第3章

1．下列等式中成立的是（）。 A． $\mathrm{d} \displaystyle{\int} f(x) \mathrm{d} x=f(x)$ B．$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \displaystyle{\int} f(x) \mathrm{d} x=f(x) \mathrm{d} x$ C．$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \displaystyle{\int} f(x) \mathrm{d} x=f(x)+C$ D． $\mathrm{d} \displaystyle{\int} f(x) \mathrm{d} x=f(x) \mathrm{d} x$

2．求下列不定积分： （1） $\displaystyle{\int}\left(x^{2}+5 \sqrt{x}+\ln 3\right) \mathrm{d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int} x \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}\left(1+\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}\left(\frac{2}{x^{2}}+\frac{3}{1+x^{2}}\right) \mathrm{d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int}\left(x^{2}+2^{x}+\frac{2}{x}\right) \mathrm{d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int}\left(a^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{2}{3}}\right) \mathrm{d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int}\left(2 x^{3}-\sin x+5 \sqrt{x}\right) \mathrm{d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int} \frac{\sqrt{x}-x+x^{2} \mathrm{e}^{x}}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int}(\sqrt{x}+1)(x-\sqrt{x}+1) \mathrm{d} x$ ； （10） $\displaystyle{\int}\left(1-\sqrt[3]{x^{2}}\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ； （11） $\displaystyle{\int} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （12） $\displaystyle{\int} \frac{x^{2}}{1-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （13） $\displaystyle{\int} \frac{1+2 x^{2}}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x$ ； （14） $\displaystyle{\int} \frac{3 x^{4}+3 x^{2}+1}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x$ ； （15） $\displaystyle{\int} \frac{1+x}{\sqrt[3]{x}} \mathrm{~d} x$ ； （16） $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{-x}\left[\mathrm{e}^{2 x}-\frac{\mathrm{e}^{x}(x+1)}{x^{2}}\right] \mathrm{d} x$ ； （17） $\displaystyle{\int}\left(2^{x}+3^{x}\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ； （18） $\displaystyle{\int} \frac{2 \cdot 3^{x}-5 \cdot 2^{x}}{3^{x}} \mathrm{~d} x$ ； （19） $\displaystyle{\int}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right) \sqrt{x \sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ； （20） $\displaystyle{\int}\left(\frac{3}{1+x^{2}}-\frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) \mathrm{d} x$ ； （21） $\displaystyle{\int} \frac{\cos 2 x}{\cos x-\sin x} \mathrm{~d} x$ ； （22） $\displaystyle{\int} \frac{1+\cos ^{2} x}{1+\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ； （23） $\displaystyle{\int}\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ； （24） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\cos ^{2} x \sin ^{2} x}$ ； （25） $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{x+2} \mathrm{~d} x$ ； （26） $\displaystyle{\int} 3^{2 x} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x$ ．

3．已知平面曲线 $y=f(x)$ 上任意一点 $M(x, y)$ 处的切线斜率为 $k=4 x^{3}-1$ ，且曲线经过点 $P(1,3)$ ，求该曲线方程．

4．一曲线上任意一点 $(x, y)$ 处的切线斜率为 $\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}$ ，且 $x=1$ 时，$y=0$ ，求曲线 $y=f(x)$的方程．

5．一曲线通过 $\left(\mathrm{e}^{2}, 3\right)$ ，且在任意一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程．

6．已知 $f^{\prime}(x)=1+x^{2}$ ，且 $f(0)=1$ ，求 $f(x)$ ．

7．设函数 $F(x)$ 满足 $F^{\prime}(x)=\frac{\cos 2 x}{\sin ^{2} 2 x}, F\left(\frac{\pi}{4}\right)=-1$ ，求 $F(x)$ ．

1．在下列各式等号的右端加上适当的系数，使等式成立． （1） $\mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ $\mathrm{d}(2 x) ;$ （2） $\mathrm{d} x=\ldots \mathrm{d}(5 x-2)$ ； （3）$x \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ $\mathrm{d}\left(x^{3}\right)$ ； （4）$x \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ $\mathrm{d}\left(3 x^{2}\right)$ ； （5）$x \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ $\mathrm{d}\left(3-2 x^{2}\right)$ ； （6）$x^{3} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ d $\left(5 x^{4}-2\right)$ ； （7） $\mathrm{e}^{2 x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ $\mathrm{d}\left(\mathrm{e}^{2 x}\right) ;$ （8） $\mathrm{e}^{-\frac{x}{3}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ $\mathrm{d}\left(1+\mathrm{e}^{-\frac{x}{3}}\right) ;$ （9） $\sin \frac{3}{4} x \mathrm{~d} x=$ d $\left(\cos \frac{3}{4} x\right)$ ； （11）$\frac{\mathrm{d} x}{x}=\ldots \mathrm{d}(3-5 \ln |x|)$ ；

2．用换元法求下列不定积分： （1） $\displaystyle{\int} \sin 3 x \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{2-3 x} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int} \sqrt{1-2 x} \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int}(1-3 x)^{9} \mathrm{~d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int} x \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （11） $\displaystyle{\int} \frac{x}{3-2 x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （13） $\displaystyle{\int} \frac{\ln x}{x} \mathrm{~d} x$ ； （15） $\displaystyle{\int} \frac{\sin (\ln x)}{x} \mathrm{~d} x$ ； （17） $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{\sin x} \cos x \mathrm{~d} x$ ； （19） $\displaystyle{\int} \sin ^{3} x \mathrm{~d} x$ ； （21） $\displaystyle{\int} \frac{1}{4+9 x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （23） $\displaystyle{\int} \frac{\arctan x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （25） $\displaystyle{\int} \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{e}^{\arctan x} \mathrm{~d} x$ ； （27） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{2}+2 x+2} \mathrm{~d} x$ ； （29） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{2}+3 x+4} \mathrm{~d} x$ ； （31） $\displaystyle{\int} \frac{6 x}{2+3 x} \mathrm{~d} x$ ； （33） $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{x} \operatorname{sine}^{x} \mathrm{~d} x$ ； （35） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{e}^{2 x}}{1+\mathrm{e}^{2 x}} \mathrm{~d} x$ ； （10）$\frac{\mathrm{d} x}{x}=$ $\_\_\_\_$ d $(3 \ln |x|) ;$ （12）$\frac{\mathrm{d} x}{1+9 x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ $\mathrm{d}(\arctan 3 x)$. （2） $\displaystyle{\int} \cos 5 x \mathrm{~d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int} \frac{1}{1+x} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int} \frac{1}{\sqrt{2-3 x}} \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int} \frac{1}{(1-x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （10） $\displaystyle{\int} x^{2} \sin x^{3} \mathrm{~d} x$ ； （12） $\displaystyle{\int} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （14） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x \ln x} \mathrm{~d} x$ ； （16） $\displaystyle{\int} \frac{\cos (\ln x)}{x} \mathrm{~d} x$ ； （18） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （20） $\displaystyle{\int} \cos ^{4} x \mathrm{~d} x$ ； （22） $\displaystyle{\int} \frac{1}{5-x} \mathrm{~d} x$ ； （24） $\displaystyle{\int} \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （26） $\displaystyle{\int} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}} \arcsin x} \mathrm{~d} x$ ； （28） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{2}-x+1} \mathrm{~d} x$ ； （30） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{2}+2 x+4} \mathrm{~d} x$ ； （32） $\displaystyle{\int} \frac{x^{2}}{x+1} \mathrm{~d} x$ ； （34） $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{x} \sqrt{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ； （36） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{2 x}} \mathrm{~d} x$ ； （37） $\displaystyle{\int} \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})} \mathrm{d} x$ ； （38） $\displaystyle{\int} \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} \mathrm{d} x$ ； （39） $\displaystyle{\int} \frac{1}{\sqrt{16-9 x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （40） $\displaystyle{\int} \frac{x+1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （41） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{2}} \cos \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$ ； （42） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （43） $\displaystyle{\int} \sin 3 x \sin 5 x \mathrm{~d} x$ ； （44） $\displaystyle{\int} \sin 3 x \cos 4 x \mathrm{~d} x$ ； （45） $\displaystyle{\int} x(5 x-1)^{15} \mathrm{~d} x$ ； （46） $\displaystyle{\int} \frac{x}{(3-x)^{7}} \mathrm{~d} x$ ； （47） $\displaystyle{\int} x \sqrt{x-3} \mathrm{~d} x$ ； （48） $\displaystyle{\int} \frac{\sqrt{x}}{1+x} \mathrm{~d} x$ ； （49） $\displaystyle{\int} \frac{x^{2}}{\sqrt[3]{2-x}} \mathrm{~d} x$ ； （50） $\displaystyle{\int} \frac{1}{1-\sqrt{2 x+1}} \mathrm{~d} x$ ； （51） $\displaystyle{\int} \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （52） $\displaystyle{\int} \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x} \mathrm{~d} x$ ； （53） $\displaystyle{\int} \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x} \mathrm{~d} x$ ； （54） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{2} \sqrt{1+x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．

4．用分部积分法求下列不定积分： （1） $\displaystyle{\int} x \ln x \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int} \frac{\ln x}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int} x^{2} \mathrm{e}^{2 x} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int} x \sin x \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int} x \sin 2 x \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int} x^{2} \cos x \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int} x \cos 3 x \mathrm{~d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int} \frac{x}{\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ； （10） $\displaystyle{\int}(x-1) 5^{x} \mathrm{~d} x$ ； （11） $\displaystyle{\int} \arcsin x \mathrm{~d} x$ ； （12） $\displaystyle{\int} \arctan \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ； （13） $\displaystyle{\int} \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ； （14） $\displaystyle{\int}(\arcsin x)^{2} \mathrm{~d} x$ ； （15） $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{-x} \sin x \mathrm{~d} x$ ； （16） $\displaystyle{\int} \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right) \mathrm{d} x$ ； （17） $\displaystyle{\int} \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} \mathrm{~d} x$ ； （18） $\displaystyle{\int} \frac{x \arctan x}{\sqrt{1+x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （19） $\displaystyle{\int} x \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ ； （20） $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{-x} \sin 2 x \mathrm{~d} x$ ； （21） $\displaystyle{\int} \ln (1+\sqrt[3]{x}) \mathrm{d} x$ ； （22） $\displaystyle{\int} \sin (\ln x) \mathrm{d} x$ ．

5．已知 $f(x)$ 的一个原函数是 $\mathrm{e}^{-x^{2}}$ ，求 $\displaystyle{\int} x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ ．

6．利用分部积分法计算 $\displaystyle{\int} \frac{x^{2} \mathrm{e}^{x}}{(x+2)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

＊3．用换元法计算下列不定积分： （1） $\displaystyle{\int} \frac{x}{(1+x)^{3}} \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int} \frac{x+2}{x^{2}+3 x+4} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right) \mathrm{e}^{x+\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int} \sqrt{\frac{\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}{1+x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int} \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt[3]{\sin x-\cos x}} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int} \frac{\cos x}{\sqrt{2+\cos 2 x}} \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int} \frac{x^{2}-1}{x^{4}+1} \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int} \frac{1}{1-x^{2}} \ln \frac{1+x}{1-x} \mathrm{~d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int} \frac{\sqrt{x+2}}{1+\sqrt{x+2}} \mathrm{~d} x$ ； （10） $\displaystyle{\int} \sqrt{5-4 x-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

1．求下列有理函数的积分． （1） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x(x-3)} \mathrm{d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{2}-4} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int} \frac{2 x+1}{x^{2}+2 x-15} \mathrm{~d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int} \frac{1}{4 x^{2}+4 x+10} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int} \frac{x-2}{x^{2}+2 x+3} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x\left(x^{2}+1\right)} \mathrm{d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int} \frac{x}{x^{3}-1} \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{4}-1} \mathrm{~d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int} \frac{2 x-5}{(x-1)^{2}(x+2)} \mathrm{d} x$ ； （10） $\displaystyle{\int} \frac{x^{3}+2 x^{2}+12 x+11}{x^{2}+2 x+10} \mathrm{~d} x$ ； （11） $\displaystyle{\int} \frac{x^{2}+x}{(x-2)^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （12） $\displaystyle{\int} \frac{x^{4}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

2．求下列三角函数有理式的积分． （1） $\displaystyle{\int} \frac{1}{3+5 \cos x} \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int} \cos ^{5} x \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int} \sin ^{2} x \cos ^{4} x \mathrm{~d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int} \frac{\sin ^{3} x}{\cos ^{4} x} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int} \frac{\sin ^{5} x}{\cos ^{4} x} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int} \cos 4 x \cos 6 x \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int} \frac{1}{1+\sin x} \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int} \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int} \frac{\sin x}{\sin ^{2} x+5 \cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ； （10） $\displaystyle{\int} \frac{1+\tan x}{\sin 2 x} \mathrm{~d} x$ ．

3．求下列无理函数的不定积分． （1） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x+1}{x-1}} \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}(a \neq b)$ ； （3） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{x}}}$ ； （4） $\displaystyle{\int} \frac{\ln x}{x \sqrt{1+\ln x}} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt[3]{(x-1)(x+1)^{2}}}$ ； （6） $\displaystyle{\int} \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt[3]{x+1}} \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1+x-x^{2}}}$ ．

3．利用定积分的几何意义，求下列各式的值： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x(a\gt 0)$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \mathrm{~d} x ;$

4．试用定积分表示如图3－10所示的平面图形的面积． <img src="/static/img/textbook/0caefcf74be0.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">

5．不计算积分，直接比较下列各组积分值的大小． （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x \mathrm{~d} x$ 与 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x^{2} \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{2}^{4} x \mathrm{~d} x$ 与 $\displaystyle{\int}_{2}^{4} x^{2} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x$ 与 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{-1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x$ 与 $\displaystyle{\int}_{0}^{-1} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \sin x \mathrm{~d} x$ 与 $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} \sin x \mathrm{~d} x$ 与 $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} \cos x \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{1}^{\mathrm{e}} \ln x \mathrm{~d} x$ 与 $\displaystyle{\int}_{1}^{\mathrm{e}} \ln ^{2} x \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{~d} x$ 与 $\displaystyle{\int}_{\pi}^{2 \pi} \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

6．估计下列定积分值的范围： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(1+\cos ^{4} x\right) \mathrm{d} x$ ．

7．证明不等式 $\displaystyle{\int}_{2}^{3} \sqrt{x^{2}-x} \mathrm{~d} x \geqslant \sqrt{2}$ ．

8．求极限 $\displaystyle{\lim _{n \rightarrow \infty} \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．

＊1．利用定积分的定义计算下列定积分： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{4}(2 x+3) \mathrm{d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x^{3} \mathrm{~d} x$（提示：把区间 $n$ 等分，取 $\xi_{i}$ 为小区间右端点，并注意到 $1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}= \left.\frac{1}{4} n^{2}(n+1)^{2}\right)$ ．

＊2．将和式极限 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left[\sin \frac{\pi}{n}+\sin \frac{2 \pi}{n}+\cdots+\sin \frac{(n-1) \pi}{n}\right]$ 表示成定积分．

＊9．曲边梯形由曲线 $x=g(y)$ 、直线 $y=c 、 y=d$ 和 $y$ 轴所围（见图3－11），试用定积分定义导出其面积的定积分表示式。 <img src="/static/img/textbook/8ddf44b069ca.jpg" style="max-width:100%;height:auto;"> \s

1．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $\displaystyle{\int}_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 与 $\displaystyle{\int}_{x}^{b} f(u) \mathrm{d} u$ 是 $x$ 的函数还是 $t$ 或 $u$ 的函数？它们的导数存在吗？如果存在，等于什么？

10．设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin x, & 0 \leqslant x\lt \frac{\pi}{2}, \\ x, & \frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \pi,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x$ ．

11．设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x}{x^{2}}, & x\lt 0, \\ 2, & x=0, \\ \frac{x_{0}^{x^{2}} \cos x^{2} \mathrm{~d} x}{2 x^{2}}, & x\gt 0,\end{array}\right.$ 求（1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} f(x) ;(2) f(x)$ 在 $x=0$ 处连续吗？为什么？

12．已知 $f^{\prime}(x) \cdot \displaystyle{\int}_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=50$ ，且 $f(0)=0$ ，试求 $f(x)$ ．

13．设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且 $f(x)\gt 0$ ．证明函数 $F(x)=\frac{\displaystyle{\int}_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t}{\displaystyle{\int}_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t}$ 在 $(0,+\infty)$内为单调增加函数．

2．求下列函数的导数： （1）$y=\displaystyle{\int}_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}-t} \mathrm{~d} t$ ； （2）$y=\displaystyle{\int}_{0}^{\sqrt{x}} \cos t^{2} \mathrm{~d} t$ ； （3）$y=\displaystyle{\int}_{x^{2}}^{5} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ ； （4）$y=\displaystyle{\int}_{2 x}^{x^{2}} \sqrt{1+t^{3}} \mathrm{~d} t$ ； （5）$y=\displaystyle{\int}_{\sqrt{x}}^{\sqrt[3]{x}} \ln \left(1+t^{6}\right) \mathrm{d} t ;$ （6）$y=\displaystyle{\int}_{\sin x}^{\cos x} \cos \left(\pi t^{2}\right) \mathrm{d} t$ ．

3．设 $g(x)$ 是连续函数，且 $\displaystyle{\int}_{0}^{x^{2}-1} g(t) \mathrm{d} t=-x$ ，求 $g(3)$ ．

4．设 $f(x)=\displaystyle{\int}_{-x}^{\sin x} \arctan \left(1+t^{2}\right) \mathrm{d} t$ ，求 $f^{\prime}(0)$ ．

5．求由参数表达式 $x=\displaystyle{\int}_{0}^{t} \sin u^{2} \mathrm{~d} u, y=\displaystyle{\int}_{0}^{t} \cos u^{2} \mathrm{~d} u$ 所确定的函数对 $x$ 的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ．

6．设 $y(x)$ 是由方程 $\displaystyle{\int}_{0}^{y} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t+\displaystyle{\int}_{0}^{x} \cos \left(t^{2}\right) \mathrm{d} t=0$ 所确定的隐函数，求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ．

7．求函数 $f(x)=\displaystyle{\int}_{0}^{x}(1+t) \arctan t \mathrm{~d} t$ 的极小值．

8．求下列极限： （1） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\displaystyle{\int}_{0}^{x} \sin t^{2} \mathrm{~d} t}{x^{3}}$ ； （2） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\displaystyle{\int}_{1}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t}{\ln x}$ ； （3） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\displaystyle{\int}_{0}^{x} 2 t \cos t \mathrm{~d} t}{1-\cos x}$ ； （4） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\displaystyle{\int}_{0}^{x} \cos \left(t^{2}\right) \mathrm{d} t}{\ln (1+x)}$ ； （5） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\displaystyle{\int}_{0}^{x}(\arctan t)^{2} \mathrm{~d} t}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ； （6） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\displaystyle{\int}_{0}^{\sin x} \sqrt{\tan t} \mathrm{~d} t}{\displaystyle{\int}_{0}^{\tan x} \sqrt{\sin t} \mathrm{~d} t}$ ； （7） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\displaystyle{\int}_{0}^{x^{2}} t^{\frac{3}{2}} \mathrm{~d} t}{\displaystyle{\int}_{0}^{x} t(t-\sin t) \mathrm{d} t}$ ； （8） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\displaystyle{\int}_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t\right)^{2}}{\displaystyle{\int}_{0}^{x} t \mathrm{e}^{2 t^{2}} \mathrm{~d} t}$ ．

9．计算下列定积分： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} h}{\sqrt{2 g h}}$（ $g$ 为常量）； （2） $\displaystyle{\int}_{1}^{\sqrt{\mathrm{e}}} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{2}(4-2 x)\left(4-x^{2}\right) \mathrm{d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{2} \theta \mathrm{~d} \theta$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{-1}^{0} \frac{3 x^{4}+3 x^{2}+1}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int}_{0}^{2}|1-x| \mathrm{d} x$ ； （10） $\displaystyle{\int}_{0}^{2 \pi}|\sin x| \mathrm{d} x$ ； （11） $\displaystyle{\int}_{-3}^{3}(|x-1|+|x-2|) \mathrm{d} x$ ； （12） $\displaystyle{\int}_{-3}^{2} \min \left\{1, \mathrm{e}^{x}\right\} \mathrm{d} x$.

1．用定积分的换元法计算下列积分： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{1}\left(2 x^{2}-\sqrt[3]{x}+1\right) \mathrm{d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \varphi \cos ^{3} \varphi \mathrm{~d} \varphi$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{T}{2}} \sin \left(\frac{2 \pi}{T} t-\varphi_{0}\right) \mathrm{d} t$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{-2}^{-1} \frac{1}{x^{2}+4 x+5} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{1}{9 x^{2}+6 x+1} \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\cos \theta} \mathrm{d} \theta$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} \sqrt{1+\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos x) \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ ； （10） $\displaystyle{\int}_{\frac{1}{\pi}}^{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$ ； （11） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{2} \theta \mathrm{~d} \theta$ ； （12） $\displaystyle{\int}_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cot ^{2} t \mathrm{~d} t$ ； （13） $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi}\left(1-\sin ^{3} \theta\right) \mathrm{d} \theta$ ； （14） $\displaystyle{\int}_{0}^{2}\left(1+x \mathrm{e}^{\frac{x^{2}}{4}}\right) \mathrm{d} x$ ； （15） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （16） $\displaystyle{\int}_{-1}^{0} \frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （17） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{1}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{~d} x$ ； （18） $\displaystyle{\int}_{1}^{-1} \frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{~d} x$ ； （19） $\displaystyle{\int}_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2 x}+1} \mathrm{~d} x$ ； （20） $\displaystyle{\int}_{1}^{\mathrm{e}^{2}} \frac{1}{x \sqrt{\ln x+1}} \mathrm{~d} x$ ．

10．计算 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $f(x)=\displaystyle{\int}_{1}^{x^{2}} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ ．

11．设 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上连续，证明以下结论成立． （1）若 $f(x)$ 在区间 $[-a, a](a\gt 0)$ 上连续且为偶函数，则 $\displaystyle{\int}_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=2 \displaystyle{\int}_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x$ ； （2）若 $f(x)=f(x+T)$（ $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的周期函数），则 $$ \displaystyle{\int}_{a}^{a+T} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle{\int}_{0}^{T} f(x) \mathrm{d} x ; $$ （3） $\int_{0}^{\pi} f(\sin x) \mathrm{d} x=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x$ ； （4） $\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) \mathrm{d} x$ ．

2．用定积分的换元法计算下列积分： （1） $\displaystyle{\int}_{1}^{5} \frac{\sqrt{x-1}}{x} \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{4} \frac{\mathrm{~d} u}{1+\sqrt{u}}$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{3}} \mathrm{~d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{(x+1)^{3}}} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^{2} \sqrt{1+x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x^{2} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{-2}^{-1} \frac{\mathrm{~d} x}{x \sqrt{x^{2}-1}}$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{1}^{2} \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x} \mathrm{~d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int}_{0}^{1}\left(1+x^{2}\right)^{-\frac{3}{2}} \mathrm{~d} x$ ； （10） $\displaystyle{\int}_{\sqrt{\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}} \frac{1}{x \sqrt{\ln x(1-\ln x)}} \mathrm{d} x($ 提示：令 $t=\ln x)$ ．

3．用定积分的分部积分法求下列积分： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{\mathrm{e}-1} \ln (x+1) \mathrm{d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \arccos x \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \arctan 2 x \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{x}{\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{2 \pi} \mathrm{e}^{2 x} \cos x \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{0}^{1}(\arcsin x)^{2} \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x \mathrm{~d} x}{1+\cos 2 x}$ ； （9） $\displaystyle{\int}_{0}^{4} \cos (\sqrt{x}-1) \mathrm{d} x$ ； （10） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{8}} x \sin x \cos x \cos 2 x \mathrm{~d} x$ ； （11） $\displaystyle{\int}_{1}^{\mathrm{e}} \sin (\ln x) \mathrm{d} x$ ； （12） $\displaystyle{\int}_{0}^{3} \arcsin \sqrt{\frac{x}{1+x}} \mathrm{~d} x$ ； ＊（13）$J_{m}=\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} x \sin ^{m} x \mathrm{~d} x\left(m \in \mathbf{Z}^{+}\right)$．

4．计算下列定积分： （1） $\displaystyle{\int}_{-1}^{1}\left(\frac{x \sin ^{4} x}{1+x^{8}}+3 x^{2}|x|\right) \mathrm{d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{-2}^{2} \max \left\{1, x^{2}\right\} \mathrm{d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{1}^{4}\left|t^{2}-3 t+2\right| \mathrm{d} t$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\ln ^{2}(1-x)} \mathrm{d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{0}^{n \pi} \sqrt{1-\sin 2 x} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．

5．设 $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $f(0)=1, f(2)=3, f^{\prime}(2)=5$ ，求 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x f^{\prime \prime}(2 x) \mathrm{d} x$ ．

6．已知 $\displaystyle{\int}_{x}^{2 \ln 2} \frac{\mathrm{~d} t}{\sqrt{\mathrm{e}^{t}-1}}=\frac{\pi}{6}$ ，求 $x$ ．

7．已知 $f(x)$ 满足方程 $$ f(x)=3 x-\sqrt{1-x^{2}} \displaystyle{\int}_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x $$ 求 $f(x)$ 。

8．求函数 $I(x)=\displaystyle{\int}_{1}^{x} t(1+2 \ln t) \mathrm{d} t$ 在 $[1, \mathrm{e}]$ 上的最大值与最小值．

9．设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x \mathrm{e}^{-x^{2}}, & x \geqslant 0, \\ \frac{1}{1+\cos x}, & -1\lt x\lt 0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle{\int}_{1}^{4} f(x-2) \mathrm{d} x$ ．

1．求下列平面图形的面积： （1）由 $y^{2}=x$ 和 $y=x^{2}$ 所围成的图形； （2）由抛物线 $y+1=x^{2}$ 与直线 $y=1+x$ 所围成的图形； （3）由抛物线 $y=x^{2}$ 与直线 $x+y=2$ 所围成的图形； （4）由抛物线 $y=2 x-x^{2}$ 与直线 $x+y=0$ 所围成的图形； （5）由 $y^{2}=2 x$ 和 $y=x-4$ 所围成的图形； （6）由 $y=\mathrm{e}^{x}, y=\mathrm{e}^{-x}$ 和 $x=1$ 所围成的图形； （7）由曲线 $y=x^{3}-6 x$ 和 $y=x^{2}$ 所围成的图形； （8）由三次抛物线 $y=x^{3}$ 与直线 $y=2 x$ 所围成的平面图形； （9）由曲线 $x y=1$ 及直线 $y=x$ 和 $y=2$ 所围成的平面图形； （10）由曲线 $y=|\ln x|$ 与直线 $x=\frac{1}{\mathrm{e}}, x=\mathrm{e}$ 和 $x$ 轴所围成的平面图形。

2．求拖物线 $y=-x^{2}+4 x-3$ 及其在点 $(0,-3)$ 和（ 3,0 ）处的切线所围平面图形的面积．

3．求下列平面图形的面积： （1）由摆线 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t)\end{array}\right.$ 的一拱 $(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ 与横轴所围成的图形； （2）星形线 $\left\{\begin{array}{c}x=a \cos ^{3} t, \\ y=a \sin ^{3} t\end{array}(a\gt 0)\right.$ 所围成的图形； ＊（3）由曲线 $\rho=\sqrt{2} \sin \theta$（圆周）和 $\rho^{2}=\cos 2 \theta$（双纽线）所围成图形的公共部分； ＊（4）由 $\rho=1$ 和 $\rho^{2}=2 \cos 2 \theta$ 所围成图形的公共部分．

4．求下列旋转体的体积： （1）曲线 $y=\sqrt{x}$ 与直线 $x=1, x=4$ 和 $x$ 轴所围成的平面图形绕 $x$ 轴和 $y$ 轴旋转而得的旋转体； （2）曲线 $y=\mathrm{e}^{-x}$ 与直线 $y=0, x=1$ 所围成的位于第一象限内的平面图形绕 $x$ 轴旋转而得的旋转体； （3）曲线 $y=\sin x$ 和 $y=\cos x$ 与 $x$ 轴在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转而得的旋转体； （4）曲线 $y=x^{2}$ 和 $x=y^{2}$ 所围成的平面图形分别绕 $x$ 轴和 $y$ 轴旋转而得的旋转体； （5）曲线 $y=x^{2}$ 和 $y=2-x^{2}$ 所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转而得的旋转体； （6）已知抛物线 $y^{2}=8 x$ ，求 （1）抛物线在点 $(2,4)$ 处的法线方程， （2）抛物线 $y \geqslant 0$ 的部分及其在 $(2,4)$ 处的法线和 $x$ 轴所围成图形绕 $y$ 轴旋转而得的旋转体； （7）试用两种方法计算由 $y=(x-1)(x-2)$ 和 $y=0$ 所围成的平面图形绕 $y$ 轴旋转而得的旋转体。

5．一物体，其底面是半径为 $r$ 的圆，用垂直于底圆某一直径的平面截该物体，所得截面都是正方形，求该物体的体积。

6．立体底面为抛物线 $y=x^{2}$ 与直线 $y=1$ 围成的图形，而任一垂直于轴的截面分别为 （1）正方形，（2）等边三角形，（3）半圆形，求对应情况下立体的体积。

7．求下列曲线的弧长． （1）曲线 $x=a(\cos t+t \sin t), y=a(\sin t-t \cos t)(a\gt 0,0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ ； （2）抛物线 $y^{2}=2 p x$ 从顶点到该曲线上的一点 $M(x, y)$ 的弧； （3）曲线 $y=x^{\frac{3}{2}}$ 在 $0 \leqslant x \leqslant 4$ 一段的弧； （4）曲线 $y=\ln (\cos x)$ 在 $0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{4}$ 一段的弧； （5）曲线 $x=\frac{1}{4} y^{2}-\frac{1}{2} \ln y$ 在 $1 \leqslant y \leqslant \mathrm{e}$ 一段的弧； （6）曲线 $x=\arctan t, y=\frac{1}{2} \ln \left(1+t^{2}\right)$ 自 $t=0$ 到 $t=1$ 的一段弧； （7）阿基米德螺线 $r=a \theta(a\gt 0)$ 上相应于 $\theta$ 从 0 到 $2 \pi$ 的弧； （8）极坐标系下曲线 $r=a\left(\sin \frac{\theta}{3}\right)^{3}(a\gt 0,0 \leqslant \theta \leqslant 3 \pi)$ ．

8．在摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)$ 上求分摆线第一拱成 $1: 3$ 的点的坐标。

＊10．一圆柱形的容器高为 5 m ，底圆半径为 3 m ，容器内盛满水，若将其中的水全部抽出，需做多少功？

＊11．弹性体所受压缩之力 $F$ 与缩短距离 $x$ 之间的关系按胡克定律 $F=k x$ 计算，现有一个弹簧，原长为 1 m ，每压缩 1 cm ，需力 5 N ，若自 80 cm 压缩至 60 cm ，则做了多少功？

＊12．一横截面为等腰梯形的贮水池，梯形上底长 6 m ，下底长 4 m ，深 2 m ，长 8 m ，要把满池水全部抽到距水池上方 20 m 的水塔中，需做功多少？

＊13．一块底为 4 m 、高为 3 m 的等腰三角形平板铅直地置于水中，底边在上，平行于水面，位于水面下 1 m ，求该平板的一侧受到的水压力。

＊14．某下水道的横截面是直径为 3 m 的圆，水平铺设，下水道内水深 1.5 m ，求与下水道垂直的闸门所受的压力。

＊9．一圆锥形容器，上底半径为 1 m ，高 3 m ，锥中盛水深 2 m ，如将水全部抽出，需做功多少？

1．讨论下列广义积分的玫散性，若收敛，求出其值： （1） $\displaystyle{\int}_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} x \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{5}^{+\infty} \frac{1}{x(x+5)} \mathrm{d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}+x+1} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} \sin x \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{1}^{+\infty} \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{1}^{+\infty} \frac{1}{x \sqrt{1+x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} \frac{1}{x \sqrt{x+1}} \mathrm{~d} x$ ．

2．讨论下列广义积分的玫散性，若收敛，求出其值： （1） $\displaystyle{\int}_{1}^{2} \frac{1}{x \ln x} \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{2} \frac{1}{(1-x)^{3}} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{1}{(2-x) \sqrt{1-x}} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{x^{3} \arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{-1}^{1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \mathrm{~d} x$ ．

3．设反常积分 $I=\displaystyle{\int}_{2}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(\ln x)^{k}}$ ，问：$k$ 为何值时，（1）$I$ 发散，（2）$I$ 收敛，（3）$I$ 取得最小值？ \begin{tabular}{|l|l|} \hline 不定积分 & \begin{tabular}{l} 理解原函数和不定积分的概念、性质，积分与微分的关系 \\ 会求不定积分（基本公式、线性运算、凑微分法、换元技巧、分部积分） \end{tabular} \\ \hline 定积分 & \begin{tabular}{l} 理解 定积分的概念与性质 \\ 理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 \\ 会求定积分、广义积分 \end{tabular} \\ \hline 定积分应用 & \begin{tabular}{l} □定积分求几何问题（面积、体积、弧长）<img src="https://cdn.mathpix.com/cropped/47bc7961-a74f-420f-9eb2-297b2b074422-225.jpg?height=41\&width=61\&top_left_y=950\&top_left_x=505" style="max-width:100%;height:auto;"> \\ 定积分求物理问题（变力做功、侧压力） \end{tabular} \\ \hline \end{tabular}