第1章

1．设 $A, B$ 分别为下列两个给定的集合： （1）$A=\{1,2,3,4,5\}, B=\{2,4,6,8\}$ ； （2）$A=\mathbf{Z}^{+}, B=\mathbf{N}$ ； （3）$A=\{x \mid 3\lt x\lt 5\}, B=\{x \mid x\gt 4\}$ ； （4）$A=\left\{x \mid x^{2}+x-6\lt 0\right\}, B=\left\{x \mid x^{2}-2 x-3 \leqslant 0\right\}$ ； 试求 $A \cup B, A \cap B, A \backslash B, B \backslash A$ ．

10．设 $f(x)=\frac{1}{1-x}(x \neq 0, x \neq 1)$ ，求 $f[f(x)]$ 和 $f\{f[f(x)]\}$ ．

11．设 $f\left(\frac{1-x}{x}\right)=\frac{1}{x}+\frac{x^{2}}{2 x^{2}-2 x+1}-1(x \neq 0)$ ，求 $f(x)$ ．

12．设 $f(x)=3 x^{2}+4 x, \varphi(t)=\lg (1+t)$ ，求 $f[\varphi(t)], \varphi[f(x)]$ 及其定义域．

13．已知函数 $f(x)= \begin{cases}x^{2}, & 0 \leqslant x\lt 1, \\ 1, & 1 \leqslant x\lt 2, \\ 4-x, & 2 \leqslant x \leqslant 4 .\end{cases}$ （1）写出 $f(x)$ 的定义域，并画出函数 $f(x)$ 的图形； （2）求 $f(0), f(1.2), f(3), f(4)$ 。

14．设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+x, & x\lt 0, \\ \mathrm{e}^{x}, & x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 求复合函数 $f[f(x)]$ ．

15．试将函数 $f(x)=2|x-2|+|x-1|$ 表示成分段函数，并画出它的图像．

2．设 $U=\{1,2,3,4,5,6,7\}, A=\{2,3,4\}, B=\{3,6,7\}$ ，求 $A^{C}, B^{C}, A^{C} \cap B^{C},(A \cup B)^{C}$ 。

3．设 $A, B$ 都是集合 $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ 的子集，且 $A^{C} \cap B^{C}=\{1,3,7,9\}$ ，试求 $A \cup B$ ．

4．用区间表示适合下列不等式的变量 $x$ 的变化范围： （1） $2\lt x \leqslant 6$ ； （2）$|x|\lt 3$ ； （3）$|x-2|\lt \frac{1}{10}$ ； （4）$|x|\gt 100$ ； （5） $0\lt |x-1|\lt 0.01$ ； （6） $0\lt |x-2| \leqslant 5$ ．

5．设 $x \in U(1, \delta)$ 时，$|2 x-2|\lt \varepsilon$ ，当 $\varepsilon$ 分别等于 0.1 和 0.01 时，求邻域半径 $\delta$ 各等于多少．

6．求下列函数的定义域： （1）$y=\frac{x+3}{\sqrt{x^{2}-5 x+6}}$ ； （2）$y=4 \sqrt{3 x+2}+2 \arcsin \frac{x-1}{2}$ ； （3）$y=\sqrt{x}+\sqrt[3]{\frac{1}{x-2}}$ ； （4）$y=\ln \frac{1}{1-x}+\sqrt{x+2}$ ； （5）$y=\frac{2}{|x|-x}+\sqrt{\ln (3+x)}$ ； （6）$y=\frac{1}{[x+1]}$ ； （7）$y=f\left(x^{2}+1\right)$ ，其中 $f(x)$ 的定义域是 $[1,2]$ ； （8）$y=f(\sin x)+f(\ln x)$ ，其中 $f(x)$ 的定义域是 $[0,1)$ ．

7．设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin x, & -2\lt x\lt 0, \\ 1+x^{2}, & 0 \leqslant x\lt 2,\end{array}\right.$ 求 $f(1), f\left(\frac{\pi}{2}\right), f\left(-\frac{\pi}{4}\right), f(-3)$ 。

8．设 $f(x)=\sqrt{\sin x}+2 \cos ^{2} x$ ，求 $f\left(\frac{\pi}{2}\right), f\left(-\frac{\pi}{2}\right)$ ．

9．设 $f(x)=\sqrt{x^{2}-1}, g(x)=\sqrt{1-x^{2}}$ ，求 $f[g(x)], g[f(x)]$ ．

1．下列各题中的数列 $\left\{x_{n}\right\}$ ，哪些收敛？哪些发散？对于收敛数列，通过观察得出数列的极限： （1）$x_{n}=\frac{1}{a^{n}}(a\gt 1)$ ； （2）$x_{n}=2^{\frac{1}{n}}$ ； （3）$x_{n}=(-1)^{n} n$ ； （4）$x_{n}=\frac{n+2}{n+3}$ ； （5）$x_{n}=\frac{n}{2^{n}}$ ； （6）$x_{n}=\ln \frac{1}{n}$ ； （7）$x_{n}=\frac{n}{n^{2}+1}$ ； （8）$x_{n}=\frac{\sqrt{n^{2}+1}}{n}$ ； （9）$x_{n}=0 . \underbrace{999 \cdots 9}_{n}$ ； （10）$x_{n}=\frac{\sin n}{(n+1)^{2}}$ ．

2．计算下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}-1}{2 n^{2}+3 n}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{2 n^{3}}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n}+1}{3^{n}-1}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}}{n^{3}}$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1+2+\cdots+n}{n}-\frac{n}{2}\right)$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{n^{2}+n}-\sqrt{n^{2}+1}\right)$ ； （7） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} n\left(\sqrt{n^{2}+1}-n\right)$ ； （8） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt[n^{2}]{2} \cdot \sqrt[n^{2}]{2^{2}} \cdot \sqrt[n^{2}]{2^{3}} \cdots \cdot \sqrt[n^{2}]{2^{n}}\right)$ ； （9） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}[\sqrt{1+2+\cdots+n}-\sqrt{1+2+\cdots+(n-1)}]$ ； （10） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{n+3 \sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt{n}})$ ．

3．已知 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2016}}{n^{k}-(n-1)^{k}}=A \neq 0$ ，求 $k$ 的值．

＊4．下列说法作为 $a$ 是数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的极限，哪些是对的？哪些是错的？如果是对的，试说明理由；如果是错的，试给出一个反例． （1）对于无穷多个 $\varepsilon\gt 0$ ，存在 $N \in \mathbf{Z}^{+}$，当 $n\gt N$ 时，使得不等式 $\left|x_{n}-a\right|\lt \varepsilon$ 成立； （2）对于任给的 $\varepsilon\gt 0$ ，任给 $N \in \mathbf{Z}^{+}$，存在 $n\gt N$ ，使得不等式 $\left|x_{n}-a\right|\lt \varepsilon$ 成立； （3）对于任给的 $\varepsilon\gt 0$ ，存在 $N \in \mathbf{Z}^{+}$，当 $n \geqslant N$ 时，使得不等式 $\left|x_{n}-a\right|\lt \varepsilon$ 成立； （4）对于任给的 $\varepsilon\gt 0$ ，存在 $N \in \mathbf{Z}^{+}$，当 $n\gt N$ 时，使得不等式 $\left|x_{n}-a\right|\lt k \varepsilon, k \in \mathbf{R}^{+}$成立； （5）对于任给的 $m \in \mathbf{Z}^{+}$，存在 $N \in \mathbf{Z}^{+}$，当 $n\gt N$ 时，使得不等式 $\left|x_{n}-a\right|\lt \frac{1}{m}$ 成立。

＊5．下列结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，请举出反例． （1）若 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ，则 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left|x_{n}\right|=|a|$ ； （2）若 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left|x_{n}\right|=|a|$ ，则 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a(a \neq 0)$ ； （3）若 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 不存在， $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} y_{n}$ 不存在，则 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}+y_{n}\right)$ 必不存在； （4）若 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 不存在， $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} y_{n}$ 存在，则 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}+y_{n}\right)$ 必不存在； （5）若 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在， $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} y_{n}$ 不存在，则 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n} \cdot y_{n}\right)$ 必不存在； （6）若 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ，则 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=1$ ．

1．计算下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}+2 x+1}{x-1}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2} \frac{x-1}{\sqrt{x+1}}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-3 x+2}{x-1}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+2 x+1}{x^{4}-3 x+1}$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x^{2}+5 x-6}$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}$ ； （7） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} \sqrt[3]{x-1}$ ； （8） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1}$ ； （9） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^{3}}\right)$ ； （10） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} x\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)$ ； （11） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}}$ ； （12） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}\left(n \in \mathbf{Z}^{+}\right)$； （13） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{4 x^{2}+3 x+1}-\sqrt{4 x^{2}-3 x-2}\right)$ ； （14） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty}(\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x})$ ．

2．下列函数是否有水平渐近线？若有水平渐近线，写出其方程． （1）$y=\frac{3 x+1}{x}$ ； （2）$y=\frac{1}{x^{2}+1}$ ； （3）$y=\frac{x^{2}-3 x+2}{x^{2}-1}$ ； （4）$y=\frac{x^{2}+x-1}{x+1}$ ．

3．试求常数 $a$ 与 $b$ 的值，使得 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{3 x^{2}+4 x+1}-a x-b\right)=0$ ．

4．设 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-1} \frac{x^{3}-a x^{2}-x+4}{x+1}$ 存在且为 $l$ ，求 $a$ 与 $l$ 的值．

＊5．证明： $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ 的充要条件是 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-\infty} f(x)=A$ ．

1．已知 $x_{n}=\frac{(-1)^{n}}{(n+1)^{2}}$ ，证明数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的极限为 0 ．

2．证明 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{x-1}=2$ ．

3．用函数极限的定义证明 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} \arctan x=\frac{\pi}{2}$ ．

4．用数列极限定义证明： （1）如果 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ，则 $\displaystyle{\lim} _{k \rightarrow \infty} x_{2 k}=a, ~ \displaystyle{\lim} _{k \rightarrow \infty} x_{2 k+1}=a$ ； （2）如果 $\displaystyle{\lim} _{k \rightarrow \infty} x_{2 k}=a, ~ \displaystyle{\lim} _{k \rightarrow \infty} x_{2 k+1}=a$ ，则 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ 。

5．证明函数极限的唯一性：如果 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)$ 存在，那么该极限唯一。

6．证明函数极限的唯一性：如果 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在，那么该极限唯一。

7．证明函数的局部有界性：如果 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 存在，那么存在常数 $M\gt 0$ 和 $X\gt 0$ ，使得 $|x|\gt X$时，有 $|f(x)| \leqslant M$ ．

8．若 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a, \displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} y_{n}=b$ ，证明： （1） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n} \cdot y_{n}\right)=\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n} \cdot \displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} y_{n}=a \cdot b$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}=\frac{\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}}{\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} y_{n}}=\frac{a}{b}\left(\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} y_{n}=b \neq 0\right)$ ．

9．设 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A, \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=B$ ，证明： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}}[f(x) \pm g(x)]=A \pm B=\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \pm \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} g(x)$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}=\frac{\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} f(x)}{\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} g(x)}(B \neq 0)$ ．

1．求下列函数的极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{x}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan 4 x}{x}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0 \tan 3 x} \frac{\sin 2 x}{\tan 3 x}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} x \cdot \cot 2 x$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 2 x}{x \sin x}$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} 5^{n} \sin \frac{x}{5^{n}}$ ； （7） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow a} \frac{\cos x-\cos a}{x-a}$ ； （8） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x+\sin x}$ ； （9） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\arcsin 2 x}{\sin 3 x}$ ； （10） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \pi} \frac{\sin x}{\pi-x}$ ； （11） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{\sin ^{3} x}$ ； （12） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1}(1-x) \tan \frac{\pi x}{2}$ ．

2．求下列函数的极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{1}{x}}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}(1-4 x)^{\frac{1}{x}}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2 x}\right)^{x}$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1+x}{x}\right)^{2 x+1}$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{2 x+1}{2 x-3}\right)^{x}$ ； （7） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}\left(1+3 \tan ^{2} x\right)^{\cot ^{2} x}$ ； （8） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}(1+\cos x)^{2 \sec x}$ ； （9） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{\sin \frac{1}{x}}}$ ； （10） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{2}{3^{n}}\right)^{3^{n}}$ ； （11） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3 x-1}{3 x+1}\right)^{3 x-1}$ ； （12） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1}(2-x)^{\sec \frac{\pi x}{2}}$ ； （13） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0^{+}}(\cos \sqrt{x})^{\frac{1}{x}}$ ； （14） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}(\sin x)^{\tan x}$ ．

3．利用夹逼准则证明： （1） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\right)=1$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n}}{n!}=0$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(1+2^{n}+3^{n}\right)^{\frac{1}{n}}=3$ ．

＊4．如果函数 $f(x), g(x), h(x)$ 满足： （1）当 $x \in \dot{U}\left(x_{0}, r\right)$（或 $\left.|x|\gt X_{0}\right)$ 时，$g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{\substack{x \rightarrow x_{0} \\(x \rightarrow \infty)}} g(x)=A, \displaystyle{\lim} _{\substack{x \rightarrow x_{0} \\(x \rightarrow \infty)}} h(x)=A$ ，证明 $\displaystyle{\lim} _{\substack{x \rightarrow x_{0} \\(x \rightarrow \infty)}} f(x)$ 存在，且 $\displaystyle{\lim} _{\substack{x \rightarrow x_{0} \\(x \rightarrow \infty)}} f(x)=A$ ．

1．判断下列各题中，哪些是无穷小？哪些是无穷大？ （1） $3 x^{2}-2 x-1(x \rightarrow 1)$ ； （2）$\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}+1}}(x \rightarrow+\infty)$ ； （3） $\ln x(x \rightarrow+\infty)$ ； （4） $\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\left(x \rightarrow 0^{-}\right)$； （5）$x^{2}\left(3-\sin \frac{1}{x}\right)(x \rightarrow 0)$ ； （6） $\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\left(x \rightarrow 0^{+}\right)$．

2．当 $x \rightarrow 0\left(x \rightarrow 0^{+}\right)$时，下列哪些是 $x$ 的高阶无穷小？哪些是 $x$ 的同阶或等价无穷小？哪些是 $x$ 的低阶无穷小？并指出无穷小的阶数。 （1） $\mathrm{e}^{\sqrt{x}}-1$ ； （2）$x+2 x^{2}$ ； （3） $1-\cos x^{2}$ ； （4）$x^{4}+\sin 2 x$ ； （5）$\sqrt{x(1-x)}$ ； （6）$\frac{2}{\pi} \cos \frac{\pi}{2}(1-x)$ ； （7） $\ln \left(1+x^{\frac{3}{2}}\right)$ ； （8） $\sin \left(\tan ^{2} x\right)$ ； （9） $\csc x-\cot x$ ．

3．下列计算是否正确？如有错误，请指出错在何处。 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}=\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{x-x}{x^{3}}=0$ ．

4．计算下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+x}{x^{3}-2 x+1}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-2} \frac{x-2}{\sqrt{x+2}}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{3}-2 x+1}}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 3} \frac{x+2}{x^{2}-9}$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x^{3}\right)}{\sin ^{2} x}$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}$ ； （7） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}}{\ln \left(1+2 x^{3}\right)}$ ； （8） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan 3 x}{\ln (1-2 x)}$ ； （9） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0 \sqrt{1+x}-1} \frac{\mathrm{e}^{3 x}-1}{\sqrt{1+x}}$ ； （10） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (\sin x)}{x}$ ； （11） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} n[\ln (n+1)-\ln n]$ ； （12） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \mathrm{e}} \frac{\ln x-1}{x-\mathrm{e}}$ ； （13） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\mathrm{e}^{x}-1\right) \sin x}{1-\cos x}$ ； （14） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} x^{2}\left(1-\cos \frac{1}{x}\right)$ ； （15） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\sin x^{2}}-1}{x \tan x}$ ； （16） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (x \tan x)}{\sin 2 x}$ ．

5．证明： （1）有限个无穷小的和与差都是无穷小； （2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小，有限个无穷小的积是无穷小。

＊6．根据定义证明： （1）当 $x \rightarrow 0$ 时，$y=\frac{1+x}{x}$ 为无穷大； （2）当 $x \rightarrow 0^{+}$时，$y=x \sin \frac{1}{\sqrt{x}}$ 为无穷小。

＊7．函数 $y=x \cos x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上是否有界？又当 $x \rightarrow \infty$ 时，函数是否为无穷大？为什么？

＊8．求曲线 $f(x)=\frac{x^{2}+1}{x+1}(x \neq-1)$ 的斜渐近线方程．

1．选择题： （1）函数 $f(x)=\frac{1}{x(x-3)(x+5)}$ 在区间（ ）上连续； A．$(-4,3)$ B．$(-4,-1)$ C．（ $-8,-4$ ） D．$(1,4)$ （2）若 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} x^{k} \arctan \frac{2}{x^{2}}=2$ ，则 $k=(\quad)$ ； A． 2 B． 0 C．$\frac{1}{2}$ D． 1 （3） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{4 n^{2}+n}+n}{n+2}=(\quad)$ ； A．$\infty$ B． 0 C． 2 D． 3 （4）函数 $f(x)=\sqrt{x+1}+\frac{x^{2}-1}{(x-1)(x+3)}$ 的间断点的个数为（ ）； A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 （5）函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}, & x\gt 0 \\ x+1, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在点 $x=0$ 处间断是因为（ ）； A．$f(x)$ 在点 $x=0$ 无定义 B． $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)$ 和 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)$ 都不存在 C． $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} f(x)$ 不存在 D． $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} f(x) \neq f(0)$ （6）设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\mathrm{e}^{2 x}-1}{k x}, & x\gt 0, \\ 1-x, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在点 $x=0$ 处连续，则 $k=()$ ． A．-1 B． 1 C．-2 D． 2

10．证明：方程 $x^{5}-3 x-1=0$ 至少有一个实根介于 1 与 2 之间．

11．证明：方程 $x-a \sin x-b=0$（其中 $a\gt 0, b\gt 0$ ）至少有一个不超过 $a+b$ 的正根．

12．设函数 $f(x)$ 在 $[0,2 a]$ 上连续，且 $f(0)=f(2 a)$ ，证明至少存在一点 $\xi \in[0, a]$ ，使 $f(\xi)=f(a+\xi)$ ．

2．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形： （1）$f(x)= \begin{cases}x^{2}, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 2-x, & 1\lt x \leqslant 2 ;\end{cases}$ （2）$f(x)= \begin{cases}x, & -1 \leqslant x \leqslant 1, \\ 1, & x\lt -1, x\gt 1 ;\end{cases}$ （3）$f(x)= \begin{cases}|x|, & |x| \leqslant 1, \\ \frac{x}{|x|}, & 1\lt |x| \leqslant 3 ;\end{cases}$ （4）$f(x)= \begin{cases}2 x, & 0 \leqslant x\lt 1, \\ 3-x, & 1\lt x \leqslant 2 .\end{cases}$

3．下列函数在指出的点处是否间断？如果间断，说明这些间断点属于哪一类型．如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，使其连续． （1）$f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}-3 x+2}, x=1, x=2$ ； （2）$f(x)=\frac{x}{\tan x}, x=0, x=\frac{\pi}{2}, x=\pi$ ； （3）$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x-1, & x \leqslant 1, \\ 3-x, & x\gt 1,\end{array} \quad x=1\right.$ ； （4）$f(x)=\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}, x=0$ ； （5）$f(x)=\sin x \cos \frac{1}{x}, x=0$ ； （6）$f(x)=\ln (1+k x)^{\frac{m}{x}}, k, m \in \mathbf{R} \backslash\{0\}, x=0, x=1$ ．

4．设函数 $$ f(x)= \begin{cases}\mathrm{e}^{x}, & x\lt 0 \\ a+x, & x \geqslant 0\end{cases} $$ 应选择什么样的常数 $a$ ，使得 $f(x)$ 成为在 $(-\infty,+\infty)$ 内的连续函数？

5．设函数 $$ f(x)= \begin{cases}\frac{1}{x} \sin x, & x\lt 0 \\ a, & x=0 \\ x \sin \frac{1}{x}+1, & x\gt 0\end{cases} $$ 应选择什么样的常数 $a$ ，使得 $f(x)$ 成为在 $(-\infty,+\infty)$ 内的连续函数？

6．设分段函数 $$ f(x)= \begin{cases}\frac{\cos x}{x+2}, & x \geqslant 0, \\ \frac{\sqrt{a}-\sqrt{a-x}}{x}, & x\lt 0(a\gt 0) .\end{cases} $$ （1）$a$ 取什么值时，$x=0$ 是 $f(x)$ 的连续点？ （2）$a=2$ 时，求 $f(x)$ 的连续区间．

7．讨论函数 $$ f(x)= \begin{cases}\frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}-1}{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}+1}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{cases} $$ 在 $x=0$ 处的连续性．

8．求函数 $f(x)=\frac{x|x-2|}{\left(x^{2}-4\right) \sin x}$ 的间断点，并判断其类型．

9．讨论下列函数的连续性，若有间断点，判断其所属类型． （1）$f(x)=\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{1-x^{2 n}}{1+x^{2 n}} x$ ； （2）$f(x)=\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+x^{2 n}}$ ．

＊13．设 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内连续，并且 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=-\infty, \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=+\infty$ ，证明在 $(a$ ， $b)$ 内有零点． \begin{tabular}{|l|l|} \hline 函数概念与性质 & \begin{tabular}{l} 了解函数的定义域和表达式（集合的交、并、补） \\ 熟悉几类常见函数性质和图形（基本初等函数、复合函数、分段函数、初等函数） \end{tabular} \\ \hline 极限 & \begin{tabular}{l} 掌握数列的极限与计算 \\ 了解函数极限存在性与左右极限之间的关系 \\ 熟练有理函数无理函数极限的计算 \\ 了解夹逼定理和单调有界定理 \\ 熟练三角函数极限和幂指函数极限的计算 \\ 了解无穷小阶的概念，会用等价无穷小性质求极限 \end{tabular} \\ \hline 连续 & \begin{tabular}{l} 了解函数连续（左、右连续）与间断，会判定间断点类型 \\ 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） \end{tabular} \\ \hline \end{tabular}