共 27 题
题20060中国科学院真题
四．（14 分）
设实二次型 $\displaystyle Q(x)=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-x\right)^{2}$ ，其中的 $\displaystyle x=\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}}{n}$ ，试求 $\displaystyle Q(x)$ 的秩和正负惯性指数．
设实二次型 $\displaystyle Q(x)=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-x\right)^{2}$ ，其中的 $\displaystyle x=\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}}{n}$ ，试求 $\displaystyle Q(x)$ 的秩和正负惯性指数．
题20071中国科学院真题
4．（15 分）已知 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right), B=\left(b_{i j}\right)$ 均为 $\displaystyle 2 \times 2$ 对称正定矩阵。定义 $\displaystyle A * B=\left(a_{i j} b_{i j}\right)$ 。
证明：$\displaystyle A * B$ 也是 $\displaystyle 2 \times 2$ 对称正定矩阵。
证明：$\displaystyle A * B$ 也是 $\displaystyle 2 \times 2$ 对称正定矩阵。
题20089中国科学院真题
7．（20 分）若 $\displaystyle Q$ 为 $\displaystyle n$ 阶对称正定方阵，$\displaystyle x$ 为 $\displaystyle n$ 维实向量．证明： $\displaystyle 0 \leq x^{T}\left(Q+x x^{T}\right)^{-1} x<1$ 。
这里 $\displaystyle x^{T}$ 表示 $\displaystyle x$ 的转置．
这里 $\displaystyle x^{T}$ 表示 $\displaystyle x$ 的转置．
题20113中国科学院真题
5．（20 分）令 $\displaystyle f(x, y)=2 x^{2}-7 x y+y^{2}$ ．求 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中单位圆上的极大值与极小值及极值点．
题20115中国科学院真题
7．（20 分）设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n \times n$ 阶实对称矩阵，$\displaystyle b$ 为 $\displaystyle n \times 1$ 维实向量．证明：$\displaystyle A-b b^{T}>0$ 的充分必要条件是
$$
A>0 \text { 及 } b^{T} A^{-1} b<1 \text {. 其中 } b^{T} \text { 表示 } b \text { 的转置. }
$$
$$
A>0 \text { 及 } b^{T} A^{-1} b<1 \text {. 其中 } b^{T} \text { 表示 } b \text { 的转置. }
$$
题20130中国科学院真题
5．（20 分）（i）考虑如下形式的矩阵：
$$
P=\left(\begin{array}{cccc}
a_{1}^{2} & a_{1} a_{2} & \cdots & a_{1} a_{n} \\
a_{2} a_{1} & a_{2}^{2} & \cdots & a_{2} a_{n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n} a_{1} & a_{n} a_{1} & \cdots & a_{n}^{2}
\end{array}\right)
$$
其中，$\displaystyle a_{i}, 1 \leq i \leq n$ 都为实数。证明：矩阵 $\displaystyle P$ 非负定；（ii）证明：非零实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)$可以写成 $\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=\left(u_{1} x_{1}+\cdots+u_{n} x_{n}\right)\left(v_{1} x_{1}+\cdots v_{n} x_{n}\right)$ 的充要条件是：或者它的秩为 1 ，或者它的秩为 2 且符号差为零．
$$
P=\left(\begin{array}{cccc}
a_{1}^{2} & a_{1} a_{2} & \cdots & a_{1} a_{n} \\
a_{2} a_{1} & a_{2}^{2} & \cdots & a_{2} a_{n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n} a_{1} & a_{n} a_{1} & \cdots & a_{n}^{2}
\end{array}\right)
$$
其中，$\displaystyle a_{i}, 1 \leq i \leq n$ 都为实数。证明：矩阵 $\displaystyle P$ 非负定；（ii）证明：非零实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)$可以写成 $\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=\left(u_{1} x_{1}+\cdots+u_{n} x_{n}\right)\left(v_{1} x_{1}+\cdots v_{n} x_{n}\right)$ 的充要条件是：或者它的秩为 1 ，或者它的秩为 2 且符号差为零．
题20131中国科学院真题
6．（20 分）证明：（i ）任何 $\displaystyle n$ 阶实对称方阵 $\displaystyle A$ 必合同于对角阵 $\displaystyle D=\operatorname{diag}\left\{\delta_{1}, \delta_{2} \cdots, \delta_{n}\right\}$ ，即存在 $\displaystyle n$ 阶非奇异实方阵 $\displaystyle C$ 使得 $\displaystyle C^{T} A C=D$ ，这里 $\displaystyle \delta_{i}=-1$ 或 0 或 1 ；
（ii）任何 $\displaystyle n$ 阶实反对陈非奇异方阵 $\displaystyle B$ 必为偶数阶（即 $\displaystyle n=2 k$ ），且合同于块对角阵 $\displaystyle F=\operatorname{diag}\left\{J_{1}, J_{2}, \cdots, J_{k}\right\}$ ，即存在 $\displaystyle n$ 阶非奇异实方阵 $\displaystyle E$ 使得 $\displaystyle E^{T} B E=F$ ，这里 $\displaystyle J_{i} \equiv\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right) ;$
（iv）对迹（对角元之和）为 0 的 $\displaystyle n$ 阶实方阵 $\displaystyle G$ ，存在实正交阵 $\displaystyle H$ ，使得 $\displaystyle H^{T} G H$ 的主对角元全为零．注：这里 $\displaystyle C^{T}, E^{T}, H^{T}$ 分别表示 $\displaystyle C, E, H$ 的转置．
（ii）任何 $\displaystyle n$ 阶实反对陈非奇异方阵 $\displaystyle B$ 必为偶数阶（即 $\displaystyle n=2 k$ ），且合同于块对角阵 $\displaystyle F=\operatorname{diag}\left\{J_{1}, J_{2}, \cdots, J_{k}\right\}$ ，即存在 $\displaystyle n$ 阶非奇异实方阵 $\displaystyle E$ 使得 $\displaystyle E^{T} B E=F$ ，这里 $\displaystyle J_{i} \equiv\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right) ;$
（iv）对迹（对角元之和）为 0 的 $\displaystyle n$ 阶实方阵 $\displaystyle G$ ，存在实正交阵 $\displaystyle H$ ，使得 $\displaystyle H^{T} G H$ 的主对角元全为零．注：这里 $\displaystyle C^{T}, E^{T}, H^{T}$ 分别表示 $\displaystyle C, E, H$ 的转置．
题20149中国科学院真题
6．（18 分）已知二次曲面方程 $\displaystyle x^{2}+a y^{2}+z^{2}+2 b x y+2 x z+2 y z=4$ 可以经过正交变换 $\displaystyle \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime}\end{array}\right)$ 化为椭圆柱面方程 $\displaystyle y^{\prime 2}+4 z^{\prime 2}=4$ 。求 $\displaystyle a, b$ 的值和正交矩阵 $\displaystyle P$ ．
题20150中国科学院真题
7．（16 分）设有实二次型 $\displaystyle f(x)=x^{T} A x$ ，其中 $\displaystyle x^{T}$ 是 $\displaystyle x$ 的转置，$\displaystyle A$ 是 $\displaystyle 3 \times 3$ 实对称矩阵并满足以下方程：
$$
A^{3}-6 A^{2}+11 A-6 I=0
$$
试计算
$$
\max _{A} \max _{\|x\|=1} f(x)
$$
其中 $\displaystyle \|x\|^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}$ ，第一个极大值是满足以上方程的所有实对称矩阵 $\displaystyle A$ 来求。
$$
A^{3}-6 A^{2}+11 A-6 I=0
$$
试计算
$$
\max _{A} \max _{\|x\|=1} f(x)
$$
其中 $\displaystyle \|x\|^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}$ ，第一个极大值是满足以上方程的所有实对称矩阵 $\displaystyle A$ 来求。
题20164中国科学院真题
3）证明更一般的结论：若 $\displaystyle J^{-1}$ 变为 $\displaystyle K^{-1}(Z), K(Z)=\left(k_{a b}\right) \in \mathbb{R}^{2 n \times 2 n}$ 反对称，可逆且满足恒等式 $\displaystyle \frac{\partial k_{a b}}{\partial z_{c}}+\frac{\partial k_{b c}}{\partial z_{a}}+\frac{\partial k_{c a}}{\partial z_{b}}=0,1 \leq a, b, c \leq 2 n$ ，则系统的相流总是满足：
$$
\left[\frac{\partial g^{t}(Z)}{\partial Z}\right]^{T} K\left(g^{t}(Z)\right)\left[\frac{\partial g^{t}(Z)}{\partial Z}\right]=K(Z) .
$$
这更一般情况下系统的相流是指任意给定一个 $\displaystyle Z, g^{t}(Z)$ 是系统的解：
$$
\frac{d g^{t}(Z)}{d t}=K^{-1}(Z) \nabla H\left(g^{t}(Z)\right)
$$
设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n \times n$ 正定实对称矩阵，$\displaystyle y \in \mathbb{R}^{n}$ ，且 $\displaystyle y \neq 0$ 。证明极限
$$
\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{y^{T} A^{m+1} y}{y^{T} A^{m} y}
$$
存在且等于 $\displaystyle A$ 的一个特征值（其中 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 表示 $\displaystyle n$ 维实数域）。
证明：由题意，存在正交阵 $\displaystyle P$ ，使得 $\displaystyle A=P^{T} A P=P^{-1} A P$ ，其中
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
\lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_{n}
\end{array}\right)
$$
且 $\displaystyle 0<\lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \cdots \leq \lambda_{n}$ 为 $\displaystyle A$ 的特征值．于是
$$
\begin{aligned}
\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{y^{T} A^{m+1} y}{y^{T} A^{m} y} & =\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{y^{T} A^{m+1} y}{y^{T} A^{m} y} \\
& =\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} \lambda_{k}^{m+1} y_{k}^{2}}{\sum_{k=1}^{n} \lambda_{k}^{m} y_{k}^{2}} \\
& =\lambda_{j} \lim _{m \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{j-1}\left(\lambda_{k} / \lambda_{j}\right)^{m+1} y_{k}^{2}+y_{j}^{2}}{\sum_{k=1}^{j-1}\left(\lambda_{k} / \lambda_{j}\right)^{m} y_{k}^{2}+y_{j}^{2}}\left(\text { 其中 } j=\max \left\{k \mid y_{k} \neq 0\right\}\right) \\
& =\lambda_{j}
\end{aligned}
$$
1）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ 为线性变换 $\displaystyle A$ 在一组基下的矩阵表示，求 $\displaystyle A$ 的不变子空间；
$$
\left[\frac{\partial g^{t}(Z)}{\partial Z}\right]^{T} K\left(g^{t}(Z)\right)\left[\frac{\partial g^{t}(Z)}{\partial Z}\right]=K(Z) .
$$
这更一般情况下系统的相流是指任意给定一个 $\displaystyle Z, g^{t}(Z)$ 是系统的解：
$$
\frac{d g^{t}(Z)}{d t}=K^{-1}(Z) \nabla H\left(g^{t}(Z)\right)
$$
设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n \times n$ 正定实对称矩阵，$\displaystyle y \in \mathbb{R}^{n}$ ，且 $\displaystyle y \neq 0$ 。证明极限
$$
\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{y^{T} A^{m+1} y}{y^{T} A^{m} y}
$$
存在且等于 $\displaystyle A$ 的一个特征值（其中 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 表示 $\displaystyle n$ 维实数域）。
证明：由题意，存在正交阵 $\displaystyle P$ ，使得 $\displaystyle A=P^{T} A P=P^{-1} A P$ ，其中
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
\lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_{n}
\end{array}\right)
$$
且 $\displaystyle 0<\lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \cdots \leq \lambda_{n}$ 为 $\displaystyle A$ 的特征值．于是
$$
\begin{aligned}
\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{y^{T} A^{m+1} y}{y^{T} A^{m} y} & =\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{y^{T} A^{m+1} y}{y^{T} A^{m} y} \\
& =\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} \lambda_{k}^{m+1} y_{k}^{2}}{\sum_{k=1}^{n} \lambda_{k}^{m} y_{k}^{2}} \\
& =\lambda_{j} \lim _{m \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{j-1}\left(\lambda_{k} / \lambda_{j}\right)^{m+1} y_{k}^{2}+y_{j}^{2}}{\sum_{k=1}^{j-1}\left(\lambda_{k} / \lambda_{j}\right)^{m} y_{k}^{2}+y_{j}^{2}}\left(\text { 其中 } j=\max \left\{k \mid y_{k} \neq 0\right\}\right) \\
& =\lambda_{j}
\end{aligned}
$$
1）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ 为线性变换 $\displaystyle A$ 在一组基下的矩阵表示，求 $\displaystyle A$ 的不变子空间；
题20219云南大学真题
四．（10 分）
设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & t & 5 \\ t & 4 & 3 \\ 5 & 3 & 1\end{array}\right)$ ，试证：$\displaystyle t$ 取任何实数都不能使 $\displaystyle A$ 为正定矩阵。
设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & t & 5 \\ t & 4 & 3 \\ 5 & 3 & 1\end{array}\right)$ ，试证：$\displaystyle t$ 取任何实数都不能使 $\displaystyle A$ 为正定矩阵。
题20227云南大学真题
十二．（8 分）
设分块矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}A & B \\ B^{\prime} & D\end{array}\right)$ 为正定矩阵，其中 $\displaystyle B^{\prime}$ 是 $\displaystyle B$ 的转置．
证明：
设分块矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}A & B \\ B^{\prime} & D\end{array}\right)$ 为正定矩阵，其中 $\displaystyle B^{\prime}$ 是 $\displaystyle B$ 的转置．
证明：
题20235北京大学真题
3．用正交变换化下面二次型为标准形
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3} ;
$$
（要求写出正交变换的矩阵和相应的标准形）。
解：二次型矩阵：
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -2 & -2 \\
-2 & 1 & -2 \\
-2 & -2 & 1
\end{array}\right)
$$
找其正交矩阵：
$$
T=\left(\begin{array}{ccc}
-\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{\sqrt{6}}{4} & -\frac{2 \sqrt{2}}{3} \\
0 & -\frac{\sqrt{6}}{4} & -\frac{\sqrt{2}}{6} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{6}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{6}
\end{array}\right) ;
$$
使得 $\displaystyle T^{-1} A T=\operatorname{diag}\{3,3,-3\}$ ；于是做正交替换化为标准型：
$$
f(x, y, z)=3 x^{*^{2}}+3 y^{*^{2}}-3 z^{*^{2}}
$$
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3} ;
$$
（要求写出正交变换的矩阵和相应的标准形）。
解：二次型矩阵：
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -2 & -2 \\
-2 & 1 & -2 \\
-2 & -2 & 1
\end{array}\right)
$$
找其正交矩阵：
$$
T=\left(\begin{array}{ccc}
-\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{\sqrt{6}}{4} & -\frac{2 \sqrt{2}}{3} \\
0 & -\frac{\sqrt{6}}{4} & -\frac{\sqrt{2}}{6} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{6}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{6}
\end{array}\right) ;
$$
使得 $\displaystyle T^{-1} A T=\operatorname{diag}\{3,3,-3\}$ ；于是做正交替换化为标准型：
$$
f(x, y, z)=3 x^{*^{2}}+3 y^{*^{2}}-3 z^{*^{2}}
$$
题20461南京大学真题
三、（20 分）试用正交线性替换将二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}- 4 x_{1} x_{3}-8 x_{2} x_{3}$ 化成标准形，并写出所用的正交线性替换．
题20487南京大学真题
6．设 $\displaystyle A$ 是一个 $\displaystyle n$ 级矩阵，如果对任何 $\displaystyle n$ 维向量 $\displaystyle X$ ，都有 $\displaystyle X^{\prime} A X=0$ ，则 $\displaystyle A$为零矩阵。
题20663武汉大学真题
4．（10 分）求实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots x_{n}\right)=n \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{2}(n \geq 2)$ 的秩和正、负惯性指数．
题20664武汉大学真题
5．（10 分）求 $\displaystyle \lambda$ 的值，使
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\lambda\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)+2 x_{1} x_{2}-2 x_{2} x_{3}+2 x_{1} x_{3}+x_{4}^{2}
$$
是正定的二次型。
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\lambda\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)+2 x_{1} x_{2}-2 x_{2} x_{3}+2 x_{1} x_{3}+x_{4}^{2}
$$
是正定的二次型。
题20666武汉大学真题
7．（20 分）已知二次曲面方程 $\displaystyle x^{2}+k y^{2}+z^{2}+2 x y+2 x z+2 y z=4$ 可通过正交变换
$\displaystyle \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime}\end{array}\right)$,
化为椭圆柱面 $\displaystyle y^{\prime 2}+4 z^{\prime 2}=4$ ，求 $\displaystyle k$ 的值和正交矩阵 $\displaystyle P$ ．
$\displaystyle \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime}\end{array}\right)$,
化为椭圆柱面 $\displaystyle y^{\prime 2}+4 z^{\prime 2}=4$ ，求 $\displaystyle k$ 的值和正交矩阵 $\displaystyle P$ ．
题20673武汉大学真题
一、判断下列命题是否正确（共 $\displaystyle \mathbf{5}$ 小题，每小题 $\displaystyle \mathbf{6}$ 分，共 $\displaystyle \mathbf{3 0}$ 分）：
题20727武汉大学真题
三．（20 分）已知二次型 $\displaystyle f=x_{1}{ }^{2}+x_{2}{ }^{2}+x_{3}{ }^{2}+9 x_{4}{ }^{2}+2 a\left(x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+x_{3} x_{1}\right)$ 问当 $\displaystyle a$ 取何值时， $\displaystyle f$ 是正定的，半正定的，以及不定的二次型．
题20932浙江大学真题
六、（20分）用正交线性替换化下面的实二次型为标准型，并写出所用的正交线性替换。
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{1} x_{4}-2 x_{2} x_{3}+2 x_{2} x_{4}+2 x_{3} x_{4}
$$
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{1} x_{4}-2 x_{2} x_{3}+2 x_{2} x_{4}+2 x_{3} x_{4}
$$
题20952浙江大学真题
9．（10 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 是可逆的对称实矩阵。证明：二次型的矩阵
$\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=\left|\begin{array}{cccc}0 & x_{1} & \cdots & x_{n} \\ -x_{1} & a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ -x_{n} & a_{n 1} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|$ 是 $\displaystyle A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 。
$\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=\left|\begin{array}{cccc}0 & x_{1} & \cdots & x_{n} \\ -x_{1} & a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ -x_{n} & a_{n 1} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|$ 是 $\displaystyle A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 。
题20965浙江大学真题
4．（题（1）为 $\displaystyle \mathbf{1 5}$ 分，题（2）为 $\displaystyle \mathbf{5}$ 分，共 $\displaystyle \mathbf{2 0}$ 分）
实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 b x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ 经正交线性替换 $\displaystyle \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}=P\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)^{T}$ 化为标准型 $\displaystyle y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2}$ 。
（1）求 $\displaystyle a, b$ 及正交矩阵 $\displaystyle P$ ；
（2）问二次型 $\displaystyle f$ 是正定的吗？为什么？
实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 b x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ 经正交线性替换 $\displaystyle \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}=P\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)^{T}$ 化为标准型 $\displaystyle y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2}$ 。
（1）求 $\displaystyle a, b$ 及正交矩阵 $\displaystyle P$ ；
（2）问二次型 $\displaystyle f$ 是正定的吗？为什么？
题21052浙江大学真题
7．A 为对称阵，$\displaystyle A^{3}-6 A^{2}+11 A-6=0 \ldots \ldots . .(I)$
求 $\displaystyle \max _{A} \max _{\|x\|=1} \lambda_{1} x_{1}^{2}+\lambda_{2} x_{2}^{2}+\lambda_{3} x_{3}^{2}$（第一个极大值是对所有满足 I 的矩阵 A 取的）
求 $\displaystyle \max _{A} \max _{\|x\|=1} \lambda_{1} x_{1}^{2}+\lambda_{2} x_{2}^{2}+\lambda_{3} x_{3}^{2}$（第一个极大值是对所有满足 I 的矩阵 A 取的）