第一章 分析基础
1
📝 有解析
第1题
例 1 设 \(a \leq c \leq b\) ,求证: \(\displaystyle{\left| c\right| \leq \max \{ \left| a\right| ,\left| b\right| \}}\) .
2
📝 有解析
第2题
例 2 设 \(a,b > 0\) ,求证:
(1)当 \(p > 1\) 时, \({a}^{p} + {b}^{p} \leq {\left( a + b\right) }^{p}\) ；
(2)当 \(0 < p < 1\) 时, \({a}^{p} + {b}^{p} \geq {\left( a + b\right) }^{p}\) .
3
📝 有解析
第3题
例 3 设 \(f\left( x\right) ,g\left( x\right)\) 在集合 \(X\) 上有界,求证:
\[
\mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) + g\left( x\right) \} \leq \left\{ \begin{array}{l} \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) \} + \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\{ g\left( x\right) \} , \\ \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) \} + \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ g\left( x\right) \} . \end{array}\right.
\]
1
📝 有解析
第1题
例 1 设函数 \(f\left( x\right) ,g\left( x\right)\) 在(a, b)上严格单调增加,求证: 函数
\[
\varphi \left( x\right) \overset{\text{ 定义 }}{ = }\max \{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \} ,\;\psi \left( x\right) \overset{\text{ 定义 }}{ = }\min \{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \}
\]
也在(a, b)上严格单调增加.
2
📝 有解析
第2题
例 2 (1) 问 \(f\left( x\right) = x - \left\lbrack x\right\rbrack\) 是否是周期函数? 并画出它的图形 (其中 \(\left\lbrack x\right\rbrack\) 表示 \(x\) 的整数部分).
(2)两个周期函数之和是否一定是周期函数?
3
📝 有解析
第3题
例 3 设 \(f\left( x\right) = \sqrt{x}\left( {0 \leq x < 1}\right)\) .
(1)将 \(f\left( x\right)\) 延拓到(-1,1),使其成为偶函数,即找一个偶函数
\[
F\left( x\right) \;\left( {\left| x\right| < 1}\right) ,
\]
使得
\[
F\left( x\right) = f\left( x\right) \;\left( {0 \leq x < 1}\right) .
\]
(2)将 \(f\left( x\right)\) 延拓到 \(\left( {-\infty , + \infty }\right)\) ,使其成为以 1 为周期的周期函数.
4
📝 有解析
第4题
例 4 设 \(f\left( x\right)\) 既关于直线 \(x = a\) 对称,又关于直线 \(x = b\) 对称, 已知 \(b > a\) ,求证: \(f\left( x\right)\) 是周期函数并求其周期.
5
📝 有解析
第5题
例 5 求函数 \(y = {2x} + \left| {2 - x}\right| \left( {-\infty < x < + \infty }\right)\) 的反函数,并画出它的图形.
6
📝 有解析
第6题
例 6 设 \(f : X \rightarrow Y,g : Y \rightarrow X\) . 求证:
(1)若 \(g\left\lbrack {f\left( x\right) }\right\rbrack = x\left( {\forall x \in X}\right)\) ,则 \(f\) 为单射, \(g\) 为满射；
(2)若 \(g\left\lbrack {f\left( x\right) }\right\rbrack = x\left( {\forall x \in X}\right) ,f\left\lbrack {g\left( y\right) }\right\rbrack = y\left( {\forall y \in Y}\right)\) ,则 \(f\) 与 \(g\) 互为反函数.
1
📝 有解析
第1题
例 1 求证: \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{n} = 1}\) .
2
📝 有解析
第2题
例 2 求证: \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{\sqrt[n]{n!}} = 0}\) .
3
📝 有解析
第3题
例 3 求证:
(1) \(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \cdots \cdot \frac{{2n} - 1}{2n} < \frac{1}{\sqrt{{2n} + 1}}\) ;
(2) \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \cdots \cdot \frac{{2n} - 1}{2n} = 0}\) .
4
📝 有解析
第4题
例 4 求证: \(\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{a}^{n}}{n!} = 0\left( {a > 0}\right)\) .
5
📝 有解析
第5题
例 5 求 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}}}\) .
6
📝 有解析
第6题
例 6 设 \(\alpha < 1\) ,求证: \(\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left\lbrack {{\left( n + 1\right) }^{\alpha } - {n}^{\alpha }}\right\rbrack = 0\) .
7
📝 有解析
第7题
例 7 求 \(\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot \left( {{2n} - 1}\right) }{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot \left( {2n}\right) }}\) .
8
📝 有解析
第8题
例 8 设 \({x}_{n} = \frac{1! + 2! + \cdots + n!}{n!}\) ,求 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n}}\) .
9
📝 有解析
第9题
例 9 设 \({x}_{n} \leq a \leq {y}_{n}\left( {n = 1,2,\cdots }\right)\) ,且 \(\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left( {{x}_{n} - {y}_{n}}\right) = 0\) . 求证:
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{y}_{n} = a.
\]
10
📝 有解析
第10题
例 10 求 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{2}^{n}n!}{{n}^{n}}}\) .
11
📝 有解析
第11题
例 11 求极限 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{n}}\) .
12
📝 有解析
第12题
例 12 设 \(\left\{ {a}_{n}\right\}\) 单调下降,且 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n} = 0,{b}_{n}\frac{\text{ 定义 }{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n}}{n}}\) . 求证:
(1) \({b}_{n}\) 单调下降; (2) \({b}_{2n} \leq \frac{1}{2}\left( {{a}_{n} + {b}_{n}}\right)\) ; (3) \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{b}_{n} = 0}\) .
13
📝 有解析
第13题
例 13 求证:
(1) \(\frac{1}{n + 1} < \ln \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) < \frac{1}{n}\) ;
(2) \(\displaystyle{\exists \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left\lbrack {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} - \ln n}\right\rbrack}\) .
14
📝 有解析
第14题
例 14 设 \({a}_{n}\) 单调增加, \({b}_{n}\) 单调下降,且 \(\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left( {{b}_{n} - {a}_{n}}\right) = 0\) ,求证: \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n}}\) 和 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{b}_{n}}\) 都存在,且 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n} = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{b}_{n}}\) .
15
📝 有解析
第15题
例 15 设 \(c > 0\) ,任取 \(0 < {x}_{0} < \frac{1}{c}\) ,作迭代序列
\[
{x}_{n + 1} = {x}_{n}\left( {2 - c{x}_{n}}\right) \;\left( {n = 0,1,2,\cdots }\right) .
\]
求 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n}}\) .
16
📝 有解析
第16题
例 16 设数列 \({x}_{n}\) 由如下递推公式定义:
\[
{x}_{0} = 1,\;{x}_{n + 1} = \frac{1}{1 + {x}_{n}}\;\left( {n = 0,1,2,\cdots }\right) .
\]
求证: \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}}\) .
17
📝 有解析
第17题
例 17 设 \(I\) 是某个区间,数列 \({x}_{n}\) 由迭代公式 \({x}_{n + 1} = f\left( {x}_{n}\right) (n \in\) \(N)\) 产生,如果对 \(\forall n \in N\) 推出 \({x}_{n} \in I\) . 求证:
(1)当 \(f\) 在区间 \(I\) 上严格单调增加时, \(\left\{ {x}_{n}\right\}\) 为严格单调数列；
(2)当 \(f\) 在区间 \(I\) 上严格单调减少时, \(\left\{ {x}_{n}\right\}\) 的两个子列 \(\left\{ {x}_{2n}\right\}\) 和 \(\left\{ {x}_{{2n} + 1}\right\}\) 都为严格单调数列,且具有相反的单调性.
19
📝 有解析
第19题
例 19 求证: 序列 \({x}_{n} = \frac{\cos 1}{1 \cdot 2} + \frac{\cos 2}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{\cos n}{n\left( {n + 1}\right) }\) 收敛.
20
📝 有解析
第20题
例 20 求证: 序列 \({x}_{n} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}}\) 发散.
21
📝 有解析
第21题
例 21 设序列 \({x}_{n}\) 无上界. 求证: 存在子序列 \(\left\{ {x}_{{n}_{k}}\right\}\) ,使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{x}_{{n}_{k}} = + \infty
\]
22
📝 有解析
第22题
例 22 求证: 序列 \(\left\{ {x}_{n}\right\}\) 有界的充分且必要条件是: \(\left\{ {x}_{n}\right\}\) 的任意子序列 \(\left\{ {x}_{{n}_{k}}\right\}\) 都有收敛的子序列.
1
📝 有解析
第1题
例 1 求下列极限:
(1) \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 + 0}}x\left\lbrack \frac{1}{x}\right\rbrack}\) ; (2) \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 - 0}}x\left\lbrack \frac{1}{x}\right\rbrack}\) .
2
📝 有解析
第2题
例 2 设 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = A\) ,求证: \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{\left\lbrack xf\left( x\right) \right\rbrack }{x} = A\) .
3
📝 有解析
第3题
例 3 设 \(a > 1,k > 0\) ,求证: \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{{x}^{k}}{{a}^{x}} = 0}\) .
4
📝 有解析
第4题
例 4 求下列极限:
(1) \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{\ln x}{{x}^{a}}\left( {a > 0}\right)\) ; (2) \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{x}^{\frac{1}{x}}}\) .
5
📝 有解析
第5题
例 5 设 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = a}\) ,求证: \(\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\left( 1 + \frac{{x}_{n}}{n}\right) }^{n} = {\mathrm{e}}^{a}\) .
6
📝 有解析
第6题
例 6 求证:
(1) \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{{a}^{x} - 1}{x} = \ln a\left( {a > 0}\right)\) ； (2) \(\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}n\left( {\sqrt[n]{a} - 1}\right) = \ln a\) .
5
📝 有解析
第5题
例 5 的结论,考虑引进一个变换 \({x}_{n}\) ,使得
\[
1 + \frac{{x}_{n}}{n} = \frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}}{2}.
\]
8
📝 有解析
第8题
例 8 设 \(\displaystyle{0 < {x}_{n} < + \infty}\) ,且满足 \({x}_{n + 1} + \frac{1}{{x}_{n}} < 2\) . 求证: \(\left\{ {x}_{n}\right\}\) 的极限存在, 并求出极限值.
9
📝 有解析
第9题
例 9 设当 \(x \rightarrow a\) 时, \({f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right)\) 为不为零的等价无穷小量. 若广义极限 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}\frac{g\left( x\right) }{{f}_{1}\left( x\right) }\) 存在,求证: \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}\frac{g\left( x\right) }{{f}_{2}\left( x\right) } = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}\frac{g\left( x\right) }{{f}_{1}\left( x\right) }\) ,并利用此结论求极限 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{1 - \cos x}{{\sin }^{2}x}}\) .
10
📝 有解析
第10题
例 10 设 \({x}_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}\) ,求证: \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = + \infty}\) .
11
📝 有解析
第11题
例 11 求证: 广义极限 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\tan n}\) 不存在.
12
📝 有解析
第12题
例 12 设 \(f\left( x\right)\) 在(a, b)内无上界. 求证:
\[
\exists \left\{ {x}_{n}\right\} ,\;{x}_{n} \in \left( {a,b}\right) \;\left( {n = 1,2,\cdots }\right) ,
\]
使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}f\left( {x}_{n}\right) = + \infty
\]
13
📝 有解析
第13题
例 13 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left( {a, + \infty }\right)\) 上单调上升, \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = + \infty}\) . 又设
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}f\left( {x}_{n}\right) = A
\]
求证: \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = A\) .
14
📝 有解析
第14题
例 14 设 \(f\left( x\right) ,g\left( x\right)\) 在 \(\left( {a, + \infty }\right)\) 上定义,且
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = + \infty ,\;\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}g\left( x\right) = + \infty ,
\]
求证: \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}g\left( {f\left( x\right) }\right) = + \infty\) .
15
📝 有解析
第15题
例 15 设 \({x}_{n} > 0\) ,求证: \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = 0 \Leftrightarrow \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{{x}_{n}} = + \infty}\) .
16
📝 有解析
第16题
例 16 求证:
(1) 若 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n} = 0}\) ,则 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n}}{n} = 0}\) ;
(2) 若 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{b}_{n} = b}\) ,则 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{b}_{1} + {b}_{2} + \cdots + {b}_{n}}{n} = b}\) .
17
📝 有解析
第17题
例 17 求证: 若 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n} = + \infty}\) ,则有 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n}}{n} = + \infty}\) .
18
📝 有解析
第18题
例 18 设 \({a}_{n} > 0\) ,且广义极限 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n} = a}\) 存在. 求证:
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{{a}_{1} \cdot {a}_{2} \cdot \cdots \cdot {a}_{n}} = a.
\]
19
📝 有解析
第19题
例 19 设 \({a}_{n} > 0\) ,且 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{a}_{n + 1}}{{a}_{n}} = a}\) ,求证: \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{{a}_{n}} = a}\) .
20
📝 有解析
第20题
例 20 设 \(\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left( {{a}_{n + 1} - {a}_{n}}\right) = a\) ,求证: \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{a}_{n}}{n} = a}\) .
21
📝 有解析
第21题
例 21 (1) 设 \(0 < {x}_{1} < 1,{x}_{n + 1} = {x}_{n}\left( {1 - {x}_{n}}\right)\) ,求证: \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}n{x}_{n} = 1}\) .
(2)设 \(0 < q < 1,0 < {x}_{1} < \frac{1}{q},{x}_{n + 1} = {x}_{n}\left( {1 - q{x}_{n}}\right)\) ,求证: \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}n{x}_{n} = \frac{1}{q}}\) .
22
📝 有解析
第22题
例 22 设 \({a}_{1} > 0,{a}_{n + 1} = {a}_{n} + \frac{1}{{a}_{n}}\) ,求证: \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{a}_{n}}{\sqrt{2n}} = 1}\) .
23
📝 有解析
第23题
例 23 设 \(f\left( x\right)\) 在(0,1)内有定义,且
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}f\left( x\right) = 0,\;\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{f\left( x\right) - f\left( \frac{x}{2}\right) }{x} = 0.
\]
求证: \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{f\left( x\right) }{x} = 0\) .
24
📝 有解析
第24题
例 24 指出函数 \(f\left( x\right) = \left\lbrack \frac{1}{x}\right\rbrack \left( {x > 0}\right)\) 的间断点,并说明属于哪一类间断点.
25
📝 有解析
第25题
例 25 对任意的实数 \(x\) ,定义
\[
f\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{x}^{{2n} - 1} - 1}{{x}^{2n} + 1}.
\]
试问函数 \(f\left( x\right)\) 有没有间断点,如果有,请指出在何处,什么类型?
26
📝 有解析
第26题
例 26 设 \(f\left( x\right)\) 在点 \(x = {x}_{0}\) 处连续,并且 \(f\left( {x}_{0}\right) > 0\) . 求证: \(\exists \delta >\) 0,当 \(\left| {x - {x}_{0}}\right| < \delta\) 时, \(f\left( x\right) > 0\) .
27
📝 有解析
第27题
例 27 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left( {0, + \infty }\right)\) 上连续,且满足条件
\[
f\left( {x}^{2}\right) = f\left( x\right) \;\left( {\forall x > 0}\right) .
\]
求证: \(f\left( x\right)\) 为一常数.
28
📝 有解析
第28题
例 28 设函数 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上单调上升, \(f\left( a\right) > a,f\left( b\right) < b\) . 求证: \(\exists c \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) ,使得 \(f\left( c\right) = c\) .
1
📝 有解析
第1题
例 1 求证: 方程 \({x}^{3} + {px} + q = 0\left( {p > 0}\right)\) 有且仅有一个根.
2
📝 有解析
第2题
例 2 . 设 \(f\left( x\right) \in C\left( {a,b}\right) ,{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n} \in \left( {a,b}\right)\) . 求证: \(\exists \xi \in\) (a, b),使得
\[
f\left( \xi \right) = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}f\left( {x}_{k}\right) . \tag{5.1}
\]
3
📝 有解析
第3题
例 3 设 \(f\left( x\right)\) 是 \(\left\lbrack {0,1}\right\rbrack\) 上的非负连续函数,且 \(f\left( 0\right) = f\left( 1\right) = 0\) . 求证: 对任意的实数 \(r\left( {0 < r < 1}\right)\) ,必存在 \({x}_{0} \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack\) ,使得 \({x}_{0} + r \in\) \(\left\lbrack {0,1}\right\rbrack\) ,且
\[
f\left( {x}_{0}\right) = f\left( {{x}_{0} + r}\right) . \tag{5.2}
\]
分析 作辅助函数 \(F\left( x\right) = f\left( x\right) - f\left( {x + r}\right)\) . 要找满足 (5.2) 的 \({x}_{0}\) ,就是找函数 \(F\left( x\right)\) 的零点.
4
📝 有解析
第4题
例 4 若 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left( {-\infty , + \infty }\right)\) 内连续,且 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}f\left( x\right)\) 存在. 求证: \(f\left( x\right)\) 在 \(\left( {-\infty , + \infty }\right)\) 内有界.
5
📝 有解析
第5题
例 5 设 \(f\left( x\right) \in C\left( {-\infty , + \infty }\right)\) ,且 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = + \infty\) . 求证: \(f\left( x\right)\) 在 \(\left( {-\infty , + \infty }\right)\) 内取到它的最小值.
思路 对任意的有限区间 \(\left\lbrack {A,B}\right\rbrack ,f\left( x\right)\) 在 \(\left( {-\infty , + \infty }\right)\) 上的最小值一定是 \(\left\lbrack {A,B}\right\rbrack\) 上的最小值,反过来显然是不一定对的. 但是能否适当选取 \(A,B\) ,使得 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {A,B}\right\rbrack\) 上的最小值也是在 \(\left( {-\infty , + \infty }\right)\) 上的最小值呢? 为此,只需在 \(\left\lbrack {A,B}\right\rbrack\) 上含有这样一个点 \({x}_{0}\) ,使得
\[
f\left( x\right) > f\left( {x}_{0}\right) \;\left( {\forall x \in \left( {-\infty , + \infty }\right) \smallsetminus \left\lbrack {A,B}\right\rbrack }\right) .
\]
6
📝 有解析
第6题
例 6 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上连续,对于区间 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 中的每一个点 \(x\) , 总存在 \(y \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) ,使得 \(\left| {f\left( y\right) }\right| \leq \frac{1}{2}\left| {f\left( x\right) }\right|\) . 求证: 至少存在一点 \(\xi \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) ,使得 \(f\left( \xi \right) = 0\) .
7
📝 有解析
第7题
例 7 设 \(f\left( x\right) \in C\left( {-\infty , + \infty }\right)\) ,且 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}f\left( {f\left( x\right) }\right) = \infty\) . 求证:
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}f\left( x\right) = \infty \text{ . }
\]
9
📝 有解析
第9题
例 9 设 \(f\left( x\right)\) 在(a, b)上一致连续. 求证:
(1) \(\exists \delta > 0\) ,使得对于 \(\forall {x}_{0}\) ,当 \(x \in \left( {a,b}\right) \cap \left( {{x}_{0} - \delta ,{x}_{0} + \delta }\right)\) 时,有
\[
\left| {f\left( x\right) }\right| \leq f\left( {x}_{0}\right) + 1.
\]
(2) \(f\left( x\right)\) 在(a, b)上有界.
10
📝 有解析
第10题
例 10 设 \(f\left( x\right) \in C\left( {-\infty , + \infty }\right)\) ,且
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow - \infty }}f\left( x\right) = A,\;\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = B.
\]
求证: \(f\left( x\right)\) 在 \(\left( {-\infty , + \infty }\right)\) 上一致连续.
11
📝 有解析
第11题
例 11 设 \(f\left( x\right) \in C\left( {a,b}\right)\) ,求证: \(f\left( x\right)\) 在(a, b)上一致连续的充分必要条件为: 极限 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a + 0}}f\left( x\right)\) 和 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow b - 0}}f\left( x\right)\) 都存在.
12
📝 有解析
第12题
例 12 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\lbrack 0, + \infty )\) 上一致连续,且对 \(\forall h > 0\) ,序列 \(\{ f\left( {nh}\right) \}\) 极限存在. 求证: \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right)\) 存在.
13
📝 有解析
第13题
例 13 设 \(f\left( x\right)\) 是在 \(\lbrack 0, + \infty )\) 上的非负连续函数,且满足对 \(\forall {x}_{1},{x}_{2} \geq 0\) 有 \(f\left( {{x}_{1} + {x}_{2}}\right) \leq f\left( {x}_{1}\right) + f\left( {x}_{2}\right)\) . 求证:
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{f\left( x\right) }{x} = \mathop{\inf }\limits_{{x > 0}}\frac{f\left( x\right) }{x}.
\]
1.1
📝 有解析
第1.1题
1. 1.1 设 \(\displaystyle{\max \{ \left| {a + b}\right| ,\left| {a - b}\right| \} < \frac{1}{2}}\) ,求证: \(\left| a\right| < \frac{1}{2},\left| b\right| < \frac{1}{2}\) .
1.1
📝 有解析
第1.1题
1.1.2 求证: 对 \(\forall a,b \in \mathbf{R}\) ,有 \(\displaystyle{\max \{ \left| {a + b}\right| ,\left| {a - b}\right| ,\left| {1 - b}\right| \} \geq \frac{1}{2}}\) .
1.1
📝 有解析
第1.1题
1.1.3 求证: 对 \(\forall a,b \in \mathbf{R}\) ,有
\[
\max \{ a,b\} = \frac{a + b}{2} + \frac{\left| a - b\right| }{2},\;\min \{ a,b\} = \frac{a + b}{2} - \frac{\left| a - b\right| }{2};
\]
并解释其几何意义.
1.1
📝 有解析
第1.1题
1.1.4 设 \(f\left( x\right)\) 在集合 \(X\) 上有界,求证:
\[
\left| {f\left( x\right) - f\left( y\right) }\right| \leq \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}f\left( x\right) - \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}f\left( x\right) \;\left( {\forall x,y \in X}\right) .
\]
1.1
📝 有解析
第1.1题
1.1.5 设 \(f\left( x\right) ,g\left( x\right)\) 在集合 \(X\) 上有界,求证:
\[
\mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) \} + \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ g\left( x\right) \} \leq \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) + g\left( x\right) \}
\]
\[
\leq \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) \} + \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\{ g\left( x\right) \} ;
\]
\[
\mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) \} + \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ g\left( x\right) \} \leq \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) + g\left( x\right) \}
\]
\[
\leq \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) \} + \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\{ g\left( x\right) \} .
\]
1.2
📝 有解析
第1.2题
1. 2.1 设 \(f\left( x\right) = \left| {1 + x}\right| - \left| {1 - x}\right|\) . (1) 求证: \(f\left( x\right)\) 是奇函数; (2) 求证: \(\left| {f\left( x\right) }\right| \leq 2\) ; (3) 求 \(\left( \underset{n\text{ 次 }}{\underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}}\right) \left( x\right)\) .
1.2
第1.2题
1.2.2 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left( {0, + \infty }\right)\) 上定义, \(a > 0,b > 0\) . 求证:
(1)若 \(\frac{f\left( x\right) }{x}\) 单调下降,则 \(f\left( {a + b}\right) \leq f\left( a\right) + f\left( b\right)\) ；
(2)若 \(\frac{f\left( x\right) }{x}\) 单调上升,则 \(f\left( {a + b}\right) \geq f\left( a\right) + f\left( b\right)\) .
1.2
第1.2题
1.2.3 利用上题证明: 当 \(a > 0,b > 0\) 时,有
(1)当 \(p > 0\) 时, \({\left( a + b\right) }^{p} \geq {a}^{p} + {b}^{p}\) ；
(2)当 \(0 < p < 1\) 时, \({\left( a + b\right) }^{p} \leq {a}^{p} + {b}^{p}\) .
1.2
📝 有解析
第1.2题
1.2.4 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\mathbf{R}\) 上定义,且 \(f\left( {f\left( x\right) }\right) \equiv x\) .
(1)问这种函数有几个?
(2)若 \(f\left( x\right)\) 为单调增加函数,问这种函数有几个?
1.2
📝 有解析
第1.2题
1.2.5 求证: 若 \(y = f\left( x\right) \left( {x \in \left( {-\infty , + \infty }\right) }\right)\) 是奇函数,并且它的图像关于直线 \(x = b\left( {b > 0}\right)\) 对称,则函数 \(f\left( x\right)\) 是周期函数并求其周期.
1.2
第1.2题
1.2.6 设 \(f : X \rightarrow Y\) 是满射, \(g : Y \rightarrow Z\) . 求证: \(g \circ f : X \rightarrow Z\) . 有反函数的充分必要条件为 \(f\) 和 \(g\) 都有反函数存在,且 \({\left( g \circ f\right) }^{-1} = {f}^{-1} \circ {g}^{-1}\) .
1.3
📝 有解析
第1.3题
1. 3.1 (2) \({x}_{n} = \frac{1}{{2}^{n}};\;\left( 3\right) {x}_{n} = \frac{n}{n + 1}\) .
1.3
📝 有解析
第1.3题
1.3.2 \(\displaystyle{x}_{n + 1} = 1 - \sqrt{1 - {x}_{n}}\overset{\text{ 写成 }}{ = }\frac{{x}_{n}}{1 + \sqrt{1 - {x}_{n}}} \Rightarrow 0 < {x}_{n} \downarrow \Rightarrow \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = 0}\) ,
\(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{x}_{n + 1}}{{x}_{n}} = \frac{1}{2}.}\)
1.3
📝 有解析
第1.3题
1.3.3 设 \(c > 1\) ,求序列 \(\sqrt{c},\sqrt{c\sqrt{c}},\sqrt{c\sqrt{c\sqrt{c}}},\cdots\) 的极限.
1.3
📝 有解析
第1.3题
1.3.4 设 \(A > 0,{x}_{1} > 0,{x}_{n + 1} = \frac{1}{2}\left( {{x}_{n} + \frac{A}{{x}_{n}}}\right) \left( {n = 1,2,\cdots }\right)\) .
(1)求证: \({x}_{n}\) 单调下降且有下界；
(2) 求 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n}}\) .
1.3
📝 有解析
第1.3题
1.3.5 设 \({F}_{0} = {F}_{1} = 1,{F}_{n + 1} = {F}_{n} + {F}_{n - 1}\) ,求证: \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{F}_{n - 1}}{{F}_{n}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}}\) .
1.3
📝 有解析
第1.3题
1.3.6 求证:
(1) \(\frac{1}{2\sqrt{n + 1}} < \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} < \frac{1}{2\sqrt{n}}\) ;
(2)序列 \({x}_{n} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} - 2\sqrt{n}\) 的极限存在.
1.3
📝 有解析
第1.3题
1.3.7 设 \(0 < {a}_{1} < {b}_{1}\) ,令
\[
{a}_{n + 1} = \sqrt{{a}_{n} \cdot {b}_{n}},\;{b}_{n + 1} = \frac{{a}_{n} + {b}_{n}}{2}\;\left( {n = 1,2,\cdots }\right) .
\]
求证: 序列 \(\left\{ {a}_{n}\right\} ,\left\{ {b}_{n}\right\}\) 的极限存在.
1.3
📝 有解析
第1.3题
1.3.8 求证: 如下序列的极限存在:
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left( {1 + \frac{1}{{2}^{2}}}\right) \left( {1 + \frac{1}{{3}^{2}}}\right) \cdots \left( {1 + \frac{1}{{n}^{2}}}\right) .
\]
1.3
📝 有解析
第1.3题
1.3.9 求证: 如下序列的极限存在:
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\left\lbrack \frac{\left( {2n}\right) !!}{\left( {{2n} - 1}\right) !!}\right\rbrack }^{2}\frac{1}{{2n} + 1}
\]
1.3
📝 有解析
第1.3题
1. 3.10 设 \(c > 0\) ,求序列
\[
\sqrt{c},\sqrt{c + \sqrt{c}},\sqrt{c + \sqrt{c + \sqrt{c}}},\cdots
\]
的极限.
1.3
📝 有解析
第1.3题
1.3.11 设 \({x}_{n} = {a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n}\) ,求证: 若 \({\widetilde{x}}_{n} = \left| {a}_{1}\right| + \left| {a}_{2}\right| + \cdots + \left| {a}_{n}\right|\) 极限存在,则 \(\left\{ {x}_{n}\right\}\) 极限存在.
1.3
📝 有解析
第1.3题
1.3.12 设 \({x}_{n} = {a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n},{y}_{n} = {b}_{1} + {b}_{2} + \cdots + {b}_{n},{z}_{n} = {c}_{1} + {c}_{2} + \cdots + {c}_{n}\) , 且 \({c}_{n} \leq {a}_{n} \leq {b}_{n}\left( {n = 1,2,\cdots }\right)\) ; 又设 \(\left\{ {y}_{n}\right\} ,\left\{ {z}_{n}\right\}\) 极限存在. 求证: \(\left\{ {x}_{n}\right\}\) 极限也存在.
1.3
📝 有解析
第1.3题
1. 3.13 设序列 \(\left\{ {x}_{n}\right\}\) 满足 \(\left| {{x}_{n + 1} - {x}_{n}}\right| \leq q\left| {{x}_{n} - {x}_{n - 1}}\right| \left( {n = 1,2,\cdots }\right)\) ,其中 \(0 < q < 1\) . 求证: 序列 \(\left\{ {x}_{n}\right\}\) 的极限存在.
1.3
📝 有解析
第1.3题
1.3.14 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left( {-\infty , + \infty }\right)\) 上满足条件:
\[
\left| {f\left( x\right) - f\left( y\right) }\right| \leq q\left| {x - y}\right| \;\left( {\forall x,y \in \left( {-\infty , + \infty }\right) }\right) ,
\]
其中 \(0 < q < 1\) . 对 \(\forall {x}_{1} \in \left( {-\infty , + \infty }\right)\) ,令 \({x}_{n + 1} = f\left( {x}_{n}\right) \left( {n = 1,2,\cdots }\right)\) . 求证: 序列 \(\left\{ {x}_{n}\right\}\) 的极限存在,且极限值是 \(f\left( x\right)\) 的不动点.
1.3
📝 有解析
第1.3题
1.3.15 设 \({x}_{0} = a,{x}_{1} = b\left( {b > a}\right)\) ,用如下公式定义序列的项:
\[
{x}_{2n} = \frac{{x}_{{2n} - 1} + 2{x}_{{2n} - 2}}{3}
\]
\({x}_{{2n} + 1} = \frac{2{x}_{2n} + {x}_{{2n} - 1}}{3}\)
求证: 序列 \(\left\{ {x}_{n}\right\}\) 极限存在.
1.4
📝 有解析
第1.4题
1. 4.1 设在正实轴上, \(h\left( x\right) \leq f\left( x\right) \leq g\left( x\right)\) ,且广义极限
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}h\left( x\right) = A = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}g\left( x\right)
\]
存在. 求证: \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}f\left( x\right) = A\) (分别讨论 \(\displaystyle{A = + \infty , - \infty}\) ,有限数三种情形).
1.4
📝 有解析
第1.4题
1.4.2 设 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) = + \infty ,\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) = A\left( { > 0}\right)\) ,求证:
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) g\left( x\right) = + \infty .
\]
1.4
📝 有解析
第1.4题
1.4.3 设 \(\displaystyle{0 < {x}_{n} < + \infty}\) ,且满足 \({x}_{n} + \frac{4}{{x}_{n + 1}^{2}} < 3\) . 求证: 极限 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n}}\) 存在,并求出此极限值.
1.4
📝 有解析
第1.4题
1.4.4 设 \(f\left( x\right)\) 是 \(\left( {-\infty , + \infty }\right)\) 上的周期函数,又
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = 0,
\]
求证: \(f\left( x\right) \equiv 0\) .
1.4
📝 有解析
第1.4题
1.4.5 设 \(f\left( x\right) ,g\left( x\right)\) 在 \(\left( {a, + \infty }\right)\) 上定义, \(g\left( x\right)\) 单调上升,且
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}g\left( {f\left( x\right) }\right) = + \infty .
\]
求证: \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = + \infty ,\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}g\left( x\right) = + \infty\) .
1.4
📝 有解析
第1.4题
1.4.6 设 \({x}_{n} = \frac{1}{1 \cdot n} + \frac{1}{2 \cdot \left( {n - 1}\right) } + \cdots + \frac{1}{\left( {n - 1}\right) \cdot 2} + \frac{1}{n \cdot 1}\) ,求 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n}}\) .
1.4
📝 有解析
第1.4题
1.4.7 设 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n}}{n} = a}\) ,求证: \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{a}_{n}}{n} = 0}\) .
1.4
📝 有解析
第1.4题
1.4.8 设 \(\left\{ {x}_{n}\right\}\) 满足 \(\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left( {{x}_{n} - {x}_{n - 2}}\right) = 0\) ,求证: \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{x}_{n}}{n} = 0}\) .
1.4
📝 有解析
第1.4题
1.4.9 适当定义 \(f\left( 0\right)\) ,使函数 \(f\left( x\right) = {\left( 1 - 2x\right) }^{\frac{1}{x}}\) 在点 \(x = 0\) 处连续.
1.4
📝 有解析
第1.4题
1.4.10 设 \(f\left( x\right) ,g\left( x\right) \in C\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) ,求证:
(1) \(\left| {f\left( x\right) }\right| \in C\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) ; (2) \(\max \{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \} \in C\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) ；
(3) \(\min \{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \} \in C\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) .
1.4
📝 有解析
第1.4题
1.4.11 设 \(f\left( x\right) \in C\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 单调上升,且 \(a < f\left( x\right) < b\left( {\forall x \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack }\right)\) . 对 \(\forall {x}_{1} \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) ,由递推公式 \({x}_{n + 1} = f\left( {x}_{n}\right) \left( {n = 1,2,\cdots }\right)\) 产生序列 \(\left\{ {x}_{n}\right\}\) . 求证: 极限 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n}}\) 存在,且其极限值 \(c\) 满足 \(c = f\left( c\right)\) .
1.4
📝 有解析
第1.4题
1.4.1
1.5
📝 有解析
第1.5题
1. 5.1 设 \(f\left( x\right) \in C\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) ,且 \(\left| {f\left( x\right) }\right|\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上单调. 求证: \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上不变号.
1.5
📝 有解析
第1.5题
1.5.2 设 \(f\left( x\right) \in C\left( {-\infty , + \infty }\right)\) ,且严格单调,又
\[
\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow - \infty }}f\left( x\right) = 0,\;\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = + \infty .
\]
求证: 方程 \({f}^{3}\left( x\right) - 6{f}^{2}\left( x\right) + {9f}\left( x\right) - 3\) 有且仅有三个根.
1.5
📝 有解析
第1.5题
1.5.3 设 \({f}_{n}\left( x\right) = {x}^{n} + x\) . 求证:
(1)对任意自然数 \(n > 1\) ,方程 \({f}_{n}\left( x\right) = 1\) 在 \(\left( {\frac{1}{2},1}\right)\) 内有且仅有一个根；
(2)若 \({c}_{n} \in \left( {\frac{1}{2},1}\right)\) 是 \({f}_{n}\left( x\right) = 1\) 的根,则 \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{c}_{n}}\) 存在,并求此极限值.
1.5
📝 有解析
第1.5题
1.5.4 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上无界. 求证: \(\exists c \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) ,使得对 \(\forall \delta > 0\) ,函数 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {c - \delta ,c + \delta }\right\rbrack \cap \left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上无界.
1.5
📝 有解析
第1.5题
1. 5.5 设 \(\left\{ {x}_{n}\right\}\) 为有界序列. 求证: \(\left\{ {x}_{n}\right\}\) 以 \(a\) 为极限的充分必要条件是: \(\left\{ {x}_{n}\right\}\) 的任一收敛子序列都有相同的极限值 \(a\) .
1.5
📝 有解析
第1.5题
1.5.6 设 \(f\left( x\right) ,g\left( x\right) \in C\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) . 求证:
\[
\mathop{\max }\limits_{{a \leq x \leq b}}\left| {f\left( x\right) + g\left( x\right) }\right| \leq \mathop{\max }\limits_{{a \leq x \leq b}}\left| {f\left( x\right) }\right| + \mathop{\max }\limits_{{a \leq x \leq b}}\left| {g\left( x\right) }\right| .
\]
1.5
📝 有解析
第1.5题
1.5.7 设 \(f\left( x\right) \in C\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) ,且有惟一的取到 \(f\left( x\right)\) 最大值的点 \({x}^{ * }\) ,又设
\[
{x}_{n} \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack \;\left( {n = 1,2,\cdots }\right) ,
\]
使得 \(\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}f\left( {x}_{n}\right) = f\left( {x}^{ * }\right)\) . 求证: \(\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = {x}^{ * }}\) .
1.5
📝 有解析
第1.5题
1. 5.8 设 \(f\left( x\right) \in C\lbrack 0, + \infty )\) ,又设对 \(\forall l \in \mathbf{R}\) ,方程 \(f\left( x\right) = l\) 在 \(\lbrack 0, + \infty )\) 上只有有限个解或无解. 求证:
(1) 如果 \(f\left( x\right)\) 在 \(\lbrack 0, + \infty )\) 上有界,则极限 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right)\) 存在;
(2)如果 \(f\left( x\right)\) 在 \(\lbrack 0, + \infty )\) 上无上界,则 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = + \infty\) .
1.5
📝 有解析
第1.5题
1. 5.9 设 \(f\left( x\right) \in C\left( {-\infty , + \infty }\right)\) ,存在 \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \pm \infty }}f\left( x\right) = + \infty\) ,且 \(f\left( x\right)\) 的最小值 \(f\left( a\right) < a\) . 求证: \(f\left( {f\left( x\right) }\right)\) 至少在两个点处取到它的最小值.
1.5
📝 有解析
第1.5题
1. 5.10 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上定义, \({x}_{0} \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) . 如果对 \(\forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0\) ,当 \(\left| {x - {x}_{0}}\right| < \delta\) 时,有 \(f\left( x\right) < f\left( {x}_{0}\right) + \varepsilon\) ,那么称 \(f\left( x\right)\) 在点 \({x}_{0}\) 处上半连续. 如果 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上的每一点都上半连续,则称 \(f\left( x\right)\) 为 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上的一个上半连续函数. 求证: \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上的上半连续函数一定有上界.
1.5
第1.5题
1.5.11 证明下列函数在实轴上一致连续:
(1) \(f\left( x\right) = \sqrt{1 + {x}^{2}}\) ; (2) \(f\left( x\right) = \sin x\) .
1.5
第1.5题
1.5.12 证明下列函数在实轴上不一致连续:
(1) \(f\left( x\right) = x\sin x\) ; (2) \(f\left( x\right) = \sin {x}^{2}\) .
1.5
📝 有解析
第1.5题
1.5.13 设 \(f\left( x\right)\) 在 \(\lbrack 0, + \infty )\) 上连续,对 \(\forall h \geq 0,\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}f\left( {h + n}\right) = A\) (有限数). 求证: \(\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = A\) .
1.5
第1.5题
1.5.14 设存在常数 \(L > 0\) ,使得 \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上满足
\[
\left| {f\left( x\right) - f\left( y\right) }\right| \leq L\left| {x - y}\right| ,\;\forall x,y \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack .
\]
求证: \(f\left( x\right)\) 在 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 上一致连续.
1.5
📝 有解析
第1.5题
1. 5.15 设函数 \(f\left( x\right) ,g\left( x\right)\) 在(a, b)内一致连续. 求证: \(f\left( x\right) + g\left( x\right)\) 与 \(f\left( x\right) \cdot g\left( x\right)\) 都在(a, b)内一致连续.
1.5
📝 有解析
第1.5题
1.5.16 设 \(f\left( x\right)\) 在(a, b)内一致连续,值域含于区间(c, d),又 \(g\left( x\right)\) 在 (c, d)内一致连续. 求证: \(g\left( {f\left( x\right) }\right)\) 在(a, b)内一致连续.
1.5
📝 有解析
第1.5题
1.5.17 设 \(f\left( x\right) \in C\left( {-\infty , + \infty }\right)\) ,且是周期为 \(T\) 的周期函数. 求证: \(f\left( x\right)\) 在实轴上一致连续.