3．求向量组 $\displaystyle S=\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}\right\}$ 的所有极大线性无关组
注意：$\displaystyle a_{i} \in R^{4 \times 1}, i=1,2,3,4,5$ 忘了具体数值了

五、设 $\displaystyle \alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)^{\prime}, \quad i=1,2, \ldots, m(\leq n)$ 为 $\displaystyle n$ 维欧氏空间中的 $\displaystyle m$ 个向量．又设 $\displaystyle P=\left(p_{i j}\right)_{1 \leq i, j \leq m}$ 其中 $\displaystyle p_{i j}=\sum_{k=1}^{n} a_{i k} a_{j k}$ 。试证明：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 为线性无关的，当且仅当 $\displaystyle P$ 为满秩．
证明：由已知条件，$\displaystyle \alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)^{\prime}, \quad i=1,2, \ldots, m(\leq n)$为 $\displaystyle n$ 维欧氏空间中的 $\displaystyle m$ 个向量。令 $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}\right)$ 为以 $\displaystyle \alpha_{i}(i=1,2, \ldots, m)$ 为列向量的矩阵，则 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 实矩阵，且 $\displaystyle P=A^{\prime} A$（ $\displaystyle A^{\prime}$ 表示 $\displaystyle A$ 的转置矩阵）。

又设 $\displaystyle B=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}, 0, \cdots, 0\right)=(A, O)$ 为 $\displaystyle n$ 阶方阵，则秩 $\displaystyle B=$ 秩 $\displaystyle A$ ，且

$$
B^{\prime} B=\binom{A^{\prime}}{O}\left(\begin{array}{ll}
A & O
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
A^{\prime} A & O \\
O & O
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
P & O \\
O & O
\end{array}\right) \text { 为 } n \text { 阶方阵, 从而 }
$$


秩 $\displaystyle B^{\prime} B=$ 秩 $\displaystyle P$ 。
以下证明秩 $\displaystyle B^{\prime} B=$ 秩 $\displaystyle B$ ．为此考虑齐次线性方程组

$$
\begin{array}{cc}
& B X=O \\
\text { 与 } & B^{\prime} B X=O \tag{2}
\end{array}
$$


令 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 分别表示（1）与（2）的解向量空间，则显然有 $\displaystyle W_{1} \subset W_{2}$ ．另一方面，注意到对任意 $\displaystyle n$ 维实（列）向量 $\displaystyle Y, Y^{\prime} Y=0 \Rightarrow Y=0$ ．我们有

$$
B^{\prime} B X=O \Rightarrow X^{\prime} B^{\prime} B X=O \Rightarrow(B X)^{\prime} B X=O \Rightarrow B X=O \text {. }
$$


所以又有 $\displaystyle W_{2} \subset W_{1}$ 。从而 $\displaystyle W_{1}=W_{2}$ ，维 $\displaystyle W_{1}=$ 维 $\displaystyle W_{2}$ 。
由线性方程组理论可知，秩 $\displaystyle B+$ 维 $\displaystyle W_{1}=n$ ，秩 $\displaystyle B^{\prime} B+$ 维 $\displaystyle W_{2}=n$ ，于是得 秩 $\displaystyle B^{\prime} B=$ 秩 $\displaystyle B$ ．

综上讨论，我们有 秩 $\displaystyle P=$ 秩 $\displaystyle B^{\prime} B=$ 秩 $\displaystyle B=$ 秩 $\displaystyle A$ ．
由此知，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关，当且仅当秩 $\displaystyle A=m$ ，当且仅当秩 $\displaystyle P=m$ ，当且仅当 $\displaystyle P$ 为满秩．

5．（20分）设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n \times n$ 实方阵

$$
\left(\begin{array}{ccccc}
\lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda & 1 & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
\vdots & & \ddots & \ddots & 1 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda
\end{array}\right)
$$


而 $\displaystyle V$ 是所有与 $\displaystyle A$ 可交换的 $\displaystyle n \times n$ 实方阵全体，即 $\displaystyle V=\{B \mid B A=A B, B$ 为 $\displaystyle n \times n$ 实方阵 $\displaystyle \}$ 。
证明：（i）$\displaystyle V$ 是线性空间；（ii）$\displaystyle V$ 的维数 $\displaystyle \operatorname{dim} V=n$ 。

8．（20 分）设 $\displaystyle V$ 是 $\displaystyle n$ 维向量空间，$\displaystyle f, g$ 是 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle (f, g \in L(V)$ ），且 $\displaystyle f$ 有 $\displaystyle n$ 个互异的特征根．证明：$\displaystyle f g=g f$ 的充要条件是 $\displaystyle g$ 是 $\displaystyle f^{0}=I$（恒等变换），$\displaystyle f, f^{2}, \cdots, f^{n-1}$的线性组合。

5 ．（18 分）若向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}(s>2)$ 线性无关，讨论 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{2}+\alpha_{3}, \cdots, \alpha_{s-1}+\alpha_{s}, \alpha_{s}+\alpha_{1}$ 线性相关性．

六。（10分）

设 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,2,-1,-2), \alpha_{2}=(3,1,-1,1), \quad \alpha_{3}=(-1,0,1,-1), \quad \beta_{1}=(2,5,-1,-5)$ ， $\displaystyle \beta_{2}=(-1,2,-2,3)$ 。由 $\displaystyle \alpha_{i}, i=1,2,3$ 生成的子空间记为 $\displaystyle W_{1}$ ，由 $\displaystyle \beta_{j}, j=1,2$ 生成的子空间记为 $\displaystyle W_{2}$ ．
（1）求 $\displaystyle W_{1} \cap W_{2}$ 的维数；（2）求 $\displaystyle W_{1} \cap W_{2}$ 的一组基。

3．（12 分）设 $\displaystyle \omega$ 是复数域 $\displaystyle C$ 上的本原 $\displaystyle n$ 次单位根（即，$\displaystyle \omega^{n}=1$ ，而当 $\displaystyle 0<l<n$ 时， $\displaystyle \left.\omega^{l} \neq 1\right), s, b$ 都是正整数，而且 $\displaystyle s<n$ ．令
$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & \omega^{b} & \omega^{2 b} & \cdots & \omega^{(n-1) b} \\ 1 & \omega^{b+1} & \omega^{2(b+1)} & \cdots & \omega^{(n-1)(b+1)} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 1 & \omega^{b+s-1} & \omega^{2(b+s-1)} & \cdots & \omega^{(n-1)(b+s-1)}\end{array}\right)$
任取 $\displaystyle \beta \in C^{n}$ ，判断线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 有无解？有多少解？写出理由．

6．用 R 表示实数域，定义 $\displaystyle R^{n}$ 的映射 $\displaystyle f$ 如下：
$\displaystyle f(X)=\left|x_{1}\right|+\cdots+\left|x_{r}\right|-\left|x_{r+1}\right|-\cdots-\left|x_{r+s}\right|, \forall X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{T} \in R^{n}$ ，其中：$\displaystyle r \geq s \geq 0$ 。证明：
（1）存在的一个 $\displaystyle \mathrm{n}-\mathrm{r}$ 维子空间 W ，使得 $\displaystyle f(X)=0, \forall X \in W$ ；
（2）若 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 是 $\displaystyle R^{n}$ 的两个 $\displaystyle \mathrm{n}-\mathrm{r}$ 维子空间，且满足 $\displaystyle f(X)=0, \forall X \in W_{1} \cup W_{2}$ ，则一定有 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right) \geq n-(r+s)$.

证明：
（1）只需构造 $\displaystyle n-r$ 个线性无关的向量满足方程。

不妨设 $\displaystyle R^{n}=R^{r+s} \oplus R^{n-(r+s)}$ ，
在 $\displaystyle R^{r+s}$ 中存在一组由 s 个线性无关的向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{\mathrm{s}}$ 构成的子空间
满足方程，其中 $\displaystyle \alpha_{1}=(\underbrace{1,0, \cdots, 0}_{r}, \underbrace{1,0, \cdots, 0}_{s}, \underbrace{0, \cdots, 0}_{\mathrm{n}^{-(\mathrm{r}+\mathrm{s})}}), \cdots \alpha_{\mathrm{s}}=(\underbrace{\overbrace{0,0, \cdots 0}^{s}, 1}_{r}, 0, \cdots, 0, \underbrace{0,0, \cdots, 1}_{s}, \underbrace{0, \cdots, 0}_{\mathrm{n}^{-(\mathrm{r}+\mathrm{s})}})$ ，
在 $\displaystyle R^{n-(r+s)}$ 中存在一组由 $\displaystyle \mathrm{n}-(\mathrm{r}+\mathrm{s})$ 个线性无关的向量 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{\mathrm{n}^{-}(\mathrm{r}+\mathrm{s})}$ 构成的子空间
满足方程，其中 $\displaystyle \beta_{1}=(\underbrace{0, \cdots, 0}_{\mathrm{r}+\mathrm{s}}, \underbrace{1,0, \cdots, 0}_{n-(r+s)}), \cdots \beta_{\mathrm{n}-(\mathrm{r}+\mathrm{s})}=(\underbrace{0, \cdots, 0}_{\mathrm{r}+\mathrm{s}}, \underbrace{0,0, \cdots, 1}_{n-(r+s)})$ ，
$\displaystyle \therefore \exists n-r$ 维的子空间 $\displaystyle W=<\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{\mathrm{s}}>\oplus<\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{\mathrm{n}^{-(\mathrm{r}+\mathrm{s})}}>$
$\displaystyle =<\alpha_{1}, \quad \alpha_{2}, \cdots, \quad \alpha_{\mathrm{s}}, \quad \beta_{1}, \quad \beta_{2}, \cdots, \quad \beta_{\mathrm{n}^{-}(\mathrm{r}+\mathrm{s})}>$ 。
（2）依题意：$\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 满足方程 $\displaystyle f(X)=0$ ，
显然 $\displaystyle W_{1} \cap W_{2}$ 是 $\displaystyle \mathrm{R}^{\mathrm{n}}$ 的一个子空间也满足方程 $\displaystyle f(X)=0$ ，
所以只需证明满足方程 $\displaystyle f(X)=0$ 的最小子空间的维数为 $\displaystyle \mathrm{n}-(\mathrm{r}+\mathrm{s})$ 。

7．设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间，$\displaystyle V_{1}, \cdots, V_{s}$ 是 V 的 S 个真子空间，证明：
（1）存在 $\displaystyle \alpha \in V$ ，使得 $\displaystyle \alpha \notin V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots \cup V_{S}$ ．
（2）存在 V 中的一组基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{n}$ ，使得：
$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{n}\right\} \cap\left(V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots \cup V_{s}\right)=\phi$.
证明：可以用数学归纳法。
（1）
i）当 $\displaystyle s=2$ 时，$\displaystyle \exists \alpha, \beta \in V$ ，且
$\displaystyle \alpha \notin V_{1}, \alpha \in V_{2}, \beta \notin V_{2}, \beta \in V_{1}$ ，否则命题成立；
若 $\displaystyle \alpha+\beta \in V_{1}$ ，由于 $\displaystyle \beta \in V_{1} \Rightarrow \alpha \in V_{1}$ ，矛盾；
$\displaystyle \therefore \alpha+\beta \notin V_{1}$ ；同理可得：$\displaystyle \alpha+\beta \notin V_{2}$ ；
∴ 命题成立；
ii）设 $\displaystyle \mathrm{s}=\mathrm{k}$ 成立，对 $\displaystyle \mathrm{s}=\mathrm{k}+1$ 时，至少 $\displaystyle \exists \alpha \notin V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots V_{k}$ ，
如果 $\displaystyle \alpha \notin V_{k+1}$ ，则命题成立；
如果 $\displaystyle \alpha \in V_{k+1}$ ，取 $\displaystyle \beta \notin V_{k+1}$ ，
则 $\displaystyle \alpha+\beta, 2 \alpha+\beta, \cdots,(\mathrm{k}+1) \alpha+\beta$ ，
共 $\displaystyle \mathrm{k}+1$ 项，必有一个向量不属于 $\displaystyle V_{i}$ ，
否则有两个向量属于同一个 $\displaystyle V_{i}$ ，
这两向量差为 $\displaystyle \mathrm{m} \alpha \in V_{i}$ ，矛盾；
不妨设 $\displaystyle \gamma=1 \alpha+\beta \notin V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots V_{s}$ ，
则 $\displaystyle \gamma \notin V_{\mathrm{k}+1}$ ，否则 $\displaystyle \beta \in V_{k+1}$ ，矛盾；
所以命题成立。
（2）

由（1）知，
$\displaystyle \exists \varepsilon_{1} \in V$ ，且 $\displaystyle \varepsilon_{1} \notin V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots \cup V_{s}$ ，设 $\displaystyle V_{s+1}=L\left(\varepsilon_{1}\right)$ ，
再由（1）得：$\displaystyle \exists \varepsilon_{2} \in V$ ，且 $\displaystyle \varepsilon_{2} \notin V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots \cup V_{s} \cup V_{s+1}$ ，
则 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}$ 线性无关，设 $\displaystyle V_{s+2}=L\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}\right)$ ，
同理，一直这样取值下去，
$\displaystyle \exists n$ 个线性无关的 $\displaystyle \varepsilon_{i} \notin V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots \cup V_{s}$ ，即
$\displaystyle \exists V$ 中的一组基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{\mathrm{n}}$ ，使得
$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{\mathrm{n}}\right\} \cap\left(V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots \cup V_{s}\right)=\phi$
证毕。

1、回答下列问题：
（1）问是否存在 $\displaystyle n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B$ ，满足 $\displaystyle A B-B A=E$（单位矩阵）？又，是否存在 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ ，满足 $\displaystyle \mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$（恒等变换）？若是，举出例子；若否，给出证明．

【解】否，下面给予证明．对于任意 $\displaystyle n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B$ ，若 $\displaystyle A B-B A=E$ ，则两边取矩阵的迹，并注意到 $\displaystyle \operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(B A)$ ，得 $\displaystyle 0=n$ ，矛盾．所以不存在方阵 $\displaystyle A, B$ ，使 $\displaystyle A B-B A=E$ ．

对于线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ ，任取 $\displaystyle V$ 的一个基，并设 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 在这个基下的矩阵分别为 $\displaystyle A, B$ ，若 $\displaystyle \mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$ ，则相应的有 $\displaystyle A B-B A=E$ ，矛盾．所以不存在 $\displaystyle n$ 维线性空

间 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ ，满足 $\displaystyle \mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$ ．

【注】若线性空间 $\displaystyle V$ 是无穷维的，则存在 $\displaystyle V$ 的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ ，满足 $\displaystyle \mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$ ．例如，设 $\displaystyle V=P[x]$ 是数域 $\displaystyle P$ 上多项式全体所构成的线性空间，定义

$$
\mathbf{A} f(x)=f^{\prime}(x), \mathbf{B} f(x)=x f(x), \forall f(x) \in V,
$$


容易验证： $\displaystyle \mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$ ．
（2）设 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle A$ 的各行元素之和为常数 $\displaystyle c$ ，则 $\displaystyle A^{3}$ 的各行元素之和是否为常数？若是，

是多少？说明理由．
【解】是．设 $\displaystyle \eta=(1,1, \cdots, 1)^{\mathrm{T}}$ 是 $\displaystyle n$ 维列向量，则由 $\displaystyle A$ 的各行元素之和为常数 $\displaystyle c$ ，知 $\displaystyle A \eta=c \eta$ ，从而 $\displaystyle A^{3} \eta=c^{3} \eta$ ．所以 $\displaystyle A^{3}$ 的各行元素之和为常数 $\displaystyle c^{3}$ ．
（3）设 $\displaystyle m \times n$ 矩阵 $\displaystyle A$ 的秩为 $\displaystyle r$ ，任取 $\displaystyle A$ 的 $\displaystyle r$ 个线性无关的行向量，再取 $\displaystyle A$ 的 $\displaystyle r$ 个线性无关的列向量，组成的 $\displaystyle r$ 阶子式是否一定不为 0 ？若是，给出证明；若否，举出反例．

【解】是．不妨考虑 $\displaystyle A$ 的后 $\displaystyle r$ 个线性无关的行向量及后 $\displaystyle r$ 个线性无关的列向量，所组成的 $\displaystyle r$ 阶子式记为 $\displaystyle D$ 。假设 $\displaystyle D=0$ ，则仅对 $\displaystyle A$ 的后 $\displaystyle r$ 行施行初等行变换，可得

$$
A \rightarrow\left(\begin{array}{cc}
B & C \\
\alpha & 0
\end{array}\right)=H
$$


其中 $\displaystyle B$ 是 $\displaystyle (m-1) \times(n-r)$ 矩阵，$\displaystyle C$ 是 $\displaystyle (m-1) \times r$ 矩阵，$\displaystyle \alpha$ 是 $\displaystyle n-r$ 维行向量。根据初等行变换不改变矩阵的秩且不改变列向量之间的线性相关性，知 $\displaystyle \operatorname{rank}(C)=r$ ，且 $\displaystyle \alpha \neq 0$ ．于是有

$$
\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(H) \geq \operatorname{rank}(C)+\operatorname{rank}(\alpha)=r+1,
$$


矛盾．所以 $\displaystyle D \neq 0$ ．
（4）设 $\displaystyle A, B$ 都是 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle B X=0$ 同解，则 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 的列向

量组是否等价？行向量组是否等价？若是，给出证明；若否，举出反例．
【解】第 1 个结论不成立，反例如下：若 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ ，则线性方程组
$\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle B X=0$ 同解，但 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 的列向量组显然不等价．
第 2 个结论成立，兹证明如下：依题意，线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle B X=0$ 同解，所以 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)$ 。记 $\displaystyle r=n-\operatorname{rank}(A)$ ，任取 $\displaystyle A X=0$ 的一个基础解系（当然也是 $\displaystyle B X=0$的基础解系）构成 $\displaystyle n \times r$ 矩阵 $\displaystyle C$ ，则 $\displaystyle \operatorname{rank}(C)=r$ ，且 $\displaystyle A C=O, B C=O$ ．

考虑齐次线性方程组 $\displaystyle C^{\mathrm{T}} X=0$ ，其解空间 $\displaystyle S$ 的维数 $\displaystyle \operatorname{dim}(S)=n-r=\operatorname{rank}(A)$ 。
因为 $\displaystyle C^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}}=O$ ，所以 $\displaystyle A$ 的行向量都是 $\displaystyle C^{\mathrm{T}} X=0$ 的解，因此 $\displaystyle A$ 的行空间 $\displaystyle W_{A}$ 是 $\displaystyle S$ 的一个子空间，即 $\displaystyle W_{A} \subseteq S$ ．注意到 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(W_{A}\right)=\operatorname{rank}(A)=\operatorname{dim}(S)$ ，故 $\displaystyle W_{A}=S$ ．

同理可证，$\displaystyle B$ 的行空间 $\displaystyle W_{B}=S$ ．于是有 $\displaystyle W_{A}=W_{B}$ ，这就表明 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 的行向量组等价．
【注】若 $\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle B X=0$ 都仅有零解，则 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)=n$ ，仍是第 1 个结论不成立（反例从略），第2个结论成立．事实上，此时存在 $\displaystyle m$ 阶可逆矩阵 $\displaystyle P_{1}, P_{2}$ ，使得 $\displaystyle P_{1} A=\binom{E_{n}}{O}, P_{2} B=\binom{E_{n}}{O}$ ，令 $\displaystyle P=P_{2}^{-1} P_{1}$ ，则 $\displaystyle P$ 是可逆矩阵，且 $\displaystyle P A=B$ 。由此容易证明，
$\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 的行向量组等价．
（5）把实数域 $\displaystyle \mathbf{R}$ 看成有理数域 $\displaystyle \mathbf{Q}$ 上的线性空间，$\displaystyle b=p^{3} q^{2} r$ ，这里的 $\displaystyle p, q, r \in \mathbf{Q}$ 是互不相同的素数．判断向量组 $\displaystyle 1, \sqrt[n]{b}, \sqrt[n]{b^{2}}, \cdots, \sqrt[n]{b^{n-1}}$ 是否线性相关？说明理由．

【解】向量组 $\displaystyle 1, \sqrt[n]{b}, \sqrt[n]{b^{2}}, \cdots, \sqrt[n]{b^{n-1}}$ 是线性无关的，可用反证法证之．若不然，则存在不全为零的 $\displaystyle k_{0}, k_{1}, \cdots, k_{n-1} \in Q$ ，使得

$$
k_{0} 1+k_{1} \sqrt[n]{b}+k_{2} \sqrt[n]{b^{2}}+\cdots+k_{n-1} \sqrt[n]{b^{n-1}}=0
$$


这就是说，$\displaystyle B=\sqrt[n]{b}$ 是非零的有理系数多项式 $\displaystyle f(x)=k_{0}+k_{1} x+\cdots+k_{n-1} x^{n-1}$ 的根，即

$$
f(B)=k_{0}+k_{1} B+\cdots+k_{n-1} B^{n-1}=0
$$


另一方面，对于整系数多项式 $\displaystyle g(x)=x^{n}-b$ ，显然有 $\displaystyle g(B)=0$ ，即 $\displaystyle B$ 是多项式 $\displaystyle g(x)$ 的根．取素数 $\displaystyle r$ ，利用 Eisenstein 判别法，易知 $\displaystyle g(x)$ 在有理数域 $\displaystyle \mathbf{Q}$ 上不可约，这就是说，不存在非零的次数更低 $\displaystyle (\leq n-1)$ 的有理系数多项式 $\displaystyle h(x)$ ，使得 $\displaystyle h(B)=0$ ，矛盾．

因此，向量组 $\displaystyle 1, \sqrt[n]{b}, \sqrt[n]{b^{2}}, \cdots, \sqrt[n]{b^{n-1}}$ 是线性无关的．

2．本科目 ，不允许使用无字典存储和编程功能的计算器。

一、判断题（本题共 10 题，每小题 4 分，共 40 分）

6．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2} \ldots \ldots \alpha_{r}$ 与 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2} \ldots \ldots \beta_{\mathrm{s}}$ 为两个 n 维向量组。若 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2} \ldots \ldots \alpha_{r}$ 可由 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2} \ldots \ldots \beta_{\mathrm{s}}$ 线性表出且 $\displaystyle r \leq s$ ，则 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2} \ldots \ldots \alpha_{r}$ 线性无关。

解答：错误，该题容易和设向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2} \ldots \ldots \beta_{\mathrm{r}}$ 可以由向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2} \ldots \ldots \alpha_{s}$ 线性表出，如果 $\displaystyle r>s$ ，那么向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2} \ldots \ldots \beta_{\mathrm{r}}$ 线性相关相混淆。

10．设 A 是 n 维线性空间 V 上的线性变换，$\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2} \ldots \ldots \varepsilon_{\mathrm{n}}$ 是 V 的一组基，如果 A是单射，则 $\displaystyle A\left(\varepsilon_{1}\right), A\left(\varepsilon_{2}\right) \ldots \ldots A\left(\varepsilon_{n}\right)$ 也是 V 的一组基。

解答：错误，基的条件是要它们线性无关，而由 A 是单射并不能保证 $\displaystyle A\left(\varepsilon_{1}\right), A\left(\varepsilon_{2}\right) \ldots \ldots A\left(\varepsilon_{n}\right)$ 线性无关。

三、（15 分）设向量
$\displaystyle \alpha_{1}=(-1,2,0,4), \alpha_{2}=(5,0,3,1), \alpha_{3}=(3,-1,4,-2), \alpha_{4}=(-2,4,-5,9), \alpha_{5}=(1,3,-1,7)$

1．所有答案必须写在研究生人学考试答题纸上，写在试卷和其他纸上无效；

一、判断题（本题共 10 小题，每小题4分，共40分）。
判断下列陈述是否正确，并说明理由。

4．如果实系数多项式 $\displaystyle f(x)$ 无实根，则 $\displaystyle f(x)$ 在实数域上不可约．

二、填空题（本题共 6 小题，每小题 亏 分；共30分）。

2．（10 分）设向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，向量组 $\displaystyle \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性相关．证明：$\displaystyle \alpha_{1}$ 不能有 $\displaystyle \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性表示．

3．（10 分）设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 矩阵 $\displaystyle (m \leq n)$ ，若 $\displaystyle A B=E_{m}$ 是 $\displaystyle m$ 阶单位矩阵，证明：$\displaystyle B$ 的列向量组线性无关．

9．设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n$ 阶方阵，证明：如果 $\displaystyle r(A)+r(A-E)=n$ ，则 $\displaystyle A$ 可对角化．（20 分）

四、（10 分）设 $\displaystyle n$ 阶方阵 $\displaystyle A$ 满足 $\displaystyle A^{2}=A, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $\displaystyle P^{n}$ 中 $\displaystyle n$ 个线性无关的列向量，设 $\displaystyle V_{2}$ 是由 $\displaystyle A \alpha_{1}, A \alpha_{2}, \cdots, A \alpha_{n}$ 生成的子空间，$\displaystyle V_{1}$ 是 $\displaystyle A X=0$ 的解空间，证明： $\displaystyle P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

四、（12 分）设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 级阵，$\displaystyle A$ 的秩为 $\displaystyle m, B$ 是 $\displaystyle n \times(n-m)$ 级矩阵，$\displaystyle B$ 的秩为 $\displaystyle n-m$ ，且 $\displaystyle A B=\eta$ 。这里 $\displaystyle n$ 维列向量 $\displaystyle \eta$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的解，求证：存在唯一的 $\displaystyle n-m$维列向量 $\displaystyle \boldsymbol{\xi}$ ，使得 $\displaystyle \boldsymbol{B} \boldsymbol{\xi}=\boldsymbol{\eta}$ 。

五、（11 分）求 $\displaystyle V_{1}=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right), V_{2}=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)$ 的和与交的基与维数。其中

$$
\left\{\begin{array}{c}
\alpha_{1}=(1,2,-1,-2) \\
\alpha_{2}=(3,1,1,1) \\
\alpha_{3}=(-1,0,1,-1)
\end{array},\left\{\begin{array}{l}
\beta_{1}=(2,5,-6,-5) \\
\beta_{1}=(-1,2,-7,3)
\end{array}\right.\right.
$$

1．（20 分）令 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 是 $\displaystyle R^{n}$ 中 $\displaystyle s$ 个线性无关的向量。证明：存在含 $\displaystyle n$ 个未知量的齐次线性方程组，使得 $\displaystyle \left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}\right\}$ 是它的一个基础解系。

3．（20分）设 $\displaystyle V$ 是数域 $\displaystyle P$ 上 $\displaystyle n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} \in V$ ， $\displaystyle W=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)$ ，又有 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2} \in W$ 且 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 线性无关。求证：可用 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 替换 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 中的两个向量 $\displaystyle \alpha_{i 1}, \alpha_{i 2}$ ，使得剩下的两个向量 $\displaystyle \alpha_{i 3}, \alpha_{i 4}$ 与 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 仍然生成子空间 $\displaystyle W$ ，也即 $\displaystyle W=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \alpha_{i 3}, \alpha_{i 4}\right)$ 。

6．（16 分）设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶复矩阵，且存在正整数 $\displaystyle m$ 使得 $\displaystyle A^{m}=E$（这里 $\displaystyle E$ 是 $\displaystyle n$ 阶单位阵）。证明：$\displaystyle A$ 与对角矩阵相似。

3．（10 分）设 $\displaystyle \xi_{1}, \cdots, \xi_{s}$ 是某个齐次线性方程组的一个基础解系，$\displaystyle \eta_{1}, \cdots, \eta_{k}$ 是该齐次方程组的 $\displaystyle k$ 个线性无关的解．证明：若 $\displaystyle k<s$ ，则在 $\displaystyle \xi_{1}, \cdots, \xi_{s}$ 中必可取出 $\displaystyle s-k$ 个向量使与 $\displaystyle \eta_{1}, \cdots, \eta_{k}$ 共同构成该齐次方程组的一个基础解系．

7．（20 分）（1）在 $\displaystyle R^{2}$ 中内积定义为 $\displaystyle \langle x, y\rangle=4 x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}$（其中 $\displaystyle \left.x=\left(x_{1}, x_{2}\right), y=\left(y_{1}, y_{2}\right)^{T} \in R^{2}\right)$ ，令 $\displaystyle S=\{x:\|x\|=1\},\| \|$ 表示向量的长度，说明 $\displaystyle S$ 是什么形状的图形，并画出草图．
（2）令 $\displaystyle W=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]: 2 a-b+3 c+d=0, a, b, c, d \in R\right\}$ 。证明 $\displaystyle W$ 关于矩阵的加法和数乘成为 $\displaystyle R$ 上的线性空间，并求出 $\displaystyle W$ 的一组基．

2．线性空间上 $\displaystyle \left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{s}\right)$ 与 $\displaystyle \left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{t}\right)$ 是两个线性无关向量组， $\displaystyle \left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{s}\right)=\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{t}\right) A$ ，证：$\displaystyle n-t-r(A) \leq s \leq \min \{r(A), t\}$

6．所有正交变换构成 G
i．G 关于线性变换的合成和逆变换封闭
ii．G 为有限集还是无限集
iii． G 是什么代数结构