x_{n}\right)\left(v_{1} x_{1}+\cdots v_{n} x_{n}\right)$ 的充要条件是：或者它的秩为 1 ，或者它的秩为 2 且符号差为零．

6．（20 分）证明：（i ）任何 $\displaystyle n$ 阶实对称方阵 $\displaystyle A$ 必合同于对角阵 $\displaystyle D=\operatorname{diag}\left\{\delta_{1}, \delta_{2} \cdots, \delta_{n}\right\}$ ，即存在 $\displaystyle n$ 阶非奇异实方阵 $\displaystyle C$ 使得 $\displaystyle C^{T} A C=D$ ，这里 $\displaystyle \delta_{i}=-1$ 或 0 或 1 ；
（ii）任何 $\displaystyle n$ 阶实反对陈非奇异方阵 $\displaystyle B$ 必为偶数阶（即 $\displaystyle n=2 k$ ），且合同于块对角阵 $\displaystyle F=\operatorname{diag}\left\{J_{1}, J_{2}, \cdots, J_{k}\right\}$ ，即存在 $\displaystyle n$ 阶非奇异实方阵 $\displaystyle E$ 使得 $\displaystyle E^{T} B E=F$ ，这里 $\displaystyle J_{i} \equiv\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right) ;$
（iv）对迹（对角元之和）为 0 的 $\displaystyle n$ 阶实方阵 $\displaystyle G$ ，存在实正交阵 $\displaystyle H$ ，使得 $\displaystyle H^{T} G H$ 的主对角元全为零．注：这里 $\displaystyle C^{T}, E^{T}, H^{T}$ 分别表示 $\displaystyle C, E, H$ 的转置．

7．（16 分）设有实二次型 $\displaystyle f(x)=x^{T} A x$ ，其中 $\displaystyle x^{T}$ 是 $\displaystyle x$ 的转置，$\displaystyle A$ 是 $\displaystyle 3 \times 3$ 实对称矩阵并满足以下方程：

$$
A^{3}-6 A^{2}+11 A-6 I=0
$$


试计算

$$
\max _{A} \max _{\|x\|=1} f(x)
$$


其中 $\displaystyle \|x\|^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}$ ，第一个极大值是满足以上方程的所有实对称矩阵 $\displaystyle A$ 来求。

3）证明更一般的结论：若 $\displaystyle J^{-1}$ 变为 $\displaystyle K^{-1}(Z), K(Z)=\left(k_{a b}\right) \in \mathbb{R}^{2 n \times 2 n}$ 反对称，可逆且满足恒等式 $\displaystyle \frac{\partial k_{a b}}{\partial z_{c}}+\frac{\partial k_{b c}}{\partial z_{a}}+\frac{\partial k_{c a}}{\partial z_{b}}=0,1 \leq a, b, c \leq 2 n$ ，则系统的相流总是满足：

$$
\left[\frac{\partial g^{t}(Z)}{\partial Z}\right]^{T} K\left(g^{t}(Z)\right)\left[\frac{\partial g^{t}(Z)}{\partial Z}\right]=K(Z) .
$$


这更一般情况下系统的相流是指任意给定一个 $\displaystyle Z, g^{t}(Z)$ 是系统的解：

$$
\frac{d g^{t}(Z)}{d t}=K^{-1}(Z) \nabla H\left(g^{t}(Z)\right)
$$
设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n \times n$ 正定实对称矩阵，$\displaystyle y \in \mathbb{R}^{n}$ ，且 $\displaystyle y \neq 0$ 。证明极限

$$
\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{y^{T} A^{m+1} y}{y^{T} A^{m} y}
$$


存在且等于 $\displaystyle A$ 的一个特征值（其中 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 表示 $\displaystyle n$ 维实数域）。
证明：由题意，存在正交阵 $\displaystyle P$ ，使得 $\displaystyle A=P^{T} A P=P^{-1} A P$ ，其中

$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
\lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_{n}
\end{array}\right)
$$


且 $\displaystyle 0<\lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \cdots \leq \lambda_{n}$ 为 $\displaystyle A$ 的特征值．于是

$$
\begin{aligned}
\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{y^{T} A^{m+1} y}{y^{T} A^{m} y} & =\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{y^{T} A^{m+1} y}{y^{T} A^{m} y} \\
& =\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} \lambda_{k}^{m+1} y_{k}^{2}}{\sum_{k=1}^{n} \lambda_{k}^{m} y_{k}^{2}} \\
& =\lambda_{j} \lim _{m \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{j-1}\left(\lambda_{k} / \lambda_{j}\right)^{m+1} y_{k}^{2}+y_{j}^{2}}{\sum_{k=1}^{j-1}\left(\lambda_{k} / \lambda_{j}\right)^{m} y_{k}^{2}+y_{j}^{2}}\left(\text { 其中 } j=\max \left\{k \mid y_{k} \neq 0\right\}\right) \\
& =\lambda_{j}
\end{aligned}
$$
1）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ 为线性变换 $\displaystyle A$ 在一组基下的矩阵表示，求 $\displaystyle A$ 的不变子空间；

4．对于任意一个 $\displaystyle n$ 级实对称矩阵 $\displaystyle A$ ，都存在一个 $\displaystyle n$ 级—————矩阵 $\displaystyle T$ ，使得 $\displaystyle T^{-1} A T=T A T$ 成为对角形。
（A）上三角；
（B）对称；
C）Jordan（若尔当）；
（D）正交．

八．（15 分）
设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right)$ ，求正交矩阵 $\displaystyle T$ 使得 $\displaystyle T^{-1} A T$ 成为对角矩阵。

7．任意一个可逆对称矩阵的逆矩阵也是可逆对称矩阵。
解答：正确，可逆矩阵存在 ⇔ 逆矩阵存在且可逆，$\displaystyle (A B)^{\prime}=B^{\prime} A^{\prime}=B^{\prime} A=E=B A$

6．设 $\displaystyle A$ 是一个 $\displaystyle n$ 级矩阵，如果对任何 $\displaystyle n$ 维向量 $\displaystyle X$ ，都有 $\displaystyle X^{\prime} A X=0$ ，则 $\displaystyle A$为零矩阵。

7．设 $\displaystyle A$ 是一个 $\displaystyle n$ 级实对称矩阵，如果 $\displaystyle A$ 的所有顺序主子式都大于或等于零，则 $\displaystyle A$ 为半正定矩阵。

三、计算和证明题（共有 6 题，每题的分都在题前注明，计 80 分）．下面提到的矩阵与向量都指实数域上的矩阵和向量。

3．（12 分）设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n$ 阶正交矩阵（即满足 $\displaystyle A A^{T}=E$ ，其中 $\displaystyle E$ 是 $\displaystyle n$ 阶单位矩阵，$\displaystyle A^{T}$ 表

示矩阵 $\displaystyle A$ 的转置），且 $\displaystyle E+A$ 为可逆矩阵证．明：$\displaystyle (E-A)(E+A)^{-1}$ 是反对称矩阵．

7．（12 分）设 $\displaystyle A 、 C$ 是 $\displaystyle n$ 阶实正定矩阵，$\displaystyle B$ 是矩阵方程 $\displaystyle A X+X A=C$ 的唯一解，证明：
（1）$\displaystyle B$ 是对称矩阵；
（2）$\displaystyle B$ 是正定矩阵．

五、（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 都是 $\displaystyle n$ 阶实对称矩阵，且 $\displaystyle B$ 正定，则
存在 $\displaystyle S$ 及 $\displaystyle D=\left(\begin{array}{lll}\lambda_{1} & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_{n}\end{array}\right)$ ，使得 $\displaystyle A=S D S^{T}, B=S S^{T}$ ．

5．（20 分）已知实对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}4 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 4\end{array}\right)$ ，求正交矩阵 $\displaystyle P$ 使得 $\displaystyle P^{T} A P$ 成为对角矩阵。

9．（10 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 是可逆的对称实矩阵。证明：二次型的矩阵
$\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=\left|\begin{array}{cccc}0 & x_{1} & \cdots & x_{n} \\ -x_{1} & a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ -x_{n} & a_{n 1} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|$ 是 $\displaystyle A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 。

6．（20 分）若把所有 $\displaystyle n$ 阶实对称矩阵按合同关系分类，问共有几类（说明原因）？每一类中最简单的矩阵是什么？

十、（15 分）设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 均为对称变换，且有 $\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$ ，试证 $\displaystyle \sigma, \tau$ 在某个标准正交基下的矩阵均为对角阵。

7．A 为对称阵，$\displaystyle A^{3}-6 A^{2}+11 A-6=0 \ldots \ldots . .(I)$
求 $\displaystyle \max _{A} \max _{\|x\|=1} \lambda_{1} x_{1}^{2}+\lambda_{2} x_{2}^{2}+\lambda_{3} x_{3}^{2}$（第一个极大值是对所有满足 I 的矩阵 A 取的）