1．已知 $\displaystyle A \in P^{m \times n}(m<n)$ ，则存在数域 $\displaystyle P$ 上的 $\displaystyle n$ 阶 $\displaystyle Q$ ，使得 $\displaystyle A=\left(I_{m}, O\right) Q$其中 $\displaystyle O$ 是 $\displaystyle m \times(n-m)$ 阶零矩阵。

五、设 $\displaystyle \alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)^{\prime}, \quad i=1,2, \ldots, m(\leq n)$ 为 $\displaystyle n$ 维欧氏空间中的 $\displaystyle m$ 个向量．又设 $\displaystyle P=\left(p_{i j}\right)_{1 \leq i, j \leq m}$ 其中 $\displaystyle p_{i j}=\sum_{k=1}^{n} a_{i k} a_{j k}$ 。试证明：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 为线性无关的，当且仅当 $\displaystyle P$ 为满秩．
证明：由已知条件，$\displaystyle \alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)^{\prime}, \quad i=1,2, \ldots, m(\leq n)$为 $\displaystyle n$ 维欧氏空间中的 $\displaystyle m$ 个向量。令 $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}\right)$ 为以 $\displaystyle \alpha_{i}(i=1,2, \ldots, m)$ 为列向量的矩阵，则 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 实矩阵，且 $\displaystyle P=A^{\prime} A$（ $\displaystyle A^{\prime}$ 表示 $\displaystyle A$ 的转置矩阵）。

又设 $\displaystyle B=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}, 0, \cdots, 0\right)=(A, O)$ 为 $\displaystyle n$ 阶方阵，则秩 $\displaystyle B=$ 秩 $\displaystyle A$ ，且

$$
B^{\prime} B=\binom{A^{\prime}}{O}\left(\begin{array}{ll}
A & O
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
A^{\prime} A & O \\
O & O
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
P & O \\
O & O
\end{array}\right) \text { 为 } n \text { 阶方阵, 从而 }
$$


秩 $\displaystyle B^{\prime} B=$ 秩 $\displaystyle P$ 。
以下证明秩 $\displaystyle B^{\prime} B=$ 秩 $\displaystyle B$ ．为此考虑齐次线性方程组

$$
\begin{array}{cc}
& B X=O \\
\text { 与 } & B^{\prime} B X=O \tag{2}
\end{array}
$$


令 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 分别表示（1）与（2）的解向量空间，则显然有 $\displaystyle W_{1} \subset W_{2}$ ．另一方面，注意到对任意 $\displaystyle n$ 维实（列）向量 $\displaystyle Y, Y^{\prime} Y=0 \Rightarrow Y=0$ ．我们有

$$
B^{\prime} B X=O \Rightarrow X^{\prime} B^{\prime} B X=O \Rightarrow(B X)^{\prime} B X=O \Rightarrow B X=O \text {. }
$$


所以又有 $\displaystyle W_{2} \subset W_{1}$ 。从而 $\displaystyle W_{1}=W_{2}$ ，维 $\displaystyle W_{1}=$ 维 $\displaystyle W_{2}$ 。
由线性方程组理论可知，秩 $\displaystyle B+$ 维 $\displaystyle W_{1}=n$ ，秩 $\displaystyle B^{\prime} B+$ 维 $\displaystyle W_{2}=n$ ，于是得 秩 $\displaystyle B^{\prime} B=$ 秩 $\displaystyle B$ ．

综上讨论，我们有 秩 $\displaystyle P=$ 秩 $\displaystyle B^{\prime} B=$ 秩 $\displaystyle B=$ 秩 $\displaystyle A$ ．
由此知，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关，当且仅当秩 $\displaystyle A=m$ ，当且仅当秩 $\displaystyle P=m$ ，当且仅当 $\displaystyle P$ 为满秩．

1．（30 分）已知如下三阶矩阵：

$$
A=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & a \\
0 & 1 & b \\
c & d & 1
\end{array}\right)
$$

（1）求 $\displaystyle \operatorname{det}(A)$ ；（2）求 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)$ ；（3）证明： $\displaystyle \operatorname{rank}(A) \geq 2$ ；（4）为使 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=2$ ，求出 $\displaystyle a, b, c$ 和 $\displaystyle d$应满足的条件．

4．（20 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 是2004阶方阵，且 $\displaystyle a_{i j}=i j, 1 \leq i, j \leq 2004$ 。 $\displaystyle I$ 是2004阶单位阵，计算 $\displaystyle f(x)=\operatorname{det}(I+A x)$ ，这里 $\displaystyle x \in \mathbb{R}$ ．

5．（20 分）（i）考虑如下形式的矩阵：

$$
P=\left(\begin{array}{cccc}
a_{1}^{2} & a_{1} a_{2} & \cdots & a_{1} a_{n} \\
a_{2} a_{1} & a_{2}^{2} & \cdots & a_{2} a_{n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n} a_{1} & a_{n} a_{1} & \cdots & a_{n}^{2}
\end{array}\right)
$$


其中，$\displaystyle a_{i}, 1 \leq i \leq n$ 都为实数。证明：矩阵 $\displaystyle P$ 非负定；（ii）证明：非零实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)$可以写成 $\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=\left(u_{1} x_{1}+\cdots+u_{n} x_{n}\right)\left(v_{1} x_{1}+\cdots v_{n} x_{n}\right)$ 的充要条件是：或者它的秩为 1 ，或者它的秩为 2 且符号差为零．

四、（20分）求证：任意 $\displaystyle n$ 阶实方阵 $\displaystyle A$ 的特征向量，也是其伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 的特征向量．

证明：$\displaystyle \because r\left(A^{*}\right)=\left\{\begin{array}{ll}0, & r(A)<n-1 \\ 1, & r(A)=n-1 \\ n, & r(A)=n\end{array} \quad \therefore\right.$ 可对 $\displaystyle r(A)$ 展开讨论．
设 $\displaystyle \lambda$ 为 $\displaystyle A$ 的任意一个特征值，$\displaystyle \xi$ 为 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda$ 的任意一个特征向量，则由二者的任意性可知 $\displaystyle \xi$ 可以代表 $\displaystyle A$ 的任意一个特征值．

若 $\displaystyle r(A)<n-1$ ，则 $\displaystyle r\left(A^{*}\right)=0, A^{*}=0 \Rightarrow A^{*} \xi=0=0 \cdot \xi$ ，故 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle A^{*}$ 的特征向量；
若 $\displaystyle r(A)=n$ ，则 $\displaystyle A$ 可逆，故 $\displaystyle \lambda \neq 0 . \because A A^{*}=A^{*} A=|A| I_{n}$
$\displaystyle \therefore|A| \xi=|A| I_{n} \cdot \xi=A^{*} A \xi=\lambda A^{*} \xi \therefore A^{*} \xi=\frac{|A|}{\lambda} \xi$ ，故 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle A^{*}$ 的特征向量；
若 $\displaystyle r(A)=n-1$ ，则 $\displaystyle r\left(A^{*}\right)=1$ ，故 $\displaystyle A^{*}$ 有且只有一个非零特征值（重根按重数计算），且 $\displaystyle A^{*}$ 必有非零元素，不妨设 $\displaystyle A^{*}$ 的第一行第一列元素非零，则

$$
A^{*}=\left(\begin{array}{cccc}
a & b_{2} a & \cdots & b_{n} a \\
c_{2} a & b_{2} c_{2} a & \cdots & b_{n} c_{2} a \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
c_{n} a & b_{2} c_{n} a & \cdots & b_{n} c_{n} a
\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c}
c_{1} \\
c_{2} \\
\vdots \\
c_{n}
\end{array}\right)\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)
$$


其中，$\displaystyle a \in \mathbb{R}$ 且 $\displaystyle a \neq 0, b_{i}, c_{i} \in \mathbb{R},(i=1,2, \cdots, n)$ 且 $\displaystyle b_{1}=c_{1}=1$ ．

所以，$\displaystyle A^{*}$ 的非零特征值为

$$
a\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)\left(\begin{array}{c}
c_{1} \\
c_{2} \\
\vdots \\
c_{n}
\end{array}\right)=a \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i}
$$

$\displaystyle \because \lambda A^{+} \xi=A^{+} A \xi=0 \quad \therefore \lambda=0$ 或 $\displaystyle A^{+} \xi=0$
若 $\displaystyle A^{*} \xi=0$ ，则 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle A^{*}$ 的属于特征值 0 的特征向量；
若 $\displaystyle A^{*} \xi \neq 0$ ，则 $\displaystyle \lambda=0, A \xi=0$ ．
$\displaystyle \because A A^{*}=0 \quad \therefore\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n}\end{array}\right)$ 是 $\displaystyle A$ 的属于特征值 0 的特征向量．
$\displaystyle \because r(A)=n-1 \quad \therefore A$ 的特征值 0 是单根，故 $\displaystyle \xi=k\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n}\end{array}\right), k \neq 0$
$\displaystyle \therefore A^{*} \xi=k A^{*}\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n}\end{array}\right)=a k\left(\begin{array}{c}\sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i} \\ c_{2} \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i} \\ \vdots \\ c_{n} \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i}\end{array}\right)=a \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i} \cdot k\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n}\end{array}\right)=a \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i} \cdot \xi$
故 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle A^{*}$ 的属于非零特征值 $\displaystyle a \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i}$ 的特征向量．
综上所述，由 $\displaystyle \xi$ 的任意性可得
任意 $\displaystyle n$ 阶实方阵 $\displaystyle A$ 的特征向量，也是其伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 的特征向量。

8．设 $\displaystyle A$ 是数域 $\displaystyle P$ 上的 $\displaystyle s \times n$ 矩阵且秩 $\displaystyle (A)=r, \quad X=\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)$ 。若方程组 $\displaystyle A X=0$ 有非零解，则它的基础解系所含解的个数为——－－－－个。
（A）$\displaystyle n$ ；
（B）$\displaystyle r$ ；
（C）$\displaystyle n-r$ ；
（D） 0 ．

10．设 $\displaystyle A$ 是数域 $\displaystyle P$ 上的 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，如果 $\displaystyle B$ 是 $\displaystyle n$ 级可逆矩阵，则
秩 $\displaystyle (A) \cdots-\cdots$ 秩 $\displaystyle (A \mathbf{B})$ 。
（A）$\displaystyle <$ ；
（B）$\displaystyle \neq$ ；
（C）$\displaystyle >$ ；
（D）$\displaystyle =$ ．

七．（10分）
设 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 是 4 维线性空间 $\displaystyle V$ 的一组基，已知线性变换 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 在这组基下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 5 \\ 2 & -2 & 1 & -2\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 的核及值域。

九．（10 分）
$\displaystyle a, b$ 取什么值时，线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=1 \\
3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}-3 x_{5}=a \\
x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}+6 x_{5}=3 \\

3．（12 分）设 $\displaystyle \omega$ 是复数域 $\displaystyle C$ 上的本原 $\displaystyle n$ 次单位根（即，$\displaystyle \omega^{n}=1$ ，而当 $\displaystyle 0<l<n$ 时， $\displaystyle \left.\omega^{l} \neq 1\right), s, b$ 都是正整数，而且 $\displaystyle s<n$ ．令
$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & \omega^{b} & \omega^{2 b} & \cdots & \omega^{(n-1) b} \\ 1 & \omega^{b+1} & \omega^{2(b+1)} & \cdots & \omega^{(n-1)(b+1)} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 1 & \omega^{b+s-1} & \omega^{2(b+s-1)} & \cdots & \omega^{(n-1)(b+s-1)}\end{array}\right)$
任取 $\displaystyle \beta \in C^{n}$ ，判断线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 有无解？有多少解？写出理由．

5．（14 分）在实数域上的 $\displaystyle n$ 维列向量空间 $\displaystyle R^{n}$ 中，定义内积为 $\displaystyle (\alpha, \beta)=\alpha^{T} \beta$ ，从而 $\displaystyle R^{n}$ 成为欧几里的空间．
（1）．设实数域上的矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & -3 & 5 & -2 \\
-2 & 1 & -3 & 1 \\
-1 & -7 & 9 & -4
\end{array}\right)
$$


求齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的解空间的一个正交基．
（2）设 $\displaystyle A$ 是实数域 $\displaystyle R$ 上的 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，用 $\displaystyle W$ 表示齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的解空间，用 $\displaystyle U$表示 $\displaystyle A^{T}$ 的列空间（即，$\displaystyle A^{T}$ 的列向量组成的子空间）。证明：$\displaystyle U=W^{\perp}$ ．

1、回答下列问题：
（1）问是否存在 $\displaystyle n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B$ ，满足 $\displaystyle A B-B A=E$（单位矩阵）？又，是否存在 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ ，满足 $\displaystyle \mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$（恒等变换）？若是，举出例子；若否，给出证明．

【解】否，下面给予证明．对于任意 $\displaystyle n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B$ ，若 $\displaystyle A B-B A=E$ ，则两边取矩阵的迹，并注意到 $\displaystyle \operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(B A)$ ，得 $\displaystyle 0=n$ ，矛盾．所以不存在方阵 $\displaystyle A, B$ ，使 $\displaystyle A B-B A=E$ ．

对于线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ ，任取 $\displaystyle V$ 的一个基，并设 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 在这个基下的矩阵分别为 $\displaystyle A, B$ ，若 $\displaystyle \mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$ ，则相应的有 $\displaystyle A B-B A=E$ ，矛盾．所以不存在 $\displaystyle n$ 维线性空

间 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ ，满足 $\displaystyle \mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$ ．

【注】若线性空间 $\displaystyle V$ 是无穷维的，则存在 $\displaystyle V$ 的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ ，满足 $\displaystyle \mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$ ．例如，设 $\displaystyle V=P[x]$ 是数域 $\displaystyle P$ 上多项式全体所构成的线性空间，定义

$$
\mathbf{A} f(x)=f^{\prime}(x), \mathbf{B} f(x)=x f(x), \forall f(x) \in V,
$$


容易验证： $\displaystyle \mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$ ．
（2）设 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle A$ 的各行元素之和为常数 $\displaystyle c$ ，则 $\displaystyle A^{3}$ 的各行元素之和是否为常数？若是，

是多少？说明理由．
【解】是．设 $\displaystyle \eta=(1,1, \cdots, 1)^{\mathrm{T}}$ 是 $\displaystyle n$ 维列向量，则由 $\displaystyle A$ 的各行元素之和为常数 $\displaystyle c$ ，知 $\displaystyle A \eta=c \eta$ ，从而 $\displaystyle A^{3} \eta=c^{3} \eta$ ．所以 $\displaystyle A^{3}$ 的各行元素之和为常数 $\displaystyle c^{3}$ ．
（3）设 $\displaystyle m \times n$ 矩阵 $\displaystyle A$ 的秩为 $\displaystyle r$ ，任取 $\displaystyle A$ 的 $\displaystyle r$ 个线性无关的行向量，再取 $\displaystyle A$ 的 $\displaystyle r$ 个线性无关的列向量，组成的 $\displaystyle r$ 阶子式是否一定不为 0 ？若是，给出证明；若否，举出反例．

【解】是．不妨考虑 $\displaystyle A$ 的后 $\displaystyle r$ 个线性无关的行向量及后 $\displaystyle r$ 个线性无关的列向量，所组成的 $\displaystyle r$ 阶子式记为 $\displaystyle D$ 。假设 $\displaystyle D=0$ ，则仅对 $\displaystyle A$ 的后 $\displaystyle r$ 行施行初等行变换，可得

$$
A \rightarrow\left(\begin{array}{cc}
B & C \\
\alpha & 0
\end{array}\right)=H
$$


其中 $\displaystyle B$ 是 $\displaystyle (m-1) \times(n-r)$ 矩阵，$\displaystyle C$ 是 $\displaystyle (m-1) \times r$ 矩阵，$\displaystyle \alpha$ 是 $\displaystyle n-r$ 维行向量。根据初等行变换不改变矩阵的秩且不改变列向量之间的线性相关性，知 $\displaystyle \operatorname{rank}(C)=r$ ，且 $\displaystyle \alpha \neq 0$ ．于是有

$$
\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(H) \geq \operatorname{rank}(C)+\operatorname{rank}(\alpha)=r+1,
$$


矛盾．所以 $\displaystyle D \neq 0$ ．
（4）设 $\displaystyle A, B$ 都是 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle B X=0$ 同解，则 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 的列向

量组是否等价？行向量组是否等价？若是，给出证明；若否，举出反例．
【解】第 1 个结论不成立，反例如下：若 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ ，则线性方程组
$\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle B X=0$ 同解，但 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 的列向量组显然不等价．
第 2 个结论成立，兹证明如下：依题意，线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle B X=0$ 同解，所以 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)$ 。记 $\displaystyle r=n-\operatorname{rank}(A)$ ，任取 $\displaystyle A X=0$ 的一个基础解系（当然也是 $\displaystyle B X=0$的基础解系）构成 $\displaystyle n \times r$ 矩阵 $\displaystyle C$ ，则 $\displaystyle \operatorname{rank}(C)=r$ ，且 $\displaystyle A C=O, B C=O$ ．

考虑齐次线性方程组 $\displaystyle C^{\mathrm{T}} X=0$ ，其解空间 $\displaystyle S$ 的维数 $\displaystyle \operatorname{dim}(S)=n-r=\operatorname{rank}(A)$ 。
因为 $\displaystyle C^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}}=O$ ，所以 $\displaystyle A$ 的行向量都是 $\displaystyle C^{\mathrm{T}} X=0$ 的解，因此 $\displaystyle A$ 的行空间 $\displaystyle W_{A}$ 是 $\displaystyle S$ 的一个子空间，即 $\displaystyle W_{A} \subseteq S$ ．注意到 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(W_{A}\right)=\operatorname{rank}(A)=\operatorname{dim}(S)$ ，故 $\displaystyle W_{A}=S$ ．

同理可证，$\displaystyle B$ 的行空间 $\displaystyle W_{B}=S$ ．于是有 $\displaystyle W_{A}=W_{B}$ ，这就表明 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 的行向量组等价．
【注】若 $\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle B X=0$ 都仅有零解，则 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)=n$ ，仍是第 1 个结论不成立（反例从略），第2个结论成立．事实上，此时存在 $\displaystyle m$ 阶可逆矩阵 $\displaystyle P_{1}, P_{2}$ ，使得 $\displaystyle P_{1} A=\binom{E_{n}}{O}, P_{2} B=\binom{E_{n}}{O}$ ，令 $\displaystyle P=P_{2}^{-1} P_{1}$ ，则 $\displaystyle P$ 是可逆矩阵，且 $\displaystyle P A=B$ 。由此容易证明，
$\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 的行向量组等价．
（5）把实数域 $\displaystyle \mathbf{R}$ 看成有理数域 $\displaystyle \mathbf{Q}$ 上的线性空间，$\displaystyle b=p^{3} q^{2} r$ ，这里的 $\displaystyle p, q, r \in \mathbf{Q}$ 是互不相同的素数．判断向量组 $\displaystyle 1, \sqrt[n]{b}, \sqrt[n]{b^{2}}, \cdots, \sqrt[n]{b^{n-1}}$ 是否线性相关？说明理由．

【解】向量组 $\displaystyle 1, \sqrt[n]{b}, \sqrt[n]{b^{2}}, \cdots, \sqrt[n]{b^{n-1}}$ 是线性无关的，可用反证法证之．若不然，则存在不全为零的 $\displaystyle k_{0}, k_{1}, \cdots, k_{n-1} \in Q$ ，使得

$$
k_{0} 1+k_{1} \sqrt[n]{b}+k_{2} \sqrt[n]{b^{2}}+\cdots+k_{n-1} \sqrt[n]{b^{n-1}}=0
$$


这就是说，$\displaystyle B=\sqrt[n]{b}$ 是非零的有理系数多项式 $\displaystyle f(x)=k_{0}+k_{1} x+\cdots+k_{n-1} x^{n-1}$ 的根，即

$$
f(B)=k_{0}+k_{1} B+\cdots+k_{n-1} B^{n-1}=0
$$


另一方面，对于整系数多项式 $\displaystyle g(x)=x^{n}-b$ ，显然有 $\displaystyle g(B)=0$ ，即 $\displaystyle B$ 是多项式 $\displaystyle g(x)$ 的根．取素数 $\displaystyle r$ ，利用 Eisenstein 判别法，易知 $\displaystyle g(x)$ 在有理数域 $\displaystyle \mathbf{Q}$ 上不可约，这就是说，不存在非零的次数更低 $\displaystyle (\leq n-1)$ 的有理系数多项式 $\displaystyle h(x)$ ，使得 $\displaystyle h(B)=0$ ，矛盾．

因此，向量组 $\displaystyle 1, \sqrt[n]{b}, \sqrt[n]{b^{2}}, \cdots, \sqrt[n]{b^{n-1}}$ 是线性无关的．

三、（15 分）设向量
$\displaystyle \alpha_{1}=(-1,2,0,4), \alpha_{2}=(5,0,3,1), \alpha_{3}=(3,-1,4,-2), \alpha_{4}=(-2,4,-5,9), \alpha_{5}=(1,3,-1,7)$

2．（20 分）设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & k & 1 \\ 1 & k & 0 & 1\end{array}\right)$ ，
求：（1）$\displaystyle A$ 的秩；
（2）$\displaystyle A$ 的零化子空间 $\displaystyle N(A)$（即满足 $\displaystyle A X=0$ 的所有4维向量组成的子空间）的维数和一

组基。

3．（10 分）设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 矩阵 $\displaystyle (m \leq n)$ ，若 $\displaystyle A B=E_{m}$ 是 $\displaystyle m$ 阶单位矩阵，证明：$\displaystyle B$ 的列向量组线性无关．

4．（10 分）求实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots x_{n}\right)=n \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{2}(n \geq 2)$ 的秩和正、负惯性指数．

8．（15 分）设 $\displaystyle \alpha=\left(a_{1}, \cdots, a_{n}\right)$ 是 $\displaystyle n(n \geq 2)$ 维非零向量。证明：$\displaystyle \alpha^{T} \alpha$ 可相似于一对角矩阵，并求此对角矩阵。

7．（求矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \cdots & 1\end{array}\right)$（即 $\displaystyle A$ 中的每个元素都为 1 ）的最小多项式。（15 分）

9．设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n$ 阶方阵，证明：如果 $\displaystyle r(A)+r(A-E)=n$ ，则 $\displaystyle A$ 可对角化．（20 分）

一．（20 分）设 $\displaystyle A$ 是元素全为 1 的 $\displaystyle n$ 阶方阵，$\displaystyle E$ 为 $\displaystyle n$ 阶单位矩阵。
（1）求行列式 $\displaystyle |a E+b A|$ 的值，其中 $\displaystyle a, b$ 是实常数；
（2）已知 $\displaystyle 1<\operatorname{rank}(a E+b A)<n$ ，试确定 $\displaystyle a, b$ 所满足的条件，并求下列线性子空间的维数：

$$
W=\left\{x \mid(a E+b A) x=0, x \in R^{n}\right\} .
$$

五．（20 分）设 $\displaystyle E$ 是 $\displaystyle n$ 阶单位矩阵，证明：
（1）若 $\displaystyle A, B$ 是 $\displaystyle n$ 阶矩阵，$\displaystyle A^{2}=A$ ，且 $\displaystyle E-A-B$ 是可逆矩阵，则 $\displaystyle \operatorname{rank}(A B)=\operatorname{rank}(B A)$
（2）若 $\displaystyle A=E-\xi \xi^{T}$ ，其中 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle n$ 维列向量，$\displaystyle \xi^{T}$ 是 $\displaystyle \xi$ 的转置，则 $\displaystyle \xi^{T} \xi=1$ 的充分必要条件是 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)<n$ ；
（3）若 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶实矩阵，且 $\displaystyle A+A^{T}=E$ ，其中 $\displaystyle A^{T}$ 是 $\displaystyle A$ 的转置，则 $\displaystyle A$ 是可逆矩阵．

三、（15 分）设 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle \boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 中元素 $\displaystyle a_{11}$ 的代数余子式 $\displaystyle A_{11} \neq 0$ ，而 $\displaystyle \operatorname{det}(\boldsymbol{A})=0$ 。
（1）试确定齐次线性方程组 $\displaystyle \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解空间 $\displaystyle W$ 的维数 $\displaystyle \operatorname{dim}(W)$ ；
（2）问 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\displaystyle \boldsymbol{A}^{*}$ 中是否存在列向量构成 $\displaystyle W$ 的一个基？为什么？
（3）若 $\displaystyle \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}$ 是 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 的列向量，证明 $\displaystyle \boldsymbol{\alpha}_{1}$ 一定可由 $\displaystyle \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}$ 线性表示，且表示式惟一。

四、（15 分）设 $\displaystyle M_{2}(K)$ 表示数域 $\displaystyle K$ 上全体 2 阶方阵按矩阵加法与数乘构成的 $\displaystyle K$ 上的线性空间，$\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 是 $\displaystyle M_{2}(K)$ 的子空间，$\displaystyle W_{1}=L\left(\boldsymbol{A}_{1}, \boldsymbol{A}_{2}\right), W_{2}=L\left(\boldsymbol{B}_{1}, \boldsymbol{B}_{2}\right)$ ，其中 $\displaystyle \boldsymbol{A}_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), \quad \boldsymbol{A}_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right), \quad \boldsymbol{B}_{1}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right), \quad \boldsymbol{B}_{2}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$.
（1）求 $\displaystyle W_{1}+W_{2}$ 的一个基与维数；
（2）求 $\displaystyle W_{1} \cap W_{2}$ 的一个基与维数；
（3）问 $\displaystyle M_{2}(K)=W_{1} \oplus W_{2}$ 是否成立？为什么？（注：＂⊕＂表示直和．）

四、（12 分）设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 级阵，$\displaystyle A$ 的秩为 $\displaystyle m, B$ 是 $\displaystyle n \times(n-m)$ 级矩阵，$\displaystyle B$ 的秩为 $\displaystyle n-m$ ，且 $\displaystyle A B=\eta$ 。这里 $\displaystyle n$ 维列向量 $\displaystyle \eta$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的解，求证：存在唯一的 $\displaystyle n-m$维列向量 $\displaystyle \boldsymbol{\xi}$ ，使得 $\displaystyle \boldsymbol{B} \boldsymbol{\xi}=\boldsymbol{\eta}$ 。

九、（6 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换，$\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle V$ 的某组基下的矩阵是 $\displaystyle A$ ，用 $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma$ 表示 $\displaystyle \sigma$ 的核，$\displaystyle \sigma(V)$ 表示 $\displaystyle \sigma$ 的值域。求证：秩 $\displaystyle \left(A^{2}\right)=$ 秩 $\displaystyle (A)$ 的充要条件是 $\displaystyle V=\sigma(V) \oplus \operatorname{Ker} \sigma$

3．（20分）设 $\displaystyle V$ 是数域 $\displaystyle P$ 上 $\displaystyle n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} \in V$ ， $\displaystyle W=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)$ ，又有 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2} \in W$ 且 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 线性无关。求证：可用 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 替换 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 中的两个向量 $\displaystyle \alpha_{i 1}, \alpha_{i 2}$ ，使得剩下的两个向量 $\displaystyle \alpha_{i 3}, \alpha_{i 4}$ 与 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 仍然生成子空间 $\displaystyle W$ ，也即 $\displaystyle W=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \alpha_{i 3}, \alpha_{i 4}\right)$ 。

5．（16分）设 $\displaystyle A, B \in P^{n \times n}$ 且秩 $\displaystyle (A)+$ 秩 $\displaystyle (B) \leq n$ 。证明：存在 $\displaystyle n$ 阶可逆矩阵 $\displaystyle M$使得 $\displaystyle A M B=0$ 。

证明：设矩阵 $\displaystyle A, B$ 的秩分别为 $\displaystyle r_{1}, r_{2}$ 。对于矩阵 $\displaystyle A, B$ ，存在着可逆的 $\displaystyle n$ 级矩阵 $\displaystyle P_{1}, Q_{1}, P_{2}, Q_{2}$ ，使得 $\displaystyle P_{1} A Q_{1}=\Lambda_{r_{1}}, P_{2} B Q_{2}=\Lambda_{r_{2}}$ ，则

$$
\begin{aligned}
A Q_{1}= & P_{1}^{-1} \Lambda_{r_{1}}, P_{2} B=\Lambda_{r_{2}} Q_{2}^{-1} \\
& \left(A Q_{1}\right)\left(P_{2} B\right)=A Q_{1} P_{2} B=P_{1}^{-1} \Lambda_{r_{1}} \Lambda_{r_{2}} Q_{2}^{-1}=0, \text { 令 } A M B=0, \text { 则有 } A M B=0 \text { 成立。 }
\end{aligned}
$$

4．（10 分）设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n \times s$ 矩阵，证明：秩（ $\displaystyle A$ ）$\displaystyle =r$ 的充分必要条件是存在两个列满秩的矩阵 $\displaystyle B_{n \times r}$ 和 $\displaystyle C_{s \times r}$ 使 $\displaystyle A=B C^{T}$ ．

八、（ 15 分）矩阵 $\displaystyle A$ 为秩为 $\displaystyle r$ 的 $\displaystyle n$ 阶幕零矩阵，证明 $\displaystyle A^{r+1}=O$ ．
九、 $\displaystyle \left(15\right.$ 分）$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 0\end{array}\right)$ ．
求正交矩阵 $\displaystyle P$ ，使 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角型．

2．线性空间上 $\displaystyle \left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{s}\right)$ 与 $\displaystyle \left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{t}\right)$ 是两个线性无关向量组， $\displaystyle \left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{s}\right)=\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{t}\right) A$ ，证：$\displaystyle n-t-r(A) \leq s \leq \min \{r(A), t\}$

5．$\displaystyle \exists b \neq 0, A x=b$ 证明：$\displaystyle A^{*} x=b$ 有解的充要条件为 $\displaystyle r(A)=n-1$