二重积分

7．下列说法正确的是（ ）．

8．设积分区域 $D_{1}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\} ; D_{2}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 2\right\} ; D_{3}=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{1}{2} x^{2}+y^{2} \leq 1\right.\right\}$ ； $D_{4}=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^{2}+\frac{1}{2} y^{2} \leq 1\right.\right\}, \quad$ 记 $\displaystyle{I_{i}=\iint_{D_{i}}\left[1-\left(x^{2}+\frac{1}{2} y^{2}\right)\right] d \sigma(i=1,2,3,4)}$, 则 $\max \left\{I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}\right\}=(\quad)$

1． $\displaystyle{\iint_{D} x y^{2} d x d y}$ ，其中 $D$ 是由 $y=x^{2}, y=x$ 所围成的区域。

2． $\displaystyle{\iint_{D} e^{-x^{2}-y^{2}} d x d y}$ ，其中 $D$ 是以原点为圆心， $1$ 为半径的圆形区域．

10．交换积分次序，则累次积分 $\displaystyle{\int_{0}^{2} d x \int_{0}^{x^{2}} f(x, y) d y=(\quad)}$

9．设 D 是直线 $x=0, x=1, y=0, y=1$ 围成的平面区域，则二重积分 $\displaystyle{\iint_{D} d x d y=~(\quad)}$ 。

1． $\displaystyle{\iint_{D} x \sqrt{y} d x d y}$ ，其中 $D$ 是由 $y=x^{2}, y=\sqrt{x}$ 所围成的区域。

2． $\displaystyle{\iint_{D} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} d x d y}$ ，其中 $D$ 是以原点为圆心， $1$ 为半径的圆形区域。

10．计算二重积分 $\displaystyle{\iint_{D} x d x d y=}$ $\_\_\_\_$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}$

8．交换积分次序 $\displaystyle{\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1-x} f(x, y) d y=}$

1． $\displaystyle{\iint_{D} x \sqrt{y} d x d y}$ ，其中 $D$ 是由 $y=x^{2}, y=\sqrt{x}$ 所围成的区域。

2． $\displaystyle{\iint_{D} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} d d d y}$ ，其中 $D$ 是以原点为圆心， $1$ 为半径的圆形区域

1．下列哪个积分的值是正的？

10．假设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}$ ，那么二重积分 $\displaystyle{\iint_{D} f(x, y) d \sigma}$ 利用极坐标积分的表达式为

9．若二元函数 $z=f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某个邻域内连续，若有 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0$ ，那么对于 $x>x_{0}$ ， $y>y_{0}$ ，有

6． $\displaystyle{\lim _{(x, y) \rightarrow(0,2)} \frac{\sin (x y)}{x}=}$ $\_\_\_\_$ ．

9．假设函数 $f(x, y)$ 在 $y$ 固定的情况下，关于 $x$ 为偶函数，给定两个区域 $D_{1}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}$ 和 $$ D_{2}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1, x \geq 0\right\} \text {, 已知 } \iint_{D_{1}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=4 \text {, 那么 } \iint_{D_{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y= $$ $\_\_\_\_$

1． $\displaystyle{\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}$ ，其中 $D$ 是以 $y=x, y=x+a, y=a$ 和 $y=3 a(a>0)$ 为边的平行四边形。

2． $\displaystyle{\iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}$ ，其中 $D$ 是以原点为圆心 1 为半径的圆盘 $\left(x^{2}+y^{2} \leq 1\right)$

8．下列说法正确的是 ．

9．设积分区域 $D_{1}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\} ; D_{2}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 2\right\} ; D_{3}=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{1}{2} x^{2}+y^{2} \leq 1\right.\right\}$ ； $D_{4}=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^{2}+\frac{1}{2} y^{2} \leq 1\right.\right\}, \quad$ 记 $\displaystyle{I_{i}=\iint_{D_{i}}\left[1-\left(x^{2}+\frac{1}{2} y^{2}\right)\right] d \sigma(i=1,2,3,4)}$, 则 $\max \left\{I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}\right\}=(\quad)$

5．设 $z=x y$ ，则 $\left.d z\right|_{(1,2)}=$ $\_\_\_\_$。

1． $\displaystyle{\iint_{D} x y^{2} d x d y}$ ，其中 $D$ 是由 $y=x^{2}, y=x$ 所围成的区域。

2． $\displaystyle{\iint_{D} e^{-x^{2}-y^{2}} d x d y}$ ，其中 $D$ 是以原点为圆心， $1$ 为半径的圆形区域。

2． $\displaystyle{\int_{-1}^{1}(|x|+\sin x) x^{2} d x}$ ．

1．计算 $\displaystyle{\iint_{D} x y^{2} \mathrm{~d} \sigma}$ ，其中 $D$ 是由直线 $y=1, x=2$ 及 $y=x$ 所围成的闭区域．．

2．计算 $\displaystyle{\iint_{D} \mathrm{e}^{y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}$ ，其中 $D$ 由 $y=x, y=1$ 及 $y$ 轴所围成。

10．将二重积分 $\displaystyle{\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma}$ 表达为极坐标系下的二重积分为 ．

8．下列级数发散的是 。

9．交换积分 $\displaystyle{\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1} f(x, y) \mathrm{d} x}$ 的积分次序的结果为 ．

2．已知 $\displaystyle{\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=3}$ ，那么 $\displaystyle{\int_{0}^{1} x f\left(x^{2}\right) \mathrm{d} x=}$ $\_\_\_\_$。

4．微分方程 $y^{\prime \prime \prime}+\left(y^{\prime \prime}\right)^{4}+2 y^{\prime \prime} y^{\prime}+y^{2}+2 x=0$ 的阶数为 $\_\_\_\_$ ．

5．极限 $\displaystyle{\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}=}$ $\_\_\_\_$。

7．假设 $D$ 是由 $x=0, y=0, x+y=1$ 围成的第一象限的有限区域，那么 $\displaystyle{\iint_{D} d \sigma=}$ $\_\_\_\_$。

1．计算二重积分 $\displaystyle{\iint_{D}\left(x^{2}+y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}$ ，其中 $D$ 由抛物线 $y=x^{2}$ 和直线 $y=1$ 围成。

2．计算二重积分 $\displaystyle{\iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}$ ，其中 $D$ 由直线 $y=0, y=x, x=2$ 围成。