共 20 题
题20032中国科学技术大学真题
2．设 $\displaystyle P_{3}$ 是数域 $\displaystyle F$ 上次数不高于 3 的全体多项式和零多项式的全体，线性变换
$$
\varphi=x \frac{d}{d x}: P_{3} \rightarrow P_{3}
$$
求 $\displaystyle \varphi$ 的极小多项式。
$$
\varphi=x \frac{d}{d x}: P_{3} \rightarrow P_{3}
$$
求 $\displaystyle \varphi$ 的极小多项式。
题20063中国科学院真题
二、设 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ 为 $\displaystyle n$ 个实数，方阵
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
a_{1} & a_{1} & \cdots & a_{1} \\
a_{2} & a_{2} & \cdots & a_{2} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n} & a_{n} & \cdots & a_{n}
\end{array}\right)
$$
试求 $\displaystyle A$ 的所有特征值。
解：$\displaystyle A$ 的特征多项式为
$$
\operatorname{det}(\lambda E-A)=\left|\begin{array}{cccc}
\lambda-a_{1} & -a_{1} & \cdots & -a_{1} \\
-a_{2} & \lambda-a_{2} & \cdots & -a_{2} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
-a_{n} & -a_{n} & \cdots & \lambda-a_{n}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}
\lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i} & \lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i} & \cdots & \lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i} \\
-a_{2} & \lambda-a_{2} & \cdots & -a_{2} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
-a_{n} & -a_{n} & \cdots & \lambda-a_{n}
\end{array}\right|=
$$
$$
\left(\lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
-a_{2} & \lambda-a_{2} & \cdots & -a_{2} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
-a_{n} & -a_{n} & \cdots & \lambda-a_{n}
\end{array}\right|=\left(\lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
0 & \lambda & \cdots & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda
\end{array}\right|=\lambda^{n-1}\left(\lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right) .
$$
由此可知，$\displaystyle A$ 的 $\displaystyle n$ 个特征值为 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_{i}, ~ 0, ~ \cdots, ~ 0$（ 0 为 $\displaystyle n$ 重特征根）。
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
a_{1} & a_{1} & \cdots & a_{1} \\
a_{2} & a_{2} & \cdots & a_{2} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n} & a_{n} & \cdots & a_{n}
\end{array}\right)
$$
试求 $\displaystyle A$ 的所有特征值。
解：$\displaystyle A$ 的特征多项式为
$$
\operatorname{det}(\lambda E-A)=\left|\begin{array}{cccc}
\lambda-a_{1} & -a_{1} & \cdots & -a_{1} \\
-a_{2} & \lambda-a_{2} & \cdots & -a_{2} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
-a_{n} & -a_{n} & \cdots & \lambda-a_{n}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}
\lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i} & \lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i} & \cdots & \lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i} \\
-a_{2} & \lambda-a_{2} & \cdots & -a_{2} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
-a_{n} & -a_{n} & \cdots & \lambda-a_{n}
\end{array}\right|=
$$
$$
\left(\lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
-a_{2} & \lambda-a_{2} & \cdots & -a_{2} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
-a_{n} & -a_{n} & \cdots & \lambda-a_{n}
\end{array}\right|=\left(\lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
0 & \lambda & \cdots & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda
\end{array}\right|=\lambda^{n-1}\left(\lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right) .
$$
由此可知，$\displaystyle A$ 的 $\displaystyle n$ 个特征值为 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_{i}, ~ 0, ~ \cdots, ~ 0$（ 0 为 $\displaystyle n$ 重特征根）。
题20065中国科学院真题
四、设 $\displaystyle A, B$ 为方阵，且 $\displaystyle B$ 为满秩阵，$\displaystyle s$ 为实数，
$$
C=A+s B
$$
试证明：存在正数 $\displaystyle a$ ，使得在 $\displaystyle 0<s<a$ 时，$\displaystyle C$ 满秩．
证明：考虑矩阵 $\displaystyle A B^{-1}+s E=s E-\left(-A B^{-1}\right)$ ，其中 $\displaystyle E$ 为单位阵．
由于关于 $\displaystyle s$ 的方程 $\displaystyle \operatorname{det}\left(s E+A B^{-1}\right)=0$ 仅有有限个根（它们为方 阵 $\displaystyle -A B^{-1}$ 的 全 部 特 征 根）。从 而 数 集 $\displaystyle I=\left\{s>0 \mid \operatorname{det}\left(s E+A B^{-1}\right)=0\right\}$ 为有限集。若 $\displaystyle I \neq \varnothing$ ，则令 $\displaystyle a$ 为数集 $\displaystyle I$ 中的最小数；若 $\displaystyle I=\varnothing$ ，则可取 $\displaystyle a$ 为任何正数．于是，当 $\displaystyle 0<s<a$ 时，必有 $\displaystyle \operatorname{det}\left(s E+A B^{-1}\right) \neq 0$ ．
所以，当 $\displaystyle 0<s<a$ 时，$\displaystyle s E+A B^{-1}$ 为满秩阵，从而
$$
C=A+s B=\left(s E+A B^{-1}\right) B \text { 为满秩阵. }
$$
$$
C=A+s B
$$
试证明：存在正数 $\displaystyle a$ ，使得在 $\displaystyle 0<s<a$ 时，$\displaystyle C$ 满秩．
证明：考虑矩阵 $\displaystyle A B^{-1}+s E=s E-\left(-A B^{-1}\right)$ ，其中 $\displaystyle E$ 为单位阵．
由于关于 $\displaystyle s$ 的方程 $\displaystyle \operatorname{det}\left(s E+A B^{-1}\right)=0$ 仅有有限个根（它们为方 阵 $\displaystyle -A B^{-1}$ 的 全 部 特 征 根）。从 而 数 集 $\displaystyle I=\left\{s>0 \mid \operatorname{det}\left(s E+A B^{-1}\right)=0\right\}$ 为有限集。若 $\displaystyle I \neq \varnothing$ ，则令 $\displaystyle a$ 为数集 $\displaystyle I$ 中的最小数；若 $\displaystyle I=\varnothing$ ，则可取 $\displaystyle a$ 为任何正数．于是，当 $\displaystyle 0<s<a$ 时，必有 $\displaystyle \operatorname{det}\left(s E+A B^{-1}\right) \neq 0$ ．
所以，当 $\displaystyle 0<s<a$ 时，$\displaystyle s E+A B^{-1}$ 为满秩阵，从而
$$
C=A+s B=\left(s E+A B^{-1}\right) B \text { 为满秩阵. }
$$
题20088中国科学院真题
6．（20 分）给定 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上二维线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换 $\displaystyle A$ 。 $\displaystyle A$ 在一组基下的矩阵表示为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1-a & 0\end{array}\right), a \neq 0$ ，求 $\displaystyle A$ 的不变子空间．
题20128中国科学院真题
3．（20分）（i）求矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{llll}
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$$
的 Jordan 标准形，并计算 $\displaystyle e^{A}$（注：按通常定义 $\displaystyle e^{A}=I+A+\frac{A^{2}}{2!}+\frac{A^{3}}{3!} \cdots$ ）；
（ii）设
$$
B=\left(\begin{array}{ccc}
4 & 4.5 & -1 \\
-3 & -3.5 & 1 \\
-2 & -3 & 1.5
\end{array}\right),
$$
求 $\displaystyle B^{2005}$（精确到小数点后 4 位）．
$$
A=\left(\begin{array}{llll}
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$$
的 Jordan 标准形，并计算 $\displaystyle e^{A}$（注：按通常定义 $\displaystyle e^{A}=I+A+\frac{A^{2}}{2!}+\frac{A^{3}}{3!} \cdots$ ）；
（ii）设
$$
B=\left(\begin{array}{ccc}
4 & 4.5 & -1 \\
-3 & -3.5 & 1 \\
-2 & -3 & 1.5
\end{array}\right),
$$
求 $\displaystyle B^{2005}$（精确到小数点后 4 位）．
题20150中国科学院真题
7．（16 分）设有实二次型 $\displaystyle f(x)=x^{T} A x$ ，其中 $\displaystyle x^{T}$ 是 $\displaystyle x$ 的转置，$\displaystyle A$ 是 $\displaystyle 3 \times 3$ 实对称矩阵并满足以下方程：
$$
A^{3}-6 A^{2}+11 A-6 I=0
$$
试计算
$$
\max _{A} \max _{\|x\|=1} f(x)
$$
其中 $\displaystyle \|x\|^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}$ ，第一个极大值是满足以上方程的所有实对称矩阵 $\displaystyle A$ 来求。
$$
A^{3}-6 A^{2}+11 A-6 I=0
$$
试计算
$$
\max _{A} \max _{\|x\|=1} f(x)
$$
其中 $\displaystyle \|x\|^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}$ ，第一个极大值是满足以上方程的所有实对称矩阵 $\displaystyle A$ 来求。
题20173中国科学院真题
二、（20 分）已知 3 阶正交矩阵 $\displaystyle A$ 的行列式为 1．求证：$\displaystyle A$ 的特征多项式一定为
$$
f(\lambda)=\lambda^{3}-a \lambda^{2}+a \lambda-1
$$
其中，$\displaystyle a \in \mathbb{R}$ 且 $\displaystyle -1 \leq a \leq 3$ 。（可与实数比较大小的数只有实数，故条件 $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ 可略去）
证明 设 $\displaystyle A$ 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}-a_{2} \lambda^{2}+a_{1} \lambda-a_{0}$ ，其中 $\displaystyle a_{0}, a_{1}, a_{2} \in \mathbb{R}$ ．则 $\displaystyle a_{0}=|A|=1, a_{1}=\operatorname{tr}(A), a_{2}$ 是 $\displaystyle A$ 的所有二阶主子式之和．
设 $\displaystyle A$ 的所有特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ ，由于 $\displaystyle A$ 是正交矩阵且 $\displaystyle |A|=1$ ，则
$$
\lambda_{1}=1,\left|\lambda_{2}\right|=\left|\lambda_{3}\right|=1, \overline{\lambda_{2}}=\lambda_{3}
$$
所以，$\displaystyle \left|\operatorname{Re} \lambda_{2}\right|=\left|\operatorname{Re} \lambda_{3}\right| \leq 1$ ，即 $\displaystyle \operatorname{Re} \lambda_{2} \in[-1,1]$ ，故
$$
a_{1}=\operatorname{tr} A=\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}=1+2 \operatorname{Re} \lambda_{2} \in[-1,3]
$$
由于 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ 是 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}-a_{2} \lambda^{2}+a_{1} \lambda-a_{0}$ 的根，结合根与系数的关系可得
$$
a_{2}=\lambda_{1} \lambda_{2}+\lambda_{1} \lambda_{3}+\lambda_{2} \lambda_{3}=\lambda_{2}+\lambda_{3}+\left|\lambda_{2}\right|^{2}=2 \operatorname{Re} \lambda_{2}+1=a_{1} \triangleq a
$$
则 $\displaystyle -1 \leq a \leq 3$ 且
$$
f(\lambda)=\lambda^{3}-a \lambda^{2}+a \lambda-1
$$
$$
f(\lambda)=\lambda^{3}-a \lambda^{2}+a \lambda-1
$$
其中，$\displaystyle a \in \mathbb{R}$ 且 $\displaystyle -1 \leq a \leq 3$ 。（可与实数比较大小的数只有实数，故条件 $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ 可略去）
证明 设 $\displaystyle A$ 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}-a_{2} \lambda^{2}+a_{1} \lambda-a_{0}$ ，其中 $\displaystyle a_{0}, a_{1}, a_{2} \in \mathbb{R}$ ．则 $\displaystyle a_{0}=|A|=1, a_{1}=\operatorname{tr}(A), a_{2}$ 是 $\displaystyle A$ 的所有二阶主子式之和．
设 $\displaystyle A$ 的所有特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ ，由于 $\displaystyle A$ 是正交矩阵且 $\displaystyle |A|=1$ ，则
$$
\lambda_{1}=1,\left|\lambda_{2}\right|=\left|\lambda_{3}\right|=1, \overline{\lambda_{2}}=\lambda_{3}
$$
所以，$\displaystyle \left|\operatorname{Re} \lambda_{2}\right|=\left|\operatorname{Re} \lambda_{3}\right| \leq 1$ ，即 $\displaystyle \operatorname{Re} \lambda_{2} \in[-1,1]$ ，故
$$
a_{1}=\operatorname{tr} A=\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}=1+2 \operatorname{Re} \lambda_{2} \in[-1,3]
$$
由于 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ 是 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}-a_{2} \lambda^{2}+a_{1} \lambda-a_{0}$ 的根，结合根与系数的关系可得
$$
a_{2}=\lambda_{1} \lambda_{2}+\lambda_{1} \lambda_{3}+\lambda_{2} \lambda_{3}=\lambda_{2}+\lambda_{3}+\left|\lambda_{2}\right|^{2}=2 \operatorname{Re} \lambda_{2}+1=a_{1} \triangleq a
$$
则 $\displaystyle -1 \leq a \leq 3$ 且
$$
f(\lambda)=\lambda^{3}-a \lambda^{2}+a \lambda-1
$$
题20231北京大学真题
4．（18 分）
（1）设
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
-2 & 3 & -1
\end{array}\right)
$$
a．若把 $\displaystyle A$ 看成有理数域上的矩阵，判断 $\displaystyle A$ 是否可对角化，写出理由．
$\displaystyle b$ ．若把 $\displaystyle A$ 看成复数域上的矩阵，判断 $\displaystyle A$ 是否可对角化，写出理由．
（2）设 $\displaystyle A$ 是有理数域上的 $\displaystyle n$ 阶对称矩阵，并且在有理数域上 $\displaystyle A$ 合同与单位矩阵 $\displaystyle I$ 。用 $\displaystyle \delta$ 表示元素全为 1 的列向量，$\displaystyle b$ 是有理数．证明：在有理数域上
$$
\left(\begin{array}{cc}
A & b \delta \\
b \delta^{T} & b
\end{array}\right) \simeq\left(\begin{array}{cc}
I & 0 \\
0 & b-b^{2} \delta^{T} A^{-1} \delta
\end{array}\right) .
$$
（1）设
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
-2 & 3 & -1
\end{array}\right)
$$
a．若把 $\displaystyle A$ 看成有理数域上的矩阵，判断 $\displaystyle A$ 是否可对角化，写出理由．
$\displaystyle b$ ．若把 $\displaystyle A$ 看成复数域上的矩阵，判断 $\displaystyle A$ 是否可对角化，写出理由．
（2）设 $\displaystyle A$ 是有理数域上的 $\displaystyle n$ 阶对称矩阵，并且在有理数域上 $\displaystyle A$ 合同与单位矩阵 $\displaystyle I$ 。用 $\displaystyle \delta$ 表示元素全为 1 的列向量，$\displaystyle b$ 是有理数．证明：在有理数域上
$$
\left(\begin{array}{cc}
A & b \delta \\
b \delta^{T} & b
\end{array}\right) \simeq\left(\begin{array}{cc}
I & 0 \\
0 & b-b^{2} \delta^{T} A^{-1} \delta
\end{array}\right) .
$$
题20260北京大学真题
5、设 $\displaystyle n$ 阶复矩阵 $\displaystyle A$ 满足：对于任意正整数 $\displaystyle k$ ，都有 $\displaystyle \operatorname{tr}\left(A^{k}\right)=0$ ．求 $\displaystyle A$ 的特征值．
【解】设 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 是 $\displaystyle A$ 的全部特征值，则 $\displaystyle A$ 的特征多项式为
$$
\Delta(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)\left(\lambda-\lambda_{2}\right) \cdots\left(\lambda-\lambda_{n}\right)=\lambda^{n}-\sigma_{1} \lambda^{n-1}+\sigma_{2} \lambda^{n-2}-\cdots+(-1)^{n} \sigma_{n}
$$
其中 $\displaystyle \sigma_{k}$ 是 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 的 $\displaystyle k$ 次初等对称多项式 $\displaystyle (1 \leq k \leq n)$ ．
因为 $\displaystyle \lambda_{1}^{k}, \lambda_{2}^{k}, \cdots, \lambda_{n}^{k}$ 是 $\displaystyle A^{k}$ 的全部特征值，所以
$$
s_{k}=\lambda_{1}^{k}+\lambda_{2}^{k}+\cdots+\lambda_{n}^{k}=\operatorname{tr}\left(A^{k}\right)=0, k=1,2, \cdots .
$$
对于 $\displaystyle 1 \leq k \leq n$ ，利用牛顿（Newton）公式
$$
s_{k}-\sigma_{1} s_{k-1}+\sigma_{2} s_{k-2}-\cdots+(-1)^{k-1} \sigma_{k-1} s_{1}+(-1)^{k} k \sigma_{k}=0
$$
可得 $\displaystyle \sigma_{k}=0$ ，从而有 $\displaystyle \Delta(\lambda)=\lambda^{n}$ ．因此，$\displaystyle A$ 的特征值 $\displaystyle \lambda_{1}=\lambda_{2}=\cdots=\lambda_{n}=0$ ．
【解】设 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 是 $\displaystyle A$ 的全部特征值，则 $\displaystyle A$ 的特征多项式为
$$
\Delta(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)\left(\lambda-\lambda_{2}\right) \cdots\left(\lambda-\lambda_{n}\right)=\lambda^{n}-\sigma_{1} \lambda^{n-1}+\sigma_{2} \lambda^{n-2}-\cdots+(-1)^{n} \sigma_{n}
$$
其中 $\displaystyle \sigma_{k}$ 是 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 的 $\displaystyle k$ 次初等对称多项式 $\displaystyle (1 \leq k \leq n)$ ．
因为 $\displaystyle \lambda_{1}^{k}, \lambda_{2}^{k}, \cdots, \lambda_{n}^{k}$ 是 $\displaystyle A^{k}$ 的全部特征值，所以
$$
s_{k}=\lambda_{1}^{k}+\lambda_{2}^{k}+\cdots+\lambda_{n}^{k}=\operatorname{tr}\left(A^{k}\right)=0, k=1,2, \cdots .
$$
对于 $\displaystyle 1 \leq k \leq n$ ，利用牛顿（Newton）公式
$$
s_{k}-\sigma_{1} s_{k-1}+\sigma_{2} s_{k-2}-\cdots+(-1)^{k-1} \sigma_{k-1} s_{1}+(-1)^{k} k \sigma_{k}=0
$$
可得 $\displaystyle \sigma_{k}=0$ ，从而有 $\displaystyle \Delta(\lambda)=\lambda^{n}$ ．因此，$\displaystyle A$ 的特征值 $\displaystyle \lambda_{1}=\lambda_{2}=\cdots=\lambda_{n}=0$ ．
题20261北京大学真题
6、设 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的最小多项式与特征多项式相同。求证：$\displaystyle \exists \alpha \in V$ ，使得 $\displaystyle \alpha, A \alpha, A^{2} \alpha, \cdots, A^{n-1} \alpha$ 为 $\displaystyle V$ 的一个基．
【解】据题设，设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的最小多项式与特征多项式同为
$$
d_{n}(\lambda)=\lambda^{n}+b_{n-1} \lambda^{n-1}+\cdots+b_{1} \lambda+b_{0},
$$
则 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的前 $\displaystyle n-1$ 个不变因子为 $\displaystyle 1,1, \cdots, 1$ ，第 $\displaystyle n$ 个不变因子为 $\displaystyle d_{n}(\lambda)$ 。容易知道，矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & & & & -b_{0} \\
1 & \ddots & & & -b_{1} \\
& \ddots & \ddots & & \vdots \\
& & \ddots & 0 & -b_{n-2} \\
& & & 1 & -b_{n-1}
\end{array}\right)
$$
的不变因子也为 $\displaystyle 1,1, \cdots, 1, d_{n}(\lambda)$ ，所以存在 $\displaystyle V$ 的一个基 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}$ ，使得 $\displaystyle \mathbf{A}$ 在这个基下的矩阵为 $\displaystyle A$ ，即
$$
\mathbf{A}\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right)=\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right) A
$$
现在令 $\displaystyle \alpha=\xi_{1} \in V$ ，则 $\displaystyle A \alpha=\xi_{2}, A^{2} \alpha=\xi_{3}, \cdots, A^{n-1} \alpha=\xi_{n}$ ，因此 $\displaystyle \alpha, A \alpha, A^{2} \alpha, \cdots, A^{n-1} \alpha$
为 $\displaystyle V$ 的一个基．
【解】据题设，设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的最小多项式与特征多项式同为
$$
d_{n}(\lambda)=\lambda^{n}+b_{n-1} \lambda^{n-1}+\cdots+b_{1} \lambda+b_{0},
$$
则 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的前 $\displaystyle n-1$ 个不变因子为 $\displaystyle 1,1, \cdots, 1$ ，第 $\displaystyle n$ 个不变因子为 $\displaystyle d_{n}(\lambda)$ 。容易知道，矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & & & & -b_{0} \\
1 & \ddots & & & -b_{1} \\
& \ddots & \ddots & & \vdots \\
& & \ddots & 0 & -b_{n-2} \\
& & & 1 & -b_{n-1}
\end{array}\right)
$$
的不变因子也为 $\displaystyle 1,1, \cdots, 1, d_{n}(\lambda)$ ，所以存在 $\displaystyle V$ 的一个基 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}$ ，使得 $\displaystyle \mathbf{A}$ 在这个基下的矩阵为 $\displaystyle A$ ，即
$$
\mathbf{A}\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right)=\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right) A
$$
现在令 $\displaystyle \alpha=\xi_{1} \in V$ ，则 $\displaystyle A \alpha=\xi_{2}, A^{2} \alpha=\xi_{3}, \cdots, A^{n-1} \alpha=\xi_{n}$ ，因此 $\displaystyle \alpha, A \alpha, A^{2} \alpha, \cdots, A^{n-1} \alpha$
为 $\displaystyle V$ 的一个基．
题20480南京大学真题
八、（15 分）设 A 是三级正交矩阵并且 $\displaystyle |A|=1$ ，求证：
（1） 1 是 A 的一个特征值
（2） A 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)$ 可表示为 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}-a \lambda^{2}+a \lambda-1$ ，其中 a 是某个实数。
（3）若 A 的特征值全为实数并且 $\displaystyle |A+E| \neq 0$ ，则 A 的转置 $\displaystyle A^{\prime}=A^{2}-3 A+3 E$ ，其中 E 是 3 级单位矩阵。
证明：（1）$\displaystyle |E-A|=\left|A A^{\prime}-A\right|=|A|\left|A^{\prime}-E\right|=|A-E|=(-1)^{3}|E-A|=-|E-A|$ ，故 $\displaystyle |E-A|=0$ ，所以 1 是 A 的一个特征值；
（2）根据哈密尔顿一卡莱定理得到 A 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)$ 为 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}+a \lambda^{2}+b \lambda-1$ ，而根据（1）得出 $\displaystyle \lambda=1$ 是 $\displaystyle f(\lambda)=0$ 的解故解得 $\displaystyle a+b=0$ ，所以 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}-a \lambda^{2}+a \lambda-1$
（3）因为 A 是三级正交矩阵，故 $\displaystyle A A^{\prime}=A^{\prime} A=E$ 即 $\displaystyle |A|^{2}=1$ ，而 $\displaystyle |A+E| \neq 0$ 故 $\displaystyle \lambda=-1$不是 A 的特征值，所以 $\displaystyle \lambda=1,1$ 是 A 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)$ 的解，代入得到 $\displaystyle \mathrm{a}=3$ ，所以 A 的 特 征 多 项 式 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}-3 \lambda^{2}+3 \lambda-1$ ，即 $\displaystyle A^{3}-3 A^{2}+3 A-E=0 \Leftrightarrow A\left(A^{2}-3 A+3 E\right)=E$ ，所以 $\displaystyle A^{\prime}=A^{2}-3 A+3 E$ 。
（1） 1 是 A 的一个特征值
（2） A 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)$ 可表示为 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}-a \lambda^{2}+a \lambda-1$ ，其中 a 是某个实数。
（3）若 A 的特征值全为实数并且 $\displaystyle |A+E| \neq 0$ ，则 A 的转置 $\displaystyle A^{\prime}=A^{2}-3 A+3 E$ ，其中 E 是 3 级单位矩阵。
证明：（1）$\displaystyle |E-A|=\left|A A^{\prime}-A\right|=|A|\left|A^{\prime}-E\right|=|A-E|=(-1)^{3}|E-A|=-|E-A|$ ，故 $\displaystyle |E-A|=0$ ，所以 1 是 A 的一个特征值；
（2）根据哈密尔顿一卡莱定理得到 A 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)$ 为 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}+a \lambda^{2}+b \lambda-1$ ，而根据（1）得出 $\displaystyle \lambda=1$ 是 $\displaystyle f(\lambda)=0$ 的解故解得 $\displaystyle a+b=0$ ，所以 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}-a \lambda^{2}+a \lambda-1$
（3）因为 A 是三级正交矩阵，故 $\displaystyle A A^{\prime}=A^{\prime} A=E$ 即 $\displaystyle |A|^{2}=1$ ，而 $\displaystyle |A+E| \neq 0$ 故 $\displaystyle \lambda=-1$不是 A 的特征值，所以 $\displaystyle \lambda=1,1$ 是 A 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)$ 的解，代入得到 $\displaystyle \mathrm{a}=3$ ，所以 A 的 特 征 多 项 式 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}-3 \lambda^{2}+3 \lambda-1$ ，即 $\displaystyle A^{3}-3 A^{2}+3 A-E=0 \Leftrightarrow A\left(A^{2}-3 A+3 E\right)=E$ ，所以 $\displaystyle A^{\prime}=A^{2}-3 A+3 E$ 。
题20657武汉大学真题
6．（20 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & \cdots & 1 \\ \vdots & & \vdots \\ 1 & \cdots & 1\end{array}\right)$ 是 $\displaystyle n$ 阶矩阵，
（1）求 $\displaystyle A$ 的特征值和特征向量；
（2）求可逆矩阵 $\displaystyle P$ ，使 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角矩阵．
（1）求 $\displaystyle A$ 的特征值和特征向量；
（2）求可逆矩阵 $\displaystyle P$ ，使 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角矩阵．
题20666武汉大学真题
7．（20 分）已知二次曲面方程 $\displaystyle x^{2}+k y^{2}+z^{2}+2 x y+2 x z+2 y z=4$ 可通过正交变换
$\displaystyle \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime}\end{array}\right)$,
化为椭圆柱面 $\displaystyle y^{\prime 2}+4 z^{\prime 2}=4$ ，求 $\displaystyle k$ 的值和正交矩阵 $\displaystyle P$ ．
$\displaystyle \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime}\end{array}\right)$,
化为椭圆柱面 $\displaystyle y^{\prime 2}+4 z^{\prime 2}=4$ ，求 $\displaystyle k$ 的值和正交矩阵 $\displaystyle P$ ．
题20721武汉大学真题
7．（求矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \cdots & 1\end{array}\right)$（即 $\displaystyle A$ 中的每个元素都为 1 ）的最小多项式。（15 分）
题20732武汉大学真题
七．解（1）易知 $\displaystyle A$ 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)=|\lambda E-A|=(\lambda-1)\left(\lambda^{2}-6 \lambda+8-3 a\right)$ ．
若 $\displaystyle \lambda=1$ 是 $\displaystyle f(\lambda)$ 的二重根，则 $\displaystyle \lambda=1$ 是 $\displaystyle \lambda^{2}-6 \lambda+8-3 a$ 的零点，即 $\displaystyle 1^{2}-6+8-3 a=0$ ，解得 $\displaystyle a=1$ 。此时，对 $\displaystyle \lambda E-A$ 作初等变换化为正规形
$$
\lambda E-A=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda-1 & -5 & -5 \\
0 & \lambda-4 & -3 \\
0 & -1 & \lambda-2
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{lll}
1 & & \\
& \lambda-1 & \\
& & (\lambda-1)(\lambda-5)
\end{array}\right)
$$
所以，$\displaystyle A$ 的最小多项式 $\displaystyle m(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-5)$ ．又 $\displaystyle A$ 的初等因子组为 $\displaystyle \lambda-1, \lambda-1, \lambda-5$ ，故 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形为对角阵 $\displaystyle J_{1}=\operatorname{diag}(1,1,5)$ 。
若 $\displaystyle \lambda=1$ 不是 $\displaystyle f(\lambda)$ 的二重根，则 $\displaystyle \lambda^{2}-6 \lambda+8-3 a$ 为完全平方，从而 $\displaystyle 8-3 a=9$ ，解得 $\displaystyle a=-\frac{1}{3}$ ，此时，对 $\displaystyle \lambda E-A$ 作初等变换化为正规形
$$
\lambda E-A=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda-1 & -5 & -5 \\
0 & \lambda-4 & -3 \\
0 & \frac{1}{3} & \lambda-2
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{lll}
1 & & \\
& 1 & \\
& & (\lambda-1)(\lambda-3)^{2}
\end{array}\right)
$$
所以，$\displaystyle A$ 的最小多项式 $\displaystyle m(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-3)^{2}$ ．又 $\displaystyle A$ 的初等因子组为 $\displaystyle \lambda-1,(\lambda-3)^{2}$ ，故 $\displaystyle A$的 Jordan 标准形为
$$
J_{2}=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right)
$$
（2）根据上面解答可知，$\displaystyle A$ 相似于对角矩阵的充分必要条件是 $\displaystyle a=1$ ． \(\square\)
若 $\displaystyle \lambda=1$ 是 $\displaystyle f(\lambda)$ 的二重根，则 $\displaystyle \lambda=1$ 是 $\displaystyle \lambda^{2}-6 \lambda+8-3 a$ 的零点，即 $\displaystyle 1^{2}-6+8-3 a=0$ ，解得 $\displaystyle a=1$ 。此时，对 $\displaystyle \lambda E-A$ 作初等变换化为正规形
$$
\lambda E-A=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda-1 & -5 & -5 \\
0 & \lambda-4 & -3 \\
0 & -1 & \lambda-2
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{lll}
1 & & \\
& \lambda-1 & \\
& & (\lambda-1)(\lambda-5)
\end{array}\right)
$$
所以，$\displaystyle A$ 的最小多项式 $\displaystyle m(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-5)$ ．又 $\displaystyle A$ 的初等因子组为 $\displaystyle \lambda-1, \lambda-1, \lambda-5$ ，故 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形为对角阵 $\displaystyle J_{1}=\operatorname{diag}(1,1,5)$ 。
若 $\displaystyle \lambda=1$ 不是 $\displaystyle f(\lambda)$ 的二重根，则 $\displaystyle \lambda^{2}-6 \lambda+8-3 a$ 为完全平方，从而 $\displaystyle 8-3 a=9$ ，解得 $\displaystyle a=-\frac{1}{3}$ ，此时，对 $\displaystyle \lambda E-A$ 作初等变换化为正规形
$$
\lambda E-A=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda-1 & -5 & -5 \\
0 & \lambda-4 & -3 \\
0 & \frac{1}{3} & \lambda-2
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{lll}
1 & & \\
& 1 & \\
& & (\lambda-1)(\lambda-3)^{2}
\end{array}\right)
$$
所以，$\displaystyle A$ 的最小多项式 $\displaystyle m(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-3)^{2}$ ．又 $\displaystyle A$ 的初等因子组为 $\displaystyle \lambda-1,(\lambda-3)^{2}$ ，故 $\displaystyle A$的 Jordan 标准形为
$$
J_{2}=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right)
$$
（2）根据上面解答可知，$\displaystyle A$ 相似于对角矩阵的充分必要条件是 $\displaystyle a=1$ ． \(\square\)
题20896浙江大学真题
八（1）设 $\displaystyle A, B$ 分别为复数矩阵域上的 䂙介和阶方阵，并且 $\displaystyle A, B$ 没有公共的特征值，求证 $\displaystyle A X=X B$ 只有空解（这里 $\displaystyle X=\left(x_{i j}\right)_{k \times k}$ ）
（2）在 $\displaystyle \Re^{n \times n}$ 中，变换 $\displaystyle \mathrm{A}: X \mapsto A X+X A, A \in \Re^{n \times n}, ~ \mathrm{~A}$ 为一个固定的矩阵，且 A 的特征值不为（－A）的特征值，求证：A为一个线形变换。
（2）在 $\displaystyle \Re^{n \times n}$ 中，变换 $\displaystyle \mathrm{A}: X \mapsto A X+X A, A \in \Re^{n \times n}, ~ \mathrm{~A}$ 为一个固定的矩阵，且 A 的特征值不为（－A）的特征值，求证：A为一个线形变换。
题21028浙江大学真题
七、（15 分）$\displaystyle A, B$ 均为 $\displaystyle n$ 阶矩阵，证明 $\displaystyle A B$ 和 $\displaystyle B A$ 有相同的特征多项式．
题21049浙江大学真题
4．空间 $\displaystyle v$ 上的线性变换 $\displaystyle f$ ，可以找到子空间 $\displaystyle U, W$ ，使 $\displaystyle f$ 在 U 上为可逆线性变换，在 W 上为幂零线性变换，且 $\displaystyle v=u \oplus w$
题21052浙江大学真题
7．A 为对称阵，$\displaystyle A^{3}-6 A^{2}+11 A-6=0 \ldots \ldots . .(I)$
求 $\displaystyle \max _{A} \max _{\|x\|=1} \lambda_{1} x_{1}^{2}+\lambda_{2} x_{2}^{2}+\lambda_{3} x_{3}^{2}$（第一个极大值是对所有满足 I 的矩阵 A 取的）
求 $\displaystyle \max _{A} \max _{\|x\|=1} \lambda_{1} x_{1}^{2}+\lambda_{2} x_{2}^{2}+\lambda_{3} x_{3}^{2}$（第一个极大值是对所有满足 I 的矩阵 A 取的）