多元函数微分学

7．下列说法正确的是（ ）．

5．设 $z=x y$ ，则 $\left.d z\right|_{(1,2)}=$ $\_\_\_\_$。

6．设 $x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=1$ ，则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)}=$ $\_\_\_\_$

1．计算由曲线 $y=\cos x\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right), x=0$ 和 $y=0$ 所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所得到的旋转体的体积．

2．求二元函数 $f(x, y)=x^{3}+y^{3}-3 x y$ 的极值．

1．$f(x, y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ；

2．$f(x, y)=x^{y^{2}+1}$ ．

1．反常积分 $\displaystyle{\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{p}} d x}$ 收敛，则（ ）．

2．假设 $f(x), g(x)$ 为闭区间 $[a, b]$ 上的连续函数，那么两个函数对应的曲线 $y=f(x)$ ，suo $y=g(x)$在区间 $[a, b]$ 所夹部分的面积的正确表达为（ ）．

3．设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 出存在偏导数，则 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=(\quad)$

8．二元函数 $z=f(x, y)$ 的两个偏导数存在，且 $\frac{\partial z}{\partial x}>0$ ，则（ ）

4．二元函数 $z=x y$ 的驻点为 $\_\_\_\_$ ．

5．设 $z=x^{2} y$ ，则 $\left.d z\right|_{(1,2)}=$ $\_\_\_\_$。

6．设 $3 x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=1$ ，则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)}=$ $\_\_\_\_$

2．求二元函数 $f(x, y)=x^{3}+y^{3}-3 x y$ 的极值．

1．$f(x, y)=(x+y)^{x y}$ 。

2．$f(x, y)=\sin \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 。

7．下列说法正确的是（ ）． 的极值点

5．设 $z=x y$ ，则 $\left.d z\right|_{(1,2)}=$ $\_\_\_\_$。

6．假设 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ ，则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)}=$ $\_\_\_\_$

1．计算由曲线 $y=\cos x\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right), x=0$ 和 $y=0$ 所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所得到的旋转体的体积。

2．某工厂要做一个容积为 $2 m^{3}$ 的有盖长方体水箱，水箱的长、宽、高分别取多少，能使得用料最省。

1．$f(x, y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ；

2．$f(x, y)=\left(x^{2}+1\right)^{y}$ ．

2．假设函数 $f(x)$ 可导，且 $f(0)=0$ ，那么 $\displaystyle{\int_{0}^{x} f^{\prime}(2 t) \mathrm{d} t=}$

9．若二元函数 $z=f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某个邻域内连续，若有 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0$ ，那么对于 $x>x_{0}$ ， $y>y_{0}$ ，有

3．设 $\displaystyle{f(x)=\int_{0}^{\sin x} t^{2} d t}$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$。

4．若级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}}$ 收敛，那么 $\displaystyle{\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=}$ $\_\_\_\_$

5．假设二元可微函数 $z=f(x, y)$ 满足 $\mathrm{d} z=\left(x^{2}+2 y\right) \mathrm{d} x+2 x \mathrm{~d} y$ ，那么 $f_{x}^{\prime}(1,1)=$ $\_\_\_\_$

6． $\displaystyle{\lim _{(x, y) \rightarrow(0,2)} \frac{\sin (x y)}{x}=}$ $\_\_\_\_$ ．

8．假设 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ ，则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)}=$ $\_\_\_\_$

2．求函数 $z=x^{2}-x y+y^{2}-2 x+y$ 的极值点和极值

1．$f(x, y)=\frac{\cos x^{2}}{y}$

2．$f(x, y)=x^{y}(x>0)$

10．二元函数 $z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}+\ln \left(x^{2}+y^{2}-1\right)$ 的定义域为（ ）．

8．下列说法正确的是 ．

5．设 $z=x y$ ，则 $\left.d z\right|_{(1,2)}=$ $\_\_\_\_$。

9．假设 $z=(x-1) g(y)+(y-1) h(x)$ ，其中 $g(y), h(x)$ 为连续函数，那么 $f_{x}^{\prime}(1,1)=$ $\_\_\_\_$。

1．计算由曲线 $y=\operatorname { c o s } x\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right), x=0$ 和 $y=0$ 所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所得到的旋转体的体积；

2．求二元函数 $f(x, y)=x^{3}+y^{3}-3 x y$ 的极值．

1．$f(x, y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ；

2．$f(x, y)=x^{y^{2}+1}$ ．

7．下面哪一个为微分方程 $y^{\prime}=x y$ 的解

8．假设 $z=f(x, y)$ 在 $(1, 1)$ 点的某个邻域内偏导数存在，且 $f_{x}^{\prime}(1, 1)=2$ ，那么下面极限结果一定正确的是（ ）。

2．求二元函数 $f(x, y)=(x-1)^{2}+(y-4)^{2}$ 的极值；

5．设 $z=x^{2}+y^{2}$ ，则 $\left.d z\right|_{(1,2)}=$ $\_\_\_\_$。

1．$f(x, y)=\mathrm{e}^{x+y}+y x^{2}$ ；

2．$f(x, y)=(2 y+1)^{x}$ ．

2．下列哪一个为一阶线性微分方程 。

3．设 $f(x, y)=x^{2} y+\sin y$ ，则 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 在点 $(1, \pi)$ 处的值是 ．

4．微分方程 $y^{\prime \prime \prime}+\left(y^{\prime \prime}\right)^{4}+2 y^{\prime \prime} y^{\prime}+y^{2}+2 x=0$ 的阶数为 $\_\_\_\_$ ．

5．极限 $\displaystyle{\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}=}$ $\_\_\_\_$。

8．幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n}$ 的收敛半径 $R=$ $\_\_\_\_$ ．

9．假设 $z=2 x^{2} y+x y^{2}$ ，那么它在点 $(1, 1)$ 点的全微分 $\left.d z\right|_{(1, 1)}=$ $\_\_\_\_$。

1．求由曲线 $x y=1$ 及直线 $y=x$ 和 $y=2$ 所围成的平面图形的面积．

2．已知微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+2 y=0$ 有一个解为 $y=e^{2 x}$ ，求 $a$ 并求该微分方程的通解．

3．求函数 $f(x, y)=x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+5$ 的极值点，并判断极值类型．