微分方程

1．下列不等式中正确的是（ ）．

2．假设 $\displaystyle{y=\int_{0}^{x}(t-1)^{2}(t+2) d t}$ ，则 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=0}=$ ．

3．下列选项中，是微分方程 $y^{\prime}+x y=e^{-\frac{x^{2}}{2}}$ 的解的是（ ）．

1． $\displaystyle{\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} d x=}$

2．已知某微分方程的通解为 $y=x^{2}+C e^{x}, C$ 为任意常数，那么该方程在初值条件 $\left.y\right|_{x=0}=1$ 下的特解是 $\_\_\_\_$ ．

4．下列微分方程为一阶的是（）

5．微分方程 $y^{\prime}=-y+x \mathrm{e}^{-x}$ 是（ ）方程

5．设 $z=x^{2} y$ ，则 $\left.d z\right|_{(1,2)}=$ $\_\_\_\_$。

6．设 $3 x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=1$ ，则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)}=$ $\_\_\_\_$

7．微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=0$ 的通解为 $\_\_\_\_$

8．微分方程 $x d y=y d x$ 的通解为 $\_\_\_\_$

2．求二元函数 $f(x, y)=x^{3}+y^{3}-3 x y$ 的极值．

3．设 $y=x^{2}$ 是方程 $x^{2} y^{\prime}+P(x) y=3 x^{3}$ 的一个解，求该方程满足 $\left.y\right|_{x=1}=2$ 的特解

3．下列选项中，是微分方程 $x y^{\prime}-y=x^{2}$ 的解的是

1． $\displaystyle{\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} d x=}$ $\_\_\_\_$ ．

2．已知某微分方程的通解为 $y=e^{x}+C x^{2}, C$ 为任意常数，那么该方程组在初值条件 $\left.y\right|_{x=1}=e$ 下的特解是 $\_\_\_\_$ ．

4．下列选项中，是微分方程 $y^{\prime}=x y$ 的解的是

1． $\displaystyle{\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} d x=}$ $\_\_\_\_$。

2．已知某微分方程的通解为 $y=C \operatorname { c o s } x+x, C$ 为任意常数，那么该方程组在初值条件 $\left.y\right|_{x=0}=1$ 下的特解是 $\_\_\_\_$ ．

1．下列不等式中正确的是 。

2．假设 $\displaystyle{y=\int_{0}^{x}(t-1)^{2}(t+2) d t}$ ，则 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=0}=$ ．

3．下列选项中，是微分方程 $y^{\prime}+x y=e^{-\frac{x^{2}}{2}}$ 的解的是 ．

4．下列微分方程中，为一阶齐次线性微分方程的是

1． $\displaystyle{\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} d x=}$ $\_\_\_\_$。

10．假设 $y=e^{2 x}$ 是微分方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}+a y=0$ 的一个解，那么 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

2．已知某微分方程的通解为 $y=x^{2}+C e^{x}, C$ 为任意常数，那么该方程在初值条件 $\left.y\right|_{x=0}=1$ 下的特解是 $\_\_\_\_$ ．

5．设 $z=x y$ ，则 $\left.d z\right|_{(1,2)}=$ $\_\_\_\_$。

9．假设 $z=(x-1) g(y)+(y-1) h(x)$ ，其中 $g(y), h(x)$ 为连续函数，那么 $f_{x}^{\prime}(1,1)=$ $\_\_\_\_$。

4．下列微分方程中，为可分离变量的微分方程的是

7．下面哪一个为微分方程 $y^{\prime}=x y$ 的解

2．已知某微分方程的通解为 $y=C \operatorname { c o s } x+x, C$ 为任意常数，那么该方程在初值条件 $\left.y\right|_{x=0}=1$ 下的特解是 $\_\_\_\_$ ．

1．$x \ln x \mathrm{~d} y+(y-\ln x) \mathrm{d} x=0,\left.y\right|_{x=\mathrm{e}}=1$ ，求满足初值条件的特解；

2．下列哪一个为一阶线性微分方程 。

3．设 $f(x, y)=x^{2} y+\sin y$ ，则 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 在点 $(1, \pi)$ 处的值是 ．

4．微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=2 x y$ 的通解为（ $C$ 为任意常数）（ ）。

4．微分方程 $y^{\prime \prime \prime}+\left(y^{\prime \prime}\right)^{4}+2 y^{\prime \prime} y^{\prime}+y^{2}+2 x=0$ 的阶数为 $\_\_\_\_$ ．

1．求由曲线 $x y=1$ 及直线 $y=x$ 和 $y=2$ 所围成的平面图形的面积．

2．已知微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+2 y=0$ 有一个解为 $y=e^{2 x}$ ，求 $a$ 并求该微分方程的通解．