第二章 一元函数微分学
1
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第1题
例 1 求曲线 \(y = {x}^{2}\) 和 \(y = \frac{1}{x}\left( {x < 0}\right)\) 的公切线方程.
2
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第2题
例 2 已知 \(f\left( x\right)\) 是 \(\left( {-\infty , + \infty }\right)\) 上的连续函数,它在 \(x = 0\) 的某个邻域内满足关系式
\[
f\left( {1 + \sin x}\right) - {3f}\left( {1 - \sin x}\right) = {8x} + o\left( x\right) \;\left( {x \rightarrow 0}\right) ,
\]
且 \(f\left( x\right)\) 在点 \(x = 1\) 处可导,求曲线 \(y = f\left( x\right)\) 在点 \(\left( {1,f\left( 1\right) }\right)\) 处的切线方程.
3
📝 有解析
第3题
例 3 设 \(x\left( t\right) ,y\left( t\right)\) 可微, \(r = \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}},\theta = \arctan \frac{y}{x}\) ,求 \(\mathrm{d}r,\mathrm{\;d}\theta\) .
3
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第3题
例 3 得
\[
{\left( r\mathrm{\;d}\theta \right) }^{2} + {\left( \mathrm{d}r\right) }^{2} = {\left( r \cdot \frac{x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x}{{r}^{2}}\right) }^{2} + {\left( \frac{x\mathrm{\;d}x + y\mathrm{\;d}y}{r}\right) }^{2}
\]
\[
= \frac{1}{{r}^{2}}\left\lbrack {{\left( x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x\right) }^{2} + {\left( x\mathrm{\;d}x + y\mathrm{\;d}y\right) }^{2}}\right\rbrack
\]
\[
= {\left( \mathrm{d}x\right) }^{2} + {\left( \mathrm{d}y\right) }^{2}.
\]
5
📝 有解析
第5题
例 5 设 \(y = \frac{x - a}{1 - {ax}}\left( {\left| a\right| < 1}\right)\) . 求证: 当 \(\left| x\right| < 1\) 时,有
\[
\frac{\mathrm{d}y}{1 - {y}^{2}} = \frac{\mathrm{d}x}{1 - {x}^{2}}.
\]
6
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第6题
例 6 求证心脏线 \(r = a\left( {1 - \cos \theta }\right) \left( {a > 0}\right)\) 的向径与切线间的夹角等于向径极角的一半.
7
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第7题
例 7 设 \(f\left( x\right) \in C\left\lbrack {a,b}\right\rbrack ,{f}^{\prime }\left( a\right)\) 存在,并设 \(\eta\) 满足
\[
{f}^{\prime }\left( a\right) > \eta > \frac{f\left( b\right) - f\left( a\right) }{b - a}.
\]
求证: \(\exists \xi \in \left( {a,b}\right)\) ,使得 \(\frac{f\left( \xi \right) - f\left( a\right) }{\xi - a} = \eta\) .
8
📝 有解析
第8题
例 8 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\mathbf{R}\) 上可微,且 \(f\left( x\right) ,{f}^{\prime }\left( x\right)\) 没有公共零点. 求证: 集合 \(\{ x \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \mid f\left( x\right) = 0\}\) 是有穷集.
9
📝 有解析
第9题
例 9 设函数 \(y = y\left( x\right)\) 由 \(\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1\) 确定,求 \({y}^{\prime \prime }\) .
10
📝 有解析
第10题
例 10 求 \(f\left( x\right) = \frac{1}{{a}^{2} - {b}^{2}{x}^{2}}\left( {a \neq 0}\right)\) 的 \(n\) 阶导数.
12
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第12题
例 12 设 \(y = {\left( \arcsin x\right) }^{2}\) .
(1) 求证: \(\left( {1 - {x}^{2}}\right) {y}^{\prime \prime } - x{y}^{\prime } = 2\) ; (2) 求 \({y}^{\left( n\right) }\left( 0\right)\) .
13
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第13题
例 13 设 \({P}_{n}\left( x\right) = \frac{1}{{2}^{n}n!}\frac{{\mathrm{d}}^{n}}{\mathrm{\;d}{x}^{n}}{\left( {x}^{2} - 1\right) }^{n}\) . 求证:
(1) \({P}_{n}\left( x\right)\) 的最高次项系数为 \(\frac{\left( {2n}\right) !}{{2}^{n}{\left( n!\right) }^{2}}\) ;
(2) \({P}_{n}\left( 1\right) = 1,{P}_{n}\left( {-1}\right) = {\left( -1\right) }^{n}\) ;
(3) \(\left( {{x}^{2} - 1}\right) {P}_{n}^{\prime \prime }\left( x\right) + {2x}{P}_{n}^{\prime }\left( x\right) - n\left( {n + 1}\right) {P}_{n}\left( x\right) = 0\) .
14
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第14题
例 14 如图 2.1 所示的欧姆计电路, 其中 G 表示电流计. 当测量未知电阻 \(r\) 时,设观测刻度的误差不变. 求证: 当 \(r = R\) 时,测量电阻的相对误差最小.
1
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第1题
例 1 试问如下推证过程是否正确? 对函数
\[
f\left( t\right) = \left\{ \begin{array}{ll} {t}^{2}\sin \frac{1}{t}, & t \neq 0, \\ 0, & t = 0 \end{array}\right.
\]
在 \(\left\lbrack {0,x}\right\rbrack\) 上应用拉格朗日定理,得
\[
{x}^{2}\sin \frac{1}{x} = x\left( {{2\xi }\sin \frac{1}{\xi } - \cos \frac{1}{\xi }}\right) \;\left( {0 < \xi < x}\right) ,
\]
即
\[
\cos \frac{1}{\xi } = {2\xi }\sin \frac{1}{\xi } - x\sin \frac{1}{x}\;\left( {0 < \xi < x}\right) . \tag{2.1}
\]
因为 \(0 < \xi < x\) ,所以当 \(x \rightarrow 0\) 时,有 \(\xi \rightarrow 0\) . 于是,由 (2.1) 式得
\[
\mathop{\operatorname{limcos}}\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{1}{\xi } = 0 \tag{2.2}
\]
即
\[
\mathop{\operatorname{limcos}}\limits_{{\xi \rightarrow 0}}\frac{1}{\xi } = 0. \tag{2.3}
\]
2
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第2题
例 2 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上连续,在(a, b)内除仅有的一个点外都可导. 求证: \(\exists c \in \left( {a,b}\right)\) ,使得 \(\left| {f\left( b\right) - f\left( a\right) }\right| \leq \left( {b - a}\right) \left| {{f}^{\prime }\left( c\right) }\right|\) .
3
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第3题
例 3 设 \(f\left( x\right)\) 在(a, b)内可导,且 \(\left| {{f}^{\prime }\left( x\right) }\right| < 1\) ,若 \(f\left( x\right)\) 在(a, b) 内有实根,而 \(\alpha \in \left( {a,b}\right)\) 是根的一个近似值. 求证: \(\beta \overset{\text{ 定义 }}{ = }f\left( \alpha \right)\) 是比 \(\alpha\) 更好的近似值.
4
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第4题
例 4 设 \({f}^{\prime }\left( x\right)\) 在点 \(x = a\) 处的右极限存在且有限. 求证: \(f\left( x\right)\) 在点 \(x = a\) 处的右极限也存在且有限.
5
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第5题
例 5 设 \(f\left( x\right)\) 在(a, b)内可导,对 \(\forall {x}_{0} \in \left( {a,b}\right)\) ,求证:
\[
\exists {x}_{n} \in \left( {a,b}\right) \;\left( {n = 1,2,\cdots }\right) ,
\]
使得 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = {x}_{0}}\) ,且 \(\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{f}^{\prime }\left( {x}_{n}\right) = {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right)\) .
6
📝 有解析
第6题
例 6 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上连续,在(a, b)内可导,其中 \(a > 0\) . 求证:
(1)存在 \(\xi \in \left( {a,b}\right)\) ,使得 \(f\left( b\right) - f\left( a\right) = \xi {f}^{\prime }\left( \xi \right) \ln \frac{b}{a}\) ；
(2) \(\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}n\left( {\sqrt[n]{x} - 1}\right) = \ln x\) .
7
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第7题
例 7 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {0,1}\right\rbrack\) 上连续,在(0,1)上可导,
\[
f\left( 0\right) = f\left( 1\right) = 0,\;f\left( \frac{1}{2}\right) = 1.
\]
求证: \(\exists \xi \in \left( {0,1}\right)\) ,使得 \({f}^{\prime }\left( \xi \right) = 1\) .
分析 只要找到 \(\left\lbrack {0,1}\right\rbrack\) 上的一个子区间,在这个区间上曲线 \(y =\) \(f\left( x\right)\) 所对的弦的斜率为 1,然后在这个区间上用拉格朗日中值定理即可得证. 这个区间也就是我们所说的辅助区间. 注意到这样的弦应该在直线 \(y = x\) 上,所以考虑直线 \(y = x\) 与 \(y = f\left( x\right)\) 是否有交点. 也就是说,辅助区间构造的成功与否归结为函数 \(f\left( x\right) - x\) 的零点存在问题.
8
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第8题
例 8 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {0,1}\right\rbrack\) 上连续,在(0,1)内可导, \(f\left( 0\right) = f\left( 1\right) =\) 0. 求证: 对于 \(\forall {x}_{0} \in \left( {0,1}\right) ,\exists \xi \in \left( {0,1}\right)\) ,使得 \({f}^{\prime }\left( \xi \right) = f\left( {x}_{0}\right)\) .
9
📝 有解析
第9题
例 9 设函数 \(f\left( x\right)\) 在闭区间 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上连续,在开区间(a, b)内二阶可导,并且曲线和连接点 \(\left( {a,f\left( a\right) }\right)\) 与 \(\left( {b,f\left( b\right) }\right)\) 的直线段在(a, b)内相交. 求证: \(\exists \xi \in \left( {a,b}\right)\) ,使得 \({f}^{\prime \prime }\left( \xi \right) = 0\) .
分析 所给命题的结论是二阶导函数的零点存在性问题, 显然不能直接由罗尔定理来推证. 但是 \({f}^{\prime \prime }\left( \xi \right) = 0\) 可以理解为
\[
{\left. {\left( {f}^{\prime }\left( x\right) \right) }^{\prime }\right| }_{x = \xi } = 0,
\]
即可转化为导函数 \({f}^{\prime }\left( x\right)\) 的导函数零点问题. 这启发我们能否将问题转化为 \({f}^{\prime }\left( x\right)\) 在某一个辅助区间上满足罗尔定理条件. 于是问题归结为寻求两点 \({\xi }_{1},{\xi }_{2}\) ,使得 \({f}^{\prime }\left( {\xi }_{1}\right) = {f}^{\prime }\left( {\xi }_{2}\right)\) . 只要作出问题的草图, 不难发现,在 \(\left\lbrack {a,c}\right\rbrack\) 上和在 \(\left\lbrack {c,b}\right\rbrack\) 上分别应用拉格朗日中值定理即可得到这样的 \({\xi }_{1},{\xi }_{2}\) . 换句话说,区间 \(\left\lbrack {{\xi }_{1},{\xi }_{2}}\right\rbrack\) 便是我们要构造的辅助区间.
10
📝 有解析
第10题
例 10 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {0,1}\right\rbrack\) 上连续,在(0,1)内可导,且 \(\left| {{f}^{\prime }\left( x\right) }\right| <\) 1,又 \(f\left( 0\right) = f\left( 1\right)\) ,求证: 对 \(\forall {x}_{1},{x}_{2} \in \left( {0,1}\right)\) ,有
\[
\left| {f\left( {x}_{1}\right) - f\left( {x}_{2}\right) }\right| < \frac{1}{2}.
\]
思路 不妨设 \(0 \leq {x}_{1} \leq {x}_{2} \leq 1\) ,将区间 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 自然分成三个部分区间 (作为辅助区间) \(\left\lbrack {0,{x}_{1}}\right\rbrack ,\left\lbrack {{x}_{1},{x}_{2}}\right\rbrack ,\left\lbrack {{x}_{2},1}\right\rbrack\) . 当 \({x}_{1},{x}_{2}\) 相互离得 “近” \(\left( {{x}_{2} - {x}_{1} < \frac{1}{2}}\right)\) 时,根据拉格朗日中值定理,结论显然成立. 而当 \({x}_{1}\) , \({x}_{2}\) 相互离得 “远” \(\left( {{x}_{2} - {x}_{1} \geq \frac{1}{2}}\right)\) 时,注意到, \({x}_{1},{x}_{2}\) 分别离左右端点可就“近”了. 所以想到用端点进行插项.
12
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第12题
例 12 设函数 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上可导,且 \({f}^{\prime }\left( a\right) = {f}^{\prime }\left( b\right) = 0\) . 求证: \(\exists c \in \left( {a,b}\right)\) ,使得 \(f\left( c\right) - f\left( a\right) = \left( {c - a}\right) {f}^{\prime }\left( c\right)\) .
分析 将 \(f\left( c\right) - f\left( a\right) = \left( {c - a}\right) {f}^{\prime }\left( c\right)\) 改写成
\[
{f}^{\prime }\left( c\right) - \frac{f\left( c\right) - f\left( a\right) }{c - a} = 0,
\]
注意到
\[
\exists c \in \left( {a,b}\right) \text{ ,使得 }{f}^{\prime }\left( c\right) - \frac{f\left( c\right) - f\left( a\right) }{c - a} = 0
\]
\(\Leftrightarrow {\left\lbrack f\left( x\right) - f\left( a\right) \right\rbrack }^{\prime } - \frac{f\left( x\right) - f\left( a\right) }{x - a}\) 在(a, b)内有零点
\(\Leftrightarrow \frac{{\left\lbrack f\left( x\right) - f\left( a\right) \right\rbrack }^{\prime }}{x - a} - \frac{f\left( x\right) - f\left( a\right) }{{\left( x - a\right) }^{2}}\) 在(a, b)内有零点
\(\Leftrightarrow \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\lbrack \frac{f\left( x\right) - f\left( a\right) }{x - a}\right\rbrack\) 在(a, b)内有零点.
本题的几何意义是: 如果曲线 \(y = f\left( x\right)\) 在点 \(x = a\) 处和在点 \(x = b\) 处的切线都平行于 \(x\) 轴,那么在 (a, b)内至少存在一个中间点 \(c\) ,使得在点 \(x = c\) 处的切线通过点 \(\left( {a,f\left( a\right) }\right)\) (如图 2.2 所示).
\begin{center}
<img src=\"/static/img/math_analysis/009.jpg\" class=\"math-img\" style=\"max-width:100%;margin:10px 0;\">
\end{center}
\hspace*{3em}
图 2.2
到此我们找到了原函数 \(\frac{f\left( x\right) - f\left( a\right) }{x - a}\) ,但是它在点 \(x = a\) 处没有定义, 因此考虑辅助函数
\[
g\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f\left( x\right) - f\left( a\right) }{x - a}, & \text{ 当 }x \in (a,b\rbrack , \\ 0, & \text{ 当 }x = a. \end{array}\right.
\]
显然 \(g\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上连续,在(a, b)内可导. 进一步,对 \(\forall x \in (a,b\rbrack\) , 我们有
\[
{g}^{\prime }\left( x\right) = - \frac{f\left( x\right) - f\left( a\right) }{{\left( x - a\right) }^{2}} + \frac{{f}^{\prime }\left( x\right) }{x - a} = - \frac{g\left( x\right) }{x - a} + \frac{{f}^{\prime }\left( x\right) }{x - a}.
\]
(2.7)
由此可见,为了证明本题,只要证明 \(\exists c \in \left( {a,b}\right)\) ,使得 \({g}^{\prime }\left( c\right) = 0\) . 但是,辅助函数虽然有 \(g\left( a\right) = 0\) 的性质,可是对于 \(g\left( b\right) = \frac{f\left( b\right) - f\left( a\right) }{b - a}\) 不一定为零, 因此不能直接应用罗尔定理, 要分情况讨论.
13
📝 有解析
第13题
例 13 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上一阶可导,在(a, b)内二阶可导,且
\[
f\left( a\right) = f\left( b\right) = 0,\;{f}^{\prime }\left( a\right) \cdot {f}^{\prime }\left( b\right) > 0,
\]
试证:
(1)存在 \(\xi \in \left( {a,b}\right)\) ,使 \(f\left( \xi \right) = 0\) ；
(2)存在 \(\eta \in \left( {a,b}\right)\) ,使 \({f}^{\prime \prime }\left( \eta \right) = f\left( \eta \right)\) .
14
📝 有解析
第14题
例 14 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上连续,在(a, b)内可导, \(f\left( a\right) = f\left( b\right)\) , 且 \(f\left( x\right)\) 不恒为常数. 求证: 存在 \(\xi \in \left( {a,b}\right)\) ,使得 \({f}^{\prime }\left( \xi \right) > 0\) .
15
📝 有解析
第15题
例 15 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {0,1}\right\rbrack\) 上连续,在(0,1)内可导, \(f\left( 0\right) = 0\) . 求证: 如果 \(f\left( x\right)\) 在(0,1)上不恒等于零,则存在 \(\xi \in \left( {0,1}\right)\) ,使得
\[
f\left( \xi \right) \cdot {f}^{\prime }\left( \xi \right) > 0.
\]
16
📝 有解析
第16题
例 16 设 \(a,b,c\) 为实数. 求证: 方程 \({\mathrm{e}}^{x} = a{x}^{2} + {bx} + c\) 的根不超过三个.
17
📝 有解析
第17题
例 17 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {-2,2}\right\rbrack\) 上连续,在(-2,2)上二阶可导,且
\[
\left| {f\left( x\right) }\right| \leq 1,\;{f}^{\prime }\left( 0\right) > 1.
\]
求证: 存在 \(\xi \in \left( {-2,2}\right)\) ,使得 \({f}^{\prime \prime }\left( \xi \right) = 0\) .
思路 要证存在 \(\xi \in \left( {-2,2}\right)\) ,使得 \({f}^{\prime \prime }\left( \xi \right) = 0\) ,根据达布定理,只要证 \({f}^{\prime \prime }\left( x\right)\) 在(-2,2)上变号. 用反证法的思路就是假定 \({f}^{\prime \prime }\left( x\right)\) 在 (-2,2)上不变号,即 \(f\left( x\right)\) 在(-2,2)上是凹或凸的. 对 \(\forall \alpha \in\) (0,2),将区间 \(\left\lbrack {-2,2}\right\rbrack\) 分为三个部分区间:
\[
\left\lbrack {-2, - \alpha }\right\rbrack ,\;\left\lbrack {-\alpha ,\alpha }\right\rbrack ,\;\left\lbrack {\alpha ,2}\right\rbrack .
\]
如果 \(f\left( x\right)\) 在(-2,2)上是凹的,那么 \(f\left( x\right)\) 这三个部分区间上弦的斜率单调递增; 如果 \(f\left( x\right)\) 在(-2,2)上是凸的,那么 \(f\left( x\right)\) 这三个部分区间上弦的斜率单调递减. 反证法要找的矛盾就是选择 \(\alpha\) ,使得这三个部分区间上弦的斜率没有单调性.
1
📝 有解析
第1题
例 1 求证: \(f\left( x\right) = {\left( \arctan \frac{x}{1 - x}\right) }^{-\frac{1}{2}}\) 在(0,1)内单调下降.
2
📝 有解析
第2题
例 2 设函数 \(f\left( x\right) ,g\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上连续,在(a, b)内可导,且
\[
{g}^{\prime }\left( x\right) \neq 0\;\left( {\forall x \in \left( {a,b}\right) }\right) .
\]
求证: 如果 \(\frac{{f}^{\prime }\left( x\right) }{{g}^{\prime }\left( x\right) }\) 严格单调增加,则对 \(\forall x \in \left( {a,b}\right)\) ,
\[
\frac{f\left( x\right) - f\left( a\right) }{g\left( x\right) - g\left( a\right) }\text{ 和 }\;\frac{f\left( x\right) - f\left( b\right) }{g\left( x\right) - g\left( b\right) }
\]
都严格单调增加.
3
📝 有解析
第3题
例 3 设 \(f\left( 0\right) = 0\) ,且 \({f}^{\prime }\left( x\right)\) 在 \(\lbrack 0, + \infty )\) 上严格单调增加. 求证:
( 1 )在 \(\left( {0, + \infty }\right)\) 上函数 \(g\left( x\right) \frac{\text{ 定义 }f\left( x\right) }{x}\) 严格单调增加；
(2)对于任意正数 \({a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}\left( {n > 1}\right)\) ,有
\[
f\left( {a}_{1}\right) + f\left( {a}_{2}\right) + \cdots + f\left( {a}_{n}\right) < f\left( {{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n}}\right) .
\]
4
📝 有解析
第4题
例 4 求证:
\[
\pi < \frac{\sin {\pi t}}{t\left( {1 - t}\right) } \leq 4\;\left( {\forall t \in \left( {0,1}\right) }\right) . \tag{3.5}
\]
分析 作变量代换 \(t = x + \frac{1}{2}\left( {\left| x\right| < \frac{1}{2}}\right)\) ,则
\[
\frac{\sin {\pi t}}{t\left( {1 - t}\right) } = \frac{\cos {\pi x}}{\frac{1}{4} - {x}^{2}}\;\left( {\left| x\right| < \frac{1}{2}}\right) .
\]
再注意到 \(\frac{\cos {\pi x}}{\frac{1}{4} - {x}^{2}}\left( {\left| x\right| < \frac{1}{2}}\right)\) 是偶函数,要证不等式 (3.5),只要证
\[
\pi < \frac{\cos {\pi x}}{\frac{1}{4} - {x}^{2}} \leq 4\;\left( {\forall x \in \left( {0,\frac{1}{2}}\right) }\right) . \tag{3.6}
\]
5
📝 有解析
第5题
例 5 求下列函数在 \(x > 0\) 上的最小值:
(1) \(f\left( x\right) = \ln x + \frac{1}{x}\) ; (2) \(g\left( x\right) = x{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}\) .
6
📝 有解析
第6题
例 6 设正值序列 \(\left\{ {x}_{n}\right\}\) 满足 \(\ln {x}_{n} + \frac{1}{{x}_{n + 1}} < 1\) . 求证: \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n}}\) 存在.
7
📝 有解析
第7题
例 7 设 \(f\left( x\right)\) 是偶函数,且 \({f}^{\prime }\left( 0\right)\) 存在. 求证: \({f}^{\prime }\left( 0\right) = 0\) .
8
📝 有解析
第8题
例 8 求证:
(1) \({\mathrm{e}}^{x} > 1 + x\left( {x \neq 0}\right)\) ;
(2)序列 \({x}_{n} = \left( {1 + \frac{1}{2}}\right) \left( {1 + \frac{1}{{2}^{2}}}\right) \cdots \left( {1 + \frac{1}{{2}^{n}}}\right)\) 的极限存在.
9
📝 有解析
第9题
例 9 求椭圆 \(\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1\) 在第一象限中的切线,使它被坐标轴所截的线段最短.
10
📝 有解析
第10题
例 10 周长一定的等腰三角形中,腰与底成何比例时,它绕底边旋转所得旋转体的体积最大?
11
📝 有解析
第11题
例 11 设 \(h > 0\) ,求点(0, h)到曲线 \(y = {x}^{2}\) 的最短距离.
12
📝 有解析
第12题
例 12 求椭圆 \(\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1\) 的内接矩形中面积最大的矩形.
13
📝 有解析
第13题
例 13 如图 2.3 所示,在东西走向的一段笔直的铁路上有 \(A,B\) 两城,相距 \({15}\mathrm{\;{km}}\) ,在 \(B\) 城正南面 \(8\mathrm{\;{km}}\) 的 \(C\) 处有一工厂,现要从 \(A\) 城把货物运往该厂, 已知每吨货物的铁路运费为 \(3\mathrm{\;元}/\mathrm{{km}}\) ,公路运费为 5元 \(/\mathrm{{km}}\) . 问在铁路线上的 \(D\) 应选在何处,从 \(D\) 开始修筑到工厂的公路,才能使 \(A\xrightarrow[]{\text{ 铁路 }}D\xrightarrow[]{\text{ 公路 }}C\) 运费最省?
\begin{center}
<img src=\"/static/img/math_analysis/010.jpg\" class=\"math-img\" style=\"max-width:100%;margin:10px 0;\">
\end{center}
\hspace*{3em}
图 2.3
1
📝 有解析
第1题
例 1 设 \(f\left( x\right)\) 为凹函数,且二次可导. 求证: \(F\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{f\left( x\right) }\) 也是凹函数.
2
📝 有解析
第2题
例 2 设 \(f\left( x\right) ,g\left( x\right)\) 为(a, b)上的凹函数,求证:
\[
h\left( x\right) \overset{\text{ 定义 }}{ = }\max \left( {f\left( x\right) ,g\left( x\right) }\right)
\]
也是(a, b)上的凹函数.
3
📝 有解析
第3题
例 3 作函数 \(y = \frac{{x}^{3}}{2{\left( x - 1\right) }^{2}}\) 的图形.
4
📝 有解析
第4题
例 4 (1) 作函数 \(y = {x}^{2}{\mathrm{e}}^{-x}\) 的图形;
(2)试确定方程 \({\mathrm{e}}^{x} = a{x}^{2}\left( {a > 0}\right)\) 的根的个数,并指出每一个根所在的范围.
1
📝 有解析
第1题
例 1 设 \(f\left( x\right)\) 在(a, b)内可导,且 \({f}^{\prime }\left( x\right)\) 单调. 求证: \({f}^{\prime }\left( x\right)\) 在 (a, b)内连续.
2
📝 有解析
第2题
例 2 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\lbrack a, + \infty )\) 上有界, \({f}^{\prime }\left( x\right)\) 存在,且 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{f}^{\prime }\left( x\right) =\) \(b\) . 求证: \(b = 0\) .
3
📝 有解析
第3题
例 3 设 \(f\left( x\right) \in C\left( {a,b}\right) ,{f}^{\prime }\left( x\right)\) 在(a, b)内除点 \({x}_{0}\) 外都存在,且 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0} + 0}}{f}^{\prime }\left( x\right)\) 存在. 求证: \({f}_{ + }^{\prime }\left( {x}_{0}\right)\) 存在,且 \({f}_{ + }^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0} + 0}}{f}^{\prime }\left( x\right)\) .
4
📝 有解析
第4题
例 4 求极限 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{{x}^{2}}{\mathrm{e}}^{-x}\) .
5
📝 有解析
第5题
例 5 设 \(f\left( x\right)\) 一阶可导,且 \({f}^{\prime \prime }\left( {x}_{0}\right)\) 存在. 求证:
\[
\mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{f\left( {{x}_{0} + {2h}}\right) - {2f}\left( {{x}_{0} + h}\right) + f\left( {x}_{0}\right) }{{h}^{2}} = {f}^{\prime \prime }\left( {x}_{0}\right) .
\]
6
📝 有解析
第6题
例 6 求 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\left\lbrack {\left( {{x}^{3} - {x}^{2} + \frac{x}{2}}\right) {\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}} - \sqrt{{x}^{6} + 1}}\right\rbrack\) .
7
📝 有解析
第7题
例 7 求证: (1) \(\forall n \in N,\exists {\theta }_{n} \in \left( {0,1}\right)\) ,使得
\[
\mathrm{e} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} + \frac{{\mathrm{e}}^{{\theta }_{n}}}{\left( {n + 1}\right) !}; \tag{5.2}
\]
(2) \(\mathrm{e}\) 是无理数.
8
📝 有解析
第8题
例 8 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {0,1}\right\rbrack\) 上有二阶导数, \(\left| {f\left( x\right) }\right| \leq a,\left| {{f}^{\prime \prime }\left( x\right) }\right| \leq b\) , 其中 \(a,b\) 是非负数. 求证: 对一切 \(c \in \left( {0,1}\right)\) 有 \(\left| {{f}^{\prime }\left( c\right) }\right| \leq {2a} + \frac{b}{2}\) .
思路 本题条件和本题结论之间的联系是要从函数和二阶导数的估计导出一阶导数的估计. 能将函数、一阶导数和二阶导数全部联系在一起的数学工具惟有泰勒公式. 故应从泰勒公式入手.
9
📝 有解析
第9题
例 9 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\mathbf{R}\) 上二次可微,且 \(\forall x \in \mathbf{R}\) ,有
\[
\left| {f\left( x\right) }\right| \leq {M}_{0},\;\left| {{f}^{\prime \prime }\left( x\right) }\right| \leq {M}_{2}.
\]
(1)写出 \(f\left( {x + h}\right)\) , \(f\left( {x - h}\right)\) 关于 \(h\) 的带拉格朗日余项的泰勒公式;
(2)求证:对 \(\forall h > 0\) ,有 \(\left| {{f}^{\prime }\left( x\right) }\right| \leq \frac{{M}_{0}}{h} + \frac{h}{2}{M}_{2}\) ；
(3)求证: \(\left| {{f}^{\prime }\left( x\right) }\right| \leq \sqrt{2{M}_{0}{M}_{2}}\) .
1
📝 有解析
第1题
例 1 求证: 当 \(x > 0\) 时,不等式 \(\ln \left( {1 + x}\right) < \frac{x}{\sqrt{1 + x}}\) 成立.
2
📝 有解析
第2题
例 2 求证: (1) 当 \(\alpha \geq \frac{1}{2}\) 时,有
\[
\ln \left( {1 + \frac{1}{x}}\right) < \frac{x + \alpha }{{x}^{2} + x}\;\left( {\forall x > 0}\right) ; \tag{6.3}
\]
(2)当 \(\alpha \geq \frac{1}{2}\) 时,函数 \(f\left( x\right) = {\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x + \alpha }\) 在 \(\left( {0, + \infty }\right)\) 上严格单调递减；
(3)若数集 \(A\overset{\text{ 定义 }}{ = }\left\{ {\alpha \left| {\;{\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x + a} > \mathrm{e}\left( {\forall x > 0}\right) }\right. }\right\}\) ,则
\[
A = \left\lbrack {\frac{1}{2}, + \infty }\right) .
\]
3
📝 有解析
第3题
例 3 求证:
(1) \(\ln \frac{b}{a} > \frac{2\left( {b - a}\right) }{b + a}\left( {b > a > 0}\right)\) ;
(2) \(\left( {{x}^{2} - 1}\right) \ln x \geq 2{\left( x - 1\right) }^{2}\;\left( {\forall x > 0}\right)\) .
思路 (1) 注意到原不等式中的两个参数具有齐次关系, 若令 \(x = \frac{b}{a}\) ,就把两个参数转化为一个参数作为变量. 那么本题就是要证明:
\[
\ln x > \frac{2\left( {x - 1}\right) }{x + 1}\;\left( {\forall x > 1}\right) . \tag{6.6}
\]
(2)考虑
\[
\left( {{x}^{2} - 1}\right) \ln x \geq 2{\left( x - 1\right) }^{2}\;\left( {\forall x > 0}\right)
\]
\[
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} \left( {x + 1}\right) \ln x > 2\left( {x - 1}\right) , & \forall x > 1, \\ \left( {x + 1}\right) \ln x \leq 2\left( {x - 1}\right) , & \forall 0 < x \leq 1. \end{array}\right. \tag{6.7}
\]
4
📝 有解析
第4题
例 4 求证: 当 \(x > 0\) 时 \(\frac{1 + {x}^{2} + {x}^{4} + \cdots + {x}^{2n}}{x + {x}^{3} + {x}^{5} + \cdots + {x}^{{2n} - 1}} \geq \frac{n + 1}{n}\) ,且等号当且仅当 \(x = 1\) 时成立.
5
📝 有解析
第5题
例 5 设 \(1 < a < b,f\left( x\right) = \frac{1}{x} + \ln x\) ,求证:
\[
0 < f\left( b\right) - f\left( a\right) \leq \frac{1}{4}\left( {b - a}\right) .
\]
6
📝 有解析
第6题
例 6 求证: \(2\arctan x < 3\ln \left( {1 + x}\right) \left( {\forall x > 0}\right)\) .
分析 只要证明 \(\frac{\arctan x}{\ln \left( {1 + x}\right) } < \frac{3}{2}\left( {\forall x > 0}\right)\) .
7
📝 有解析
第7题
例 7 设 \(0 < x < 1\) . 求证: \(x{\mathrm{e}}^{-x} > \frac{1}{x}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{x}}\) .
8
📝 有解析
第8题
例 8 设 \(0 < x < \frac{\pi }{2}\) ,求证: \(\frac{x}{\sin x} < \frac{\tan x}{x}\) .
9
📝 有解析
第9题
例 9 设 \(p,q > 0\) ,且 \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\) ,又设 \(a > 0,b > 0\) ,求证:
\[
{ab} \leq \frac{1}{p}{a}^{p} + \frac{1}{q}{b}^{q}.
\]
思路 只要证原不等式两边取对数得到的不等式, 即
\[
\ln \left( {ab}\right) \leq \ln \left( {\frac{1}{p}{a}^{p} + \frac{1}{q}{b}^{q}}\right) . \tag{6.14}
\]
10
📝 有解析
第10题
例 10 求证: \({\mathrm{e}}^{x} > 1 + x + \frac{{x}^{2}}{2}\left( {x > 0}\right) ;{\mathrm{e}}^{x} < 1 + x + \frac{{x}^{2}}{2}\left( {x < 0}\right)\) .
11
📝 有解析
第11题
例 11 (1) 设 \(f\left( x\right)\) 是在 \(\mathbf{R}\) 上的凹函数,求证: 对 \(\forall {x}_{1},{x}_{2},\cdots\) , \({x}_{n} \in \mathbf{R}\) ,有
\[
\frac{f\left( {x}_{1}\right) + f\left( {x}_{2}\right) + \cdots + f\left( {x}_{n}\right) }{n} \geq f\left( \frac{{x}_{1} + {x}_{2} + \cdots + {x}_{n}}{n}\right) ,
\]
(6.16)
等号当且仅当 \({x}_{1} = {x}_{2} = \cdots = {x}_{n}\) 时成立.
(2)求证:当 \({x}_{k} > 0\left( {k = 1,2,\cdots }\right)\) 时,有
\[
\frac{{x}_{1} + {x}_{2} + \cdots + {x}_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{{x}_{1}{x}_{2}\cdots {x}_{n}}.
\]
12
📝 有解析
第12题
例 12 求证:
(1)当 \(0 < x < \frac{\pi }{2}\) 时,有 \(\sin x > \frac{2x}{\pi }\) ；
( 2 )如果 \(\bigtriangleup {ABC}\) 是锐角三角形,那么 \(\sin A + \sin B + \sin C > 2\) .
分析 曲线 \(y = \sin x\) 在 \(\left\lbrack {0,\frac{\pi }{2}}\right\rbrack\) 上连续,且 \({y}^{\prime \prime } = - \sin x < 0\) 在 \(\left( {0,\frac{\pi }{2}}\right)\) 内成立,从而曲线 \(\sin x\) 是 \(\left( {0,\frac{\pi }{2}}\right)\) 上的严格凸函数,在 \(\left( {0,\frac{\pi }{2}}\right)\) 内它必在其端点(0,0)与 \(\left( {\frac{\pi }{2},1}\right)\) 的连线 \(y = \frac{2x}{\pi }\) 的上方. 这正是要证不等式的几何意义.
13
📝 有解析
第13题
例 13 对任意的自然数 \(n\) ,求证: 对 \(\forall 0 \leq t \leq n\) ,
\[
0 \leq {\mathrm{e}}^{-t} - {\left( 1 - \frac{t}{n}\right) }^{n} \leq \frac{{t}^{2}}{n}{\mathrm{e}}^{-t}.
\]
14
📝 有解析
第14题
例 14 求证: 方程 \({x}^{2} = x\sin x + \cos x\) 恰好只有两个不同的实数根.
\begin{center}
<img src=\"/static/img/math_analysis/015.jpg\" class=\"math-img\" style=\"max-width:100%;margin:10px 0;\">
\end{center}
\hspace*{3em}
图 2.8
15
📝 有解析
第15题
例 15 设 \(f\left( x\right)\) 是非负函数,在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上二阶可导,且 \({f}^{\prime \prime }\left( x\right) \neq 0\) , 求证: 方程 \(f\left( x\right) = 0\) 在(a, b)内如果有根,就只能有一个根.
16
📝 有解析
第16题
例 16 设有 \(n\) 次多项式方程
\[
1 - x + \frac{{x}^{2}}{2} - \frac{{x}^{3}}{3} + \cdots + {\left( -1\right) }^{n}\frac{{x}^{n}}{n} = 0.
\]
试证: 当 \(n\) 为奇数时方程恰有一实根; 当 \(n\) 为偶数时方程无实根.
17
📝 有解析
第17题
例 17 设 \(x > 0\) 时,方程
\[
{kx} + \frac{1}{{x}^{2}} = 1 \tag{6.20}
\]
只有一个解,求 \(k\) 的取值范围.
18
📝 有解析
第18题
例 18 求方程 \({x}^{3} = {3px} + q\left( {p > 0}\right)\) 恰有三个实根的条件.
19
📝 有解析
第19题
例 19 已知三次方程 \({x}^{3} - 3{a}^{2}x - 6{a}^{2} + {3a} = 0\) 只有一个实根而且是正的,求 \(a\) 的取值范围.
20
📝 有解析
第20题
例 20 设 \(P\left( x\right) = {x}^{6} - 2{x}^{2} - x + 3\) .
(1)分别把 \(P\left( x\right)\) 表示成(x - 1)幂与 \(\left( {x + 1}\right)\) 幂的多项式；
(2)求证: \(P\left( x\right) = 0\) 在 \(\left| x\right| \geq 1\) 上无实根；
(3) 求证: \(P\left( x\right) = 0\) 无实根.
21
📝 有解析
第21题
例 21 已知 \(P\left( x\right)\) 是 \(n \geq 1\) 次函数:
\[
P\left( x\right) = {a}_{n}{x}^{n} + {a}_{n - 1}{x}^{n - 1} + \cdots + {a}_{1}x + {a}_{0},
\]
且 \(P\left( a\right) \geq 0,{P}^{\prime }\left( a\right) \geq 0,\cdots ,{P}^{\left( n\right) }\left( a\right) \geq 0\) . 求证: \(P\left( x\right)\) 没有大于 \(a\) 的根.
22
📝 有解析
第22题
例 22 设 \({f}_{n}\left( x\right) = {x}^{n} + {x}^{n - 1} + \cdots + {x}^{2} + x\) . 求证:
(1)对任意自然数 \(n > 1\) ,方程 \({f}_{n}\left( x\right) = 1\) 在 \(\left( {\frac{1}{2},1}\right)\) 内只有一个根;
(2)设 \({x}_{n} \in \left( {\frac{1}{2},1}\right)\) 是 \({f}_{n}\left( x\right) = 1\) 的根,则 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = \frac{1}{2}}\) .
23
📝 有解析
第23题
例 23 由拉格朗日中值定理,对 \(\forall x > - 1,\exists \theta \in \left( {0,1}\right)\) ,使得
\[
\ln \left( {1 + x}\right) = \ln \left( {1 + x}\right) - \ln \left( {1 + 0}\right) = \frac{x}{1 + {\theta x}}.
\]
求证: \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\theta = \frac{1}{2}}\) .
24
📝 有解析
第24题
例 24 设 \(y = f\left( x\right)\) 在(-1,1)内具有二阶连续导数,且 \({f}^{\prime \prime }\left( x\right) \neq\) 0. 试证:
(1)对于 \(\forall x \in \left( {-1,1}\right) ,x \neq 0\) ,存在惟一的 \(\theta \left( x\right) \in \left( {0,1}\right)\) ,使 \(f\left( x\right) = f\left( 0\right) + x{f}^{\prime }\left( {\theta \left( x\right) x}\right)\) 成立;
(2) \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\theta \left( x\right) = \frac{1}{2}\) .
25
📝 有解析
第25题
例 25 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {0,1}\right\rbrack\) 上连续,在(0,1)内二阶可导,且
\[
f\left( 0\right) = f\left( 1\right) = 0,\;{f}^{\prime \prime }\left( x\right) < 0\;\left( {\forall x \in \left( {0,1}\right) }\right) .
\]
若 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {0,1}\right\rbrack\) 上的最大值为 \(M > 0\) ,求证: 对任意的自然数 \(n\) ,
(1)存在惟一的 \({x}_{n} \in \left( {0,1}\right)\) ,使得 \({f}^{\prime }\left( {x}_{n}\right) = \frac{M}{n}\) ;
(2)极限 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n}}\) 存在,并且 \(f\left( {\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n}}\right) = M\) .
2.1
📝 有解析
第2.1题
2. 1.1 用定义求 \({f}^{\prime }\left( 0\right)\) ,这里 \(f\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} {x}^{2}\sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x =
2.1
📝 有解析
第2.1题
2.2.2 设 \({f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right)\) 存在. 求证: 对称导数也存在并等于 \({f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right)\) ,即
\[
\mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{f\left( {{x}_{0} + h}\right) - f\left( {{x}_{0} - h}\right) }{2h} = {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) .
\]
2.1
📝 有解析
第2.1题
2.1.3 设 \(f\left( x\right)\) 在点 \({x}_{0}\) 处可导, \({\alpha }_{n},{\beta }_{n}\) 为趋于零的正数序列,求证:
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{f\left( {{x}_{0} + {\alpha }_{n}}\right) - f\left( {{x}_{0} + {\beta }_{n}}\right) }{{\alpha }_{n} - {\beta }_{n}} = {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) .
\]
2.1
📝 有解析
第2.1题
2.1.4 设 \(P\left( x\right)\) 是最高次项系数为 1 的多项式, \(M\) 是它的最大实根. 求证: \(P\left( x\right) \geq 0\) .
2.1
📝 有解析
第2.1题
2. 1.5 给定曲线 \(y = {x}^{2} + {5x} + 4\) .
(1)求曲线在点(0,4)处的切线；
(2)确定 \(b\) 使得直线 \(y = {3x} + b\) 为曲线的切线；
(3) 求过(0,3)点的曲线的切线.
2.1
📝 有解析
第2.1题
2.1.6 确定常数 \(a,b\) 使得函数 \(f\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} {ax} + b, & x > 1, \\ {x}^{2}, & x \leq 1 \end{array}\right.\) 有连续导数.
2.1
📝 有解析
第2.1题
2.1.7 设曲线由隐式方程 \(\sqrt[3]{{x}^{2}} + \sqrt[3]{{y}^{2}} = \sqrt[3]{{a}^{2}}\left( {a > 0}\right)\) 给出.
(1)求证:曲线的切线被坐标轴所截的长度为一常数；
(2)写出曲线的参数式,利用参数式求导给出上一小题的另一证法.
2.1
📝 有解析
第2.1题
2. 1.8 已知曳物线的参数方程为
\[
x = a\left\lbrack {\ln \left( {\tan \frac{t}{2}}\right) + \cos t}\right\rbrack ,\;y = a\sin t\;\left( {a > 0,0 < t < \pi }\right) .
\]
求证: 在曳物线的任一切线上,自切点至该切线与 \(x\) 轴交点之间的切线段为一定长.
2.1
📝 有解析
第2.1题
2. 1.9 试确定 \(\lambda\) ,使得曲线 \(\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1\) 与 \({xy} = \lambda\) 相切,并求出切线方程.
2.1
📝 有解析
第2.1题
2. 1.10 试确定 \(m\) ,使直线 \(y = {mx}\) 为曲线 \(y = \ln x\) 的切线.
2.1
📝 有解析
第2.1题
2.1.11 设 \(y = \frac{\arcsin x}{\sqrt{1 - {x}^{2}}}\) .
(1) 求证: \(\left( {1 - {x}^{2}}\right) {y}^{\prime } - {xy} = 1\) ; (2) 求 \({y}^{\left( n\right) }\left( 0\right)\) .
2.1
📝 有解析
第2.1题
2.1.12 求 \(f\left( x\right) = \frac{x}{1 - {x}^{2}}\) 的 \(n\) 阶导数.
2.1
📝 有解析
第2.1题
2.1.13 设 \(y = {x}^{n - 1}\ln x\) . 求证: \({y}^{\left( n\right) } = \frac{\left( {n - 1}\right) !}{x}\) .
2.1
📝 有解析
第2.1题
2. 1.14 求证: 双纽线 \({r}^{2} = {a}^{2}\cos {2\theta }\) 的向径与切线的夹角等于极角的两倍加 \(\frac{\pi }{2}\) .
2.1
📝 有解析
第2.1题
2. 1.15 设曲线既可用参数式 \(x = x\left( t\right) ,y = y\left( t\right)\) 表示,又可用极坐标 \(r =\) \(r\left( \theta \right)\) 表示. 求证: \(\frac{1}{2}{r}^{2}\mathrm{\;d}\theta = \frac{1}{2}\left( {x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x}\right)\) .
2.2
📝 有解析
第2.2题
2. 2.1 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上连续,在(a, b)内除仅有的一个点外都可导. 求证: \(\exists {c}_{1},{c}_{2} \in \left( {a,b}\right)\) 及 \(\theta \in \left( {0,1}\right)\) ,使得
\[
f\left( b\right) - f\left( a\right) = \left( {b - a}\right) \left\lbrack {\theta {f}^{\prime }\left( {c}_{1}\right) + \left( {1 - \theta }\right) {f}^{\prime }\left( {c}_{2}\right) }\right\rbrack .
\]
2.2
📝 有解析
第2.2题
2.2.2 设函数 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {0,3}\right\rbrack\) 上连续,且在(0,3)内 \(f\left( 0\right) + f\left( 1\right) + f\left( 2\right) = 3\) , \(f\left( 3\right) = 1\) . 求证: \(\exists \xi \in \left( {0,3}\right)\) ,使得 \({f}^{\prime }\left( \xi \right) = 0\) .
2.2
第2.2题
2.2.3 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上连续,在(a, b)内可导,且
\[
f\left( a\right) \cdot f\left( b\right) > 0,\;f\left( a\right) \cdot f\left( \frac{a + b}{2}\right) <
2.2
📝 有解析
第2.2题
2.2.4 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上连续,在(a, b)内可导,但非线性函数. 求证: \(\exists \xi ,\eta \in \left( {a,b}\right)\) ,使得
\[
{f}^{\prime }\left( \xi \right) < \frac{f\left( b\right) - f\left( a\right) }{b - a} < {f}^{\prime }\left( \eta \right) .
\]
2.2
📝 有解析
第2.2题
2.2.5 设 \(f\left( x\right)\) 在(a, b)内二阶可导,且 \({x}_{0} \in \left( {a,b}\right)\) ,使得 \({f}^{\prime \prime }\left( {x}_{0}\right) \neq 0\) . 求证:
(1)如果 \({f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = 0\) ,则存在 \({x}_{1},{x}_{2} \in \left( {a,b}\right)\) ,使得 \(f\left( {x}_{1}\right) - f\left( {x}_{2}\right) = 0\) ；
(2)如果 \({f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) \neq 0\) ,则存在 \({x}_{1},{x}_{2} \in \left( {a,b}\right)\) ,使得 \(\frac{f\left( {x}_{1}\right) - f\left( {x}_{2}\right) }{{x}_{1} - {x}_{2}} = {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right)\) .
2.2
📝 有解析
第2.2题
2.2.6 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上连续,在(a, b)内可导,且 \(f\left( a\right) = f\left( b\right) = 0\) . 求证: 存在 \(\xi \in \left( {a,b}\right)\) ,使得 \({f}^{\prime }\left( \xi \right) + f\left( \xi \right) = 0\) .
2.2
📝 有解析
第2.2题
2.2.7 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {0,1}\right\rbrack\) 上可导, \(f\left( 0\right) = 0,f\left( x\right) \neq 0\left( {\forall x \in \left( {0,1}\right) }\right)\) . 求证: \(\exists \xi \in \left( {0,1}\right)\) ,使得 \(\frac{{f}^{\prime }\left( {1 - \xi }\right) }{f\left( {1 - \xi }\right) } = 2\frac{{f}^{\prime }\left( \xi \right) }{f\left( \xi \right) }\) .
2.2
📝 有解析
第2.2题
2.2.8 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {0,1}\right\rbrack\) 上连续,在(0,1)内可导, \(f\left( 0\right) = 0\) . 求证: 如果 \(f\left( x\right)\) 在(0,1)上不恒等于零,则存在 \(\xi \in \left( {0,1}\right)\) ,使得 \(f\left( \xi \right) \cdot {f}^{\prime }\left( \xi \right) > 0\) .
2.2
📝 有解析
第2.2题
2.2.9 设函数 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上可导,且 \({f}^{\prime }\left( a\right) = {f}^{\prime }\left( b\right)\) . 求证: \(\exists c \in \left( {a,b}\right)\) , 使得 \(f\left( c\right) - f\left( a\right) = \left( {c - a}\right) {f}^{\prime }\left( c\right)\) .
注 本题与本节例 12 比较,就是把条件 \({f}^{\prime }\left( a\right) = {f}^{\prime }\left( b\right) = 0\) 中的 “ \(= 0\) ” 去掉了.
2.2
📝 有解析
第2.2题
2. 2.10 设 \(f\left( x\right)\) 在 \((0,1\rbrack\) 上可导,且存在有限极限 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 + 0}}\sqrt{x}{f}^{\prime }\left( x\right)\) . 求证: \(f\left( x\right)\) 在 \((0,1\rbrack\) 上一致连续.
2.3
📝 有解析
第2.3题
2. 3.1 求证:
(1)当 \(x \geq 0\) 时, \(f\left( x\right) = \frac{x}{1 + x}\) 单调增加；
(2) \(\frac{\left| a + b\right| }{1 + \left| {a + b}\right| } \leq \frac{\left| a\right| }{1 + \left| a\right| } + \frac{\left| b\right| }{1 + \left| b\right| }\) .
2.3
第2.3题
2.3.2 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {0,a}\right\rbrack\) 上二次可导,且 \(f\left( 0\right) = 0,{f}^{\prime \prime }\left( x\right) < 0\) . 求证: \(\frac{f\left( x\right) }{x}\) 在 \((0,a\rbrack\) 上单调下降.
2.3
第2.3题
2.3.3 求证: 对任何 \(n\left( { > 0}\right)\) 次多项式 \(P\left( x\right)\) , \(\exists {x}_{0} > 0\) ,使得 \(P\left( x\right)\) 在 \(\left( {-\infty , - {x}_{0}}\right)\) 和在 \(\left( {{x}_{0}, + \infty }\right)\) 上都是严格单调的.
2.3
第2.3题
2.3.4 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上连续,且在(a, b)内只有一个极大值点和一个极小值点. 求证: 极大值必大于极小值.
2.3
第2.3题
2.3.5 设 \(a,b > 0,k \in \mathbf{R}\) . 求证: 函数 \(f\left( x\right) = {a}^{2}{\mathrm{e}}^{kx} + {b}^{2}{\mathrm{e}}^{-{kx}}\) 存在与 \(k\) 无关的极小值.
2.3
📝 有解析
第2.3题
2.3.6 (1) 设 \(f\left( x\right) ,g\left( x\right)\) 在(a, b)内可导,且 \(f\left( x\right) \neq g\left( x\right) ,g\left( x\right) \neq 0\) . 求证: \(\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\) 在(a, b)内无极值的充分必要条件是 \(\frac{f\left( x\right) + g\left( x\right) }{f\left( x\right) - g\left( x\right) }\) 在(a, b)内无极值.
(2)设 \(b > a > 0\) ,求证: \(f\left( x\right) = \frac{\left( {x - a}\right) \left( {x + b}\right) }{\left( {x - b}\right) \left( {x + a}\right) }\) 无极值.
2.3
📝 有解析
第2.3题
2.3.7 设函数 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left( {-\infty , + \infty }\right)\) 内
\begin{center}
<img src=\"/static/img/math_analysis/011.jpg\" class=\"math-img\" style=\"max-width:100%;margin:10px 0;\">
\end{center}
\hspace*{3em}
图 2.4
连续, 其导函数的图形如图 2.4 所示, 则 \(f\left( x\right)\) 有( ).
(A)一个极小值点和两个极大值点;
(B) 两个极小值点和一个极大值点;
(C) 两个极小值点和两个极大值点;
(D) 三个极小值点和一个极大值点.
2.3
📝 有解析
第2.3题
2.3.8 (1) 求证: 序列 \(\displaystyle{\left\{ \frac{\ln n}{n}\right\} }_{n = 3}^{\infty }}\) 为一递减序列;
(2) 求序列 \(\left\{ \sqrt[n]{n}\right\}\) 的最大项.
2.3
📝 有解析
第2.3题
2. 3.9 假设 \(f\left( x\right) = 1 + x + \frac{{x}^{2}}{2!} + \cdots + \frac{{x}^{2n}}{\left( {2n}\right) !}\) . 求证: \(f\left( x\right)\) 在实轴上有正的最小值.
2.3
第2.3题
2.3.10 设 \(f\left( x\right) \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) ,在区间 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上只有一个极值点. 求证: 如果该点是极大值点必为最大值点; 如果该点是极小值点必为最小值点.
2.3
📝 有解析
第2.3题
2.3.11 求出满足不等式 \(\frac{B}{\sqrt{x}} \leq \ln x \leq A\sqrt{x}\left( {\forall x > 0}\right)\) 的最小正数 \(A\) 及最大负数 \(B\) .
2.3
📝 有解析
第2.3题
2.3.12 给定曲线 \(y = \frac{1}{\sqrt{x}}\left( {x > 0}\right)\) .
(1) 求过点 \(\left( {{x}_{0},\frac{1}{\sqrt{{x}_{0}}}}\right)\) 的切线;
(2)在曲线上求一个点,使曲线在该点处的切线在 \(x\) 轴与 \(y\) 轴上的截距之和最小.
2.3
第2.3题
2.3.13 设正数 \(x,y\) 之和为一常数 \({2a}\left( {a > 0}\right)\) ,且指数 \({x}^{y}\) 当 \(x = a\) 时,达到最大值. 求证: \(a = \mathrm{e}\) .
2.3
📝 有解析
第2.3题
2.3.14 给定曲线 \(y = \frac{1}{{x}^{2}}\) .
(1)求曲线上横坐标为 \({x}_{0}\) 的点处的切线方程；
(2)在曲线上求一个点, 使曲线在该点处的切线被坐标轴所截的长度最短.
2.3
📝 有解析
第2.3题
2.3.15 作一个无盖的圆柱形茶缸,若体积 \(V\) 一定,问底半径 \(R\) 与高 \(H\) 成何比例时, 使总面积最小 (即用料最省)?
2.3
📝 有解析
第2.3题
2.3.16 有一半径为 \(a\) 的半球面形的杯子,杯内放一长度为 \(l\left( {l > {2a}}\right)\) 的均匀细棒,求棒的平衡位置 (即求棒重心的最低位置).
2.3
📝 有解析
第2.3题
2.3.17 把一圆形铁片剪下中心角为 \(\alpha\) 的一块扇形部分,并将其围成一圆锥. 已知圆形铁片的半径为 \(R\) ,问 \(\alpha\) 多大时,圆锥的容积最大?
2.4
📝 有解析
第2.4题
2. 4.1 设 \(a > 0,b > 0\) . 求证: \(f\left( x\right) = \sqrt{a + b{x}^{2}}\) 为凹函数.
2.4
📝 有解析
第2.4题
2.4.2 求证: 不存在三次或三次以上的奇次多项式为凹函数.
2.4
📝 有解析
第2.4题
2.4.3 设 \(f\left( x\right)\) 在(a, b)上取正值,且为凸函数. 求证: \(\frac{1}{f\left( x\right) }\) 是在(a, b)上的凹函数.
2.4
📝 有解析
第2.4题
2.4.4 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\lbrack a, + \infty )\) 上二次可微, \({f}^{\prime \prime }\left( x\right) \geq 0,\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = 0\) . 求证:
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{f}^{\prime }\left( x\right) =
2.4
📝 有解析
第2.4题
2.4.5 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\lbrack a, + \infty )\) 上二次可微, \({f}^{\prime \prime }\left( x\right) \geq 0\) . 求证:
(1) \(\frac{f\left( x\right) - f\left( {x - h}\right) }{h} \leq {f}^{\prime }\left( x\right) \leq \frac{f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) }{h}\left( {0 < h < x}\right)\) ；
(2) 若 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{f\left( x\right) }{x} = 1\) ,则 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{f}^{\prime }\left( x\right) = 1\) .
2.4
📝 有解析
第2.4题
2.4.6 作出下列函数的图形:
(1) \(y = {x}^{3} - {x}^{2} - x + 1\) ； (2) \(y = x \cdot {\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\) ;
(3) \(y = x + 1/x\) ; (4) \(y = x \cdot \ln x\) .
2.5
📝 有解析
第2.5题
2. 5.1 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left( {a, + \infty }\right)\) 上可导,且 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\left\lbrack {f\left( x\right) + x{f}^{\prime }\left( x\right) }\right\rbrack = l\) . 求证:
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = l
\]
2.5
📝 有解析
第2.5题
2.5.2 设函数 \(f\left( x\right)\) 在闭区间 \(\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack\) 上具有三阶连续导数,且
\[
f\left( {-1}\right) = 0,\;f\left( 1\right) = 1,\;{f}^{\prime }\left( 0\right) =
2.5
📝 有解析
第2.5题
0. \]
求证: \(\exists \xi \in \left( {-1,1}\right)\) ,使得 \({f}^{\prime \prime \prime }\left( \xi \right) = 3\) .
2.5.3 设 \(f\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1 - {\mathrm{e}}^{x}}{x} & x \neq 0, \\ 1, & x =
2.5
📝 有解析
第2.5题
2.5.4 (1) 求证: \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\left\lbrack {\frac{1}{{\sin }^{2}x} - \frac{1}{{x}^{2}}}\right\rbrack = \frac{1}{3}}\) ;
(2)设 \(0 < {x}_{1} < 1,{x}_{n + 1} = \sin {x}_{n}\left( {n = 1,2,\cdots }\right)\) ,求证: \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt{n}{x}_{n} = \sqrt{3}}\) .
2.5
📝 有解析
第2.5题
2.5.5 设 \(P\left( x\right) = {a}_{n}{x}^{n} + {a}_{n - 1}{x}^{n - 1} + \cdots + {a}_{1}x + {a}_{0}\) . 求证: 对 \(\forall \lambda > 0\) ,
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{P\left( x\right) }{{\mathrm{e}}^{\lambda x}} =
2.5
📝 有解析
第2.5题
2.5.6 将函数 \({\left( 1 - x - {x}^{2}\right) }^{-\frac{1}{2}}\) 在点 \(x = 0\) 处展成泰勒公式至 \({x}^{4}\) 阶项.
2.5
📝 有解析
第2.5题
2.5.7 由拉格朗日中值定理,对 \(\forall \left| x\right| \leq 1,\exists \theta \in \left( {0,1}\right)\) ,使得
\[
\arcsin x = \arcsin x - 0 = x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - {\theta }^{2}{x}^{2}}}.
\]
求证: \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}}\) .
2.5
📝 有解析
第2.5题
2.5.8 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left( {0, + \infty }\right)\) 上二次可微,且
\[
\left| {f\left( x\right) }\right| \leq {M}_{0},\;\left| {{f}^{\prime \prime }\left( x\right) }\right| \leq {M}_{2}\;\left( {\forall x > 0}\right) .
\]
求证: \(\left| {{f}^{\prime }\left( x\right) }\right| \leq 2\sqrt{{M}_{0}{M}_{2}}\left( {\forall x > 0}\right)\) .
2.5
📝 有解析
第2.5题
2.5.9 设 \(P\left( x\right) = {a}_{n}{x}^{n} + {a}_{n - 1}{x}^{n - 1} + \cdots + {a}_{1}x + {a}_{0}\) . 求证: \(a\) 是 \(P\left( x\right) = 0\) 的 \(k\) 重根的充分必要条件为
\[
{P}^{\left( i\right) }\left( a\right) = 0\;\left( {i = 0,1,2,\cdots ,k - 1}\right) ,\;{P}^{\left( k\right) }\left( a\right) \neq
2.5
📝 有解析
第2.5题
0. \]
2.5.10 若一实系数多项式 \(P\left( x\right)\) 的根全是实根,求证: \(P\left( x\right)\) 各阶导数产生的多项式的根也全是实根, 且每一高阶导数的根均分布在低阶导数的根之间.
2.6
📝 有解析
第2.6题
2. 6.1 求证不等式: \(1 + {x}^{2} \leq {2}^{x}\left( {0 \leq x \leq 1}\right)\) .
2.6
📝 有解析
第2.6题
2.6.2 求证:
(1) 当 \(0 < \alpha < 1\) 时, \({\left( 1 + x\right) }^{\alpha } \leq 1 + {\alpha x}\left( {x > - 1}\right)\) ,且等号仅当 \(x = 0\) 时成立;
(2)当 \(\alpha < 0\) 或 \(\alpha > 1\) 时, \({\left( 1 + x\right) }^{\alpha } \geq 1 + {\alpha x}\left( {x > - 1}\right)\) ,且等号仅当 \(x = 0\) 时成立.
2.6
📝 有解析
第2.6题
2.6.3 设 \(a > 0,b > 0\) . 求证:
(1) \({a}^{p} + {b}^{p} \geq {2}^{1 - p}{\left( a + b\right) }^{p}\left( {p > 1}\right)\) ；
(2) \({a}^{p} + {b}^{p} \leq {2}^{1 - p}{\left( a + b\right) }^{p}\left( {0 < p < 1}\right)\) .
2.6
📝 有解析
第2.6题
2.6.4 设 \(b \geq a\) ,求证: \(2\arctan \frac{b - a}{2} \geq \arctan b - \arctan a\) .
2.6
📝 有解析
第2.6题
2.6.5 (1) 设 \(n \in N\) ,求证:
\[
\left( {1 + \frac{1}{{2n} + 1}}\right) {\left( 1 + \frac{1}{n}\right) }^{n} < \mathrm{e} < \left( {1 + \frac{1}{2n}}\right) {\left( 1 + \frac{1}{n}\right) }^{n};
\]
(2) 求证: \(\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}n\left\lbrack {\mathrm{e} - {\left( 1 + \frac{1}{n}\right) }^{n}}\right\rbrack = \frac{\mathrm{e}}{2}\) .
2.6
📝 有解析
第2.6题
2.6.6 设 \({a}_{0}{x}^{n} + {a}_{1}{x}^{n - 1} + \cdots + {a}_{n - 1}x = 0\) 有正根 \({x}_{0}\) ,则方程
\[
n{a}_{0}{x}^{n - 1} + \left( {n - 1}\right) {a}_{1}{x}^{n - 1} + \cdots + {a}_{n - 1} = 0
\]
必存在小于 \({x}_{0}\) 的正根.
2.6
📝 有解析
第2.6题
2.6.7 试确定方程 \({\mathrm{e}}^{x} = a{x}^{2}\left( {a > 0}\right)\) 的根的个数,并指出每一个根所在的范围.
2.6
📝 有解析
第2.6题
2.6.8 设函数 \(f\left( x\right) ,g\left( x\right)\) 在 \(\mathbf{R}\) 上连续可微,且 \(\left| \begin{matrix} f\left( x\right) & g\left( x\right) \\ {f}^{\prime }\left( x\right) & {g}^{\prime }\left( x\right) \end{matrix}\right| > 0\) ,试证 \(f\left( x\right) = 0\) 的任何两个相邻实根之间必有 \(g\left( x\right) = 0\) 的根.
2.6
📝 有解析
第2.6题
2. 6.9 (1) 求 \(f\left( x\right) = \frac{1}{{x}^{2}} + {px} + q\left( {p > 0}\right)\) 的极值点与极值；
(2)求方程 \(\frac{1}{{x}^{2}} + {px} + q = 0\left( {p > 0}\right)\) 有三个实根的条件.
2.6
📝 有解析
第2.6题
2. 6.10 讨论曲线 \(y = 4\ln x + k\) 与 \(y = {4x} + {\ln }^{4}x\) 的交点个数.
2.6
📝 有解析
第2.6题
2.6.11 对 \(\forall n \in N\) ,求证: \({x}^{n + 2} - 2{x}^{n} - 1\) 只有惟一正根.
2.6
📝 有解析
第2.6题
2.6.12 设 \(k > 0\) ,求证: 方程 \(1 + x + \frac{{x}^{2}}{2} = k{\mathrm{e}}^{x}\) 只有惟一实根.
2.6
📝 有解析
第2.6题
2.6.13 设 \(n\) 次多项式 \(P\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{a}_{k}{x}^{k}\) 满足下列条件:
(1) \(\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{a}_{k}}\right) \cdot \left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{\left( -1\right) }^{k}{a}_{k}}\right) < 0\) ;
(2) \({P}^{\prime }\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack\) 上处处不为零.
求证 \(P\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack\) 上有且仅有一个实根.