三．（12 分）

设 A 是数域 $\displaystyle F$ 上的 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换。记 $\displaystyle V_{1}=\bigcup_{i=0}^{\infty} K e r \mathrm{~A}^{i}, V_{2}=\bigcap_{i=0}^{\infty} \operatorname{Im} \mathrm{A}^{i}$ ，证明：
（1）$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是 A 的不变子空间；
（2）$\displaystyle V=V_{1}+V_{2}$

5．（20分）设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n \times n$ 实方阵

$$
\left(\begin{array}{ccccc}
\lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda & 1 & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
\vdots & & \ddots & \ddots & 1 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda
\end{array}\right)
$$


而 $\displaystyle V$ 是所有与 $\displaystyle A$ 可交换的 $\displaystyle n \times n$ 实方阵全体，即 $\displaystyle V=\{B \mid B A=A B, B$ 为 $\displaystyle n \times n$ 实方阵 $\displaystyle \}$ 。
证明：（i）$\displaystyle V$ 是线性空间；（ii）$\displaystyle V$ 的维数 $\displaystyle \operatorname{dim} V=n$ 。

4．（20 分）给定 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上线性空间 $\displaystyle V$ 的子空间 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ ．证明：

$$
\operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right) \geq \operatorname{dim}\left(W_{1}\right)+\operatorname{dim}\left(W_{2}\right)-\operatorname{dim}(V) \text {, 这里 } \operatorname{dim} \text { 表示维数. }
$$

6．（20 分）给定 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上二维线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换 $\displaystyle A$ 。 $\displaystyle A$ 在一组基下的矩阵表示为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1-a & 0\end{array}\right), a \neq 0$ ，求 $\displaystyle A$ 的不变子空间．

9．（16 分）设 $\displaystyle f$ 是有限维向量空间 $\displaystyle V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle f^{n}$ 是 $\displaystyle V$ 上的恒等变换，这里 $\displaystyle n$是某个正整数。设 $\displaystyle W=\{v \in V \mid f(v)=v\}$ 。证明 $\displaystyle W$ 是 $\displaystyle V$ 的一个子空间，并且其维数等于线性变换 $\displaystyle \left(f+f^{2}+\cdots+f^{n}\right) / n$ 的迹。

六、（15 分）设 $\displaystyle \underline{A}$ 是 $\displaystyle n$ 维实线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换，$\displaystyle n \geq 1$ ．求证：$\displaystyle \underline{A}$ 至少有一个维数为 1 或 2 的不变子空间。

证明：若 $\displaystyle \underline{A}$ 有实特征值 $\displaystyle \lambda$ ，并设 $\displaystyle \underline{A} \alpha=\lambda \alpha$ 且 $\displaystyle \alpha \neq 0$ ，则 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{R}^{n}$ ，且 $\displaystyle L(\alpha)$ 是 $\displaystyle \underline{A}$的一个一维不变子空间；

若 $\displaystyle \underline{A}$ 无实特征值，由于 $\displaystyle \underline{A}$ 是 $\displaystyle n$ 维实线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换，则 $\displaystyle \underline{A}$ 的虚特征值必以共轭对出现，不妨设 $\displaystyle \lambda, \bar{\lambda}$ 是 $\displaystyle \underline{A}$ 的一对虚特征值，并设 $\displaystyle \underline{A} \alpha=\lambda \alpha$ 且 $\displaystyle \alpha \neq 0$ ，则 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{C}^{n}, \alpha \notin \mathbb{R}^{n}, \underline{A} \bar{\alpha}=\bar{\lambda} \bar{\alpha}$ ，可设 $\displaystyle \lambda=a+i b, \alpha=\alpha_{1}+i \alpha_{2}$ ，其中，$\displaystyle a, b \in \mathbb{R}, b \neq 0, \alpha_{1}, \alpha_{2} \in \mathbb{R}^{n}, \alpha_{2} \neq 0$ ，那么

$$
\begin{aligned}
& \underline{A} \alpha_{1}+i \underline{A} \alpha_{2}=\underline{A} \alpha=(a+i b)\left(\alpha_{1}+i \alpha_{2}\right)=\left(a \alpha_{1}-b \alpha_{2}\right)+i\left(a \alpha_{2}+b \alpha_{1}\right) \\
& \underline{A} \alpha_{1}-i \underline{A} \alpha_{2}=\underline{A} \bar{\alpha}=(a-i b)\left(\alpha_{1}-i \alpha_{2}\right)=\left(a \alpha_{1}-b \alpha_{2}\right)-i\left(a \alpha_{2}+b \alpha_{1}\right)
\end{aligned}
$$


所以，$\displaystyle \underline{A} \alpha_{1}=a \alpha_{1}-b \alpha_{2}, \underline{A} \alpha_{2}=a \alpha_{2}+b \alpha_{1}$ ，
故 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)$ 是 $\displaystyle \underline{A}$ 的一个二维不变子空间．
综上可得，$\displaystyle \underline{A}$ 至少有一个维数为 1 或 2 的不变子空间。

5．设 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 是数域 $\displaystyle P$ 上线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换，$\displaystyle W$ 是 $\displaystyle V$ 的子空间，如果对于 $\displaystyle W$ 中任意向量 $\displaystyle \xi$ 有 $\displaystyle \boldsymbol{A} \xi \in W$ ，则称 $\displaystyle W$ 是 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 的－－－－－－－子空间．
（A）非平凡；
（B）不变；
（C）核；
（D）零．

六。（10分）

设 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,2,-1,-2), \alpha_{2}=(3,1,-1,1), \quad \alpha_{3}=(-1,0,1,-1), \quad \beta_{1}=(2,5,-1,-5)$ ， $\displaystyle \beta_{2}=(-1,2,-2,3)$ 。由 $\displaystyle \alpha_{i}, i=1,2,3$ 生成的子空间记为 $\displaystyle W_{1}$ ，由 $\displaystyle \beta_{j}, j=1,2$ 生成的子空间记为 $\displaystyle W_{2}$ ．
（1）求 $\displaystyle W_{1} \cap W_{2}$ 的维数；（2）求 $\displaystyle W_{1} \cap W_{2}$ 的一组基。

6．用 R 表示实数域，定义 $\displaystyle R^{n}$ 的映射 $\displaystyle f$ 如下：
$\displaystyle f(X)=\left|x_{1}\right|+\cdots+\left|x_{r}\right|-\left|x_{r+1}\right|-\cdots-\left|x_{r+s}\right|, \forall X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{T} \in R^{n}$ ，其中：$\displaystyle r \geq s \geq 0$ 。证明：
（1）存在的一个 $\displaystyle \mathrm{n}-\mathrm{r}$ 维子空间 W ，使得 $\displaystyle f(X)=0, \forall X \in W$ ；
（2）若 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 是 $\displaystyle R^{n}$ 的两个 $\displaystyle \mathrm{n}-\mathrm{r}$ 维子空间，且满足 $\displaystyle f(X)=0, \forall X \in W_{1} \cup W_{2}$ ，则一定有 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right) \geq n-(r+s)$.

证明：
（1）只需构造 $\displaystyle n-r$ 个线性无关的向量满足方程。

不妨设 $\displaystyle R^{n}=R^{r+s} \oplus R^{n-(r+s)}$ ，
在 $\displaystyle R^{r+s}$ 中存在一组由 s 个线性无关的向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{\mathrm{s}}$ 构成的子空间
满足方程，其中 $\displaystyle \alpha_{1}=(\underbrace{1,0, \cdots, 0}_{r}, \underbrace{1,0, \cdots, 0}_{s}, \underbrace{0, \cdots, 0}_{\mathrm{n}^{-(\mathrm{r}+\mathrm{s})}}), \cdots \alpha_{\mathrm{s}}=(\underbrace{\overbrace{0,0, \cdots 0}^{s}, 1}_{r}, 0, \cdots, 0, \underbrace{0,0, \cdots, 1}_{s}, \underbrace{0, \cdots, 0}_{\mathrm{n}^{-(\mathrm{r}+\mathrm{s})}})$ ，
在 $\displaystyle R^{n-(r+s)}$ 中存在一组由 $\displaystyle \mathrm{n}-(\mathrm{r}+\mathrm{s})$ 个线性无关的向量 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{\mathrm{n}^{-}(\mathrm{r}+\mathrm{s})}$ 构成的子空间
满足方程，其中 $\displaystyle \beta_{1}=(\underbrace{0, \cdots, 0}_{\mathrm{r}+\mathrm{s}}, \underbrace{1,0, \cdots, 0}_{n-(r+s)}), \cdots \beta_{\mathrm{n}-(\mathrm{r}+\mathrm{s})}=(\underbrace{0, \cdots, 0}_{\mathrm{r}+\mathrm{s}}, \underbrace{0,0, \cdots, 1}_{n-(r+s)})$ ，
$\displaystyle \therefore \exists n-r$ 维的子空间 $\displaystyle W=<\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{\mathrm{s}}>\oplus<\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{\mathrm{n}^{-(\mathrm{r}+\mathrm{s})}}>$
$\displaystyle =<\alpha_{1}, \quad \alpha_{2}, \cdots, \quad \alpha_{\mathrm{s}}, \quad \beta_{1}, \quad \beta_{2}, \cdots, \quad \beta_{\mathrm{n}^{-}(\mathrm{r}+\mathrm{s})}>$ 。
（2）依题意：$\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 满足方程 $\displaystyle f(X)=0$ ，
显然 $\displaystyle W_{1} \cap W_{2}$ 是 $\displaystyle \mathrm{R}^{\mathrm{n}}$ 的一个子空间也满足方程 $\displaystyle f(X)=0$ ，
所以只需证明满足方程 $\displaystyle f(X)=0$ 的最小子空间的维数为 $\displaystyle \mathrm{n}-(\mathrm{r}+\mathrm{s})$ 。

7．设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间，$\displaystyle V_{1}, \cdots, V_{s}$ 是 V 的 S 个真子空间，证明：
（1）存在 $\displaystyle \alpha \in V$ ，使得 $\displaystyle \alpha \notin V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots \cup V_{S}$ ．
（2）存在 V 中的一组基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{n}$ ，使得：
$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{n}\right\} \cap\left(V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots \cup V_{s}\right)=\phi$.
证明：可以用数学归纳法。
（1）
i）当 $\displaystyle s=2$ 时，$\displaystyle \exists \alpha, \beta \in V$ ，且
$\displaystyle \alpha \notin V_{1}, \alpha \in V_{2}, \beta \notin V_{2}, \beta \in V_{1}$ ，否则命题成立；
若 $\displaystyle \alpha+\beta \in V_{1}$ ，由于 $\displaystyle \beta \in V_{1} \Rightarrow \alpha \in V_{1}$ ，矛盾；
$\displaystyle \therefore \alpha+\beta \notin V_{1}$ ；同理可得：$\displaystyle \alpha+\beta \notin V_{2}$ ；
∴ 命题成立；
ii）设 $\displaystyle \mathrm{s}=\mathrm{k}$ 成立，对 $\displaystyle \mathrm{s}=\mathrm{k}+1$ 时，至少 $\displaystyle \exists \alpha \notin V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots V_{k}$ ，
如果 $\displaystyle \alpha \notin V_{k+1}$ ，则命题成立；
如果 $\displaystyle \alpha \in V_{k+1}$ ，取 $\displaystyle \beta \notin V_{k+1}$ ，
则 $\displaystyle \alpha+\beta, 2 \alpha+\beta, \cdots,(\mathrm{k}+1) \alpha+\beta$ ，
共 $\displaystyle \mathrm{k}+1$ 项，必有一个向量不属于 $\displaystyle V_{i}$ ，
否则有两个向量属于同一个 $\displaystyle V_{i}$ ，
这两向量差为 $\displaystyle \mathrm{m} \alpha \in V_{i}$ ，矛盾；
不妨设 $\displaystyle \gamma=1 \alpha+\beta \notin V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots V_{s}$ ，
则 $\displaystyle \gamma \notin V_{\mathrm{k}+1}$ ，否则 $\displaystyle \beta \in V_{k+1}$ ，矛盾；
所以命题成立。
（2）

由（1）知，
$\displaystyle \exists \varepsilon_{1} \in V$ ，且 $\displaystyle \varepsilon_{1} \notin V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots \cup V_{s}$ ，设 $\displaystyle V_{s+1}=L\left(\varepsilon_{1}\right)$ ，
再由（1）得：$\displaystyle \exists \varepsilon_{2} \in V$ ，且 $\displaystyle \varepsilon_{2} \notin V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots \cup V_{s} \cup V_{s+1}$ ，
则 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}$ 线性无关，设 $\displaystyle V_{s+2}=L\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}\right)$ ，
同理，一直这样取值下去，
$\displaystyle \exists n$ 个线性无关的 $\displaystyle \varepsilon_{i} \notin V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots \cup V_{s}$ ，即
$\displaystyle \exists V$ 中的一组基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{\mathrm{n}}$ ，使得
$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{\mathrm{n}}\right\} \cap\left(V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots \cup V_{s}\right)=\phi$
证毕。

4、设 $\displaystyle V$ 是欧几里德空间，$\displaystyle U$ 是 $\displaystyle V$ 的子空间，$\displaystyle \beta \in U$ ．求证：$\displaystyle \beta$ 是 $\displaystyle \alpha \in V$ 在 $\displaystyle U$ 上的正交投影的充分必要条件为：$\displaystyle \forall \gamma \in U$ ，都有 $\displaystyle |\alpha-\beta| \leq|\alpha-\gamma|$ ．

【解】必要性．设 $\displaystyle \beta$ 是 $\displaystyle \alpha$ 在 $\displaystyle U$ 上的正交投影，则存在 $\displaystyle \xi \in U^{\perp}$ ，使 $\displaystyle \alpha=\beta+\xi . \forall \gamma \in U$ ，因为 $\displaystyle \beta-\gamma \in U$ ，所以 $\displaystyle (\alpha-\beta, \beta-\gamma)=(\xi, \beta-\gamma)=0$ ，故由勾股定理，得

$$
\left.|\alpha-\gamma|^{2}=|(\alpha-\beta)+(\beta-\gamma)|^{2}=|\alpha-\beta|^{2}+\mid \beta-\gamma\right)\left.\right|^{2} \geq|\alpha-\beta|^{2}
$$


即 $\displaystyle |\alpha-\beta| \leq|\alpha-\gamma|$ ．

充分性．设 $\displaystyle \forall \gamma \in U$ ，都有 $\displaystyle |\alpha-\beta| \leq|\alpha-\gamma|$ ，下证 $\displaystyle \beta \in U$ 是 $\displaystyle \alpha$ 在 $\displaystyle U$ 上的正交投影．为此，设 $\displaystyle \beta_{1}$ 是 $\displaystyle \alpha$ 在 $\displaystyle U$ 上的正交投影，则由已证得的必要性及题设条件知

$$
\left|\alpha-\beta_{1}\right| \leq|\alpha-\beta| \leq\left|\alpha-\beta_{1}\right|,
$$


所以 $\displaystyle |\alpha-\beta|=\left|\alpha-\beta_{1}\right|$ 。注意到 $\displaystyle \alpha-\beta_{1} \in U^{\perp}, ~ \beta_{1}-\beta \in U$ ，根据勾股定理得

$$
|\alpha-\beta|^{2}=\left|\left(\alpha-\beta_{1}\right)+\left(\beta_{1}-\beta\right)\right|^{2}=\left|\alpha-\beta_{1}\right|^{2}+\left|\beta_{1}-\beta\right|^{2} .
$$


因此，$\displaystyle \left|\beta_{1}-\beta\right|=0$ ，即 $\displaystyle \beta=\beta_{1}$ 是 $\displaystyle \alpha$ 在 $\displaystyle U$ 上的正交投影。

4．如果 $\displaystyle V_{1}, V_{2}, V_{3}$ 都是线性空间 $\displaystyle V$ 的子空间，并且 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}=V_{1} \cap V_{3}=V_{2} \cap V_{3}=0$ ，则 $\displaystyle V_{1}, V_{2}, V_{3}$ 的和 $\displaystyle V_{1}+V_{2}+V_{3}$ 是直和．

四、（10 分）设 $\displaystyle A, B$ 都是数域 $\displaystyle P$ 上 $\displaystyle n$ 级方阵。如果 $\displaystyle A$ 在域 $\displaystyle P$ 上有 $\displaystyle n$ 个不同的特征值，且 $\displaystyle A B=B A$ ，证明：$\displaystyle B$ 相似于一个对角矩阵．

9．设 $\displaystyle \mathrm{V}_{1}, V_{2}$ 是数域 P 上有限维线性空间 V 的子空间，并且维 $\displaystyle \left(V_{1}\right)+$ 维 $\displaystyle \left(V_{2}\right)=$ 维 $\displaystyle (V)$ ，则 $\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$

解答：正确，证明过程参见高教版高等代数（第二版）P268的定理9

一、判断题（本题共 10 小题，每小题4分，共40分）。
判断下列陈述是否正确，并说明理由。

10．设 $\displaystyle a$ 是一个非零的 $\displaystyle n$ 维实列向量，$\displaystyle A=E_{n}-2 \frac{a a^{\prime}}{a^{\prime} a}$ ．则 $\displaystyle A$ 是正交矩阵并且 1 是 $\displaystyle A$ 的 $\displaystyle n-1$ 重特征值．

10．（10 分）设 $\displaystyle f$ 是 $\displaystyle n$ 维欧氏空间 $\displaystyle V$ 的对称变换（即 $\displaystyle f$ 是 $\displaystyle V$ 的线性变换，且对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ 都有 $\displaystyle (f(\alpha), \beta)=(\alpha, f(\beta))$ ），证明：$\displaystyle f$ 的像子空间 $\displaystyle \operatorname{Im} f$ 是 $\displaystyle f$ 的核子空间 $\displaystyle \operatorname{ker} f$

的正交补子空间。

8．设 $\displaystyle V$ 是复数域上的 $\displaystyle n$ 维线性空间，$\displaystyle f, g$ 是 $\displaystyle V$ 的线性变换，且 $\displaystyle f g=g f$ ，证明：
（1）如果 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle f$ 的特征值，那么 $\displaystyle V_{\lambda}$（ $\displaystyle \lambda$ 的特征子空间）是 $\displaystyle g$ 的不变子空间；（8分）
（2）$\displaystyle f, g$ 至少有一个公共的特征向量．（7 分）

一．（20 分）设 $\displaystyle A$ 是元素全为 1 的 $\displaystyle n$ 阶方阵，$\displaystyle E$ 为 $\displaystyle n$ 阶单位矩阵。
（1）求行列式 $\displaystyle |a E+b A|$ 的值，其中 $\displaystyle a, b$ 是实常数；
（2）已知 $\displaystyle 1<\operatorname{rank}(a E+b A)<n$ ，试确定 $\displaystyle a, b$ 所满足的条件，并求下列线性子空间的维数：

$$
W=\left\{x \mid(a E+b A) x=0, x \in R^{n}\right\} .
$$

八、（15 分）设 $\displaystyle V$ 是复数域上的 $\displaystyle n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma, \tau$ 是 $\displaystyle V$ 的线性变换，且 $\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$ ．证明：
（1）$\displaystyle \sigma$ 的核 $\displaystyle \sigma^{-1}(\mathbf{0})$ 是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间；
（2）$\displaystyle \sigma$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的特征子空间 $\displaystyle V_{\lambda_{0}}$ 是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间；
（3）$\displaystyle \sigma, \tau$ 至少有一个公共的特征向量．

十、（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 都是 $\displaystyle n$ 阶矩阵，$\displaystyle A B=B A$ ，证明：

$$
\operatorname{rank}(A+B) \leqslant \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)-\operatorname{rank}(A B) .
$$

四、（10 分）设 $\displaystyle n$ 阶方阵 $\displaystyle A$ 满足 $\displaystyle A^{2}=A, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $\displaystyle P^{n}$ 中 $\displaystyle n$ 个线性无关的列向量，设 $\displaystyle V_{2}$ 是由 $\displaystyle A \alpha_{1}, A \alpha_{2}, \cdots, A \alpha_{n}$ 生成的子空间，$\displaystyle V_{1}$ 是 $\displaystyle A X=0$ 的解空间，证明： $\displaystyle P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

四、（20分）设 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换 $\displaystyle A$ 有 $\displaystyle n$ 个互异的特征值，线性变换 $\displaystyle B$与 $\displaystyle A$ 可交换的充要条件是 $\displaystyle B$ 是 $\displaystyle E, A, A^{2}, \cdots, A^{n-1}$ 的线性组合，其中 $\displaystyle E$ 为恒等变换．五、（ 10 分）证明：$\displaystyle n$ 阶幂零指数为 $\displaystyle n-1$ 的矩阵都相似。

$$
\text { (若 } A^{n-1}=0, \quad A^{n-2} \neq 0 \text { 而称 } A \text { 的幂零指数为 } n-1 \text { ) }
$$

五、（11 分）求 $\displaystyle V_{1}=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right), V_{2}=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)$ 的和与交的基与维数。其中

$$
\left\{\begin{array}{c}
\alpha_{1}=(1,2,-1,-2) \\
\alpha_{2}=(3,1,1,1) \\
\alpha_{3}=(-1,0,1,-1)
\end{array},\left\{\begin{array}{l}
\beta_{1}=(2,5,-6,-5) \\
\beta_{1}=(-1,2,-7,3)
\end{array}\right.\right.
$$

七、（8 分）设 $\displaystyle A, B$ 是 $\displaystyle n$ 级复矩阵，且 $\displaystyle A B=B A$ 。求证：存在一个 $\displaystyle n$ 级可逆矩阵 $\displaystyle P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 与 $\displaystyle P^{-1} B P$ 都是上三角矩阵。

3．（20分）设 $\displaystyle V$ 是数域 $\displaystyle P$ 上 $\displaystyle n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} \in V$ ， $\displaystyle W=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)$ ，又有 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2} \in W$ 且 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 线性无关。求证：可用 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 替换 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 中的两个向量 $\displaystyle \alpha_{i 1}, \alpha_{i 2}$ ，使得剩下的两个向量 $\displaystyle \alpha_{i 3}, \alpha_{i 4}$ 与 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 仍然生成子空间 $\displaystyle W$ ，也即 $\displaystyle W=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \alpha_{i 3}, \alpha_{i 4}\right)$ 。

6．（20分）设 $\displaystyle V$ 是 $\displaystyle n$ 维欧氏空间，内积记为 $\displaystyle (\alpha, \beta)$ ，又设 $\displaystyle T$ 是 $\displaystyle V$ 的一个正交变换，记 $\displaystyle V_{1}=\{\alpha \in V \mid T \alpha=\alpha\}, V_{2}=\{\alpha-T \alpha \mid \alpha \in V\}$ 。

证明：（1）$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 都是 $\displaystyle V$ 的子空间；（2）$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ 。

8．（10 分）$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是 $\displaystyle n$ 维欧氏空间 $\displaystyle V$ 的子空间，且 $\displaystyle V_{1}$ 的维数小于 $\displaystyle V_{2}$ 的维数，证明：$\displaystyle V_{2}$ 中必有一个非零向量正交于 $\displaystyle V_{1}$ 中的一切向量。

9．（16 分）设 $\displaystyle V$ 是 $\displaystyle n$ 维欧氏空间，$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是 $\displaystyle V$ 的子空间，且 $\displaystyle \operatorname{dim} V_{1}<\operatorname{dim} V_{2}$ 。证

明：$\displaystyle V_{2}$ 中存在一个非零向量，它与 $\displaystyle V_{1}$ 中任一个向量正交。
$\displaystyle \operatorname{det} A \geq \operatorname{det} A^{2} \geq \operatorname{det} A^{3} \geq \operatorname{det} A^{4} \geq \cdots$
而秩 A 是有限数，上面的不等式不可能无限不等下去，
必然存在一个正整数 m ，使 $\displaystyle \operatorname{det} A^{m}=\operatorname{det} A^{m+1}$

4．空间 $\displaystyle v$ 上的线性变换 $\displaystyle f$ ，可以找到子空间 $\displaystyle U, W$ ，使 $\displaystyle f$ 在 U 上为可逆线性变换，在 W 上为幂零线性变换，且 $\displaystyle v=u \oplus w$

10．双线性函数巴拉巴拉，
i 全迷向子空间关于以上定义的运算构成空间？
ii．全迷向子空间含于其正交补。