共 43 题
题20034中国科学技术大学真题
4．已知 $\displaystyle A \in R^{4 \times 4}, A=A^{\prime}$（具体数值也忘了），求正交矩阵 $\displaystyle P$ ，使得
$$
P^{-1} A P=\wedge
$$
其中 $\displaystyle \wedge$ 为对角矩阵且主对角线上元素为特征值．
$$
P^{-1} A P=\wedge
$$
其中 $\displaystyle \wedge$ 为对角矩阵且主对角线上元素为特征值．
题20035中国科学技术大学真题
5．已知 $\displaystyle A=\frac{1}{10}\left(\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 7 & 9\end{array}\right), p_{0}>0, q_{0}>0, p_{0}+q_{0}=1$ 。令
$$
\binom{p_{n}}{q_{n}}=A^{n}\binom{p_{0}}{q_{0}}
$$
其中 $\displaystyle n \in N^{+}$，试说明 $\displaystyle p_{n}$ 极限存在，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} p_{n}$ ．
$$
\binom{p_{n}}{q_{n}}=A^{n}\binom{p_{0}}{q_{0}}
$$
其中 $\displaystyle n \in N^{+}$，试说明 $\displaystyle p_{n}$ 极限存在，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} p_{n}$ ．
题20060中国科学院真题
四．（14 分）
设实二次型 $\displaystyle Q(x)=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-x\right)^{2}$ ，其中的 $\displaystyle x=\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}}{n}$ ，试求 $\displaystyle Q(x)$ 的秩和正负惯性指数．
设实二次型 $\displaystyle Q(x)=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-x\right)^{2}$ ，其中的 $\displaystyle x=\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}}{n}$ ，试求 $\displaystyle Q(x)$ 的秩和正负惯性指数．
题20109中国科学院真题
1．（15 分）$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{n+1}=x_{n}+4 y_{n} \\ y_{n+1}=2 x_{n}+y_{n}\end{array}\right.$ 已知 $\displaystyle x_{0}=1, y_{0}=0$ ，求 $\displaystyle x_{100}, y_{100}$ ．
题20111中国科学院真题
3．（20 分）证明：若 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle n$ 阶实对称正定矩阵，则（i）存在唯一的对称正定矩阵 $\displaystyle S_{1}$ ，使得 $\displaystyle S=S_{1}{ }^{2}$ ；（ii）若 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶实对称矩阵，则 $\displaystyle A S$ 的特征值是实数．
题20113中国科学院真题
5．（20 分）令 $\displaystyle f(x, y)=2 x^{2}-7 x y+y^{2}$ ．求 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中单位圆上的极大值与极小值及极值点．
题20146中国科学院真题
3．（16 分）若 $\displaystyle \alpha$ 为一实数，试计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\begin{array}{cc}1 & \frac{\alpha}{n} \\ \frac{\alpha}{n} & 1\end{array}\right)^{n}$ ．
题20149中国科学院真题
6．（18 分）已知二次曲面方程 $\displaystyle x^{2}+a y^{2}+z^{2}+2 b x y+2 x z+2 y z=4$ 可以经过正交变换 $\displaystyle \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime}\end{array}\right)$ 化为椭圆柱面方程 $\displaystyle y^{\prime 2}+4 z^{\prime 2}=4$ 。求 $\displaystyle a, b$ 的值和正交矩阵 $\displaystyle P$ ．
题20152中国科学院真题
9．（16 分）设 $\displaystyle f$ 是有限维向量空间 $\displaystyle V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle f^{n}$ 是 $\displaystyle V$ 上的恒等变换，这里 $\displaystyle n$是某个正整数。设 $\displaystyle W=\{v \in V \mid f(v)=v\}$ 。证明 $\displaystyle W$ 是 $\displaystyle V$ 的一个子空间，并且其维数等于线性变换 $\displaystyle \left(f+f^{2}+\cdots+f^{n}\right) / n$ 的迹。
题20175中国科学院真题
四、（20分）求证：任意 $\displaystyle n$ 阶实方阵 $\displaystyle A$ 的特征向量，也是其伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 的特征向量．
证明：$\displaystyle \because r\left(A^{*}\right)=\left\{\begin{array}{ll}0, & r(A)<n-1 \\ 1, & r(A)=n-1 \\ n, & r(A)=n\end{array} \quad \therefore\right.$ 可对 $\displaystyle r(A)$ 展开讨论．
设 $\displaystyle \lambda$ 为 $\displaystyle A$ 的任意一个特征值，$\displaystyle \xi$ 为 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda$ 的任意一个特征向量，则由二者的任意性可知 $\displaystyle \xi$ 可以代表 $\displaystyle A$ 的任意一个特征值．
若 $\displaystyle r(A)<n-1$ ，则 $\displaystyle r\left(A^{*}\right)=0, A^{*}=0 \Rightarrow A^{*} \xi=0=0 \cdot \xi$ ，故 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle A^{*}$ 的特征向量；
若 $\displaystyle r(A)=n$ ，则 $\displaystyle A$ 可逆，故 $\displaystyle \lambda \neq 0 . \because A A^{*}=A^{*} A=|A| I_{n}$
$\displaystyle \therefore|A| \xi=|A| I_{n} \cdot \xi=A^{*} A \xi=\lambda A^{*} \xi \therefore A^{*} \xi=\frac{|A|}{\lambda} \xi$ ，故 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle A^{*}$ 的特征向量；
若 $\displaystyle r(A)=n-1$ ，则 $\displaystyle r\left(A^{*}\right)=1$ ，故 $\displaystyle A^{*}$ 有且只有一个非零特征值（重根按重数计算），且 $\displaystyle A^{*}$ 必有非零元素，不妨设 $\displaystyle A^{*}$ 的第一行第一列元素非零，则
$$
A^{*}=\left(\begin{array}{cccc}
a & b_{2} a & \cdots & b_{n} a \\
c_{2} a & b_{2} c_{2} a & \cdots & b_{n} c_{2} a \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
c_{n} a & b_{2} c_{n} a & \cdots & b_{n} c_{n} a
\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c}
c_{1} \\
c_{2} \\
\vdots \\
c_{n}
\end{array}\right)\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)
$$
其中，$\displaystyle a \in \mathbb{R}$ 且 $\displaystyle a \neq 0, b_{i}, c_{i} \in \mathbb{R},(i=1,2, \cdots, n)$ 且 $\displaystyle b_{1}=c_{1}=1$ ．
所以，$\displaystyle A^{*}$ 的非零特征值为
$$
a\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)\left(\begin{array}{c}
c_{1} \\
c_{2} \\
\vdots \\
c_{n}
\end{array}\right)=a \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i}
$$
$\displaystyle \because \lambda A^{+} \xi=A^{+} A \xi=0 \quad \therefore \lambda=0$ 或 $\displaystyle A^{+} \xi=0$
若 $\displaystyle A^{*} \xi=0$ ，则 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle A^{*}$ 的属于特征值 0 的特征向量；
若 $\displaystyle A^{*} \xi \neq 0$ ，则 $\displaystyle \lambda=0, A \xi=0$ ．
$\displaystyle \because A A^{*}=0 \quad \therefore\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n}\end{array}\right)$ 是 $\displaystyle A$ 的属于特征值 0 的特征向量．
$\displaystyle \because r(A)=n-1 \quad \therefore A$ 的特征值 0 是单根，故 $\displaystyle \xi=k\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n}\end{array}\right), k \neq 0$
$\displaystyle \therefore A^{*} \xi=k A^{*}\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n}\end{array}\right)=a k\left(\begin{array}{c}\sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i} \\ c_{2} \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i} \\ \vdots \\ c_{n} \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i}\end{array}\right)=a \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i} \cdot k\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n}\end{array}\right)=a \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i} \cdot \xi$
故 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle A^{*}$ 的属于非零特征值 $\displaystyle a \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i}$ 的特征向量．
综上所述，由 $\displaystyle \xi$ 的任意性可得
任意 $\displaystyle n$ 阶实方阵 $\displaystyle A$ 的特征向量，也是其伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 的特征向量。
证明：$\displaystyle \because r\left(A^{*}\right)=\left\{\begin{array}{ll}0, & r(A)<n-1 \\ 1, & r(A)=n-1 \\ n, & r(A)=n\end{array} \quad \therefore\right.$ 可对 $\displaystyle r(A)$ 展开讨论．
设 $\displaystyle \lambda$ 为 $\displaystyle A$ 的任意一个特征值，$\displaystyle \xi$ 为 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda$ 的任意一个特征向量，则由二者的任意性可知 $\displaystyle \xi$ 可以代表 $\displaystyle A$ 的任意一个特征值．
若 $\displaystyle r(A)<n-1$ ，则 $\displaystyle r\left(A^{*}\right)=0, A^{*}=0 \Rightarrow A^{*} \xi=0=0 \cdot \xi$ ，故 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle A^{*}$ 的特征向量；
若 $\displaystyle r(A)=n$ ，则 $\displaystyle A$ 可逆，故 $\displaystyle \lambda \neq 0 . \because A A^{*}=A^{*} A=|A| I_{n}$
$\displaystyle \therefore|A| \xi=|A| I_{n} \cdot \xi=A^{*} A \xi=\lambda A^{*} \xi \therefore A^{*} \xi=\frac{|A|}{\lambda} \xi$ ，故 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle A^{*}$ 的特征向量；
若 $\displaystyle r(A)=n-1$ ，则 $\displaystyle r\left(A^{*}\right)=1$ ，故 $\displaystyle A^{*}$ 有且只有一个非零特征值（重根按重数计算），且 $\displaystyle A^{*}$ 必有非零元素，不妨设 $\displaystyle A^{*}$ 的第一行第一列元素非零，则
$$
A^{*}=\left(\begin{array}{cccc}
a & b_{2} a & \cdots & b_{n} a \\
c_{2} a & b_{2} c_{2} a & \cdots & b_{n} c_{2} a \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
c_{n} a & b_{2} c_{n} a & \cdots & b_{n} c_{n} a
\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c}
c_{1} \\
c_{2} \\
\vdots \\
c_{n}
\end{array}\right)\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)
$$
其中，$\displaystyle a \in \mathbb{R}$ 且 $\displaystyle a \neq 0, b_{i}, c_{i} \in \mathbb{R},(i=1,2, \cdots, n)$ 且 $\displaystyle b_{1}=c_{1}=1$ ．
所以，$\displaystyle A^{*}$ 的非零特征值为
$$
a\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)\left(\begin{array}{c}
c_{1} \\
c_{2} \\
\vdots \\
c_{n}
\end{array}\right)=a \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i}
$$
$\displaystyle \because \lambda A^{+} \xi=A^{+} A \xi=0 \quad \therefore \lambda=0$ 或 $\displaystyle A^{+} \xi=0$
若 $\displaystyle A^{*} \xi=0$ ，则 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle A^{*}$ 的属于特征值 0 的特征向量；
若 $\displaystyle A^{*} \xi \neq 0$ ，则 $\displaystyle \lambda=0, A \xi=0$ ．
$\displaystyle \because A A^{*}=0 \quad \therefore\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n}\end{array}\right)$ 是 $\displaystyle A$ 的属于特征值 0 的特征向量．
$\displaystyle \because r(A)=n-1 \quad \therefore A$ 的特征值 0 是单根，故 $\displaystyle \xi=k\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n}\end{array}\right), k \neq 0$
$\displaystyle \therefore A^{*} \xi=k A^{*}\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n}\end{array}\right)=a k\left(\begin{array}{c}\sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i} \\ c_{2} \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i} \\ \vdots \\ c_{n} \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i}\end{array}\right)=a \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i} \cdot k\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n}\end{array}\right)=a \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i} \cdot \xi$
故 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle A^{*}$ 的属于非零特征值 $\displaystyle a \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i}$ 的特征向量．
综上所述，由 $\displaystyle \xi$ 的任意性可得
任意 $\displaystyle n$ 阶实方阵 $\displaystyle A$ 的特征向量，也是其伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 的特征向量。
题20176中国科学院真题
五、 $\displaystyle \left(20+5+5=30\right.$ 分）（1）$\displaystyle n$ 阶方阵 $\displaystyle A$ 能表成：$\displaystyle A=H+K$ ，其中 $\displaystyle H=\bar{H}^{T}, K=\bar{K}^{T}$ ，矩阵 $\displaystyle \bar{B}^{T}$ 表示矩阵 $\displaystyle B$ 的共轭转置。设 $\displaystyle a, h, k$ 分别是 $\displaystyle A, H, K$ 中元素最大模，若 $\displaystyle z= x+i y(x, y \in \mathbb{R})$ 是 $\displaystyle A$ 的任意特征值．求证：
$$
|z| \leq n a,|x| \leq n h,|y| \leq n k
$$
（2）求证：Hermite矩阵的特征值都是实数；
（3）求证：反对称矩阵的非零特征值都是纯虚数．
证明：（1）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right) \in \mathbb{C}^{n \times n}, A \xi=z \xi$ 且 $\displaystyle \xi=\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}\right)^{T} \neq 0,\left|\varepsilon_{k}\right|=\max \left\{\varepsilon_{1}\right.$ ， $\displaystyle \left.\varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}\right\}$ ，则
$$
z \varepsilon_{k}=a_{k 1} \varepsilon_{1}+a_{k 2} \varepsilon_{2}+\cdots+a_{k n} \varepsilon_{n}
$$
所以
$$
|z| \cdot\left|\varepsilon_{k}\right|=\left|z \varepsilon_{k}\right|=\left|a_{k 1} \varepsilon_{1}+a_{k 2} \varepsilon_{2}+\cdots+a_{k n} \varepsilon_{n}\right|
$$
$$
\begin{aligned}
& \quad \leq\left|a_{k 1}\right| \cdot\left|\varepsilon_{1}\right|+\left|a_{k 2}\right| \cdot\left|\varepsilon_{2}\right|+\cdots+\left|a_{k n}\right| \cdot\left|\varepsilon_{n}\right| \leq\left|a_{k 1}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}\right|+\left|a_{k 2}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}\right|+\cdots+\left|a_{k n}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}\right| \\
& \because \xi \neq 0 \quad \therefore\left|\varepsilon_{k}\right|>0 \quad \therefore|z| \leq\left|a_{k 1}\right|+\left|a_{k 2}\right|+\cdots+\left|a_{k n}\right| \leq n a \\
& \because A=H+K \therefore H \xi+K \xi=A \xi=(x+i y) \xi=x \xi+i y \xi \\
& \therefore H \xi-x \xi=-K \xi+i y \xi \quad \therefore \bar{\xi}^{T}\left(H-x I_{n}\right) \xi=\bar{\xi}^{T}\left(-K+i y I_{n}\right) \xi \\
& \because \bar{K}^{T}=-K, \bar{H}^{T}=H \\
& \therefore \bar{\xi}^{T}\left(H-x I_{n}\right) \xi=\bar{\xi}^{T}\left(-K+i y I_{n}\right) \xi \\
& \quad \bar{\xi}^{T}\left(H-x I_{n}\right) \xi=\bar{\xi}^{T}\left(K-i y I_{n}\right) \xi=-\bar{\xi}^{T}\left(-K+i y I_{n}\right) \xi=-\bar{\xi}^{T}\left(H-x I_{n}\right) \xi \\
& \therefore \bar{\xi}^{T}\left(H-x I_{n}\right) \xi=\bar{\xi}^{T}\left(-K+i y I_{n}\right) \xi=0
\end{aligned}
$$
设 $\displaystyle H=\left(h_{i j}\right), K=\left(k_{i j}\right) \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ，则由上式可得
$$
\begin{aligned}
& h_{k 1} \varepsilon_{1}^{2}+h_{k 2} \varepsilon_{2}^{2}+\cdots+\left(h_{k k}-x\right) \varepsilon_{k}^{2}+\cdots+h_{k n} \varepsilon_{n}^{2}=0 \\
& k_{k 1} \varepsilon_{1}^{2}+k_{k 2} \varepsilon_{2}^{2}+\cdots+\left(k_{k k}-i y\right) \varepsilon_{k}^{2}+\cdots+k_{k n} \varepsilon_{n}^{2}=0
\end{aligned}
$$
所以
$$
\begin{aligned}
x \varepsilon_{k}^{2} & =h_{k 1} \varepsilon_{1}^{2}+h_{k 2} \varepsilon_{2}^{2}+\cdots+h_{k n} \varepsilon_{n}^{2} \\
i y \varepsilon_{k}^{2} & =k_{k 1} \varepsilon_{1}^{2}+k_{k 2} \varepsilon_{2}^{2}+\cdots+k_{k n} \varepsilon_{n}^{2}
\end{aligned}
$$
故
$$
\begin{aligned}
|x| \cdot\left|\varepsilon_{k}\right|^{2} & =\left|x \varepsilon_{k}^{2}\right|=\left|h_{k 1} \varepsilon_{1}^{2}+h_{k 2} \varepsilon_{2}^{2}+\cdots+h_{k n} \varepsilon_{n}^{2}\right| \\
& \leq\left|h_{k 1} \varepsilon_{1}^{2}\right|+\left|h_{k 2} \varepsilon_{2}^{2}\right|+\cdots+\left|h_{k n} \varepsilon_{n}^{2}\right|=\left|h_{k 1}\right| \cdot\left|\varepsilon_{1}^{2}\right|+\left|h_{k 2}\right| \cdot\left|\varepsilon_{2}^{2}\right|+\cdots+\left|h_{k n}\right| \cdot\left|\varepsilon_{n}^{2}\right| \\
& \leq\left|h_{k 1}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}^{2}\right|+\left|h_{k 2}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}^{2}\right|+\cdots+\left|h_{k n}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}^{2}\right| \leq n h\left|\varepsilon_{k}^{2}\right| \\
|y| \cdot\left|\varepsilon_{k}\right|^{2} & =\left|i y \varepsilon_{k}^{2}\right|=\left|k_{k 1} \varepsilon_{1}^{2}+k_{k 2} \varepsilon_{2}^{2}+\cdots+k_{k n} \varepsilon_{n}^{2}\right| \\
& \leq\left|h_{k 1} \varepsilon_{1}^{2}\right|+\left|k_{k 2} \varepsilon_{2}^{2}\right|+\cdots+\left|k_{k n} \varepsilon_{n}^{2}\right|=\left|k_{k 1}\right| \cdot\left|\varepsilon_{1}^{2}\right|+\left|k_{k 2}\right| \cdot\left|\varepsilon_{2}^{2}\right|+\cdots+\left|k_{k n}\right| \cdot\left|\varepsilon_{n}^{2}\right| \\
& \leq\left|k_{k 1}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}^{2}\right|+\left|k_{k 2}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}^{2}\right|+\cdots+\left|k_{k n}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}^{2}\right| \leq n k\left|\varepsilon_{k}^{2}\right|
\end{aligned}
$$
所以，$\displaystyle |x| \leq n h,|y| \leq n k$ 。
（2）设 $\displaystyle \lambda$ 是任意 Hermite 矩阵 $\displaystyle B$ 的任一特征值，并设 $\displaystyle B \xi=\lambda \xi$ 且 $\displaystyle \xi \neq 0$ 。则
$$
\lambda \bar{\xi}^{T} \xi=\bar{\xi}^{T} B \xi=\bar{\xi}^{T} \bar{B}^{T} \xi={\overline{\bar{\xi}^{T}} B \xi}^{T}=\overline{\lambda \xi}^{T} \xi
$$
$\displaystyle \because \xi \neq 0 \quad \therefore \bar{\xi} \xi>0 \quad \therefore \lambda=\bar{\lambda} \quad \therefore \lambda \in \mathbb{R}$ ，由 $\displaystyle \lambda$ 的任意性可得
Hermite 矩阵的特征值都是实数。
（3）设 $\displaystyle \lambda$ 是任意反对称矩阵 $\displaystyle C$ 的任一非零特征值（如果有的话），并设 $\displaystyle B \xi=\lambda \xi$ 且 $\displaystyle \xi \neq 0$ ．则
$$
\lambda \bar{\xi}^{T} \xi=\bar{\xi}^{T} C \xi=-\bar{\xi}^{T} \bar{C}^{T} \xi=-{\overline{\xi^{T}} C \xi}^{T}=-\bar{\lambda} \bar{\xi}^{T} \xi
$$
$\displaystyle \because \xi \neq 0 \quad \therefore \bar{\xi} \xi>0 \quad \therefore \lambda=-\bar{\lambda} \quad \therefore \lambda$ 是纯虚数，由 $\displaystyle \lambda$ 的任意性可得
反对称矩阵的非零特征值都是纯虚数。
$$
|z| \leq n a,|x| \leq n h,|y| \leq n k
$$
（2）求证：Hermite矩阵的特征值都是实数；
（3）求证：反对称矩阵的非零特征值都是纯虚数．
证明：（1）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right) \in \mathbb{C}^{n \times n}, A \xi=z \xi$ 且 $\displaystyle \xi=\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}\right)^{T} \neq 0,\left|\varepsilon_{k}\right|=\max \left\{\varepsilon_{1}\right.$ ， $\displaystyle \left.\varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}\right\}$ ，则
$$
z \varepsilon_{k}=a_{k 1} \varepsilon_{1}+a_{k 2} \varepsilon_{2}+\cdots+a_{k n} \varepsilon_{n}
$$
所以
$$
|z| \cdot\left|\varepsilon_{k}\right|=\left|z \varepsilon_{k}\right|=\left|a_{k 1} \varepsilon_{1}+a_{k 2} \varepsilon_{2}+\cdots+a_{k n} \varepsilon_{n}\right|
$$
$$
\begin{aligned}
& \quad \leq\left|a_{k 1}\right| \cdot\left|\varepsilon_{1}\right|+\left|a_{k 2}\right| \cdot\left|\varepsilon_{2}\right|+\cdots+\left|a_{k n}\right| \cdot\left|\varepsilon_{n}\right| \leq\left|a_{k 1}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}\right|+\left|a_{k 2}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}\right|+\cdots+\left|a_{k n}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}\right| \\
& \because \xi \neq 0 \quad \therefore\left|\varepsilon_{k}\right|>0 \quad \therefore|z| \leq\left|a_{k 1}\right|+\left|a_{k 2}\right|+\cdots+\left|a_{k n}\right| \leq n a \\
& \because A=H+K \therefore H \xi+K \xi=A \xi=(x+i y) \xi=x \xi+i y \xi \\
& \therefore H \xi-x \xi=-K \xi+i y \xi \quad \therefore \bar{\xi}^{T}\left(H-x I_{n}\right) \xi=\bar{\xi}^{T}\left(-K+i y I_{n}\right) \xi \\
& \because \bar{K}^{T}=-K, \bar{H}^{T}=H \\
& \therefore \bar{\xi}^{T}\left(H-x I_{n}\right) \xi=\bar{\xi}^{T}\left(-K+i y I_{n}\right) \xi \\
& \quad \bar{\xi}^{T}\left(H-x I_{n}\right) \xi=\bar{\xi}^{T}\left(K-i y I_{n}\right) \xi=-\bar{\xi}^{T}\left(-K+i y I_{n}\right) \xi=-\bar{\xi}^{T}\left(H-x I_{n}\right) \xi \\
& \therefore \bar{\xi}^{T}\left(H-x I_{n}\right) \xi=\bar{\xi}^{T}\left(-K+i y I_{n}\right) \xi=0
\end{aligned}
$$
设 $\displaystyle H=\left(h_{i j}\right), K=\left(k_{i j}\right) \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ，则由上式可得
$$
\begin{aligned}
& h_{k 1} \varepsilon_{1}^{2}+h_{k 2} \varepsilon_{2}^{2}+\cdots+\left(h_{k k}-x\right) \varepsilon_{k}^{2}+\cdots+h_{k n} \varepsilon_{n}^{2}=0 \\
& k_{k 1} \varepsilon_{1}^{2}+k_{k 2} \varepsilon_{2}^{2}+\cdots+\left(k_{k k}-i y\right) \varepsilon_{k}^{2}+\cdots+k_{k n} \varepsilon_{n}^{2}=0
\end{aligned}
$$
所以
$$
\begin{aligned}
x \varepsilon_{k}^{2} & =h_{k 1} \varepsilon_{1}^{2}+h_{k 2} \varepsilon_{2}^{2}+\cdots+h_{k n} \varepsilon_{n}^{2} \\
i y \varepsilon_{k}^{2} & =k_{k 1} \varepsilon_{1}^{2}+k_{k 2} \varepsilon_{2}^{2}+\cdots+k_{k n} \varepsilon_{n}^{2}
\end{aligned}
$$
故
$$
\begin{aligned}
|x| \cdot\left|\varepsilon_{k}\right|^{2} & =\left|x \varepsilon_{k}^{2}\right|=\left|h_{k 1} \varepsilon_{1}^{2}+h_{k 2} \varepsilon_{2}^{2}+\cdots+h_{k n} \varepsilon_{n}^{2}\right| \\
& \leq\left|h_{k 1} \varepsilon_{1}^{2}\right|+\left|h_{k 2} \varepsilon_{2}^{2}\right|+\cdots+\left|h_{k n} \varepsilon_{n}^{2}\right|=\left|h_{k 1}\right| \cdot\left|\varepsilon_{1}^{2}\right|+\left|h_{k 2}\right| \cdot\left|\varepsilon_{2}^{2}\right|+\cdots+\left|h_{k n}\right| \cdot\left|\varepsilon_{n}^{2}\right| \\
& \leq\left|h_{k 1}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}^{2}\right|+\left|h_{k 2}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}^{2}\right|+\cdots+\left|h_{k n}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}^{2}\right| \leq n h\left|\varepsilon_{k}^{2}\right| \\
|y| \cdot\left|\varepsilon_{k}\right|^{2} & =\left|i y \varepsilon_{k}^{2}\right|=\left|k_{k 1} \varepsilon_{1}^{2}+k_{k 2} \varepsilon_{2}^{2}+\cdots+k_{k n} \varepsilon_{n}^{2}\right| \\
& \leq\left|h_{k 1} \varepsilon_{1}^{2}\right|+\left|k_{k 2} \varepsilon_{2}^{2}\right|+\cdots+\left|k_{k n} \varepsilon_{n}^{2}\right|=\left|k_{k 1}\right| \cdot\left|\varepsilon_{1}^{2}\right|+\left|k_{k 2}\right| \cdot\left|\varepsilon_{2}^{2}\right|+\cdots+\left|k_{k n}\right| \cdot\left|\varepsilon_{n}^{2}\right| \\
& \leq\left|k_{k 1}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}^{2}\right|+\left|k_{k 2}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}^{2}\right|+\cdots+\left|k_{k n}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}^{2}\right| \leq n k\left|\varepsilon_{k}^{2}\right|
\end{aligned}
$$
所以，$\displaystyle |x| \leq n h,|y| \leq n k$ 。
（2）设 $\displaystyle \lambda$ 是任意 Hermite 矩阵 $\displaystyle B$ 的任一特征值，并设 $\displaystyle B \xi=\lambda \xi$ 且 $\displaystyle \xi \neq 0$ 。则
$$
\lambda \bar{\xi}^{T} \xi=\bar{\xi}^{T} B \xi=\bar{\xi}^{T} \bar{B}^{T} \xi={\overline{\bar{\xi}^{T}} B \xi}^{T}=\overline{\lambda \xi}^{T} \xi
$$
$\displaystyle \because \xi \neq 0 \quad \therefore \bar{\xi} \xi>0 \quad \therefore \lambda=\bar{\lambda} \quad \therefore \lambda \in \mathbb{R}$ ，由 $\displaystyle \lambda$ 的任意性可得
Hermite 矩阵的特征值都是实数。
（3）设 $\displaystyle \lambda$ 是任意反对称矩阵 $\displaystyle C$ 的任一非零特征值（如果有的话），并设 $\displaystyle B \xi=\lambda \xi$ 且 $\displaystyle \xi \neq 0$ ．则
$$
\lambda \bar{\xi}^{T} \xi=\bar{\xi}^{T} C \xi=-\bar{\xi}^{T} \bar{C}^{T} \xi=-{\overline{\xi^{T}} C \xi}^{T}=-\bar{\lambda} \bar{\xi}^{T} \xi
$$
$\displaystyle \because \xi \neq 0 \quad \therefore \bar{\xi} \xi>0 \quad \therefore \lambda=-\bar{\lambda} \quad \therefore \lambda$ 是纯虚数，由 $\displaystyle \lambda$ 的任意性可得
反对称矩阵的非零特征值都是纯虚数。
题20177中国科学院真题
六、（15 分）设 $\displaystyle \underline{A}$ 是 $\displaystyle n$ 维实线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换，$\displaystyle n \geq 1$ ．求证：$\displaystyle \underline{A}$ 至少有一个维数为 1 或 2 的不变子空间。
证明：若 $\displaystyle \underline{A}$ 有实特征值 $\displaystyle \lambda$ ，并设 $\displaystyle \underline{A} \alpha=\lambda \alpha$ 且 $\displaystyle \alpha \neq 0$ ，则 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{R}^{n}$ ，且 $\displaystyle L(\alpha)$ 是 $\displaystyle \underline{A}$的一个一维不变子空间；
若 $\displaystyle \underline{A}$ 无实特征值，由于 $\displaystyle \underline{A}$ 是 $\displaystyle n$ 维实线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换，则 $\displaystyle \underline{A}$ 的虚特征值必以共轭对出现，不妨设 $\displaystyle \lambda, \bar{\lambda}$ 是 $\displaystyle \underline{A}$ 的一对虚特征值，并设 $\displaystyle \underline{A} \alpha=\lambda \alpha$ 且 $\displaystyle \alpha \neq 0$ ，则 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{C}^{n}, \alpha \notin \mathbb{R}^{n}, \underline{A} \bar{\alpha}=\bar{\lambda} \bar{\alpha}$ ，可设 $\displaystyle \lambda=a+i b, \alpha=\alpha_{1}+i \alpha_{2}$ ，其中，$\displaystyle a, b \in \mathbb{R}, b \neq 0, \alpha_{1}, \alpha_{2} \in \mathbb{R}^{n}, \alpha_{2} \neq 0$ ，那么
$$
\begin{aligned}
& \underline{A} \alpha_{1}+i \underline{A} \alpha_{2}=\underline{A} \alpha=(a+i b)\left(\alpha_{1}+i \alpha_{2}\right)=\left(a \alpha_{1}-b \alpha_{2}\right)+i\left(a \alpha_{2}+b \alpha_{1}\right) \\
& \underline{A} \alpha_{1}-i \underline{A} \alpha_{2}=\underline{A} \bar{\alpha}=(a-i b)\left(\alpha_{1}-i \alpha_{2}\right)=\left(a \alpha_{1}-b \alpha_{2}\right)-i\left(a \alpha_{2}+b \alpha_{1}\right)
\end{aligned}
$$
所以，$\displaystyle \underline{A} \alpha_{1}=a \alpha_{1}-b \alpha_{2}, \underline{A} \alpha_{2}=a \alpha_{2}+b \alpha_{1}$ ，
故 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)$ 是 $\displaystyle \underline{A}$ 的一个二维不变子空间．
综上可得，$\displaystyle \underline{A}$ 至少有一个维数为 1 或 2 的不变子空间。
证明：若 $\displaystyle \underline{A}$ 有实特征值 $\displaystyle \lambda$ ，并设 $\displaystyle \underline{A} \alpha=\lambda \alpha$ 且 $\displaystyle \alpha \neq 0$ ，则 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{R}^{n}$ ，且 $\displaystyle L(\alpha)$ 是 $\displaystyle \underline{A}$的一个一维不变子空间；
若 $\displaystyle \underline{A}$ 无实特征值，由于 $\displaystyle \underline{A}$ 是 $\displaystyle n$ 维实线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换，则 $\displaystyle \underline{A}$ 的虚特征值必以共轭对出现，不妨设 $\displaystyle \lambda, \bar{\lambda}$ 是 $\displaystyle \underline{A}$ 的一对虚特征值，并设 $\displaystyle \underline{A} \alpha=\lambda \alpha$ 且 $\displaystyle \alpha \neq 0$ ，则 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{C}^{n}, \alpha \notin \mathbb{R}^{n}, \underline{A} \bar{\alpha}=\bar{\lambda} \bar{\alpha}$ ，可设 $\displaystyle \lambda=a+i b, \alpha=\alpha_{1}+i \alpha_{2}$ ，其中，$\displaystyle a, b \in \mathbb{R}, b \neq 0, \alpha_{1}, \alpha_{2} \in \mathbb{R}^{n}, \alpha_{2} \neq 0$ ，那么
$$
\begin{aligned}
& \underline{A} \alpha_{1}+i \underline{A} \alpha_{2}=\underline{A} \alpha=(a+i b)\left(\alpha_{1}+i \alpha_{2}\right)=\left(a \alpha_{1}-b \alpha_{2}\right)+i\left(a \alpha_{2}+b \alpha_{1}\right) \\
& \underline{A} \alpha_{1}-i \underline{A} \alpha_{2}=\underline{A} \bar{\alpha}=(a-i b)\left(\alpha_{1}-i \alpha_{2}\right)=\left(a \alpha_{1}-b \alpha_{2}\right)-i\left(a \alpha_{2}+b \alpha_{1}\right)
\end{aligned}
$$
所以，$\displaystyle \underline{A} \alpha_{1}=a \alpha_{1}-b \alpha_{2}, \underline{A} \alpha_{2}=a \alpha_{2}+b \alpha_{1}$ ，
故 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)$ 是 $\displaystyle \underline{A}$ 的一个二维不变子空间．
综上可得，$\displaystyle \underline{A}$ 至少有一个维数为 1 或 2 的不变子空间。
题20178中国科学院真题
七、 $\displaystyle (12+8=20$ 分）设循环矩阵 $\displaystyle C$ 为
$$
\left(\begin{array}{cccc}
c_{0} & c_{1} & \cdots & c_{n-1} \\
c_{n-1} & c_{0} & \cdots & c_{n-2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
c_{1} & c_{2} & \cdots & c_{0}
\end{array}\right)
$$
（1）求 $\displaystyle C$ 的所有特征值以及相应的特征向量；
（2）求 $\displaystyle |C|$ 。
解：（1）构造多项式：$\displaystyle f(\lambda)=c_{0}+c_{1} \lambda+\cdots+c_{n-1} \lambda^{n-1}$ 。设 $\displaystyle P$ 是 $\displaystyle n$ 阶初等置换矩阵：
$$
\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
1 & 0 & 0 & \cdots & 0
\end{array}\right)
$$
则 $\displaystyle C=f(P)$ ．
$\displaystyle \because|\lambda I-P|=\lambda^{n}-1=\prod_{k=0}^{n-1}\left(\lambda-\omega^{k}\right)$ ，其中 $\displaystyle \omega=e^{i \frac{2 \pi}{n}}$ 是 $\displaystyle \lambda^{n}-1=0$ 的本原单位根．
$\displaystyle \therefore \omega^{0}, \omega^{1}, \cdots, \omega^{n-1}$ 是 $\displaystyle P$ 的所有特征值
$\displaystyle \therefore f\left(\omega^{0}\right), f\left(\omega^{1}\right), \cdots, f\left(\omega^{n-1}\right)$ 是循环矩阵 $\displaystyle C$ 的所有特征值．
$\displaystyle \forall k \in\{0,1,2, \cdots, n-1\}$ ，令 $\displaystyle x_{k}=\left(1, \omega^{k}, \omega^{2 k}, \cdots, \omega^{(n-1) k}\right)^{T}$ ，则
$$
P x_{k}=\left(\omega^{k}, \omega^{2 k}, \cdots, \omega^{(n-1) k}, 1\right)^{T}=\omega^{k} x_{k}
$$
所以
$$
C x_{k}=f(P) x_{k}=f\left(\omega^{k}\right) x_{k}
$$
综上可得
循环矩阵 $\displaystyle C$ 的所有特征值为 $\displaystyle f\left(\omega^{0}\right), f\left(\omega^{1}\right), \cdots, f\left(\omega^{n-1}\right)$ ，它们对应的特征向量分别为
$\displaystyle x_{0}=(1,1, \cdots, 1)^{T}, \quad x_{k}=\left(1, \omega^{k}, \omega^{2 k}, \cdots, \omega^{(n-1) k}\right)^{T}, \quad \cdots, \quad x_{n-1}=\left(1, \omega^{n-1}, \omega^{2(n-1)}, \cdots, \omega^{(n-1)^{2}}\right)^{T}$.
（2）由（1）可得
$$
|C|=\prod_{k=0}^{n-1} f\left(\omega^{k}\right)
$$
$$
\left(\begin{array}{cccc}
c_{0} & c_{1} & \cdots & c_{n-1} \\
c_{n-1} & c_{0} & \cdots & c_{n-2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
c_{1} & c_{2} & \cdots & c_{0}
\end{array}\right)
$$
（1）求 $\displaystyle C$ 的所有特征值以及相应的特征向量；
（2）求 $\displaystyle |C|$ 。
解：（1）构造多项式：$\displaystyle f(\lambda)=c_{0}+c_{1} \lambda+\cdots+c_{n-1} \lambda^{n-1}$ 。设 $\displaystyle P$ 是 $\displaystyle n$ 阶初等置换矩阵：
$$
\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
1 & 0 & 0 & \cdots & 0
\end{array}\right)
$$
则 $\displaystyle C=f(P)$ ．
$\displaystyle \because|\lambda I-P|=\lambda^{n}-1=\prod_{k=0}^{n-1}\left(\lambda-\omega^{k}\right)$ ，其中 $\displaystyle \omega=e^{i \frac{2 \pi}{n}}$ 是 $\displaystyle \lambda^{n}-1=0$ 的本原单位根．
$\displaystyle \therefore \omega^{0}, \omega^{1}, \cdots, \omega^{n-1}$ 是 $\displaystyle P$ 的所有特征值
$\displaystyle \therefore f\left(\omega^{0}\right), f\left(\omega^{1}\right), \cdots, f\left(\omega^{n-1}\right)$ 是循环矩阵 $\displaystyle C$ 的所有特征值．
$\displaystyle \forall k \in\{0,1,2, \cdots, n-1\}$ ，令 $\displaystyle x_{k}=\left(1, \omega^{k}, \omega^{2 k}, \cdots, \omega^{(n-1) k}\right)^{T}$ ，则
$$
P x_{k}=\left(\omega^{k}, \omega^{2 k}, \cdots, \omega^{(n-1) k}, 1\right)^{T}=\omega^{k} x_{k}
$$
所以
$$
C x_{k}=f(P) x_{k}=f\left(\omega^{k}\right) x_{k}
$$
综上可得
循环矩阵 $\displaystyle C$ 的所有特征值为 $\displaystyle f\left(\omega^{0}\right), f\left(\omega^{1}\right), \cdots, f\left(\omega^{n-1}\right)$ ，它们对应的特征向量分别为
$\displaystyle x_{0}=(1,1, \cdots, 1)^{T}, \quad x_{k}=\left(1, \omega^{k}, \omega^{2 k}, \cdots, \omega^{(n-1) k}\right)^{T}, \quad \cdots, \quad x_{n-1}=\left(1, \omega^{n-1}, \omega^{2(n-1)}, \cdots, \omega^{(n-1)^{2}}\right)^{T}$.
（2）由（1）可得
$$
|C|=\prod_{k=0}^{n-1} f\left(\omega^{k}\right)
$$
题20223云南大学真题
八．（15 分）
设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right)$ ，求正交矩阵 $\displaystyle T$ 使得 $\displaystyle T^{-1} A T$ 成为对角矩阵。
设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right)$ ，求正交矩阵 $\displaystyle T$ 使得 $\displaystyle T^{-1} A T$ 成为对角矩阵。
题20235北京大学真题
3．用正交变换化下面二次型为标准形
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3} ;
$$
（要求写出正交变换的矩阵和相应的标准形）。
解：二次型矩阵：
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -2 & -2 \\
-2 & 1 & -2 \\
-2 & -2 & 1
\end{array}\right)
$$
找其正交矩阵：
$$
T=\left(\begin{array}{ccc}
-\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{\sqrt{6}}{4} & -\frac{2 \sqrt{2}}{3} \\
0 & -\frac{\sqrt{6}}{4} & -\frac{\sqrt{2}}{6} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{6}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{6}
\end{array}\right) ;
$$
使得 $\displaystyle T^{-1} A T=\operatorname{diag}\{3,3,-3\}$ ；于是做正交替换化为标准型：
$$
f(x, y, z)=3 x^{*^{2}}+3 y^{*^{2}}-3 z^{*^{2}}
$$
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3} ;
$$
（要求写出正交变换的矩阵和相应的标准形）。
解：二次型矩阵：
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -2 & -2 \\
-2 & 1 & -2 \\
-2 & -2 & 1
\end{array}\right)
$$
找其正交矩阵：
$$
T=\left(\begin{array}{ccc}
-\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{\sqrt{6}}{4} & -\frac{2 \sqrt{2}}{3} \\
0 & -\frac{\sqrt{6}}{4} & -\frac{\sqrt{2}}{6} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{6}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{6}
\end{array}\right) ;
$$
使得 $\displaystyle T^{-1} A T=\operatorname{diag}\{3,3,-3\}$ ；于是做正交替换化为标准型：
$$
f(x, y, z)=3 x^{*^{2}}+3 y^{*^{2}}-3 z^{*^{2}}
$$
题20237北京大学真题
5．设正整数 $\displaystyle \mathrm{n} \geq 2$ ，用 $\displaystyle M_{n}(k)$ 表示数域 k 上全体 $\displaystyle \mathrm{n} \times \mathrm{n}$ ，矩阵关于矩阵加法和数乘所构成的 k上的线性空间。在 $\displaystyle M_{n}(k)$ 中定义变换 $\displaystyle \sigma$ 如下：
$\displaystyle \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\left(a_{i j}^{\prime}\right)_{n \times n}, \forall\left(a_{i j}\right)_{n \times n} \in M_{n}(k)$,
其中：$\displaystyle a_{i j}^{\prime}=\left\{\begin{array}{l}a_{i j}, i \neq j ; \\ i \cdot \operatorname{tr}(A), i=j .\end{array}\right.$
（1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle M_{n}(k)$ 上的线性变换；
（2）求出： $\displaystyle \operatorname{ker}(\sigma)$ 的维数与一组基；
（3）求出：$\displaystyle \sigma$ 的全部特征子空间．
证明：
（1）$\displaystyle \forall\left(a_{i j}\right)_{n \times n},\left(b_{i j}\right)_{n \times n} \in M_{n}(\mathrm{k}), \mathrm{k} \in K$ ，则
$\displaystyle \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}+\left(b_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\sigma\left(\left(\left(a_{i j}+b_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}\right)=\sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)+\sigma\left(\left(b_{i j}\right)_{n \times n}\right)\right.$ ；
$\displaystyle \sigma\left(k\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\sigma\left(\left(k a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\left(k a_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}=k\left(a_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}=k \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)$ ；
$\displaystyle \therefore \sigma$ 线性变换。
（2）$\displaystyle \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=0 \Rightarrow\left(a_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}=0 \Rightarrow a_{i j}^{\prime}=\left\{\begin{array}{l}a_{i j}=0, i \neq j ; \\ i \cdot \operatorname{tr}(A)=0, i=j . \Rightarrow \operatorname{tr}(A)=0 ;\end{array}\right.$ ；
$\displaystyle \therefore \operatorname{ker}(\sigma)$ 的维数是 $\displaystyle n-r$ 维，
基为：$\displaystyle \alpha_{1}=\operatorname{diag}(1,-1,0, \cdots, 0), \alpha_{2}=\operatorname{diag}(1,0,-1,0, \cdots, 0), \cdots, \alpha_{n-1}=\operatorname{diag}(1,0, \cdots, 0,-1)$ 。
（3）取 $\displaystyle M_{n}(\mathrm{k})$ 中的标准基（ $\displaystyle \mathrm{e}_{11}, \mathrm{e}_{12}, \cdots, \mathrm{e}_{\mathrm{nn}}$ ），
在这组基下的变换矩阵的特征值 $\displaystyle \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=\frac{n(n+1)}{2}$ ，
对应的特征子空间的维数分别为：$\displaystyle n^{2}-n, n-1,1$ ．
对应的特征子空间的分别为：
$\displaystyle <\mathrm{e}_{\mathrm{ij}}>_{\mathrm{i} \neq \mathrm{j}},<\mathrm{e}_{11}-\mathrm{e}_{22}, \mathrm{e}_{11}-\mathrm{e}_{33}, \cdots, \mathrm{e}_{11}-\mathrm{e}_{\mathrm{nn}}>,<\mathrm{e}_{11}+2 \mathrm{e}_{22}+\cdots+n \mathrm{e}_{\mathrm{nn}}>$ 。
证毕。
$\displaystyle \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\left(a_{i j}^{\prime}\right)_{n \times n}, \forall\left(a_{i j}\right)_{n \times n} \in M_{n}(k)$,
其中：$\displaystyle a_{i j}^{\prime}=\left\{\begin{array}{l}a_{i j}, i \neq j ; \\ i \cdot \operatorname{tr}(A), i=j .\end{array}\right.$
（1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle M_{n}(k)$ 上的线性变换；
（2）求出： $\displaystyle \operatorname{ker}(\sigma)$ 的维数与一组基；
（3）求出：$\displaystyle \sigma$ 的全部特征子空间．
证明：
（1）$\displaystyle \forall\left(a_{i j}\right)_{n \times n},\left(b_{i j}\right)_{n \times n} \in M_{n}(\mathrm{k}), \mathrm{k} \in K$ ，则
$\displaystyle \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}+\left(b_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\sigma\left(\left(\left(a_{i j}+b_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}\right)=\sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)+\sigma\left(\left(b_{i j}\right)_{n \times n}\right)\right.$ ；
$\displaystyle \sigma\left(k\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\sigma\left(\left(k a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\left(k a_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}=k\left(a_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}=k \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)$ ；
$\displaystyle \therefore \sigma$ 线性变换。
（2）$\displaystyle \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=0 \Rightarrow\left(a_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}=0 \Rightarrow a_{i j}^{\prime}=\left\{\begin{array}{l}a_{i j}=0, i \neq j ; \\ i \cdot \operatorname{tr}(A)=0, i=j . \Rightarrow \operatorname{tr}(A)=0 ;\end{array}\right.$ ；
$\displaystyle \therefore \operatorname{ker}(\sigma)$ 的维数是 $\displaystyle n-r$ 维，
基为：$\displaystyle \alpha_{1}=\operatorname{diag}(1,-1,0, \cdots, 0), \alpha_{2}=\operatorname{diag}(1,0,-1,0, \cdots, 0), \cdots, \alpha_{n-1}=\operatorname{diag}(1,0, \cdots, 0,-1)$ 。
（3）取 $\displaystyle M_{n}(\mathrm{k})$ 中的标准基（ $\displaystyle \mathrm{e}_{11}, \mathrm{e}_{12}, \cdots, \mathrm{e}_{\mathrm{nn}}$ ），
在这组基下的变换矩阵的特征值 $\displaystyle \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=\frac{n(n+1)}{2}$ ，
对应的特征子空间的维数分别为：$\displaystyle n^{2}-n, n-1,1$ ．
对应的特征子空间的分别为：
$\displaystyle <\mathrm{e}_{\mathrm{ij}}>_{\mathrm{i} \neq \mathrm{j}},<\mathrm{e}_{11}-\mathrm{e}_{22}, \mathrm{e}_{11}-\mathrm{e}_{33}, \cdots, \mathrm{e}_{11}-\mathrm{e}_{\mathrm{nn}}>,<\mathrm{e}_{11}+2 \mathrm{e}_{22}+\cdots+n \mathrm{e}_{\mathrm{nn}}>$ 。
证毕。
题20461南京大学真题
三、（20 分）试用正交线性替换将二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}- 4 x_{1} x_{3}-8 x_{2} x_{3}$ 化成标准形，并写出所用的正交线性替换．
题20462南京大学真题
四、（10 分）设 $\displaystyle A, B$ 都是数域 $\displaystyle P$ 上 $\displaystyle n$ 级方阵。如果 $\displaystyle A$ 在域 $\displaystyle P$ 上有 $\displaystyle n$ 个不同的特征值，且 $\displaystyle A B=B A$ ，证明：$\displaystyle B$ 相似于一个对角矩阵．
题20490南京大学真题
9．设 $\displaystyle A$ 是一个 $\displaystyle n$ 级矩阵，如果存在一个整数 $\displaystyle m$ 使 $\displaystyle A^{m}=0$ ，则 $\displaystyle A$ 的特征值都为零．
题20491南京大学真题
10．设 $\displaystyle a$ 是一个非零的 $\displaystyle n$ 维实列向量，$\displaystyle A=E_{n}-2 \frac{a a^{\prime}}{a^{\prime} a}$ ．则 $\displaystyle A$ 是正交矩阵并且 1 是 $\displaystyle A$ 的 $\displaystyle n-1$ 重特征值．
题20657武汉大学真题
6．（20 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & \cdots & 1 \\ \vdots & & \vdots \\ 1 & \cdots & 1\end{array}\right)$ 是 $\displaystyle n$ 阶矩阵，
（1）求 $\displaystyle A$ 的特征值和特征向量；
（2）求可逆矩阵 $\displaystyle P$ ，使 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角矩阵．
（1）求 $\displaystyle A$ 的特征值和特征向量；
（2）求可逆矩阵 $\displaystyle P$ ，使 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角矩阵．
题20658武汉大学真题
7．（12 分）设 $\displaystyle A 、 C$ 是 $\displaystyle n$ 阶实正定矩阵，$\displaystyle B$ 是矩阵方程 $\displaystyle A X+X A=C$ 的唯一解，证明：
（1）$\displaystyle B$ 是对称矩阵；
（2）$\displaystyle B$ 是正定矩阵．
（1）$\displaystyle B$ 是对称矩阵；
（2）$\displaystyle B$ 是正定矩阵．
题20663武汉大学真题
4．（10 分）求实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots x_{n}\right)=n \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{2}(n \geq 2)$ 的秩和正、负惯性指数．
题20665武汉大学真题
6．（15 分）设 $\displaystyle A 、 B$ 是 $\displaystyle n$ 阶非零矩阵，且有 $\displaystyle A^{2}=A, B^{2}=B, A B=B A=0$ ，证明：
（1） 0,1 必是 $\displaystyle A 、 B$ 的特征值；
（2）若 $\displaystyle X$ 是 $\displaystyle A$ 的属于特征值 1 的特征向量，则 $\displaystyle X$ 也是 $\displaystyle B$ 的属于特征值 0 的特征向量．
（1） 0,1 必是 $\displaystyle A 、 B$ 的特征值；
（2）若 $\displaystyle X$ 是 $\displaystyle A$ 的属于特征值 1 的特征向量，则 $\displaystyle X$ 也是 $\displaystyle B$ 的属于特征值 0 的特征向量．
题20666武汉大学真题
7．（20 分）已知二次曲面方程 $\displaystyle x^{2}+k y^{2}+z^{2}+2 x y+2 x z+2 y z=4$ 可通过正交变换
$\displaystyle \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime}\end{array}\right)$,
化为椭圆柱面 $\displaystyle y^{\prime 2}+4 z^{\prime 2}=4$ ，求 $\displaystyle k$ 的值和正交矩阵 $\displaystyle P$ ．
$\displaystyle \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime}\end{array}\right)$,
化为椭圆柱面 $\displaystyle y^{\prime 2}+4 z^{\prime 2}=4$ ，求 $\displaystyle k$ 的值和正交矩阵 $\displaystyle P$ ．
题20667武汉大学真题
8．（15 分）设 $\displaystyle \alpha=\left(a_{1}, \cdots, a_{n}\right)$ 是 $\displaystyle n(n \geq 2)$ 维非零向量。证明：$\displaystyle \alpha^{T} \alpha$ 可相似于一对角矩阵，并求此对角矩阵。
题20722武汉大学真题
8．设 $\displaystyle V$ 是复数域上的 $\displaystyle n$ 维线性空间，$\displaystyle f, g$ 是 $\displaystyle V$ 的线性变换，且 $\displaystyle f g=g f$ ，证明：
（1）如果 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle f$ 的特征值，那么 $\displaystyle V_{\lambda}$（ $\displaystyle \lambda$ 的特征子空间）是 $\displaystyle g$ 的不变子空间；（8分）
（2）$\displaystyle f, g$ 至少有一个公共的特征向量．（7 分）
（1）如果 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle f$ 的特征值，那么 $\displaystyle V_{\lambda}$（ $\displaystyle \lambda$ 的特征子空间）是 $\displaystyle g$ 的不变子空间；（8分）
（2）$\displaystyle f, g$ 至少有一个公共的特征向量．（7 分）
题20723武汉大学真题
9．设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n$ 阶方阵，证明：如果 $\displaystyle r(A)+r(A-E)=n$ ，则 $\displaystyle A$ 可对角化．（20 分）
题20725武汉大学真题
一．（20 分）设 $\displaystyle A$ 是元素全为 1 的 $\displaystyle n$ 阶方阵，$\displaystyle E$ 为 $\displaystyle n$ 阶单位矩阵。
（1）求行列式 $\displaystyle |a E+b A|$ 的值，其中 $\displaystyle a, b$ 是实常数；
（2）已知 $\displaystyle 1<\operatorname{rank}(a E+b A)<n$ ，试确定 $\displaystyle a, b$ 所满足的条件，并求下列线性子空间的维数：
$$
W=\left\{x \mid(a E+b A) x=0, x \in R^{n}\right\} .
$$
（1）求行列式 $\displaystyle |a E+b A|$ 的值，其中 $\displaystyle a, b$ 是实常数；
（2）已知 $\displaystyle 1<\operatorname{rank}(a E+b A)<n$ ，试确定 $\displaystyle a, b$ 所满足的条件，并求下列线性子空间的维数：
$$
W=\left\{x \mid(a E+b A) x=0, x \in R^{n}\right\} .
$$
题20729武汉大学真题
五．（20 分）设 $\displaystyle E$ 是 $\displaystyle n$ 阶单位矩阵，证明：
（1）若 $\displaystyle A, B$ 是 $\displaystyle n$ 阶矩阵，$\displaystyle A^{2}=A$ ，且 $\displaystyle E-A-B$ 是可逆矩阵，则 $\displaystyle \operatorname{rank}(A B)=\operatorname{rank}(B A)$
（2）若 $\displaystyle A=E-\xi \xi^{T}$ ，其中 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle n$ 维列向量，$\displaystyle \xi^{T}$ 是 $\displaystyle \xi$ 的转置，则 $\displaystyle \xi^{T} \xi=1$ 的充分必要条件是 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)<n$ ；
（3）若 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶实矩阵，且 $\displaystyle A+A^{T}=E$ ，其中 $\displaystyle A^{T}$ 是 $\displaystyle A$ 的转置，则 $\displaystyle A$ 是可逆矩阵．
（1）若 $\displaystyle A, B$ 是 $\displaystyle n$ 阶矩阵，$\displaystyle A^{2}=A$ ，且 $\displaystyle E-A-B$ 是可逆矩阵，则 $\displaystyle \operatorname{rank}(A B)=\operatorname{rank}(B A)$
（2）若 $\displaystyle A=E-\xi \xi^{T}$ ，其中 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle n$ 维列向量，$\displaystyle \xi^{T}$ 是 $\displaystyle \xi$ 的转置，则 $\displaystyle \xi^{T} \xi=1$ 的充分必要条件是 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)<n$ ；
（3）若 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶实矩阵，且 $\displaystyle A+A^{T}=E$ ，其中 $\displaystyle A^{T}$ 是 $\displaystyle A$ 的转置，则 $\displaystyle A$ 是可逆矩阵．
题20731武汉大学真题
八．（15 分）设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶矩阵，$\displaystyle \lambda_{0}$ 是 $\displaystyle A$ 的 $\displaystyle n$ 重特征值， $\displaystyle \operatorname{rank}\left(\lambda_{0} E-A\right)=n-1$ ．
（1）求使 $\displaystyle \left(\lambda_{0} E-A\right)^{m}=0$ 的最小正整数 $\displaystyle m$ ；
（2）证明：$\displaystyle \left(\lambda_{0} E-A\right)^{n-1}$ 必有一个列向量是 $\displaystyle A$ 的属于 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的特征向量．
（1）求使 $\displaystyle \left(\lambda_{0} E-A\right)^{m}=0$ 的最小正整数 $\displaystyle m$ ；
（2）证明：$\displaystyle \left(\lambda_{0} E-A\right)^{n-1}$ 必有一个列向量是 $\displaystyle A$ 的属于 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的特征向量．
题20806武汉大学真题
八、（15 分）设 $\displaystyle V$ 是复数域上的 $\displaystyle n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma, \tau$ 是 $\displaystyle V$ 的线性变换，且 $\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$ ．证明：
（1）$\displaystyle \sigma$ 的核 $\displaystyle \sigma^{-1}(\mathbf{0})$ 是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间；
（2）$\displaystyle \sigma$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的特征子空间 $\displaystyle V_{\lambda_{0}}$ 是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间；
（3）$\displaystyle \sigma, \tau$ 至少有一个公共的特征向量．
（1）$\displaystyle \sigma$ 的核 $\displaystyle \sigma^{-1}(\mathbf{0})$ 是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间；
（2）$\displaystyle \sigma$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的特征子空间 $\displaystyle V_{\lambda_{0}}$ 是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间；
（3）$\displaystyle \sigma, \tau$ 至少有一个公共的特征向量．
题20895浙江大学真题
六、（15 分）设 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ，满足下列条件：
（i） $\displaystyle 0 \leq a_{i j} \leq 1, \forall i, j$ ；（ii）$\displaystyle a_{i 1}+a_{i 2}+\cdots+a_{i n}=1,(i=1,2, \cdots, n)$ ．求证：
（1）若 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle A$ 的任意一个特征值，则 $\displaystyle |\lambda| \leq 1$ ；
（2）$\displaystyle \lambda_{0}=1$ 为 $\displaystyle A$ 的任意一个特征值．
七、（15 分）$\displaystyle R^{n}$ 是 $\displaystyle n$ 维欧氏空间，$\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶正定阵，$\displaystyle \alpha=\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ \cdots \\ x_{n}\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}y_{1} \\ y_{2} \\ \cdots \\ y_{n}\end{array}\right) \in R^{n}$ ．求证： $\displaystyle \left(\alpha^{T} A \beta\right)^{2} \leq\left(\alpha^{T} A \alpha\right)\left(\beta^{T} A \beta\right)$ ，且等号成立当且仅当 $\displaystyle \alpha, \beta$ 线性相关．
（i） $\displaystyle 0 \leq a_{i j} \leq 1, \forall i, j$ ；（ii）$\displaystyle a_{i 1}+a_{i 2}+\cdots+a_{i n}=1,(i=1,2, \cdots, n)$ ．求证：
（1）若 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle A$ 的任意一个特征值，则 $\displaystyle |\lambda| \leq 1$ ；
（2）$\displaystyle \lambda_{0}=1$ 为 $\displaystyle A$ 的任意一个特征值．
七、（15 分）$\displaystyle R^{n}$ 是 $\displaystyle n$ 维欧氏空间，$\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶正定阵，$\displaystyle \alpha=\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ \cdots \\ x_{n}\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}y_{1} \\ y_{2} \\ \cdots \\ y_{n}\end{array}\right) \in R^{n}$ ．求证： $\displaystyle \left(\alpha^{T} A \beta\right)^{2} \leq\left(\alpha^{T} A \alpha\right)\left(\beta^{T} A \beta\right)$ ，且等号成立当且仅当 $\displaystyle \alpha, \beta$ 线性相关．
题20906浙江大学真题
四、（20分）设 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换 $\displaystyle A$ 有 $\displaystyle n$ 个互异的特征值，线性变换 $\displaystyle B$与 $\displaystyle A$ 可交换的充要条件是 $\displaystyle B$ 是 $\displaystyle E, A, A^{2}, \cdots, A^{n-1}$ 的线性组合，其中 $\displaystyle E$ 为恒等变换．五、（ 10 分）证明：$\displaystyle n$ 阶幂零指数为 $\displaystyle n-1$ 的矩阵都相似。
$$
\text { (若 } A^{n-1}=0, \quad A^{n-2} \neq 0 \text { 而称 } A \text { 的幂零指数为 } n-1 \text { ) }
$$
$$
\text { (若 } A^{n-1}=0, \quad A^{n-2} \neq 0 \text { 而称 } A \text { 的幂零指数为 } n-1 \text { ) }
$$
题20932浙江大学真题
六、（20分）用正交线性替换化下面的实二次型为标准型，并写出所用的正交线性替换。
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{1} x_{4}-2 x_{2} x_{3}+2 x_{2} x_{4}+2 x_{3} x_{4}
$$
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{1} x_{4}-2 x_{2} x_{3}+2 x_{2} x_{4}+2 x_{3} x_{4}
$$
题20933浙江大学真题
七、（8 分）设 $\displaystyle A, B$ 是 $\displaystyle n$ 级复矩阵，且 $\displaystyle A B=B A$ 。求证：存在一个 $\displaystyle n$ 级可逆矩阵 $\displaystyle P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 与 $\displaystyle P^{-1} B P$ 都是上三角矩阵。
题20948浙江大学真题
5．（20 分）已知实对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}4 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 4\end{array}\right)$ ，求正交矩阵 $\displaystyle P$ 使得 $\displaystyle P^{T} A P$ 成为对角矩阵。
题20965浙江大学真题
4．（题（1）为 $\displaystyle \mathbf{1 5}$ 分，题（2）为 $\displaystyle \mathbf{5}$ 分，共 $\displaystyle \mathbf{2 0}$ 分）
实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 b x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ 经正交线性替换 $\displaystyle \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}=P\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)^{T}$ 化为标准型 $\displaystyle y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2}$ 。
（1）求 $\displaystyle a, b$ 及正交矩阵 $\displaystyle P$ ；
（2）问二次型 $\displaystyle f$ 是正定的吗？为什么？
实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 b x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ 经正交线性替换 $\displaystyle \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}=P\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)^{T}$ 化为标准型 $\displaystyle y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2}$ 。
（1）求 $\displaystyle a, b$ 及正交矩阵 $\displaystyle P$ ；
（2）问二次型 $\displaystyle f$ 是正定的吗？为什么？
题20996浙江大学真题
9．（20 分）对复域上方阵 $\displaystyle A$ ，证明：
（1）存在正整数 $\displaystyle m$ 使 $\displaystyle A^{m}=0$ 当且仅当 $\displaystyle A$ 的特征值均为零；
（2）若存在正整数 $\displaystyle m$ 使 $\displaystyle A^{m}=0$ ，证明：$\displaystyle |A+E|=1$ 。（其中 $\displaystyle E$ 表示与 $\displaystyle A$ 同阶的单位矩阵）
（1）存在正整数 $\displaystyle m$ 使 $\displaystyle A^{m}=0$ 当且仅当 $\displaystyle A$ 的特征值均为零；
（2）若存在正整数 $\displaystyle m$ 使 $\displaystyle A^{m}=0$ ，证明：$\displaystyle |A+E|=1$ 。（其中 $\displaystyle E$ 表示与 $\displaystyle A$ 同阶的单位矩阵）