共 34 题
题20032中国科学技术大学真题
2．设 $\displaystyle P_{3}$ 是数域 $\displaystyle F$ 上次数不高于 3 的全体多项式和零多项式的全体，线性变换
$$
\varphi=x \frac{d}{d x}: P_{3} \rightarrow P_{3}
$$
求 $\displaystyle \varphi$ 的极小多项式。
$$
\varphi=x \frac{d}{d x}: P_{3} \rightarrow P_{3}
$$
求 $\displaystyle \varphi$ 的极小多项式。
题20059中国科学院真题
三．（12 分）
设 A 是数域 $\displaystyle F$ 上的 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换。记 $\displaystyle V_{1}=\bigcup_{i=0}^{\infty} K e r \mathrm{~A}^{i}, V_{2}=\bigcap_{i=0}^{\infty} \operatorname{Im} \mathrm{A}^{i}$ ，证明：
（1）$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是 A 的不变子空间；
（2）$\displaystyle V=V_{1}+V_{2}$
设 A 是数域 $\displaystyle F$ 上的 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换。记 $\displaystyle V_{1}=\bigcup_{i=0}^{\infty} K e r \mathrm{~A}^{i}, V_{2}=\bigcap_{i=0}^{\infty} \operatorname{Im} \mathrm{A}^{i}$ ，证明：
（1）$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是 A 的不变子空间；
（2）$\displaystyle V=V_{1}+V_{2}$
题20084中国科学院真题
2．（20分）设 $\displaystyle A$ 是欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的一个变换。试证：如果 $\displaystyle A$ 保持内积不变，即对于 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 中任意两个向量 $\displaystyle \alpha, \beta$ 都有
$$
(A \alpha, A \beta)=(\alpha, \beta),
$$
那么，它一定是线性的，而且是正交的．
$$
(A \alpha, A \beta)=(\alpha, \beta),
$$
那么，它一定是线性的，而且是正交的．
题20088中国科学院真题
6．（20 分）给定 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上二维线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换 $\displaystyle A$ 。 $\displaystyle A$ 在一组基下的矩阵表示为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1-a & 0\end{array}\right), a \neq 0$ ，求 $\displaystyle A$ 的不变子空间．
题20116中国科学院真题
8．（20 分）设 $\displaystyle V$ 是 $\displaystyle n$ 维向量空间，$\displaystyle f, g$ 是 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle (f, g \in L(V)$ ），且 $\displaystyle f$ 有 $\displaystyle n$ 个互异的特征根．证明：$\displaystyle f g=g f$ 的充要条件是 $\displaystyle g$ 是 $\displaystyle f^{0}=I$（恒等变换），$\displaystyle f, f^{2}, \cdots, f^{n-1}$的线性组合。
题20130中国科学院真题
5．（20 分）（i）考虑如下形式的矩阵：
$$
P=\left(\begin{array}{cccc}
a_{1}^{2} & a_{1} a_{2} & \cdots & a_{1} a_{n} \\
a_{2} a_{1} & a_{2}^{2} & \cdots & a_{2} a_{n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n} a_{1} & a_{n} a_{1} & \cdots & a_{n}^{2}
\end{array}\right)
$$
其中，$\displaystyle a_{i}, 1 \leq i \leq n$ 都为实数。证明：矩阵 $\displaystyle P$ 非负定；（ii）证明：非零实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)$可以写成 $\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=\left(u_{1} x_{1}+\cdots+u_{n} x_{n}\right)\left(v_{1} x_{1}+\cdots v_{n} x_{n}\right)$ 的充要条件是：或者它的秩为 1 ，或者它的秩为 2 且符号差为零．
$$
P=\left(\begin{array}{cccc}
a_{1}^{2} & a_{1} a_{2} & \cdots & a_{1} a_{n} \\
a_{2} a_{1} & a_{2}^{2} & \cdots & a_{2} a_{n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n} a_{1} & a_{n} a_{1} & \cdots & a_{n}^{2}
\end{array}\right)
$$
其中，$\displaystyle a_{i}, 1 \leq i \leq n$ 都为实数。证明：矩阵 $\displaystyle P$ 非负定；（ii）证明：非零实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)$可以写成 $\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=\left(u_{1} x_{1}+\cdots+u_{n} x_{n}\right)\left(v_{1} x_{1}+\cdots v_{n} x_{n}\right)$ 的充要条件是：或者它的秩为 1 ，或者它的秩为 2 且符号差为零．
题20152中国科学院真题
9．（16 分）设 $\displaystyle f$ 是有限维向量空间 $\displaystyle V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle f^{n}$ 是 $\displaystyle V$ 上的恒等变换，这里 $\displaystyle n$是某个正整数。设 $\displaystyle W=\{v \in V \mid f(v)=v\}$ 。证明 $\displaystyle W$ 是 $\displaystyle V$ 的一个子空间，并且其维数等于线性变换 $\displaystyle \left(f+f^{2}+\cdots+f^{n}\right) / n$ 的迹。
题20177中国科学院真题
六、（15 分）设 $\displaystyle \underline{A}$ 是 $\displaystyle n$ 维实线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换，$\displaystyle n \geq 1$ ．求证：$\displaystyle \underline{A}$ 至少有一个维数为 1 或 2 的不变子空间。
证明：若 $\displaystyle \underline{A}$ 有实特征值 $\displaystyle \lambda$ ，并设 $\displaystyle \underline{A} \alpha=\lambda \alpha$ 且 $\displaystyle \alpha \neq 0$ ，则 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{R}^{n}$ ，且 $\displaystyle L(\alpha)$ 是 $\displaystyle \underline{A}$的一个一维不变子空间；
若 $\displaystyle \underline{A}$ 无实特征值，由于 $\displaystyle \underline{A}$ 是 $\displaystyle n$ 维实线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换，则 $\displaystyle \underline{A}$ 的虚特征值必以共轭对出现，不妨设 $\displaystyle \lambda, \bar{\lambda}$ 是 $\displaystyle \underline{A}$ 的一对虚特征值，并设 $\displaystyle \underline{A} \alpha=\lambda \alpha$ 且 $\displaystyle \alpha \neq 0$ ，则 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{C}^{n}, \alpha \notin \mathbb{R}^{n}, \underline{A} \bar{\alpha}=\bar{\lambda} \bar{\alpha}$ ，可设 $\displaystyle \lambda=a+i b, \alpha=\alpha_{1}+i \alpha_{2}$ ，其中，$\displaystyle a, b \in \mathbb{R}, b \neq 0, \alpha_{1}, \alpha_{2} \in \mathbb{R}^{n}, \alpha_{2} \neq 0$ ，那么
$$
\begin{aligned}
& \underline{A} \alpha_{1}+i \underline{A} \alpha_{2}=\underline{A} \alpha=(a+i b)\left(\alpha_{1}+i \alpha_{2}\right)=\left(a \alpha_{1}-b \alpha_{2}\right)+i\left(a \alpha_{2}+b \alpha_{1}\right) \\
& \underline{A} \alpha_{1}-i \underline{A} \alpha_{2}=\underline{A} \bar{\alpha}=(a-i b)\left(\alpha_{1}-i \alpha_{2}\right)=\left(a \alpha_{1}-b \alpha_{2}\right)-i\left(a \alpha_{2}+b \alpha_{1}\right)
\end{aligned}
$$
所以，$\displaystyle \underline{A} \alpha_{1}=a \alpha_{1}-b \alpha_{2}, \underline{A} \alpha_{2}=a \alpha_{2}+b \alpha_{1}$ ，
故 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)$ 是 $\displaystyle \underline{A}$ 的一个二维不变子空间．
综上可得，$\displaystyle \underline{A}$ 至少有一个维数为 1 或 2 的不变子空间。
证明：若 $\displaystyle \underline{A}$ 有实特征值 $\displaystyle \lambda$ ，并设 $\displaystyle \underline{A} \alpha=\lambda \alpha$ 且 $\displaystyle \alpha \neq 0$ ，则 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{R}^{n}$ ，且 $\displaystyle L(\alpha)$ 是 $\displaystyle \underline{A}$的一个一维不变子空间；
若 $\displaystyle \underline{A}$ 无实特征值，由于 $\displaystyle \underline{A}$ 是 $\displaystyle n$ 维实线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换，则 $\displaystyle \underline{A}$ 的虚特征值必以共轭对出现，不妨设 $\displaystyle \lambda, \bar{\lambda}$ 是 $\displaystyle \underline{A}$ 的一对虚特征值，并设 $\displaystyle \underline{A} \alpha=\lambda \alpha$ 且 $\displaystyle \alpha \neq 0$ ，则 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{C}^{n}, \alpha \notin \mathbb{R}^{n}, \underline{A} \bar{\alpha}=\bar{\lambda} \bar{\alpha}$ ，可设 $\displaystyle \lambda=a+i b, \alpha=\alpha_{1}+i \alpha_{2}$ ，其中，$\displaystyle a, b \in \mathbb{R}, b \neq 0, \alpha_{1}, \alpha_{2} \in \mathbb{R}^{n}, \alpha_{2} \neq 0$ ，那么
$$
\begin{aligned}
& \underline{A} \alpha_{1}+i \underline{A} \alpha_{2}=\underline{A} \alpha=(a+i b)\left(\alpha_{1}+i \alpha_{2}\right)=\left(a \alpha_{1}-b \alpha_{2}\right)+i\left(a \alpha_{2}+b \alpha_{1}\right) \\
& \underline{A} \alpha_{1}-i \underline{A} \alpha_{2}=\underline{A} \bar{\alpha}=(a-i b)\left(\alpha_{1}-i \alpha_{2}\right)=\left(a \alpha_{1}-b \alpha_{2}\right)-i\left(a \alpha_{2}+b \alpha_{1}\right)
\end{aligned}
$$
所以，$\displaystyle \underline{A} \alpha_{1}=a \alpha_{1}-b \alpha_{2}, \underline{A} \alpha_{2}=a \alpha_{2}+b \alpha_{1}$ ，
故 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)$ 是 $\displaystyle \underline{A}$ 的一个二维不变子空间．
综上可得，$\displaystyle \underline{A}$ 至少有一个维数为 1 或 2 的不变子空间。
题20210云南大学真题
3．设 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 是复数域上线性空间 $\displaystyle V$ 的一个线性变换，则在 $\displaystyle V$ 中必存在一组基，使 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 在这组基下的矩阵是－－－－－－－矩阵。
（A）单位；
（B）对角；
（C）Jordan（若尔当）；
（D）正交．
（A）单位；
（B）对角；
（C）Jordan（若尔当）；
（D）正交．
题20212云南大学真题
5．设 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 是数域 $\displaystyle P$ 上线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换，$\displaystyle W$ 是 $\displaystyle V$ 的子空间，如果对于 $\displaystyle W$ 中任意向量 $\displaystyle \xi$ 有 $\displaystyle \boldsymbol{A} \xi \in W$ ，则称 $\displaystyle W$ 是 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 的－－－－－－－子空间．
（A）非平凡；
（B）不变；
（C）核；
（D）零．
（A）非平凡；
（B）不变；
（C）核；
（D）零．
题20222云南大学真题
七．（10分）
设 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 是 4 维线性空间 $\displaystyle V$ 的一组基，已知线性变换 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 在这组基下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 5 \\ 2 & -2 & 1 & -2\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 的核及值域。
设 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 是 4 维线性空间 $\displaystyle V$ 的一组基，已知线性变换 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 在这组基下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 5 \\ 2 & -2 & 1 & -2\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 的核及值域。
题20233北京大学真题
6．（12 分）设 $\displaystyle A$ 是数域 $\displaystyle K$ 上 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 上的一个线性变换．在 $\displaystyle K[x]$ 中，
$\displaystyle f(x)=f_{1}(x) f_{2}(x)$ ，且 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x)$ 互素．用 $\displaystyle \operatorname{KerA}$ 表示线性变换 $\displaystyle A$ 的核．证明：
$\displaystyle \operatorname{Kerf}(A)=\operatorname{Kerf}_{1}(A) \oplus \operatorname{Kerf}_{2}(A)$.
$\displaystyle f(x)=f_{1}(x) f_{2}(x)$ ，且 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x)$ 互素．用 $\displaystyle \operatorname{KerA}$ 表示线性变换 $\displaystyle A$ 的核．证明：
$\displaystyle \operatorname{Kerf}(A)=\operatorname{Kerf}_{1}(A) \oplus \operatorname{Kerf}_{2}(A)$.
题20234北京大学真题
7．（14 分）设 $\displaystyle A$ 是数域 $\displaystyle K$ 上 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 上的一个线性变换，$\displaystyle I$ 是恒等变换．证明： $\displaystyle A^{2}=A$ 的充要条件是 $\displaystyle r(A)+r(A-I)=n$ ．
题20237北京大学真题
5．设正整数 $\displaystyle \mathrm{n} \geq 2$ ，用 $\displaystyle M_{n}(k)$ 表示数域 k 上全体 $\displaystyle \mathrm{n} \times \mathrm{n}$ ，矩阵关于矩阵加法和数乘所构成的 k上的线性空间。在 $\displaystyle M_{n}(k)$ 中定义变换 $\displaystyle \sigma$ 如下：
$\displaystyle \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\left(a_{i j}^{\prime}\right)_{n \times n}, \forall\left(a_{i j}\right)_{n \times n} \in M_{n}(k)$,
其中：$\displaystyle a_{i j}^{\prime}=\left\{\begin{array}{l}a_{i j}, i \neq j ; \\ i \cdot \operatorname{tr}(A), i=j .\end{array}\right.$
（1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle M_{n}(k)$ 上的线性变换；
（2）求出： $\displaystyle \operatorname{ker}(\sigma)$ 的维数与一组基；
（3）求出：$\displaystyle \sigma$ 的全部特征子空间．
证明：
（1）$\displaystyle \forall\left(a_{i j}\right)_{n \times n},\left(b_{i j}\right)_{n \times n} \in M_{n}(\mathrm{k}), \mathrm{k} \in K$ ，则
$\displaystyle \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}+\left(b_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\sigma\left(\left(\left(a_{i j}+b_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}\right)=\sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)+\sigma\left(\left(b_{i j}\right)_{n \times n}\right)\right.$ ；
$\displaystyle \sigma\left(k\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\sigma\left(\left(k a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\left(k a_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}=k\left(a_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}=k \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)$ ；
$\displaystyle \therefore \sigma$ 线性变换。
（2）$\displaystyle \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=0 \Rightarrow\left(a_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}=0 \Rightarrow a_{i j}^{\prime}=\left\{\begin{array}{l}a_{i j}=0, i \neq j ; \\ i \cdot \operatorname{tr}(A)=0, i=j . \Rightarrow \operatorname{tr}(A)=0 ;\end{array}\right.$ ；
$\displaystyle \therefore \operatorname{ker}(\sigma)$ 的维数是 $\displaystyle n-r$ 维，
基为：$\displaystyle \alpha_{1}=\operatorname{diag}(1,-1,0, \cdots, 0), \alpha_{2}=\operatorname{diag}(1,0,-1,0, \cdots, 0), \cdots, \alpha_{n-1}=\operatorname{diag}(1,0, \cdots, 0,-1)$ 。
（3）取 $\displaystyle M_{n}(\mathrm{k})$ 中的标准基（ $\displaystyle \mathrm{e}_{11}, \mathrm{e}_{12}, \cdots, \mathrm{e}_{\mathrm{nn}}$ ），
在这组基下的变换矩阵的特征值 $\displaystyle \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=\frac{n(n+1)}{2}$ ，
对应的特征子空间的维数分别为：$\displaystyle n^{2}-n, n-1,1$ ．
对应的特征子空间的分别为：
$\displaystyle <\mathrm{e}_{\mathrm{ij}}>_{\mathrm{i} \neq \mathrm{j}},<\mathrm{e}_{11}-\mathrm{e}_{22}, \mathrm{e}_{11}-\mathrm{e}_{33}, \cdots, \mathrm{e}_{11}-\mathrm{e}_{\mathrm{nn}}>,<\mathrm{e}_{11}+2 \mathrm{e}_{22}+\cdots+n \mathrm{e}_{\mathrm{nn}}>$ 。
证毕。
$\displaystyle \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\left(a_{i j}^{\prime}\right)_{n \times n}, \forall\left(a_{i j}\right)_{n \times n} \in M_{n}(k)$,
其中：$\displaystyle a_{i j}^{\prime}=\left\{\begin{array}{l}a_{i j}, i \neq j ; \\ i \cdot \operatorname{tr}(A), i=j .\end{array}\right.$
（1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle M_{n}(k)$ 上的线性变换；
（2）求出： $\displaystyle \operatorname{ker}(\sigma)$ 的维数与一组基；
（3）求出：$\displaystyle \sigma$ 的全部特征子空间．
证明：
（1）$\displaystyle \forall\left(a_{i j}\right)_{n \times n},\left(b_{i j}\right)_{n \times n} \in M_{n}(\mathrm{k}), \mathrm{k} \in K$ ，则
$\displaystyle \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}+\left(b_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\sigma\left(\left(\left(a_{i j}+b_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}\right)=\sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)+\sigma\left(\left(b_{i j}\right)_{n \times n}\right)\right.$ ；
$\displaystyle \sigma\left(k\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\sigma\left(\left(k a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\left(k a_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}=k\left(a_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}=k \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)$ ；
$\displaystyle \therefore \sigma$ 线性变换。
（2）$\displaystyle \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=0 \Rightarrow\left(a_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}=0 \Rightarrow a_{i j}^{\prime}=\left\{\begin{array}{l}a_{i j}=0, i \neq j ; \\ i \cdot \operatorname{tr}(A)=0, i=j . \Rightarrow \operatorname{tr}(A)=0 ;\end{array}\right.$ ；
$\displaystyle \therefore \operatorname{ker}(\sigma)$ 的维数是 $\displaystyle n-r$ 维，
基为：$\displaystyle \alpha_{1}=\operatorname{diag}(1,-1,0, \cdots, 0), \alpha_{2}=\operatorname{diag}(1,0,-1,0, \cdots, 0), \cdots, \alpha_{n-1}=\operatorname{diag}(1,0, \cdots, 0,-1)$ 。
（3）取 $\displaystyle M_{n}(\mathrm{k})$ 中的标准基（ $\displaystyle \mathrm{e}_{11}, \mathrm{e}_{12}, \cdots, \mathrm{e}_{\mathrm{nn}}$ ），
在这组基下的变换矩阵的特征值 $\displaystyle \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=\frac{n(n+1)}{2}$ ，
对应的特征子空间的维数分别为：$\displaystyle n^{2}-n, n-1,1$ ．
对应的特征子空间的分别为：
$\displaystyle <\mathrm{e}_{\mathrm{ij}}>_{\mathrm{i} \neq \mathrm{j}},<\mathrm{e}_{11}-\mathrm{e}_{22}, \mathrm{e}_{11}-\mathrm{e}_{33}, \cdots, \mathrm{e}_{11}-\mathrm{e}_{\mathrm{nn}}>,<\mathrm{e}_{11}+2 \mathrm{e}_{22}+\cdots+n \mathrm{e}_{\mathrm{nn}}>$ 。
证毕。
题20256北京大学真题
1、回答下列问题：
（1）问是否存在 $\displaystyle n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B$ ，满足 $\displaystyle A B-B A=E$（单位矩阵）？又，是否存在 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ ，满足 $\displaystyle \mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$（恒等变换）？若是，举出例子；若否，给出证明．
【解】否，下面给予证明．对于任意 $\displaystyle n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B$ ，若 $\displaystyle A B-B A=E$ ，则两边取矩阵的迹，并注意到 $\displaystyle \operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(B A)$ ，得 $\displaystyle 0=n$ ，矛盾．所以不存在方阵 $\displaystyle A, B$ ，使 $\displaystyle A B-B A=E$ ．
对于线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ ，任取 $\displaystyle V$ 的一个基，并设 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 在这个基下的矩阵分别为 $\displaystyle A, B$ ，若 $\displaystyle \mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$ ，则相应的有 $\displaystyle A B-B A=E$ ，矛盾．所以不存在 $\displaystyle n$ 维线性空
间 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ ，满足 $\displaystyle \mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$ ．
【注】若线性空间 $\displaystyle V$ 是无穷维的，则存在 $\displaystyle V$ 的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ ，满足 $\displaystyle \mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$ ．例如，设 $\displaystyle V=P[x]$ 是数域 $\displaystyle P$ 上多项式全体所构成的线性空间，定义
$$
\mathbf{A} f(x)=f^{\prime}(x), \mathbf{B} f(x)=x f(x), \forall f(x) \in V,
$$
容易验证： $\displaystyle \mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$ ．
（2）设 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle A$ 的各行元素之和为常数 $\displaystyle c$ ，则 $\displaystyle A^{3}$ 的各行元素之和是否为常数？若是，
是多少？说明理由．
【解】是．设 $\displaystyle \eta=(1,1, \cdots, 1)^{\mathrm{T}}$ 是 $\displaystyle n$ 维列向量，则由 $\displaystyle A$ 的各行元素之和为常数 $\displaystyle c$ ，知 $\displaystyle A \eta=c \eta$ ，从而 $\displaystyle A^{3} \eta=c^{3} \eta$ ．所以 $\displaystyle A^{3}$ 的各行元素之和为常数 $\displaystyle c^{3}$ ．
（3）设 $\displaystyle m \times n$ 矩阵 $\displaystyle A$ 的秩为 $\displaystyle r$ ，任取 $\displaystyle A$ 的 $\displaystyle r$ 个线性无关的行向量，再取 $\displaystyle A$ 的 $\displaystyle r$ 个线性无关的列向量，组成的 $\displaystyle r$ 阶子式是否一定不为 0 ？若是，给出证明；若否，举出反例．
【解】是．不妨考虑 $\displaystyle A$ 的后 $\displaystyle r$ 个线性无关的行向量及后 $\displaystyle r$ 个线性无关的列向量，所组成的 $\displaystyle r$ 阶子式记为 $\displaystyle D$ 。假设 $\displaystyle D=0$ ，则仅对 $\displaystyle A$ 的后 $\displaystyle r$ 行施行初等行变换，可得
$$
A \rightarrow\left(\begin{array}{cc}
B & C \\
\alpha & 0
\end{array}\right)=H
$$
其中 $\displaystyle B$ 是 $\displaystyle (m-1) \times(n-r)$ 矩阵，$\displaystyle C$ 是 $\displaystyle (m-1) \times r$ 矩阵，$\displaystyle \alpha$ 是 $\displaystyle n-r$ 维行向量。根据初等行变换不改变矩阵的秩且不改变列向量之间的线性相关性，知 $\displaystyle \operatorname{rank}(C)=r$ ，且 $\displaystyle \alpha \neq 0$ ．于是有
$$
\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(H) \geq \operatorname{rank}(C)+\operatorname{rank}(\alpha)=r+1,
$$
矛盾．所以 $\displaystyle D \neq 0$ ．
（4）设 $\displaystyle A, B$ 都是 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle B X=0$ 同解，则 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 的列向
量组是否等价？行向量组是否等价？若是，给出证明；若否，举出反例．
【解】第 1 个结论不成立，反例如下：若 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ ，则线性方程组
$\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle B X=0$ 同解，但 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 的列向量组显然不等价．
第 2 个结论成立，兹证明如下：依题意，线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle B X=0$ 同解，所以 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)$ 。记 $\displaystyle r=n-\operatorname{rank}(A)$ ，任取 $\displaystyle A X=0$ 的一个基础解系（当然也是 $\displaystyle B X=0$的基础解系）构成 $\displaystyle n \times r$ 矩阵 $\displaystyle C$ ，则 $\displaystyle \operatorname{rank}(C)=r$ ，且 $\displaystyle A C=O, B C=O$ ．
考虑齐次线性方程组 $\displaystyle C^{\mathrm{T}} X=0$ ，其解空间 $\displaystyle S$ 的维数 $\displaystyle \operatorname{dim}(S)=n-r=\operatorname{rank}(A)$ 。
因为 $\displaystyle C^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}}=O$ ，所以 $\displaystyle A$ 的行向量都是 $\displaystyle C^{\mathrm{T}} X=0$ 的解，因此 $\displaystyle A$ 的行空间 $\displaystyle W_{A}$ 是 $\displaystyle S$ 的一个子空间，即 $\displaystyle W_{A} \subseteq S$ ．注意到 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(W_{A}\right)=\operatorname{rank}(A)=\operatorname{dim}(S)$ ，故 $\displaystyle W_{A}=S$ ．
同理可证，$\displaystyle B$ 的行空间 $\displaystyle W_{B}=S$ ．于是有 $\displaystyle W_{A}=W_{B}$ ，这就表明 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 的行向量组等价．
【注】若 $\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle B X=0$ 都仅有零解，则 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)=n$ ，仍是第 1 个结论不成立（反例从略），第2个结论成立．事实上，此时存在 $\displaystyle m$ 阶可逆矩阵 $\displaystyle P_{1}, P_{2}$ ，使得 $\displaystyle P_{1} A=\binom{E_{n}}{O}, P_{2} B=\binom{E_{n}}{O}$ ，令 $\displaystyle P=P_{2}^{-1} P_{1}$ ，则 $\displaystyle P$ 是可逆矩阵，且 $\displaystyle P A=B$ 。由此容易证明，
$\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 的行向量组等价．
（5）把实数域 $\displaystyle \mathbf{R}$ 看成有理数域 $\displaystyle \mathbf{Q}$ 上的线性空间，$\displaystyle b=p^{3} q^{2} r$ ，这里的 $\displaystyle p, q, r \in \mathbf{Q}$ 是互不相同的素数．判断向量组 $\displaystyle 1, \sqrt[n]{b}, \sqrt[n]{b^{2}}, \cdots, \sqrt[n]{b^{n-1}}$ 是否线性相关？说明理由．
【解】向量组 $\displaystyle 1, \sqrt[n]{b}, \sqrt[n]{b^{2}}, \cdots, \sqrt[n]{b^{n-1}}$ 是线性无关的，可用反证法证之．若不然，则存在不全为零的 $\displaystyle k_{0}, k_{1}, \cdots, k_{n-1} \in Q$ ，使得
$$
k_{0} 1+k_{1} \sqrt[n]{b}+k_{2} \sqrt[n]{b^{2}}+\cdots+k_{n-1} \sqrt[n]{b^{n-1}}=0
$$
这就是说，$\displaystyle B=\sqrt[n]{b}$ 是非零的有理系数多项式 $\displaystyle f(x)=k_{0}+k_{1} x+\cdots+k_{n-1} x^{n-1}$ 的根，即
$$
f(B)=k_{0}+k_{1} B+\cdots+k_{n-1} B^{n-1}=0
$$
另一方面，对于整系数多项式 $\displaystyle g(x)=x^{n}-b$ ，显然有 $\displaystyle g(B)=0$ ，即 $\displaystyle B$ 是多项式 $\displaystyle g(x)$ 的根．取素数 $\displaystyle r$ ，利用 Eisenstein 判别法，易知 $\displaystyle g(x)$ 在有理数域 $\displaystyle \mathbf{Q}$ 上不可约，这就是说，不存在非零的次数更低 $\displaystyle (\leq n-1)$ 的有理系数多项式 $\displaystyle h(x)$ ，使得 $\displaystyle h(B)=0$ ，矛盾．
因此，向量组 $\displaystyle 1, \sqrt[n]{b}, \sqrt[n]{b^{2}}, \cdots, \sqrt[n]{b^{n-1}}$ 是线性无关的．
（1）问是否存在 $\displaystyle n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B$ ，满足 $\displaystyle A B-B A=E$（单位矩阵）？又，是否存在 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ ，满足 $\displaystyle \mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$（恒等变换）？若是，举出例子；若否，给出证明．
【解】否，下面给予证明．对于任意 $\displaystyle n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B$ ，若 $\displaystyle A B-B A=E$ ，则两边取矩阵的迹，并注意到 $\displaystyle \operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(B A)$ ，得 $\displaystyle 0=n$ ，矛盾．所以不存在方阵 $\displaystyle A, B$ ，使 $\displaystyle A B-B A=E$ ．
对于线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ ，任取 $\displaystyle V$ 的一个基，并设 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 在这个基下的矩阵分别为 $\displaystyle A, B$ ，若 $\displaystyle \mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$ ，则相应的有 $\displaystyle A B-B A=E$ ，矛盾．所以不存在 $\displaystyle n$ 维线性空
间 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ ，满足 $\displaystyle \mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$ ．
【注】若线性空间 $\displaystyle V$ 是无穷维的，则存在 $\displaystyle V$ 的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ ，满足 $\displaystyle \mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$ ．例如，设 $\displaystyle V=P[x]$ 是数域 $\displaystyle P$ 上多项式全体所构成的线性空间，定义
$$
\mathbf{A} f(x)=f^{\prime}(x), \mathbf{B} f(x)=x f(x), \forall f(x) \in V,
$$
容易验证： $\displaystyle \mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$ ．
（2）设 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle A$ 的各行元素之和为常数 $\displaystyle c$ ，则 $\displaystyle A^{3}$ 的各行元素之和是否为常数？若是，
是多少？说明理由．
【解】是．设 $\displaystyle \eta=(1,1, \cdots, 1)^{\mathrm{T}}$ 是 $\displaystyle n$ 维列向量，则由 $\displaystyle A$ 的各行元素之和为常数 $\displaystyle c$ ，知 $\displaystyle A \eta=c \eta$ ，从而 $\displaystyle A^{3} \eta=c^{3} \eta$ ．所以 $\displaystyle A^{3}$ 的各行元素之和为常数 $\displaystyle c^{3}$ ．
（3）设 $\displaystyle m \times n$ 矩阵 $\displaystyle A$ 的秩为 $\displaystyle r$ ，任取 $\displaystyle A$ 的 $\displaystyle r$ 个线性无关的行向量，再取 $\displaystyle A$ 的 $\displaystyle r$ 个线性无关的列向量，组成的 $\displaystyle r$ 阶子式是否一定不为 0 ？若是，给出证明；若否，举出反例．
【解】是．不妨考虑 $\displaystyle A$ 的后 $\displaystyle r$ 个线性无关的行向量及后 $\displaystyle r$ 个线性无关的列向量，所组成的 $\displaystyle r$ 阶子式记为 $\displaystyle D$ 。假设 $\displaystyle D=0$ ，则仅对 $\displaystyle A$ 的后 $\displaystyle r$ 行施行初等行变换，可得
$$
A \rightarrow\left(\begin{array}{cc}
B & C \\
\alpha & 0
\end{array}\right)=H
$$
其中 $\displaystyle B$ 是 $\displaystyle (m-1) \times(n-r)$ 矩阵，$\displaystyle C$ 是 $\displaystyle (m-1) \times r$ 矩阵，$\displaystyle \alpha$ 是 $\displaystyle n-r$ 维行向量。根据初等行变换不改变矩阵的秩且不改变列向量之间的线性相关性，知 $\displaystyle \operatorname{rank}(C)=r$ ，且 $\displaystyle \alpha \neq 0$ ．于是有
$$
\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(H) \geq \operatorname{rank}(C)+\operatorname{rank}(\alpha)=r+1,
$$
矛盾．所以 $\displaystyle D \neq 0$ ．
（4）设 $\displaystyle A, B$ 都是 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle B X=0$ 同解，则 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 的列向
量组是否等价？行向量组是否等价？若是，给出证明；若否，举出反例．
【解】第 1 个结论不成立，反例如下：若 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ ，则线性方程组
$\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle B X=0$ 同解，但 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 的列向量组显然不等价．
第 2 个结论成立，兹证明如下：依题意，线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle B X=0$ 同解，所以 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)$ 。记 $\displaystyle r=n-\operatorname{rank}(A)$ ，任取 $\displaystyle A X=0$ 的一个基础解系（当然也是 $\displaystyle B X=0$的基础解系）构成 $\displaystyle n \times r$ 矩阵 $\displaystyle C$ ，则 $\displaystyle \operatorname{rank}(C)=r$ ，且 $\displaystyle A C=O, B C=O$ ．
考虑齐次线性方程组 $\displaystyle C^{\mathrm{T}} X=0$ ，其解空间 $\displaystyle S$ 的维数 $\displaystyle \operatorname{dim}(S)=n-r=\operatorname{rank}(A)$ 。
因为 $\displaystyle C^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}}=O$ ，所以 $\displaystyle A$ 的行向量都是 $\displaystyle C^{\mathrm{T}} X=0$ 的解，因此 $\displaystyle A$ 的行空间 $\displaystyle W_{A}$ 是 $\displaystyle S$ 的一个子空间，即 $\displaystyle W_{A} \subseteq S$ ．注意到 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(W_{A}\right)=\operatorname{rank}(A)=\operatorname{dim}(S)$ ，故 $\displaystyle W_{A}=S$ ．
同理可证，$\displaystyle B$ 的行空间 $\displaystyle W_{B}=S$ ．于是有 $\displaystyle W_{A}=W_{B}$ ，这就表明 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 的行向量组等价．
【注】若 $\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle B X=0$ 都仅有零解，则 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)=n$ ，仍是第 1 个结论不成立（反例从略），第2个结论成立．事实上，此时存在 $\displaystyle m$ 阶可逆矩阵 $\displaystyle P_{1}, P_{2}$ ，使得 $\displaystyle P_{1} A=\binom{E_{n}}{O}, P_{2} B=\binom{E_{n}}{O}$ ，令 $\displaystyle P=P_{2}^{-1} P_{1}$ ，则 $\displaystyle P$ 是可逆矩阵，且 $\displaystyle P A=B$ 。由此容易证明，
$\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 的行向量组等价．
（5）把实数域 $\displaystyle \mathbf{R}$ 看成有理数域 $\displaystyle \mathbf{Q}$ 上的线性空间，$\displaystyle b=p^{3} q^{2} r$ ，这里的 $\displaystyle p, q, r \in \mathbf{Q}$ 是互不相同的素数．判断向量组 $\displaystyle 1, \sqrt[n]{b}, \sqrt[n]{b^{2}}, \cdots, \sqrt[n]{b^{n-1}}$ 是否线性相关？说明理由．
【解】向量组 $\displaystyle 1, \sqrt[n]{b}, \sqrt[n]{b^{2}}, \cdots, \sqrt[n]{b^{n-1}}$ 是线性无关的，可用反证法证之．若不然，则存在不全为零的 $\displaystyle k_{0}, k_{1}, \cdots, k_{n-1} \in Q$ ，使得
$$
k_{0} 1+k_{1} \sqrt[n]{b}+k_{2} \sqrt[n]{b^{2}}+\cdots+k_{n-1} \sqrt[n]{b^{n-1}}=0
$$
这就是说，$\displaystyle B=\sqrt[n]{b}$ 是非零的有理系数多项式 $\displaystyle f(x)=k_{0}+k_{1} x+\cdots+k_{n-1} x^{n-1}$ 的根，即
$$
f(B)=k_{0}+k_{1} B+\cdots+k_{n-1} B^{n-1}=0
$$
另一方面，对于整系数多项式 $\displaystyle g(x)=x^{n}-b$ ，显然有 $\displaystyle g(B)=0$ ，即 $\displaystyle B$ 是多项式 $\displaystyle g(x)$ 的根．取素数 $\displaystyle r$ ，利用 Eisenstein 判别法，易知 $\displaystyle g(x)$ 在有理数域 $\displaystyle \mathbf{Q}$ 上不可约，这就是说，不存在非零的次数更低 $\displaystyle (\leq n-1)$ 的有理系数多项式 $\displaystyle h(x)$ ，使得 $\displaystyle h(B)=0$ ，矛盾．
因此，向量组 $\displaystyle 1, \sqrt[n]{b}, \sqrt[n]{b^{2}}, \cdots, \sqrt[n]{b^{n-1}}$ 是线性无关的．
题20261北京大学真题
6、设 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的最小多项式与特征多项式相同。求证：$\displaystyle \exists \alpha \in V$ ，使得 $\displaystyle \alpha, A \alpha, A^{2} \alpha, \cdots, A^{n-1} \alpha$ 为 $\displaystyle V$ 的一个基．
【解】据题设，设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的最小多项式与特征多项式同为
$$
d_{n}(\lambda)=\lambda^{n}+b_{n-1} \lambda^{n-1}+\cdots+b_{1} \lambda+b_{0},
$$
则 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的前 $\displaystyle n-1$ 个不变因子为 $\displaystyle 1,1, \cdots, 1$ ，第 $\displaystyle n$ 个不变因子为 $\displaystyle d_{n}(\lambda)$ 。容易知道，矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & & & & -b_{0} \\
1 & \ddots & & & -b_{1} \\
& \ddots & \ddots & & \vdots \\
& & \ddots & 0 & -b_{n-2} \\
& & & 1 & -b_{n-1}
\end{array}\right)
$$
的不变因子也为 $\displaystyle 1,1, \cdots, 1, d_{n}(\lambda)$ ，所以存在 $\displaystyle V$ 的一个基 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}$ ，使得 $\displaystyle \mathbf{A}$ 在这个基下的矩阵为 $\displaystyle A$ ，即
$$
\mathbf{A}\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right)=\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right) A
$$
现在令 $\displaystyle \alpha=\xi_{1} \in V$ ，则 $\displaystyle A \alpha=\xi_{2}, A^{2} \alpha=\xi_{3}, \cdots, A^{n-1} \alpha=\xi_{n}$ ，因此 $\displaystyle \alpha, A \alpha, A^{2} \alpha, \cdots, A^{n-1} \alpha$
为 $\displaystyle V$ 的一个基．
【解】据题设，设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的最小多项式与特征多项式同为
$$
d_{n}(\lambda)=\lambda^{n}+b_{n-1} \lambda^{n-1}+\cdots+b_{1} \lambda+b_{0},
$$
则 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的前 $\displaystyle n-1$ 个不变因子为 $\displaystyle 1,1, \cdots, 1$ ，第 $\displaystyle n$ 个不变因子为 $\displaystyle d_{n}(\lambda)$ 。容易知道，矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & & & & -b_{0} \\
1 & \ddots & & & -b_{1} \\
& \ddots & \ddots & & \vdots \\
& & \ddots & 0 & -b_{n-2} \\
& & & 1 & -b_{n-1}
\end{array}\right)
$$
的不变因子也为 $\displaystyle 1,1, \cdots, 1, d_{n}(\lambda)$ ，所以存在 $\displaystyle V$ 的一个基 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}$ ，使得 $\displaystyle \mathbf{A}$ 在这个基下的矩阵为 $\displaystyle A$ ，即
$$
\mathbf{A}\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right)=\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right) A
$$
现在令 $\displaystyle \alpha=\xi_{1} \in V$ ，则 $\displaystyle A \alpha=\xi_{2}, A^{2} \alpha=\xi_{3}, \cdots, A^{n-1} \alpha=\xi_{n}$ ，因此 $\displaystyle \alpha, A \alpha, A^{2} \alpha, \cdots, A^{n-1} \alpha$
为 $\displaystyle V$ 的一个基．
题20460南京大学真题
5．设 $\displaystyle V$ 为数域 $\displaystyle P$ 上的有限维线性空间，$\displaystyle A, B, C$ 都是 $\displaystyle V$ 上的线性变换，并且 $\displaystyle \mathcal{A}$ 不是零变换．如果 $\displaystyle \mathcal{A B}=\mathcal{A C}$ ，则 $\displaystyle B=\mathcal{C}$ ．
题20474南京大学真题
10．设 A 是 n 维线性空间 V 上的线性变换，$\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2} \ldots \ldots \varepsilon_{\mathrm{n}}$ 是 V 的一组基，如果 A是单射，则 $\displaystyle A\left(\varepsilon_{1}\right), A\left(\varepsilon_{2}\right) \ldots \ldots A\left(\varepsilon_{n}\right)$ 也是 V 的一组基。
解答：错误，基的条件是要它们线性无关，而由 A 是单射并不能保证 $\displaystyle A\left(\varepsilon_{1}\right), A\left(\varepsilon_{2}\right) \ldots \ldots A\left(\varepsilon_{n}\right)$ 线性无关。
解答：错误，基的条件是要它们线性无关，而由 A 是单射并不能保证 $\displaystyle A\left(\varepsilon_{1}\right), A\left(\varepsilon_{2}\right) \ldots \ldots A\left(\varepsilon_{n}\right)$ 线性无关。
题20659武汉大学真题
8．（12 分）设 $\displaystyle f$ 是向量空间 $\displaystyle V$ 的线性变换，且 $\displaystyle f^{2}=f$ ，证明：$\displaystyle V=\operatorname{Im} f \oplus \operatorname{ker} f$ ，其中 $\displaystyle \operatorname{ker} f=\{\alpha \in V \mid f(\alpha)=0\}, \operatorname{Im} f=\{\alpha \in V \mid$ 存在 $\displaystyle \beta \in V$ ，使 $\displaystyle f(\beta)=\alpha\}$ ．
题20668武汉大学真题
9．（20 分）设 $\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ 是向量空间 $\displaystyle V$ 的子空间，且有 $\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$（即 $\displaystyle V$ 是 $\displaystyle V_{1}$ 与 $\displaystyle V_{2}$ 的直和），若定义映射：
$$
\begin{aligned}
f_{1}: \alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2} & \mapsto \alpha_{1} \\
f_{2}: \alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2} & \mapsto \alpha_{2}
\end{aligned} \text {, 其中 } \alpha \in V, \alpha_{1} \in V_{1}, \alpha_{2} \in V_{2} \text {, }
$$
证明：（1）$\displaystyle f_{1}, f_{2}$ 是 $\displaystyle V$ 的线性变换；
（2）$\displaystyle f_{1}^{2}=f_{1}, \quad f_{2}^{2}=f_{2}$ ；
（3）$\displaystyle f_{1} f_{2}=f_{2} f_{1}=0$（零变换）；
$$
f_{1}+f_{2}=i d_{V} \text { ( } V \text { 的恒等变换). }
$$
$$
\begin{aligned}
f_{1}: \alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2} & \mapsto \alpha_{1} \\
f_{2}: \alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2} & \mapsto \alpha_{2}
\end{aligned} \text {, 其中 } \alpha \in V, \alpha_{1} \in V_{1}, \alpha_{2} \in V_{2} \text {, }
$$
证明：（1）$\displaystyle f_{1}, f_{2}$ 是 $\displaystyle V$ 的线性变换；
（2）$\displaystyle f_{1}^{2}=f_{1}, \quad f_{2}^{2}=f_{2}$ ；
（3）$\displaystyle f_{1} f_{2}=f_{2} f_{1}=0$（零变换）；
$$
f_{1}+f_{2}=i d_{V} \text { ( } V \text { 的恒等变换). }
$$
题20673武汉大学真题
一、判断下列命题是否正确（共 $\displaystyle \mathbf{5}$ 小题，每小题 $\displaystyle \mathbf{6}$ 分，共 $\displaystyle \mathbf{3 0}$ 分）：
题20722武汉大学真题
8．设 $\displaystyle V$ 是复数域上的 $\displaystyle n$ 维线性空间，$\displaystyle f, g$ 是 $\displaystyle V$ 的线性变换，且 $\displaystyle f g=g f$ ，证明：
（1）如果 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle f$ 的特征值，那么 $\displaystyle V_{\lambda}$（ $\displaystyle \lambda$ 的特征子空间）是 $\displaystyle g$ 的不变子空间；（8分）
（2）$\displaystyle f, g$ 至少有一个公共的特征向量．（7 分）
（1）如果 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle f$ 的特征值，那么 $\displaystyle V_{\lambda}$（ $\displaystyle \lambda$ 的特征子空间）是 $\displaystyle g$ 的不变子空间；（8分）
（2）$\displaystyle f, g$ 至少有一个公共的特征向量．（7 分）
题20728武汉大学真题
四．（20 分）在欧氏空间 $\displaystyle R^{3}$ 中，$\displaystyle \xi=(a, b, c)$ 为一已知单位向量，线性变换 A 定义为
$$
\mathrm{A}(\alpha)=\alpha-2(\alpha, \xi) \xi, \quad \forall \alpha \in R^{3}
$$
（1）证明 A 是 $\displaystyle R^{3}$ 的一个正交变换；
（2）求 A 关于 $\displaystyle R^{3}$ 的基 $\displaystyle e_{1}=(1,0,0), e_{2}=(0,1,0), e_{3}=(0,0,1)$ 的矩阵 $\displaystyle A$ ．
$$
\mathrm{A}(\alpha)=\alpha-2(\alpha, \xi) \xi, \quad \forall \alpha \in R^{3}
$$
（1）证明 A 是 $\displaystyle R^{3}$ 的一个正交变换；
（2）求 A 关于 $\displaystyle R^{3}$ 的基 $\displaystyle e_{1}=(1,0,0), e_{2}=(0,1,0), e_{3}=(0,0,1)$ 的矩阵 $\displaystyle A$ ．
题20806武汉大学真题
八、（15 分）设 $\displaystyle V$ 是复数域上的 $\displaystyle n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma, \tau$ 是 $\displaystyle V$ 的线性变换，且 $\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$ ．证明：
（1）$\displaystyle \sigma$ 的核 $\displaystyle \sigma^{-1}(\mathbf{0})$ 是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间；
（2）$\displaystyle \sigma$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的特征子空间 $\displaystyle V_{\lambda_{0}}$ 是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间；
（3）$\displaystyle \sigma, \tau$ 至少有一个公共的特征向量．
（1）$\displaystyle \sigma$ 的核 $\displaystyle \sigma^{-1}(\mathbf{0})$ 是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间；
（2）$\displaystyle \sigma$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的特征子空间 $\displaystyle V_{\lambda_{0}}$ 是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间；
（3）$\displaystyle \sigma, \tau$ 至少有一个公共的特征向量．
题20896浙江大学真题
八（1）设 $\displaystyle A, B$ 分别为复数矩阵域上的 䂙介和阶方阵，并且 $\displaystyle A, B$ 没有公共的特征值，求证 $\displaystyle A X=X B$ 只有空解（这里 $\displaystyle X=\left(x_{i j}\right)_{k \times k}$ ）
（2）在 $\displaystyle \Re^{n \times n}$ 中，变换 $\displaystyle \mathrm{A}: X \mapsto A X+X A, A \in \Re^{n \times n}, ~ \mathrm{~A}$ 为一个固定的矩阵，且 A 的特征值不为（－A）的特征值，求证：A为一个线形变换。
（2）在 $\displaystyle \Re^{n \times n}$ 中，变换 $\displaystyle \mathrm{A}: X \mapsto A X+X A, A \in \Re^{n \times n}, ~ \mathrm{~A}$ 为一个固定的矩阵，且 A 的特征值不为（－A）的特征值，求证：A为一个线形变换。
题20906浙江大学真题
四、（20分）设 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换 $\displaystyle A$ 有 $\displaystyle n$ 个互异的特征值，线性变换 $\displaystyle B$与 $\displaystyle A$ 可交换的充要条件是 $\displaystyle B$ 是 $\displaystyle E, A, A^{2}, \cdots, A^{n-1}$ 的线性组合，其中 $\displaystyle E$ 为恒等变换．五、（ 10 分）证明：$\displaystyle n$ 阶幂零指数为 $\displaystyle n-1$ 的矩阵都相似。
$$
\text { (若 } A^{n-1}=0, \quad A^{n-2} \neq 0 \text { 而称 } A \text { 的幂零指数为 } n-1 \text { ) }
$$
$$
\text { (若 } A^{n-1}=0, \quad A^{n-2} \neq 0 \text { 而称 } A \text { 的幂零指数为 } n-1 \text { ) }
$$
题20907浙江大学真题
六、（20分）设 $\displaystyle A, B$ 是 $\displaystyle n$ 维欧氏空间 $\displaystyle V$ 的线性变换。对任意 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，都有 $\displaystyle (A(\alpha), \beta)=(\alpha, B(\beta))$ 。证明：$\displaystyle A$ 的核等于 $\displaystyle B$ 的值域的正交补．
题20935浙江大学真题
九、（6 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换，$\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle V$ 的某组基下的矩阵是 $\displaystyle A$ ，用 $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma$ 表示 $\displaystyle \sigma$ 的核，$\displaystyle \sigma(V)$ 表示 $\displaystyle \sigma$ 的值域。求证：秩 $\displaystyle \left(A^{2}\right)=$ 秩 $\displaystyle (A)$ 的充要条件是 $\displaystyle V=\sigma(V) \oplus \operatorname{Ker} \sigma$
题20968浙江大学真题
7．（每小题 9 分，共 18 分）设 $\displaystyle V=P^{r / x n}$ 看成 $\displaystyle P$ 上的线性空间。取定 $\displaystyle A, B, C, D \in P^{n \times n}$ 。对任意 $\displaystyle X=P^{n \times n}$ ，令 $\displaystyle \sigma(x)=A X B+C X+X D$ 。求证：（1）$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle V$ 的线性变换；（2）当时 $\displaystyle C=D=0, \sigma$ 可逆的充要条件是 $\displaystyle |A B| \neq 0$ 。
题20969浙江大学真题
8．（16 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换且 $\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ 。令 $\displaystyle V_{1}=\sigma(V), V_{2}=\sigma^{-1}(0)$ 。证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ 且对每个 $\displaystyle \sigma \in V_{1}$ 有 $\displaystyle \sigma(a)=a$ 。
题20992浙江大学真题
5．（20 分）设 $\displaystyle T_{1}, T_{2}$ 为线性空间 $\displaystyle V$ 的两个线性变换，若有 $\displaystyle V$ 的可逆线性变换 $\displaystyle S$ 使 $\displaystyle T_{1}=S^{-1} T_{2} S$ ，则称 $\displaystyle T_{1}$ 与 $\displaystyle T_{2}$ 相似．证明：$\displaystyle T_{1}$ 与 $\displaystyle T_{2}$ 相似的充要条件是：存在可逆线性变换 $\displaystyle S$ ，
使对 $\displaystyle V$ 中任一向量 $\displaystyle \alpha$ ，由 $\displaystyle T_{1} \alpha=\beta$ 可得 $\displaystyle T_{2}(S \alpha)=S \beta$ ．
使对 $\displaystyle V$ 中任一向量 $\displaystyle \alpha$ ，由 $\displaystyle T_{1} \alpha=\beta$ 可得 $\displaystyle T_{2}(S \alpha)=S \beta$ ．
题20995浙江大学真题
8．（20分）已知3维线性空间 $\displaystyle V$ 有两组基：（I）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right\}$ ，（II）$\displaystyle \left\{-\varepsilon_{3},-2 \varepsilon_{2},-3 \varepsilon_{1}\right\}$
（1）写出（I）到（II）的过渡矩阵；
（2）若向量 $\displaystyle \alpha$ 在基（I）下坐标为 $\displaystyle (1,2,3)^{T}$ ，写出 $\displaystyle \alpha$ 在基（II）下的坐标；
（3）定义线性变换 $\displaystyle A$ 为：$\displaystyle A\left(\varepsilon_{1}\right)=\varepsilon_{1}, A\left(\varepsilon_{2}\right)=2 \varepsilon_{2}, A\left(\varepsilon_{3}\right)=3 \varepsilon_{3}-\varepsilon_{1}$ 分别写出 $\displaystyle A$ 关于基（I），
（II）的矩阵；
（4）求 $\displaystyle A(\alpha)$ ．
（1）写出（I）到（II）的过渡矩阵；
（2）若向量 $\displaystyle \alpha$ 在基（I）下坐标为 $\displaystyle (1,2,3)^{T}$ ，写出 $\displaystyle \alpha$ 在基（II）下的坐标；
（3）定义线性变换 $\displaystyle A$ 为：$\displaystyle A\left(\varepsilon_{1}\right)=\varepsilon_{1}, A\left(\varepsilon_{2}\right)=2 \varepsilon_{2}, A\left(\varepsilon_{3}\right)=3 \varepsilon_{3}-\varepsilon_{1}$ 分别写出 $\displaystyle A$ 关于基（I），
（II）的矩阵；
（4）求 $\displaystyle A(\alpha)$ ．
题21049浙江大学真题
4．空间 $\displaystyle v$ 上的线性变换 $\displaystyle f$ ，可以找到子空间 $\displaystyle U, W$ ，使 $\displaystyle f$ 在 U 上为可逆线性变换，在 W 上为幂零线性变换，且 $\displaystyle v=u \oplus w$