积分计算

1． $\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos 2 x \mathrm{~d} x}$ ．

2． $\displaystyle{\int_{1}^{\sqrt{e}} \frac{1}{x \sqrt{1-(\ln x)^{2}}} d x}$ ．

2． $\displaystyle{\iint_{D} e^{-x^{2}-y^{2}} d x d y}$ ，其中 $D$ 是以原点为圆心， $1$ 为半径的圆形区域．

1． $\displaystyle{\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} d x=}$

1．下列不等式中正确的是（ ）．

1． $\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin 2 x \mathrm{~d} x}$ ．

2． $\displaystyle{\int_{0}^{1} \frac{2 x}{1+x^{2}} d x}$ ．

1．下列哪个积分的值是正的？

1． $\displaystyle{\int_{0}^{\ln 2} x e^{-x} \mathrm{~d} x}$ ．

2． $\displaystyle{\int_{0}^{1} x\left(2-x^{2}\right)^{12} \mathrm{~d} x}$

6．下列级数中，绝对收敛的是 ．

1． $\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos 2 x \mathrm{~d} x}$ ；

2． $\displaystyle{\int_{1}^{\sqrt{e}} \frac{1}{x \sqrt{1-(\ln x)^{2}}} d x}$ ．

2． $\displaystyle{\iint_{D} e^{-x^{2}-y^{2}} d x d y}$ ，其中 $D$ 是以原点为圆心， $1$ 为半径的圆形区域。

1． $\displaystyle{\int_{0}^{1}(2 x-1)^{2024} \mathrm{~d} x}$ ；

2． $\displaystyle{\int_{-1}^{1}(|x|+\sin x) x^{2} d x}$ ．

1．$f(x, y)=\mathrm{e}^{x+y}+y x^{2}$ ；

2．$f(x, y)=(2 y+1)^{x}$ ．

1． $\displaystyle{\int_{\frac{2}{3}}^{2}(3 x-2)^{2025} \mathrm{~d} x}$

2． $\displaystyle{\int_{1}^{e} \frac{\mathrm{~d} x}{x(1+\ln x)}}$

3． $\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \mathrm{~d} x}$

1．假设 $\displaystyle{f(x)=\int_{1}^{x^{2}} \frac{\ln t}{1+t} \mathrm{~d} t}$ ，那么 $f^{\prime}(2)=$ $\_\_\_\_$ ．