共 68 题
题20034中国科学技术大学真题
4．已知 $\displaystyle A \in R^{4 \times 4}, A=A^{\prime}$（具体数值也忘了），求正交矩阵 $\displaystyle P$ ，使得
$$
P^{-1} A P=\wedge
$$
其中 $\displaystyle \wedge$ 为对角矩阵且主对角线上元素为特征值．
$$
P^{-1} A P=\wedge
$$
其中 $\displaystyle \wedge$ 为对角矩阵且主对角线上元素为特征值．
题20035中国科学技术大学真题
5．已知 $\displaystyle A=\frac{1}{10}\left(\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 7 & 9\end{array}\right), p_{0}>0, q_{0}>0, p_{0}+q_{0}=1$ 。令
$$
\binom{p_{n}}{q_{n}}=A^{n}\binom{p_{0}}{q_{0}}
$$
其中 $\displaystyle n \in N^{+}$，试说明 $\displaystyle p_{n}$ 极限存在，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} p_{n}$ ．
$$
\binom{p_{n}}{q_{n}}=A^{n}\binom{p_{0}}{q_{0}}
$$
其中 $\displaystyle n \in N^{+}$，试说明 $\displaystyle p_{n}$ 极限存在，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} p_{n}$ ．
题20060中国科学院真题
四．（14 分）
设实二次型 $\displaystyle Q(x)=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-x\right)^{2}$ ，其中的 $\displaystyle x=\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}}{n}$ ，试求 $\displaystyle Q(x)$ 的秩和正负惯性指数．
设实二次型 $\displaystyle Q(x)=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-x\right)^{2}$ ，其中的 $\displaystyle x=\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}}{n}$ ，试求 $\displaystyle Q(x)$ 的秩和正负惯性指数．
题20063中国科学院真题
二、设 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ 为 $\displaystyle n$ 个实数，方阵
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
a_{1} & a_{1} & \cdots & a_{1} \\
a_{2} & a_{2} & \cdots & a_{2} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n} & a_{n} & \cdots & a_{n}
\end{array}\right)
$$
试求 $\displaystyle A$ 的所有特征值。
解：$\displaystyle A$ 的特征多项式为
$$
\operatorname{det}(\lambda E-A)=\left|\begin{array}{cccc}
\lambda-a_{1} & -a_{1} & \cdots & -a_{1} \\
-a_{2} & \lambda-a_{2} & \cdots & -a_{2} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
-a_{n} & -a_{n} & \cdots & \lambda-a_{n}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}
\lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i} & \lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i} & \cdots & \lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i} \\
-a_{2} & \lambda-a_{2} & \cdots & -a_{2} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
-a_{n} & -a_{n} & \cdots & \lambda-a_{n}
\end{array}\right|=
$$
$$
\left(\lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
-a_{2} & \lambda-a_{2} & \cdots & -a_{2} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
-a_{n} & -a_{n} & \cdots & \lambda-a_{n}
\end{array}\right|=\left(\lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
0 & \lambda & \cdots & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda
\end{array}\right|=\lambda^{n-1}\left(\lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right) .
$$
由此可知，$\displaystyle A$ 的 $\displaystyle n$ 个特征值为 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_{i}, ~ 0, ~ \cdots, ~ 0$（ 0 为 $\displaystyle n$ 重特征根）。
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
a_{1} & a_{1} & \cdots & a_{1} \\
a_{2} & a_{2} & \cdots & a_{2} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n} & a_{n} & \cdots & a_{n}
\end{array}\right)
$$
试求 $\displaystyle A$ 的所有特征值。
解：$\displaystyle A$ 的特征多项式为
$$
\operatorname{det}(\lambda E-A)=\left|\begin{array}{cccc}
\lambda-a_{1} & -a_{1} & \cdots & -a_{1} \\
-a_{2} & \lambda-a_{2} & \cdots & -a_{2} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
-a_{n} & -a_{n} & \cdots & \lambda-a_{n}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}
\lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i} & \lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i} & \cdots & \lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i} \\
-a_{2} & \lambda-a_{2} & \cdots & -a_{2} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
-a_{n} & -a_{n} & \cdots & \lambda-a_{n}
\end{array}\right|=
$$
$$
\left(\lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
-a_{2} & \lambda-a_{2} & \cdots & -a_{2} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
-a_{n} & -a_{n} & \cdots & \lambda-a_{n}
\end{array}\right|=\left(\lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
0 & \lambda & \cdots & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda
\end{array}\right|=\lambda^{n-1}\left(\lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right) .
$$
由此可知，$\displaystyle A$ 的 $\displaystyle n$ 个特征值为 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_{i}, ~ 0, ~ \cdots, ~ 0$（ 0 为 $\displaystyle n$ 重特征根）。
题20065中国科学院真题
四、设 $\displaystyle A, B$ 为方阵，且 $\displaystyle B$ 为满秩阵，$\displaystyle s$ 为实数，
$$
C=A+s B
$$
试证明：存在正数 $\displaystyle a$ ，使得在 $\displaystyle 0<s<a$ 时，$\displaystyle C$ 满秩．
证明：考虑矩阵 $\displaystyle A B^{-1}+s E=s E-\left(-A B^{-1}\right)$ ，其中 $\displaystyle E$ 为单位阵．
由于关于 $\displaystyle s$ 的方程 $\displaystyle \operatorname{det}\left(s E+A B^{-1}\right)=0$ 仅有有限个根（它们为方 阵 $\displaystyle -A B^{-1}$ 的 全 部 特 征 根）。从 而 数 集 $\displaystyle I=\left\{s>0 \mid \operatorname{det}\left(s E+A B^{-1}\right)=0\right\}$ 为有限集。若 $\displaystyle I \neq \varnothing$ ，则令 $\displaystyle a$ 为数集 $\displaystyle I$ 中的最小数；若 $\displaystyle I=\varnothing$ ，则可取 $\displaystyle a$ 为任何正数．于是，当 $\displaystyle 0<s<a$ 时，必有 $\displaystyle \operatorname{det}\left(s E+A B^{-1}\right) \neq 0$ ．
所以，当 $\displaystyle 0<s<a$ 时，$\displaystyle s E+A B^{-1}$ 为满秩阵，从而
$$
C=A+s B=\left(s E+A B^{-1}\right) B \text { 为满秩阵. }
$$
$$
C=A+s B
$$
试证明：存在正数 $\displaystyle a$ ，使得在 $\displaystyle 0<s<a$ 时，$\displaystyle C$ 满秩．
证明：考虑矩阵 $\displaystyle A B^{-1}+s E=s E-\left(-A B^{-1}\right)$ ，其中 $\displaystyle E$ 为单位阵．
由于关于 $\displaystyle s$ 的方程 $\displaystyle \operatorname{det}\left(s E+A B^{-1}\right)=0$ 仅有有限个根（它们为方 阵 $\displaystyle -A B^{-1}$ 的 全 部 特 征 根）。从 而 数 集 $\displaystyle I=\left\{s>0 \mid \operatorname{det}\left(s E+A B^{-1}\right)=0\right\}$ 为有限集。若 $\displaystyle I \neq \varnothing$ ，则令 $\displaystyle a$ 为数集 $\displaystyle I$ 中的最小数；若 $\displaystyle I=\varnothing$ ，则可取 $\displaystyle a$ 为任何正数．于是，当 $\displaystyle 0<s<a$ 时，必有 $\displaystyle \operatorname{det}\left(s E+A B^{-1}\right) \neq 0$ ．
所以，当 $\displaystyle 0<s<a$ 时，$\displaystyle s E+A B^{-1}$ 为满秩阵，从而
$$
C=A+s B=\left(s E+A B^{-1}\right) B \text { 为满秩阵. }
$$
题20088中国科学院真题
6．（20 分）给定 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上二维线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换 $\displaystyle A$ 。 $\displaystyle A$ 在一组基下的矩阵表示为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1-a & 0\end{array}\right), a \neq 0$ ，求 $\displaystyle A$ 的不变子空间．
题20109中国科学院真题
1．（15 分）$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{n+1}=x_{n}+4 y_{n} \\ y_{n+1}=2 x_{n}+y_{n}\end{array}\right.$ 已知 $\displaystyle x_{0}=1, y_{0}=0$ ，求 $\displaystyle x_{100}, y_{100}$ ．
题20111中国科学院真题
3．（20 分）证明：若 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle n$ 阶实对称正定矩阵，则（i）存在唯一的对称正定矩阵 $\displaystyle S_{1}$ ，使得 $\displaystyle S=S_{1}{ }^{2}$ ；（ii）若 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶实对称矩阵，则 $\displaystyle A S$ 的特征值是实数．
题20113中国科学院真题
5．（20 分）令 $\displaystyle f(x, y)=2 x^{2}-7 x y+y^{2}$ ．求 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中单位圆上的极大值与极小值及极值点．
题20116中国科学院真题
8．（20 分）设 $\displaystyle V$ 是 $\displaystyle n$ 维向量空间，$\displaystyle f, g$ 是 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle (f, g \in L(V)$ ），且 $\displaystyle f$ 有 $\displaystyle n$ 个互异的特征根．证明：$\displaystyle f g=g f$ 的充要条件是 $\displaystyle g$ 是 $\displaystyle f^{0}=I$（恒等变换），$\displaystyle f, f^{2}, \cdots, f^{n-1}$的线性组合。
题20129中国科学院真题
4．（20 分）证明函数 $\displaystyle \log \operatorname{det}(\cdot)$ 在对称正定矩阵集上是凹函数，即：对于任意两个 $\displaystyle n \times n$对称正定矩阵 $\displaystyle A, B$ ，及 $\displaystyle \forall \lambda \in[0,1]$ ，有
$$
\log \operatorname{det}(\lambda A+(1-\lambda) B) \geq \lambda \log \operatorname{det}(A)+(1-\lambda) \log \operatorname{det}(B),
$$
其中，函数 $\displaystyle \log \operatorname{det}(A)$ 表示先对矩阵 $\displaystyle A$ 取行列式再取自然对数。
$$
\log \operatorname{det}(\lambda A+(1-\lambda) B) \geq \lambda \log \operatorname{det}(A)+(1-\lambda) \log \operatorname{det}(B),
$$
其中，函数 $\displaystyle \log \operatorname{det}(A)$ 表示先对矩阵 $\displaystyle A$ 取行列式再取自然对数。
题20146中国科学院真题
3．（16 分）若 $\displaystyle \alpha$ 为一实数，试计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\begin{array}{cc}1 & \frac{\alpha}{n} \\ \frac{\alpha}{n} & 1\end{array}\right)^{n}$ ．
题20149中国科学院真题
6．（18 分）已知二次曲面方程 $\displaystyle x^{2}+a y^{2}+z^{2}+2 b x y+2 x z+2 y z=4$ 可以经过正交变换 $\displaystyle \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime}\end{array}\right)$ 化为椭圆柱面方程 $\displaystyle y^{\prime 2}+4 z^{\prime 2}=4$ 。求 $\displaystyle a, b$ 的值和正交矩阵 $\displaystyle P$ ．
题20150中国科学院真题
7．（16 分）设有实二次型 $\displaystyle f(x)=x^{T} A x$ ，其中 $\displaystyle x^{T}$ 是 $\displaystyle x$ 的转置，$\displaystyle A$ 是 $\displaystyle 3 \times 3$ 实对称矩阵并满足以下方程：
$$
A^{3}-6 A^{2}+11 A-6 I=0
$$
试计算
$$
\max _{A} \max _{\|x\|=1} f(x)
$$
其中 $\displaystyle \|x\|^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}$ ，第一个极大值是满足以上方程的所有实对称矩阵 $\displaystyle A$ 来求。
$$
A^{3}-6 A^{2}+11 A-6 I=0
$$
试计算
$$
\max _{A} \max _{\|x\|=1} f(x)
$$
其中 $\displaystyle \|x\|^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}$ ，第一个极大值是满足以上方程的所有实对称矩阵 $\displaystyle A$ 来求。
题20152中国科学院真题
9．（16 分）设 $\displaystyle f$ 是有限维向量空间 $\displaystyle V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle f^{n}$ 是 $\displaystyle V$ 上的恒等变换，这里 $\displaystyle n$是某个正整数。设 $\displaystyle W=\{v \in V \mid f(v)=v\}$ 。证明 $\displaystyle W$ 是 $\displaystyle V$ 的一个子空间，并且其维数等于线性变换 $\displaystyle \left(f+f^{2}+\cdots+f^{n}\right) / n$ 的迹。
题20164中国科学院真题
3）证明更一般的结论：若 $\displaystyle J^{-1}$ 变为 $\displaystyle K^{-1}(Z), K(Z)=\left(k_{a b}\right) \in \mathbb{R}^{2 n \times 2 n}$ 反对称，可逆且满足恒等式 $\displaystyle \frac{\partial k_{a b}}{\partial z_{c}}+\frac{\partial k_{b c}}{\partial z_{a}}+\frac{\partial k_{c a}}{\partial z_{b}}=0,1 \leq a, b, c \leq 2 n$ ，则系统的相流总是满足：
$$
\left[\frac{\partial g^{t}(Z)}{\partial Z}\right]^{T} K\left(g^{t}(Z)\right)\left[\frac{\partial g^{t}(Z)}{\partial Z}\right]=K(Z) .
$$
这更一般情况下系统的相流是指任意给定一个 $\displaystyle Z, g^{t}(Z)$ 是系统的解：
$$
\frac{d g^{t}(Z)}{d t}=K^{-1}(Z) \nabla H\left(g^{t}(Z)\right)
$$
设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n \times n$ 正定实对称矩阵，$\displaystyle y \in \mathbb{R}^{n}$ ，且 $\displaystyle y \neq 0$ 。证明极限
$$
\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{y^{T} A^{m+1} y}{y^{T} A^{m} y}
$$
存在且等于 $\displaystyle A$ 的一个特征值（其中 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 表示 $\displaystyle n$ 维实数域）。
证明：由题意，存在正交阵 $\displaystyle P$ ，使得 $\displaystyle A=P^{T} A P=P^{-1} A P$ ，其中
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
\lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_{n}
\end{array}\right)
$$
且 $\displaystyle 0<\lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \cdots \leq \lambda_{n}$ 为 $\displaystyle A$ 的特征值．于是
$$
\begin{aligned}
\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{y^{T} A^{m+1} y}{y^{T} A^{m} y} & =\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{y^{T} A^{m+1} y}{y^{T} A^{m} y} \\
& =\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} \lambda_{k}^{m+1} y_{k}^{2}}{\sum_{k=1}^{n} \lambda_{k}^{m} y_{k}^{2}} \\
& =\lambda_{j} \lim _{m \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{j-1}\left(\lambda_{k} / \lambda_{j}\right)^{m+1} y_{k}^{2}+y_{j}^{2}}{\sum_{k=1}^{j-1}\left(\lambda_{k} / \lambda_{j}\right)^{m} y_{k}^{2}+y_{j}^{2}}\left(\text { 其中 } j=\max \left\{k \mid y_{k} \neq 0\right\}\right) \\
& =\lambda_{j}
\end{aligned}
$$
1）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ 为线性变换 $\displaystyle A$ 在一组基下的矩阵表示，求 $\displaystyle A$ 的不变子空间；
$$
\left[\frac{\partial g^{t}(Z)}{\partial Z}\right]^{T} K\left(g^{t}(Z)\right)\left[\frac{\partial g^{t}(Z)}{\partial Z}\right]=K(Z) .
$$
这更一般情况下系统的相流是指任意给定一个 $\displaystyle Z, g^{t}(Z)$ 是系统的解：
$$
\frac{d g^{t}(Z)}{d t}=K^{-1}(Z) \nabla H\left(g^{t}(Z)\right)
$$
设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n \times n$ 正定实对称矩阵，$\displaystyle y \in \mathbb{R}^{n}$ ，且 $\displaystyle y \neq 0$ 。证明极限
$$
\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{y^{T} A^{m+1} y}{y^{T} A^{m} y}
$$
存在且等于 $\displaystyle A$ 的一个特征值（其中 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 表示 $\displaystyle n$ 维实数域）。
证明：由题意，存在正交阵 $\displaystyle P$ ，使得 $\displaystyle A=P^{T} A P=P^{-1} A P$ ，其中
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
\lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_{n}
\end{array}\right)
$$
且 $\displaystyle 0<\lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \cdots \leq \lambda_{n}$ 为 $\displaystyle A$ 的特征值．于是
$$
\begin{aligned}
\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{y^{T} A^{m+1} y}{y^{T} A^{m} y} & =\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{y^{T} A^{m+1} y}{y^{T} A^{m} y} \\
& =\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} \lambda_{k}^{m+1} y_{k}^{2}}{\sum_{k=1}^{n} \lambda_{k}^{m} y_{k}^{2}} \\
& =\lambda_{j} \lim _{m \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{j-1}\left(\lambda_{k} / \lambda_{j}\right)^{m+1} y_{k}^{2}+y_{j}^{2}}{\sum_{k=1}^{j-1}\left(\lambda_{k} / \lambda_{j}\right)^{m} y_{k}^{2}+y_{j}^{2}}\left(\text { 其中 } j=\max \left\{k \mid y_{k} \neq 0\right\}\right) \\
& =\lambda_{j}
\end{aligned}
$$
1）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ 为线性变换 $\displaystyle A$ 在一组基下的矩阵表示，求 $\displaystyle A$ 的不变子空间；
题20173中国科学院真题
二、（20 分）已知 3 阶正交矩阵 $\displaystyle A$ 的行列式为 1．求证：$\displaystyle A$ 的特征多项式一定为
$$
f(\lambda)=\lambda^{3}-a \lambda^{2}+a \lambda-1
$$
其中，$\displaystyle a \in \mathbb{R}$ 且 $\displaystyle -1 \leq a \leq 3$ 。（可与实数比较大小的数只有实数，故条件 $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ 可略去）
证明 设 $\displaystyle A$ 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}-a_{2} \lambda^{2}+a_{1} \lambda-a_{0}$ ，其中 $\displaystyle a_{0}, a_{1}, a_{2} \in \mathbb{R}$ ．则 $\displaystyle a_{0}=|A|=1, a_{1}=\operatorname{tr}(A), a_{2}$ 是 $\displaystyle A$ 的所有二阶主子式之和．
设 $\displaystyle A$ 的所有特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ ，由于 $\displaystyle A$ 是正交矩阵且 $\displaystyle |A|=1$ ，则
$$
\lambda_{1}=1,\left|\lambda_{2}\right|=\left|\lambda_{3}\right|=1, \overline{\lambda_{2}}=\lambda_{3}
$$
所以，$\displaystyle \left|\operatorname{Re} \lambda_{2}\right|=\left|\operatorname{Re} \lambda_{3}\right| \leq 1$ ，即 $\displaystyle \operatorname{Re} \lambda_{2} \in[-1,1]$ ，故
$$
a_{1}=\operatorname{tr} A=\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}=1+2 \operatorname{Re} \lambda_{2} \in[-1,3]
$$
由于 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ 是 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}-a_{2} \lambda^{2}+a_{1} \lambda-a_{0}$ 的根，结合根与系数的关系可得
$$
a_{2}=\lambda_{1} \lambda_{2}+\lambda_{1} \lambda_{3}+\lambda_{2} \lambda_{3}=\lambda_{2}+\lambda_{3}+\left|\lambda_{2}\right|^{2}=2 \operatorname{Re} \lambda_{2}+1=a_{1} \triangleq a
$$
则 $\displaystyle -1 \leq a \leq 3$ 且
$$
f(\lambda)=\lambda^{3}-a \lambda^{2}+a \lambda-1
$$
$$
f(\lambda)=\lambda^{3}-a \lambda^{2}+a \lambda-1
$$
其中，$\displaystyle a \in \mathbb{R}$ 且 $\displaystyle -1 \leq a \leq 3$ 。（可与实数比较大小的数只有实数，故条件 $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ 可略去）
证明 设 $\displaystyle A$ 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}-a_{2} \lambda^{2}+a_{1} \lambda-a_{0}$ ，其中 $\displaystyle a_{0}, a_{1}, a_{2} \in \mathbb{R}$ ．则 $\displaystyle a_{0}=|A|=1, a_{1}=\operatorname{tr}(A), a_{2}$ 是 $\displaystyle A$ 的所有二阶主子式之和．
设 $\displaystyle A$ 的所有特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ ，由于 $\displaystyle A$ 是正交矩阵且 $\displaystyle |A|=1$ ，则
$$
\lambda_{1}=1,\left|\lambda_{2}\right|=\left|\lambda_{3}\right|=1, \overline{\lambda_{2}}=\lambda_{3}
$$
所以，$\displaystyle \left|\operatorname{Re} \lambda_{2}\right|=\left|\operatorname{Re} \lambda_{3}\right| \leq 1$ ，即 $\displaystyle \operatorname{Re} \lambda_{2} \in[-1,1]$ ，故
$$
a_{1}=\operatorname{tr} A=\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}=1+2 \operatorname{Re} \lambda_{2} \in[-1,3]
$$
由于 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ 是 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}-a_{2} \lambda^{2}+a_{1} \lambda-a_{0}$ 的根，结合根与系数的关系可得
$$
a_{2}=\lambda_{1} \lambda_{2}+\lambda_{1} \lambda_{3}+\lambda_{2} \lambda_{3}=\lambda_{2}+\lambda_{3}+\left|\lambda_{2}\right|^{2}=2 \operatorname{Re} \lambda_{2}+1=a_{1} \triangleq a
$$
则 $\displaystyle -1 \leq a \leq 3$ 且
$$
f(\lambda)=\lambda^{3}-a \lambda^{2}+a \lambda-1
$$
题20174中国科学院真题
三、 $\displaystyle (12+8=20$ 分）设 $\displaystyle A, B$ 是 $\displaystyle n$ 阶方阵，$\displaystyle A$ 可逆，$\displaystyle B$ 幂零，$\displaystyle A B=B A$ ．
（1）求证：$\displaystyle A+B$ 可逆；
（2）试举例说明要使（1）结论成立，条件 $\displaystyle A B=B A$ 是不可缺少的．
证明：（1）$\displaystyle \because A B=B A \quad \therefore$ 存在可逆矩阵 $\displaystyle P$ 使 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 同为上三角矩阵，且上三角矩阵的主对角元素是它们的特征值
$\displaystyle \therefore P^{-1}(A+B) P$ 为上三角矩阵，且主对角元素为 $\displaystyle A, B$ 的特征值之和
$\displaystyle \because A$ 可逆，$\displaystyle B$ 幂零 $\displaystyle \therefore A$ 的特征值均不为零，$\displaystyle B$ 的特征值都是零
$\displaystyle \therefore P^{-1}(A+B) P$ 的特征值就是 $\displaystyle A$ 的特征值
$\displaystyle \therefore P^{-1}(A+B) P$ 可逆 $\displaystyle \therefore A+B$ 可逆．
（2）例如 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，显然 $\displaystyle A$ 可逆，$\displaystyle B$ 幂零。
$\displaystyle \because A B=\left(\begin{array}{ll}0 & 2 \\ 0 & 2\end{array}\right) \neq\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 0 & 0\end{array}\right)=B A, \quad A+B=\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right)$ 不可逆
∴ 条件 $\displaystyle A B=B A$ 是不可缺少的．
（1）求证：$\displaystyle A+B$ 可逆；
（2）试举例说明要使（1）结论成立，条件 $\displaystyle A B=B A$ 是不可缺少的．
证明：（1）$\displaystyle \because A B=B A \quad \therefore$ 存在可逆矩阵 $\displaystyle P$ 使 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 同为上三角矩阵，且上三角矩阵的主对角元素是它们的特征值
$\displaystyle \therefore P^{-1}(A+B) P$ 为上三角矩阵，且主对角元素为 $\displaystyle A, B$ 的特征值之和
$\displaystyle \because A$ 可逆，$\displaystyle B$ 幂零 $\displaystyle \therefore A$ 的特征值均不为零，$\displaystyle B$ 的特征值都是零
$\displaystyle \therefore P^{-1}(A+B) P$ 的特征值就是 $\displaystyle A$ 的特征值
$\displaystyle \therefore P^{-1}(A+B) P$ 可逆 $\displaystyle \therefore A+B$ 可逆．
（2）例如 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，显然 $\displaystyle A$ 可逆，$\displaystyle B$ 幂零。
$\displaystyle \because A B=\left(\begin{array}{ll}0 & 2 \\ 0 & 2\end{array}\right) \neq\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 0 & 0\end{array}\right)=B A, \quad A+B=\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right)$ 不可逆
∴ 条件 $\displaystyle A B=B A$ 是不可缺少的．
题20175中国科学院真题
四、（20分）求证：任意 $\displaystyle n$ 阶实方阵 $\displaystyle A$ 的特征向量，也是其伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 的特征向量．
证明：$\displaystyle \because r\left(A^{*}\right)=\left\{\begin{array}{ll}0, & r(A)<n-1 \\ 1, & r(A)=n-1 \\ n, & r(A)=n\end{array} \quad \therefore\right.$ 可对 $\displaystyle r(A)$ 展开讨论．
设 $\displaystyle \lambda$ 为 $\displaystyle A$ 的任意一个特征值，$\displaystyle \xi$ 为 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda$ 的任意一个特征向量，则由二者的任意性可知 $\displaystyle \xi$ 可以代表 $\displaystyle A$ 的任意一个特征值．
若 $\displaystyle r(A)<n-1$ ，则 $\displaystyle r\left(A^{*}\right)=0, A^{*}=0 \Rightarrow A^{*} \xi=0=0 \cdot \xi$ ，故 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle A^{*}$ 的特征向量；
若 $\displaystyle r(A)=n$ ，则 $\displaystyle A$ 可逆，故 $\displaystyle \lambda \neq 0 . \because A A^{*}=A^{*} A=|A| I_{n}$
$\displaystyle \therefore|A| \xi=|A| I_{n} \cdot \xi=A^{*} A \xi=\lambda A^{*} \xi \therefore A^{*} \xi=\frac{|A|}{\lambda} \xi$ ，故 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle A^{*}$ 的特征向量；
若 $\displaystyle r(A)=n-1$ ，则 $\displaystyle r\left(A^{*}\right)=1$ ，故 $\displaystyle A^{*}$ 有且只有一个非零特征值（重根按重数计算），且 $\displaystyle A^{*}$ 必有非零元素，不妨设 $\displaystyle A^{*}$ 的第一行第一列元素非零，则
$$
A^{*}=\left(\begin{array}{cccc}
a & b_{2} a & \cdots & b_{n} a \\
c_{2} a & b_{2} c_{2} a & \cdots & b_{n} c_{2} a \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
c_{n} a & b_{2} c_{n} a & \cdots & b_{n} c_{n} a
\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c}
c_{1} \\
c_{2} \\
\vdots \\
c_{n}
\end{array}\right)\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)
$$
其中，$\displaystyle a \in \mathbb{R}$ 且 $\displaystyle a \neq 0, b_{i}, c_{i} \in \mathbb{R},(i=1,2, \cdots, n)$ 且 $\displaystyle b_{1}=c_{1}=1$ ．
所以，$\displaystyle A^{*}$ 的非零特征值为
$$
a\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)\left(\begin{array}{c}
c_{1} \\
c_{2} \\
\vdots \\
c_{n}
\end{array}\right)=a \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i}
$$
$\displaystyle \because \lambda A^{+} \xi=A^{+} A \xi=0 \quad \therefore \lambda=0$ 或 $\displaystyle A^{+} \xi=0$
若 $\displaystyle A^{*} \xi=0$ ，则 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle A^{*}$ 的属于特征值 0 的特征向量；
若 $\displaystyle A^{*} \xi \neq 0$ ，则 $\displaystyle \lambda=0, A \xi=0$ ．
$\displaystyle \because A A^{*}=0 \quad \therefore\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n}\end{array}\right)$ 是 $\displaystyle A$ 的属于特征值 0 的特征向量．
$\displaystyle \because r(A)=n-1 \quad \therefore A$ 的特征值 0 是单根，故 $\displaystyle \xi=k\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n}\end{array}\right), k \neq 0$
$\displaystyle \therefore A^{*} \xi=k A^{*}\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n}\end{array}\right)=a k\left(\begin{array}{c}\sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i} \\ c_{2} \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i} \\ \vdots \\ c_{n} \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i}\end{array}\right)=a \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i} \cdot k\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n}\end{array}\right)=a \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i} \cdot \xi$
故 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle A^{*}$ 的属于非零特征值 $\displaystyle a \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i}$ 的特征向量．
综上所述，由 $\displaystyle \xi$ 的任意性可得
任意 $\displaystyle n$ 阶实方阵 $\displaystyle A$ 的特征向量，也是其伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 的特征向量。
证明：$\displaystyle \because r\left(A^{*}\right)=\left\{\begin{array}{ll}0, & r(A)<n-1 \\ 1, & r(A)=n-1 \\ n, & r(A)=n\end{array} \quad \therefore\right.$ 可对 $\displaystyle r(A)$ 展开讨论．
设 $\displaystyle \lambda$ 为 $\displaystyle A$ 的任意一个特征值，$\displaystyle \xi$ 为 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda$ 的任意一个特征向量，则由二者的任意性可知 $\displaystyle \xi$ 可以代表 $\displaystyle A$ 的任意一个特征值．
若 $\displaystyle r(A)<n-1$ ，则 $\displaystyle r\left(A^{*}\right)=0, A^{*}=0 \Rightarrow A^{*} \xi=0=0 \cdot \xi$ ，故 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle A^{*}$ 的特征向量；
若 $\displaystyle r(A)=n$ ，则 $\displaystyle A$ 可逆，故 $\displaystyle \lambda \neq 0 . \because A A^{*}=A^{*} A=|A| I_{n}$
$\displaystyle \therefore|A| \xi=|A| I_{n} \cdot \xi=A^{*} A \xi=\lambda A^{*} \xi \therefore A^{*} \xi=\frac{|A|}{\lambda} \xi$ ，故 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle A^{*}$ 的特征向量；
若 $\displaystyle r(A)=n-1$ ，则 $\displaystyle r\left(A^{*}\right)=1$ ，故 $\displaystyle A^{*}$ 有且只有一个非零特征值（重根按重数计算），且 $\displaystyle A^{*}$ 必有非零元素，不妨设 $\displaystyle A^{*}$ 的第一行第一列元素非零，则
$$
A^{*}=\left(\begin{array}{cccc}
a & b_{2} a & \cdots & b_{n} a \\
c_{2} a & b_{2} c_{2} a & \cdots & b_{n} c_{2} a \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
c_{n} a & b_{2} c_{n} a & \cdots & b_{n} c_{n} a
\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c}
c_{1} \\
c_{2} \\
\vdots \\
c_{n}
\end{array}\right)\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)
$$
其中，$\displaystyle a \in \mathbb{R}$ 且 $\displaystyle a \neq 0, b_{i}, c_{i} \in \mathbb{R},(i=1,2, \cdots, n)$ 且 $\displaystyle b_{1}=c_{1}=1$ ．
所以，$\displaystyle A^{*}$ 的非零特征值为
$$
a\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)\left(\begin{array}{c}
c_{1} \\
c_{2} \\
\vdots \\
c_{n}
\end{array}\right)=a \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i}
$$
$\displaystyle \because \lambda A^{+} \xi=A^{+} A \xi=0 \quad \therefore \lambda=0$ 或 $\displaystyle A^{+} \xi=0$
若 $\displaystyle A^{*} \xi=0$ ，则 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle A^{*}$ 的属于特征值 0 的特征向量；
若 $\displaystyle A^{*} \xi \neq 0$ ，则 $\displaystyle \lambda=0, A \xi=0$ ．
$\displaystyle \because A A^{*}=0 \quad \therefore\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n}\end{array}\right)$ 是 $\displaystyle A$ 的属于特征值 0 的特征向量．
$\displaystyle \because r(A)=n-1 \quad \therefore A$ 的特征值 0 是单根，故 $\displaystyle \xi=k\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n}\end{array}\right), k \neq 0$
$\displaystyle \therefore A^{*} \xi=k A^{*}\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n}\end{array}\right)=a k\left(\begin{array}{c}\sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i} \\ c_{2} \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i} \\ \vdots \\ c_{n} \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i}\end{array}\right)=a \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i} \cdot k\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n}\end{array}\right)=a \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i} \cdot \xi$
故 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle A^{*}$ 的属于非零特征值 $\displaystyle a \sum_{i=1}^{n} b_{i} c_{i}$ 的特征向量．
综上所述，由 $\displaystyle \xi$ 的任意性可得
任意 $\displaystyle n$ 阶实方阵 $\displaystyle A$ 的特征向量，也是其伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 的特征向量。
题20176中国科学院真题
五、 $\displaystyle \left(20+5+5=30\right.$ 分）（1）$\displaystyle n$ 阶方阵 $\displaystyle A$ 能表成：$\displaystyle A=H+K$ ，其中 $\displaystyle H=\bar{H}^{T}, K=\bar{K}^{T}$ ，矩阵 $\displaystyle \bar{B}^{T}$ 表示矩阵 $\displaystyle B$ 的共轭转置。设 $\displaystyle a, h, k$ 分别是 $\displaystyle A, H, K$ 中元素最大模，若 $\displaystyle z= x+i y(x, y \in \mathbb{R})$ 是 $\displaystyle A$ 的任意特征值．求证：
$$
|z| \leq n a,|x| \leq n h,|y| \leq n k
$$
（2）求证：Hermite矩阵的特征值都是实数；
（3）求证：反对称矩阵的非零特征值都是纯虚数．
证明：（1）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right) \in \mathbb{C}^{n \times n}, A \xi=z \xi$ 且 $\displaystyle \xi=\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}\right)^{T} \neq 0,\left|\varepsilon_{k}\right|=\max \left\{\varepsilon_{1}\right.$ ， $\displaystyle \left.\varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}\right\}$ ，则
$$
z \varepsilon_{k}=a_{k 1} \varepsilon_{1}+a_{k 2} \varepsilon_{2}+\cdots+a_{k n} \varepsilon_{n}
$$
所以
$$
|z| \cdot\left|\varepsilon_{k}\right|=\left|z \varepsilon_{k}\right|=\left|a_{k 1} \varepsilon_{1}+a_{k 2} \varepsilon_{2}+\cdots+a_{k n} \varepsilon_{n}\right|
$$
$$
\begin{aligned}
& \quad \leq\left|a_{k 1}\right| \cdot\left|\varepsilon_{1}\right|+\left|a_{k 2}\right| \cdot\left|\varepsilon_{2}\right|+\cdots+\left|a_{k n}\right| \cdot\left|\varepsilon_{n}\right| \leq\left|a_{k 1}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}\right|+\left|a_{k 2}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}\right|+\cdots+\left|a_{k n}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}\right| \\
& \because \xi \neq 0 \quad \therefore\left|\varepsilon_{k}\right|>0 \quad \therefore|z| \leq\left|a_{k 1}\right|+\left|a_{k 2}\right|+\cdots+\left|a_{k n}\right| \leq n a \\
& \because A=H+K \therefore H \xi+K \xi=A \xi=(x+i y) \xi=x \xi+i y \xi \\
& \therefore H \xi-x \xi=-K \xi+i y \xi \quad \therefore \bar{\xi}^{T}\left(H-x I_{n}\right) \xi=\bar{\xi}^{T}\left(-K+i y I_{n}\right) \xi \\
& \because \bar{K}^{T}=-K, \bar{H}^{T}=H \\
& \therefore \bar{\xi}^{T}\left(H-x I_{n}\right) \xi=\bar{\xi}^{T}\left(-K+i y I_{n}\right) \xi \\
& \quad \bar{\xi}^{T}\left(H-x I_{n}\right) \xi=\bar{\xi}^{T}\left(K-i y I_{n}\right) \xi=-\bar{\xi}^{T}\left(-K+i y I_{n}\right) \xi=-\bar{\xi}^{T}\left(H-x I_{n}\right) \xi \\
& \therefore \bar{\xi}^{T}\left(H-x I_{n}\right) \xi=\bar{\xi}^{T}\left(-K+i y I_{n}\right) \xi=0
\end{aligned}
$$
设 $\displaystyle H=\left(h_{i j}\right), K=\left(k_{i j}\right) \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ，则由上式可得
$$
\begin{aligned}
& h_{k 1} \varepsilon_{1}^{2}+h_{k 2} \varepsilon_{2}^{2}+\cdots+\left(h_{k k}-x\right) \varepsilon_{k}^{2}+\cdots+h_{k n} \varepsilon_{n}^{2}=0 \\
& k_{k 1} \varepsilon_{1}^{2}+k_{k 2} \varepsilon_{2}^{2}+\cdots+\left(k_{k k}-i y\right) \varepsilon_{k}^{2}+\cdots+k_{k n} \varepsilon_{n}^{2}=0
\end{aligned}
$$
所以
$$
\begin{aligned}
x \varepsilon_{k}^{2} & =h_{k 1} \varepsilon_{1}^{2}+h_{k 2} \varepsilon_{2}^{2}+\cdots+h_{k n} \varepsilon_{n}^{2} \\
i y \varepsilon_{k}^{2} & =k_{k 1} \varepsilon_{1}^{2}+k_{k 2} \varepsilon_{2}^{2}+\cdots+k_{k n} \varepsilon_{n}^{2}
\end{aligned}
$$
故
$$
\begin{aligned}
|x| \cdot\left|\varepsilon_{k}\right|^{2} & =\left|x \varepsilon_{k}^{2}\right|=\left|h_{k 1} \varepsilon_{1}^{2}+h_{k 2} \varepsilon_{2}^{2}+\cdots+h_{k n} \varepsilon_{n}^{2}\right| \\
& \leq\left|h_{k 1} \varepsilon_{1}^{2}\right|+\left|h_{k 2} \varepsilon_{2}^{2}\right|+\cdots+\left|h_{k n} \varepsilon_{n}^{2}\right|=\left|h_{k 1}\right| \cdot\left|\varepsilon_{1}^{2}\right|+\left|h_{k 2}\right| \cdot\left|\varepsilon_{2}^{2}\right|+\cdots+\left|h_{k n}\right| \cdot\left|\varepsilon_{n}^{2}\right| \\
& \leq\left|h_{k 1}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}^{2}\right|+\left|h_{k 2}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}^{2}\right|+\cdots+\left|h_{k n}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}^{2}\right| \leq n h\left|\varepsilon_{k}^{2}\right| \\
|y| \cdot\left|\varepsilon_{k}\right|^{2} & =\left|i y \varepsilon_{k}^{2}\right|=\left|k_{k 1} \varepsilon_{1}^{2}+k_{k 2} \varepsilon_{2}^{2}+\cdots+k_{k n} \varepsilon_{n}^{2}\right| \\
& \leq\left|h_{k 1} \varepsilon_{1}^{2}\right|+\left|k_{k 2} \varepsilon_{2}^{2}\right|+\cdots+\left|k_{k n} \varepsilon_{n}^{2}\right|=\left|k_{k 1}\right| \cdot\left|\varepsilon_{1}^{2}\right|+\left|k_{k 2}\right| \cdot\left|\varepsilon_{2}^{2}\right|+\cdots+\left|k_{k n}\right| \cdot\left|\varepsilon_{n}^{2}\right| \\
& \leq\left|k_{k 1}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}^{2}\right|+\left|k_{k 2}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}^{2}\right|+\cdots+\left|k_{k n}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}^{2}\right| \leq n k\left|\varepsilon_{k}^{2}\right|
\end{aligned}
$$
所以，$\displaystyle |x| \leq n h,|y| \leq n k$ 。
（2）设 $\displaystyle \lambda$ 是任意 Hermite 矩阵 $\displaystyle B$ 的任一特征值，并设 $\displaystyle B \xi=\lambda \xi$ 且 $\displaystyle \xi \neq 0$ 。则
$$
\lambda \bar{\xi}^{T} \xi=\bar{\xi}^{T} B \xi=\bar{\xi}^{T} \bar{B}^{T} \xi={\overline{\bar{\xi}^{T}} B \xi}^{T}=\overline{\lambda \xi}^{T} \xi
$$
$\displaystyle \because \xi \neq 0 \quad \therefore \bar{\xi} \xi>0 \quad \therefore \lambda=\bar{\lambda} \quad \therefore \lambda \in \mathbb{R}$ ，由 $\displaystyle \lambda$ 的任意性可得
Hermite 矩阵的特征值都是实数。
（3）设 $\displaystyle \lambda$ 是任意反对称矩阵 $\displaystyle C$ 的任一非零特征值（如果有的话），并设 $\displaystyle B \xi=\lambda \xi$ 且 $\displaystyle \xi \neq 0$ ．则
$$
\lambda \bar{\xi}^{T} \xi=\bar{\xi}^{T} C \xi=-\bar{\xi}^{T} \bar{C}^{T} \xi=-{\overline{\xi^{T}} C \xi}^{T}=-\bar{\lambda} \bar{\xi}^{T} \xi
$$
$\displaystyle \because \xi \neq 0 \quad \therefore \bar{\xi} \xi>0 \quad \therefore \lambda=-\bar{\lambda} \quad \therefore \lambda$ 是纯虚数，由 $\displaystyle \lambda$ 的任意性可得
反对称矩阵的非零特征值都是纯虚数。
$$
|z| \leq n a,|x| \leq n h,|y| \leq n k
$$
（2）求证：Hermite矩阵的特征值都是实数；
（3）求证：反对称矩阵的非零特征值都是纯虚数．
证明：（1）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right) \in \mathbb{C}^{n \times n}, A \xi=z \xi$ 且 $\displaystyle \xi=\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}\right)^{T} \neq 0,\left|\varepsilon_{k}\right|=\max \left\{\varepsilon_{1}\right.$ ， $\displaystyle \left.\varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}\right\}$ ，则
$$
z \varepsilon_{k}=a_{k 1} \varepsilon_{1}+a_{k 2} \varepsilon_{2}+\cdots+a_{k n} \varepsilon_{n}
$$
所以
$$
|z| \cdot\left|\varepsilon_{k}\right|=\left|z \varepsilon_{k}\right|=\left|a_{k 1} \varepsilon_{1}+a_{k 2} \varepsilon_{2}+\cdots+a_{k n} \varepsilon_{n}\right|
$$
$$
\begin{aligned}
& \quad \leq\left|a_{k 1}\right| \cdot\left|\varepsilon_{1}\right|+\left|a_{k 2}\right| \cdot\left|\varepsilon_{2}\right|+\cdots+\left|a_{k n}\right| \cdot\left|\varepsilon_{n}\right| \leq\left|a_{k 1}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}\right|+\left|a_{k 2}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}\right|+\cdots+\left|a_{k n}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}\right| \\
& \because \xi \neq 0 \quad \therefore\left|\varepsilon_{k}\right|>0 \quad \therefore|z| \leq\left|a_{k 1}\right|+\left|a_{k 2}\right|+\cdots+\left|a_{k n}\right| \leq n a \\
& \because A=H+K \therefore H \xi+K \xi=A \xi=(x+i y) \xi=x \xi+i y \xi \\
& \therefore H \xi-x \xi=-K \xi+i y \xi \quad \therefore \bar{\xi}^{T}\left(H-x I_{n}\right) \xi=\bar{\xi}^{T}\left(-K+i y I_{n}\right) \xi \\
& \because \bar{K}^{T}=-K, \bar{H}^{T}=H \\
& \therefore \bar{\xi}^{T}\left(H-x I_{n}\right) \xi=\bar{\xi}^{T}\left(-K+i y I_{n}\right) \xi \\
& \quad \bar{\xi}^{T}\left(H-x I_{n}\right) \xi=\bar{\xi}^{T}\left(K-i y I_{n}\right) \xi=-\bar{\xi}^{T}\left(-K+i y I_{n}\right) \xi=-\bar{\xi}^{T}\left(H-x I_{n}\right) \xi \\
& \therefore \bar{\xi}^{T}\left(H-x I_{n}\right) \xi=\bar{\xi}^{T}\left(-K+i y I_{n}\right) \xi=0
\end{aligned}
$$
设 $\displaystyle H=\left(h_{i j}\right), K=\left(k_{i j}\right) \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ，则由上式可得
$$
\begin{aligned}
& h_{k 1} \varepsilon_{1}^{2}+h_{k 2} \varepsilon_{2}^{2}+\cdots+\left(h_{k k}-x\right) \varepsilon_{k}^{2}+\cdots+h_{k n} \varepsilon_{n}^{2}=0 \\
& k_{k 1} \varepsilon_{1}^{2}+k_{k 2} \varepsilon_{2}^{2}+\cdots+\left(k_{k k}-i y\right) \varepsilon_{k}^{2}+\cdots+k_{k n} \varepsilon_{n}^{2}=0
\end{aligned}
$$
所以
$$
\begin{aligned}
x \varepsilon_{k}^{2} & =h_{k 1} \varepsilon_{1}^{2}+h_{k 2} \varepsilon_{2}^{2}+\cdots+h_{k n} \varepsilon_{n}^{2} \\
i y \varepsilon_{k}^{2} & =k_{k 1} \varepsilon_{1}^{2}+k_{k 2} \varepsilon_{2}^{2}+\cdots+k_{k n} \varepsilon_{n}^{2}
\end{aligned}
$$
故
$$
\begin{aligned}
|x| \cdot\left|\varepsilon_{k}\right|^{2} & =\left|x \varepsilon_{k}^{2}\right|=\left|h_{k 1} \varepsilon_{1}^{2}+h_{k 2} \varepsilon_{2}^{2}+\cdots+h_{k n} \varepsilon_{n}^{2}\right| \\
& \leq\left|h_{k 1} \varepsilon_{1}^{2}\right|+\left|h_{k 2} \varepsilon_{2}^{2}\right|+\cdots+\left|h_{k n} \varepsilon_{n}^{2}\right|=\left|h_{k 1}\right| \cdot\left|\varepsilon_{1}^{2}\right|+\left|h_{k 2}\right| \cdot\left|\varepsilon_{2}^{2}\right|+\cdots+\left|h_{k n}\right| \cdot\left|\varepsilon_{n}^{2}\right| \\
& \leq\left|h_{k 1}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}^{2}\right|+\left|h_{k 2}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}^{2}\right|+\cdots+\left|h_{k n}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}^{2}\right| \leq n h\left|\varepsilon_{k}^{2}\right| \\
|y| \cdot\left|\varepsilon_{k}\right|^{2} & =\left|i y \varepsilon_{k}^{2}\right|=\left|k_{k 1} \varepsilon_{1}^{2}+k_{k 2} \varepsilon_{2}^{2}+\cdots+k_{k n} \varepsilon_{n}^{2}\right| \\
& \leq\left|h_{k 1} \varepsilon_{1}^{2}\right|+\left|k_{k 2} \varepsilon_{2}^{2}\right|+\cdots+\left|k_{k n} \varepsilon_{n}^{2}\right|=\left|k_{k 1}\right| \cdot\left|\varepsilon_{1}^{2}\right|+\left|k_{k 2}\right| \cdot\left|\varepsilon_{2}^{2}\right|+\cdots+\left|k_{k n}\right| \cdot\left|\varepsilon_{n}^{2}\right| \\
& \leq\left|k_{k 1}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}^{2}\right|+\left|k_{k 2}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}^{2}\right|+\cdots+\left|k_{k n}\right| \cdot\left|\varepsilon_{k}^{2}\right| \leq n k\left|\varepsilon_{k}^{2}\right|
\end{aligned}
$$
所以，$\displaystyle |x| \leq n h,|y| \leq n k$ 。
（2）设 $\displaystyle \lambda$ 是任意 Hermite 矩阵 $\displaystyle B$ 的任一特征值，并设 $\displaystyle B \xi=\lambda \xi$ 且 $\displaystyle \xi \neq 0$ 。则
$$
\lambda \bar{\xi}^{T} \xi=\bar{\xi}^{T} B \xi=\bar{\xi}^{T} \bar{B}^{T} \xi={\overline{\bar{\xi}^{T}} B \xi}^{T}=\overline{\lambda \xi}^{T} \xi
$$
$\displaystyle \because \xi \neq 0 \quad \therefore \bar{\xi} \xi>0 \quad \therefore \lambda=\bar{\lambda} \quad \therefore \lambda \in \mathbb{R}$ ，由 $\displaystyle \lambda$ 的任意性可得
Hermite 矩阵的特征值都是实数。
（3）设 $\displaystyle \lambda$ 是任意反对称矩阵 $\displaystyle C$ 的任一非零特征值（如果有的话），并设 $\displaystyle B \xi=\lambda \xi$ 且 $\displaystyle \xi \neq 0$ ．则
$$
\lambda \bar{\xi}^{T} \xi=\bar{\xi}^{T} C \xi=-\bar{\xi}^{T} \bar{C}^{T} \xi=-{\overline{\xi^{T}} C \xi}^{T}=-\bar{\lambda} \bar{\xi}^{T} \xi
$$
$\displaystyle \because \xi \neq 0 \quad \therefore \bar{\xi} \xi>0 \quad \therefore \lambda=-\bar{\lambda} \quad \therefore \lambda$ 是纯虚数，由 $\displaystyle \lambda$ 的任意性可得
反对称矩阵的非零特征值都是纯虚数。
题20177中国科学院真题
六、（15 分）设 $\displaystyle \underline{A}$ 是 $\displaystyle n$ 维实线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换，$\displaystyle n \geq 1$ ．求证：$\displaystyle \underline{A}$ 至少有一个维数为 1 或 2 的不变子空间。
证明：若 $\displaystyle \underline{A}$ 有实特征值 $\displaystyle \lambda$ ，并设 $\displaystyle \underline{A} \alpha=\lambda \alpha$ 且 $\displaystyle \alpha \neq 0$ ，则 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{R}^{n}$ ，且 $\displaystyle L(\alpha)$ 是 $\displaystyle \underline{A}$的一个一维不变子空间；
若 $\displaystyle \underline{A}$ 无实特征值，由于 $\displaystyle \underline{A}$ 是 $\displaystyle n$ 维实线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换，则 $\displaystyle \underline{A}$ 的虚特征值必以共轭对出现，不妨设 $\displaystyle \lambda, \bar{\lambda}$ 是 $\displaystyle \underline{A}$ 的一对虚特征值，并设 $\displaystyle \underline{A} \alpha=\lambda \alpha$ 且 $\displaystyle \alpha \neq 0$ ，则 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{C}^{n}, \alpha \notin \mathbb{R}^{n}, \underline{A} \bar{\alpha}=\bar{\lambda} \bar{\alpha}$ ，可设 $\displaystyle \lambda=a+i b, \alpha=\alpha_{1}+i \alpha_{2}$ ，其中，$\displaystyle a, b \in \mathbb{R}, b \neq 0, \alpha_{1}, \alpha_{2} \in \mathbb{R}^{n}, \alpha_{2} \neq 0$ ，那么
$$
\begin{aligned}
& \underline{A} \alpha_{1}+i \underline{A} \alpha_{2}=\underline{A} \alpha=(a+i b)\left(\alpha_{1}+i \alpha_{2}\right)=\left(a \alpha_{1}-b \alpha_{2}\right)+i\left(a \alpha_{2}+b \alpha_{1}\right) \\
& \underline{A} \alpha_{1}-i \underline{A} \alpha_{2}=\underline{A} \bar{\alpha}=(a-i b)\left(\alpha_{1}-i \alpha_{2}\right)=\left(a \alpha_{1}-b \alpha_{2}\right)-i\left(a \alpha_{2}+b \alpha_{1}\right)
\end{aligned}
$$
所以，$\displaystyle \underline{A} \alpha_{1}=a \alpha_{1}-b \alpha_{2}, \underline{A} \alpha_{2}=a \alpha_{2}+b \alpha_{1}$ ，
故 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)$ 是 $\displaystyle \underline{A}$ 的一个二维不变子空间．
综上可得，$\displaystyle \underline{A}$ 至少有一个维数为 1 或 2 的不变子空间。
证明：若 $\displaystyle \underline{A}$ 有实特征值 $\displaystyle \lambda$ ，并设 $\displaystyle \underline{A} \alpha=\lambda \alpha$ 且 $\displaystyle \alpha \neq 0$ ，则 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{R}^{n}$ ，且 $\displaystyle L(\alpha)$ 是 $\displaystyle \underline{A}$的一个一维不变子空间；
若 $\displaystyle \underline{A}$ 无实特征值，由于 $\displaystyle \underline{A}$ 是 $\displaystyle n$ 维实线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换，则 $\displaystyle \underline{A}$ 的虚特征值必以共轭对出现，不妨设 $\displaystyle \lambda, \bar{\lambda}$ 是 $\displaystyle \underline{A}$ 的一对虚特征值，并设 $\displaystyle \underline{A} \alpha=\lambda \alpha$ 且 $\displaystyle \alpha \neq 0$ ，则 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{C}^{n}, \alpha \notin \mathbb{R}^{n}, \underline{A} \bar{\alpha}=\bar{\lambda} \bar{\alpha}$ ，可设 $\displaystyle \lambda=a+i b, \alpha=\alpha_{1}+i \alpha_{2}$ ，其中，$\displaystyle a, b \in \mathbb{R}, b \neq 0, \alpha_{1}, \alpha_{2} \in \mathbb{R}^{n}, \alpha_{2} \neq 0$ ，那么
$$
\begin{aligned}
& \underline{A} \alpha_{1}+i \underline{A} \alpha_{2}=\underline{A} \alpha=(a+i b)\left(\alpha_{1}+i \alpha_{2}\right)=\left(a \alpha_{1}-b \alpha_{2}\right)+i\left(a \alpha_{2}+b \alpha_{1}\right) \\
& \underline{A} \alpha_{1}-i \underline{A} \alpha_{2}=\underline{A} \bar{\alpha}=(a-i b)\left(\alpha_{1}-i \alpha_{2}\right)=\left(a \alpha_{1}-b \alpha_{2}\right)-i\left(a \alpha_{2}+b \alpha_{1}\right)
\end{aligned}
$$
所以，$\displaystyle \underline{A} \alpha_{1}=a \alpha_{1}-b \alpha_{2}, \underline{A} \alpha_{2}=a \alpha_{2}+b \alpha_{1}$ ，
故 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)$ 是 $\displaystyle \underline{A}$ 的一个二维不变子空间．
综上可得，$\displaystyle \underline{A}$ 至少有一个维数为 1 或 2 的不变子空间。
题20178中国科学院真题
七、 $\displaystyle (12+8=20$ 分）设循环矩阵 $\displaystyle C$ 为
$$
\left(\begin{array}{cccc}
c_{0} & c_{1} & \cdots & c_{n-1} \\
c_{n-1} & c_{0} & \cdots & c_{n-2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
c_{1} & c_{2} & \cdots & c_{0}
\end{array}\right)
$$
（1）求 $\displaystyle C$ 的所有特征值以及相应的特征向量；
（2）求 $\displaystyle |C|$ 。
解：（1）构造多项式：$\displaystyle f(\lambda)=c_{0}+c_{1} \lambda+\cdots+c_{n-1} \lambda^{n-1}$ 。设 $\displaystyle P$ 是 $\displaystyle n$ 阶初等置换矩阵：
$$
\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
1 & 0 & 0 & \cdots & 0
\end{array}\right)
$$
则 $\displaystyle C=f(P)$ ．
$\displaystyle \because|\lambda I-P|=\lambda^{n}-1=\prod_{k=0}^{n-1}\left(\lambda-\omega^{k}\right)$ ，其中 $\displaystyle \omega=e^{i \frac{2 \pi}{n}}$ 是 $\displaystyle \lambda^{n}-1=0$ 的本原单位根．
$\displaystyle \therefore \omega^{0}, \omega^{1}, \cdots, \omega^{n-1}$ 是 $\displaystyle P$ 的所有特征值
$\displaystyle \therefore f\left(\omega^{0}\right), f\left(\omega^{1}\right), \cdots, f\left(\omega^{n-1}\right)$ 是循环矩阵 $\displaystyle C$ 的所有特征值．
$\displaystyle \forall k \in\{0,1,2, \cdots, n-1\}$ ，令 $\displaystyle x_{k}=\left(1, \omega^{k}, \omega^{2 k}, \cdots, \omega^{(n-1) k}\right)^{T}$ ，则
$$
P x_{k}=\left(\omega^{k}, \omega^{2 k}, \cdots, \omega^{(n-1) k}, 1\right)^{T}=\omega^{k} x_{k}
$$
所以
$$
C x_{k}=f(P) x_{k}=f\left(\omega^{k}\right) x_{k}
$$
综上可得
循环矩阵 $\displaystyle C$ 的所有特征值为 $\displaystyle f\left(\omega^{0}\right), f\left(\omega^{1}\right), \cdots, f\left(\omega^{n-1}\right)$ ，它们对应的特征向量分别为
$\displaystyle x_{0}=(1,1, \cdots, 1)^{T}, \quad x_{k}=\left(1, \omega^{k}, \omega^{2 k}, \cdots, \omega^{(n-1) k}\right)^{T}, \quad \cdots, \quad x_{n-1}=\left(1, \omega^{n-1}, \omega^{2(n-1)}, \cdots, \omega^{(n-1)^{2}}\right)^{T}$.
（2）由（1）可得
$$
|C|=\prod_{k=0}^{n-1} f\left(\omega^{k}\right)
$$
$$
\left(\begin{array}{cccc}
c_{0} & c_{1} & \cdots & c_{n-1} \\
c_{n-1} & c_{0} & \cdots & c_{n-2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
c_{1} & c_{2} & \cdots & c_{0}
\end{array}\right)
$$
（1）求 $\displaystyle C$ 的所有特征值以及相应的特征向量；
（2）求 $\displaystyle |C|$ 。
解：（1）构造多项式：$\displaystyle f(\lambda)=c_{0}+c_{1} \lambda+\cdots+c_{n-1} \lambda^{n-1}$ 。设 $\displaystyle P$ 是 $\displaystyle n$ 阶初等置换矩阵：
$$
\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
1 & 0 & 0 & \cdots & 0
\end{array}\right)
$$
则 $\displaystyle C=f(P)$ ．
$\displaystyle \because|\lambda I-P|=\lambda^{n}-1=\prod_{k=0}^{n-1}\left(\lambda-\omega^{k}\right)$ ，其中 $\displaystyle \omega=e^{i \frac{2 \pi}{n}}$ 是 $\displaystyle \lambda^{n}-1=0$ 的本原单位根．
$\displaystyle \therefore \omega^{0}, \omega^{1}, \cdots, \omega^{n-1}$ 是 $\displaystyle P$ 的所有特征值
$\displaystyle \therefore f\left(\omega^{0}\right), f\left(\omega^{1}\right), \cdots, f\left(\omega^{n-1}\right)$ 是循环矩阵 $\displaystyle C$ 的所有特征值．
$\displaystyle \forall k \in\{0,1,2, \cdots, n-1\}$ ，令 $\displaystyle x_{k}=\left(1, \omega^{k}, \omega^{2 k}, \cdots, \omega^{(n-1) k}\right)^{T}$ ，则
$$
P x_{k}=\left(\omega^{k}, \omega^{2 k}, \cdots, \omega^{(n-1) k}, 1\right)^{T}=\omega^{k} x_{k}
$$
所以
$$
C x_{k}=f(P) x_{k}=f\left(\omega^{k}\right) x_{k}
$$
综上可得
循环矩阵 $\displaystyle C$ 的所有特征值为 $\displaystyle f\left(\omega^{0}\right), f\left(\omega^{1}\right), \cdots, f\left(\omega^{n-1}\right)$ ，它们对应的特征向量分别为
$\displaystyle x_{0}=(1,1, \cdots, 1)^{T}, \quad x_{k}=\left(1, \omega^{k}, \omega^{2 k}, \cdots, \omega^{(n-1) k}\right)^{T}, \quad \cdots, \quad x_{n-1}=\left(1, \omega^{n-1}, \omega^{2(n-1)}, \cdots, \omega^{(n-1)^{2}}\right)^{T}$.
（2）由（1）可得
$$
|C|=\prod_{k=0}^{n-1} f\left(\omega^{k}\right)
$$
题20223云南大学真题
八．（15 分）
设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right)$ ，求正交矩阵 $\displaystyle T$ 使得 $\displaystyle T^{-1} A T$ 成为对角矩阵。
设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right)$ ，求正交矩阵 $\displaystyle T$ 使得 $\displaystyle T^{-1} A T$ 成为对角矩阵。
题20235北京大学真题
3．用正交变换化下面二次型为标准形
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3} ;
$$
（要求写出正交变换的矩阵和相应的标准形）。
解：二次型矩阵：
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -2 & -2 \\
-2 & 1 & -2 \\
-2 & -2 & 1
\end{array}\right)
$$
找其正交矩阵：
$$
T=\left(\begin{array}{ccc}
-\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{\sqrt{6}}{4} & -\frac{2 \sqrt{2}}{3} \\
0 & -\frac{\sqrt{6}}{4} & -\frac{\sqrt{2}}{6} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{6}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{6}
\end{array}\right) ;
$$
使得 $\displaystyle T^{-1} A T=\operatorname{diag}\{3,3,-3\}$ ；于是做正交替换化为标准型：
$$
f(x, y, z)=3 x^{*^{2}}+3 y^{*^{2}}-3 z^{*^{2}}
$$
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3} ;
$$
（要求写出正交变换的矩阵和相应的标准形）。
解：二次型矩阵：
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -2 & -2 \\
-2 & 1 & -2 \\
-2 & -2 & 1
\end{array}\right)
$$
找其正交矩阵：
$$
T=\left(\begin{array}{ccc}
-\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{\sqrt{6}}{4} & -\frac{2 \sqrt{2}}{3} \\
0 & -\frac{\sqrt{6}}{4} & -\frac{\sqrt{2}}{6} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{6}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{6}
\end{array}\right) ;
$$
使得 $\displaystyle T^{-1} A T=\operatorname{diag}\{3,3,-3\}$ ；于是做正交替换化为标准型：
$$
f(x, y, z)=3 x^{*^{2}}+3 y^{*^{2}}-3 z^{*^{2}}
$$
题20237北京大学真题
5．设正整数 $\displaystyle \mathrm{n} \geq 2$ ，用 $\displaystyle M_{n}(k)$ 表示数域 k 上全体 $\displaystyle \mathrm{n} \times \mathrm{n}$ ，矩阵关于矩阵加法和数乘所构成的 k上的线性空间。在 $\displaystyle M_{n}(k)$ 中定义变换 $\displaystyle \sigma$ 如下：
$\displaystyle \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\left(a_{i j}^{\prime}\right)_{n \times n}, \forall\left(a_{i j}\right)_{n \times n} \in M_{n}(k)$,
其中：$\displaystyle a_{i j}^{\prime}=\left\{\begin{array}{l}a_{i j}, i \neq j ; \\ i \cdot \operatorname{tr}(A), i=j .\end{array}\right.$
（1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle M_{n}(k)$ 上的线性变换；
（2）求出： $\displaystyle \operatorname{ker}(\sigma)$ 的维数与一组基；
（3）求出：$\displaystyle \sigma$ 的全部特征子空间．
证明：
（1）$\displaystyle \forall\left(a_{i j}\right)_{n \times n},\left(b_{i j}\right)_{n \times n} \in M_{n}(\mathrm{k}), \mathrm{k} \in K$ ，则
$\displaystyle \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}+\left(b_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\sigma\left(\left(\left(a_{i j}+b_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}\right)=\sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)+\sigma\left(\left(b_{i j}\right)_{n \times n}\right)\right.$ ；
$\displaystyle \sigma\left(k\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\sigma\left(\left(k a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\left(k a_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}=k\left(a_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}=k \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)$ ；
$\displaystyle \therefore \sigma$ 线性变换。
（2）$\displaystyle \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=0 \Rightarrow\left(a_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}=0 \Rightarrow a_{i j}^{\prime}=\left\{\begin{array}{l}a_{i j}=0, i \neq j ; \\ i \cdot \operatorname{tr}(A)=0, i=j . \Rightarrow \operatorname{tr}(A)=0 ;\end{array}\right.$ ；
$\displaystyle \therefore \operatorname{ker}(\sigma)$ 的维数是 $\displaystyle n-r$ 维，
基为：$\displaystyle \alpha_{1}=\operatorname{diag}(1,-1,0, \cdots, 0), \alpha_{2}=\operatorname{diag}(1,0,-1,0, \cdots, 0), \cdots, \alpha_{n-1}=\operatorname{diag}(1,0, \cdots, 0,-1)$ 。
（3）取 $\displaystyle M_{n}(\mathrm{k})$ 中的标准基（ $\displaystyle \mathrm{e}_{11}, \mathrm{e}_{12}, \cdots, \mathrm{e}_{\mathrm{nn}}$ ），
在这组基下的变换矩阵的特征值 $\displaystyle \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=\frac{n(n+1)}{2}$ ，
对应的特征子空间的维数分别为：$\displaystyle n^{2}-n, n-1,1$ ．
对应的特征子空间的分别为：
$\displaystyle <\mathrm{e}_{\mathrm{ij}}>_{\mathrm{i} \neq \mathrm{j}},<\mathrm{e}_{11}-\mathrm{e}_{22}, \mathrm{e}_{11}-\mathrm{e}_{33}, \cdots, \mathrm{e}_{11}-\mathrm{e}_{\mathrm{nn}}>,<\mathrm{e}_{11}+2 \mathrm{e}_{22}+\cdots+n \mathrm{e}_{\mathrm{nn}}>$ 。
证毕。
$\displaystyle \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\left(a_{i j}^{\prime}\right)_{n \times n}, \forall\left(a_{i j}\right)_{n \times n} \in M_{n}(k)$,
其中：$\displaystyle a_{i j}^{\prime}=\left\{\begin{array}{l}a_{i j}, i \neq j ; \\ i \cdot \operatorname{tr}(A), i=j .\end{array}\right.$
（1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle M_{n}(k)$ 上的线性变换；
（2）求出： $\displaystyle \operatorname{ker}(\sigma)$ 的维数与一组基；
（3）求出：$\displaystyle \sigma$ 的全部特征子空间．
证明：
（1）$\displaystyle \forall\left(a_{i j}\right)_{n \times n},\left(b_{i j}\right)_{n \times n} \in M_{n}(\mathrm{k}), \mathrm{k} \in K$ ，则
$\displaystyle \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}+\left(b_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\sigma\left(\left(\left(a_{i j}+b_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}\right)=\sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)+\sigma\left(\left(b_{i j}\right)_{n \times n}\right)\right.$ ；
$\displaystyle \sigma\left(k\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\sigma\left(\left(k a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\left(k a_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}=k\left(a_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}=k \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)$ ；
$\displaystyle \therefore \sigma$ 线性变换。
（2）$\displaystyle \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=0 \Rightarrow\left(a_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}=0 \Rightarrow a_{i j}^{\prime}=\left\{\begin{array}{l}a_{i j}=0, i \neq j ; \\ i \cdot \operatorname{tr}(A)=0, i=j . \Rightarrow \operatorname{tr}(A)=0 ;\end{array}\right.$ ；
$\displaystyle \therefore \operatorname{ker}(\sigma)$ 的维数是 $\displaystyle n-r$ 维，
基为：$\displaystyle \alpha_{1}=\operatorname{diag}(1,-1,0, \cdots, 0), \alpha_{2}=\operatorname{diag}(1,0,-1,0, \cdots, 0), \cdots, \alpha_{n-1}=\operatorname{diag}(1,0, \cdots, 0,-1)$ 。
（3）取 $\displaystyle M_{n}(\mathrm{k})$ 中的标准基（ $\displaystyle \mathrm{e}_{11}, \mathrm{e}_{12}, \cdots, \mathrm{e}_{\mathrm{nn}}$ ），
在这组基下的变换矩阵的特征值 $\displaystyle \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=\frac{n(n+1)}{2}$ ，
对应的特征子空间的维数分别为：$\displaystyle n^{2}-n, n-1,1$ ．
对应的特征子空间的分别为：
$\displaystyle <\mathrm{e}_{\mathrm{ij}}>_{\mathrm{i} \neq \mathrm{j}},<\mathrm{e}_{11}-\mathrm{e}_{22}, \mathrm{e}_{11}-\mathrm{e}_{33}, \cdots, \mathrm{e}_{11}-\mathrm{e}_{\mathrm{nn}}>,<\mathrm{e}_{11}+2 \mathrm{e}_{22}+\cdots+n \mathrm{e}_{\mathrm{nn}}>$ 。
证毕。
题20256北京大学真题
1、回答下列问题：
（1）问是否存在 $\displaystyle n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B$ ，满足 $\displaystyle A B-B A=E$（单位矩阵）？又，是否存在 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ ，满足 $\displaystyle \mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$（恒等变换）？若是，举出例子；若否，给出证明．
【解】否，下面给予证明．对于任意 $\displaystyle n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B$ ，若 $\displaystyle A B-B A=E$ ，则两边取矩阵的迹，并注意到 $\displaystyle \operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(B A)$ ，得 $\displaystyle 0=n$ ，矛盾．所以不存在方阵 $\displaystyle A, B$ ，使 $\displaystyle A B-B A=E$ ．
对于线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ ，任取 $\displaystyle V$ 的一个基，并设 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 在这个基下的矩阵分别为 $\displaystyle A, B$ ，若 $\displaystyle \mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$ ，则相应的有 $\displaystyle A B-B A=E$ ，矛盾．所以不存在 $\displaystyle n$ 维线性空
间 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ ，满足 $\displaystyle \mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$ ．
【注】若线性空间 $\displaystyle V$ 是无穷维的，则存在 $\displaystyle V$ 的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ ，满足 $\displaystyle \mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$ ．例如，设 $\displaystyle V=P[x]$ 是数域 $\displaystyle P$ 上多项式全体所构成的线性空间，定义
$$
\mathbf{A} f(x)=f^{\prime}(x), \mathbf{B} f(x)=x f(x), \forall f(x) \in V,
$$
容易验证： $\displaystyle \mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$ ．
（2）设 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle A$ 的各行元素之和为常数 $\displaystyle c$ ，则 $\displaystyle A^{3}$ 的各行元素之和是否为常数？若是，
是多少？说明理由．
【解】是．设 $\displaystyle \eta=(1,1, \cdots, 1)^{\mathrm{T}}$ 是 $\displaystyle n$ 维列向量，则由 $\displaystyle A$ 的各行元素之和为常数 $\displaystyle c$ ，知 $\displaystyle A \eta=c \eta$ ，从而 $\displaystyle A^{3} \eta=c^{3} \eta$ ．所以 $\displaystyle A^{3}$ 的各行元素之和为常数 $\displaystyle c^{3}$ ．
（3）设 $\displaystyle m \times n$ 矩阵 $\displaystyle A$ 的秩为 $\displaystyle r$ ，任取 $\displaystyle A$ 的 $\displaystyle r$ 个线性无关的行向量，再取 $\displaystyle A$ 的 $\displaystyle r$ 个线性无关的列向量，组成的 $\displaystyle r$ 阶子式是否一定不为 0 ？若是，给出证明；若否，举出反例．
【解】是．不妨考虑 $\displaystyle A$ 的后 $\displaystyle r$ 个线性无关的行向量及后 $\displaystyle r$ 个线性无关的列向量，所组成的 $\displaystyle r$ 阶子式记为 $\displaystyle D$ 。假设 $\displaystyle D=0$ ，则仅对 $\displaystyle A$ 的后 $\displaystyle r$ 行施行初等行变换，可得
$$
A \rightarrow\left(\begin{array}{cc}
B & C \\
\alpha & 0
\end{array}\right)=H
$$
其中 $\displaystyle B$ 是 $\displaystyle (m-1) \times(n-r)$ 矩阵，$\displaystyle C$ 是 $\displaystyle (m-1) \times r$ 矩阵，$\displaystyle \alpha$ 是 $\displaystyle n-r$ 维行向量。根据初等行变换不改变矩阵的秩且不改变列向量之间的线性相关性，知 $\displaystyle \operatorname{rank}(C)=r$ ，且 $\displaystyle \alpha \neq 0$ ．于是有
$$
\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(H) \geq \operatorname{rank}(C)+\operatorname{rank}(\alpha)=r+1,
$$
矛盾．所以 $\displaystyle D \neq 0$ ．
（4）设 $\displaystyle A, B$ 都是 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle B X=0$ 同解，则 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 的列向
量组是否等价？行向量组是否等价？若是，给出证明；若否，举出反例．
【解】第 1 个结论不成立，反例如下：若 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ ，则线性方程组
$\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle B X=0$ 同解，但 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 的列向量组显然不等价．
第 2 个结论成立，兹证明如下：依题意，线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle B X=0$ 同解，所以 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)$ 。记 $\displaystyle r=n-\operatorname{rank}(A)$ ，任取 $\displaystyle A X=0$ 的一个基础解系（当然也是 $\displaystyle B X=0$的基础解系）构成 $\displaystyle n \times r$ 矩阵 $\displaystyle C$ ，则 $\displaystyle \operatorname{rank}(C)=r$ ，且 $\displaystyle A C=O, B C=O$ ．
考虑齐次线性方程组 $\displaystyle C^{\mathrm{T}} X=0$ ，其解空间 $\displaystyle S$ 的维数 $\displaystyle \operatorname{dim}(S)=n-r=\operatorname{rank}(A)$ 。
因为 $\displaystyle C^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}}=O$ ，所以 $\displaystyle A$ 的行向量都是 $\displaystyle C^{\mathrm{T}} X=0$ 的解，因此 $\displaystyle A$ 的行空间 $\displaystyle W_{A}$ 是 $\displaystyle S$ 的一个子空间，即 $\displaystyle W_{A} \subseteq S$ ．注意到 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(W_{A}\right)=\operatorname{rank}(A)=\operatorname{dim}(S)$ ，故 $\displaystyle W_{A}=S$ ．
同理可证，$\displaystyle B$ 的行空间 $\displaystyle W_{B}=S$ ．于是有 $\displaystyle W_{A}=W_{B}$ ，这就表明 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 的行向量组等价．
【注】若 $\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle B X=0$ 都仅有零解，则 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)=n$ ，仍是第 1 个结论不成立（反例从略），第2个结论成立．事实上，此时存在 $\displaystyle m$ 阶可逆矩阵 $\displaystyle P_{1}, P_{2}$ ，使得 $\displaystyle P_{1} A=\binom{E_{n}}{O}, P_{2} B=\binom{E_{n}}{O}$ ，令 $\displaystyle P=P_{2}^{-1} P_{1}$ ，则 $\displaystyle P$ 是可逆矩阵，且 $\displaystyle P A=B$ 。由此容易证明，
$\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 的行向量组等价．
（5）把实数域 $\displaystyle \mathbf{R}$ 看成有理数域 $\displaystyle \mathbf{Q}$ 上的线性空间，$\displaystyle b=p^{3} q^{2} r$ ，这里的 $\displaystyle p, q, r \in \mathbf{Q}$ 是互不相同的素数．判断向量组 $\displaystyle 1, \sqrt[n]{b}, \sqrt[n]{b^{2}}, \cdots, \sqrt[n]{b^{n-1}}$ 是否线性相关？说明理由．
【解】向量组 $\displaystyle 1, \sqrt[n]{b}, \sqrt[n]{b^{2}}, \cdots, \sqrt[n]{b^{n-1}}$ 是线性无关的，可用反证法证之．若不然，则存在不全为零的 $\displaystyle k_{0}, k_{1}, \cdots, k_{n-1} \in Q$ ，使得
$$
k_{0} 1+k_{1} \sqrt[n]{b}+k_{2} \sqrt[n]{b^{2}}+\cdots+k_{n-1} \sqrt[n]{b^{n-1}}=0
$$
这就是说，$\displaystyle B=\sqrt[n]{b}$ 是非零的有理系数多项式 $\displaystyle f(x)=k_{0}+k_{1} x+\cdots+k_{n-1} x^{n-1}$ 的根，即
$$
f(B)=k_{0}+k_{1} B+\cdots+k_{n-1} B^{n-1}=0
$$
另一方面，对于整系数多项式 $\displaystyle g(x)=x^{n}-b$ ，显然有 $\displaystyle g(B)=0$ ，即 $\displaystyle B$ 是多项式 $\displaystyle g(x)$ 的根．取素数 $\displaystyle r$ ，利用 Eisenstein 判别法，易知 $\displaystyle g(x)$ 在有理数域 $\displaystyle \mathbf{Q}$ 上不可约，这就是说，不存在非零的次数更低 $\displaystyle (\leq n-1)$ 的有理系数多项式 $\displaystyle h(x)$ ，使得 $\displaystyle h(B)=0$ ，矛盾．
因此，向量组 $\displaystyle 1, \sqrt[n]{b}, \sqrt[n]{b^{2}}, \cdots, \sqrt[n]{b^{n-1}}$ 是线性无关的．
（1）问是否存在 $\displaystyle n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B$ ，满足 $\displaystyle A B-B A=E$（单位矩阵）？又，是否存在 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ ，满足 $\displaystyle \mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$（恒等变换）？若是，举出例子；若否，给出证明．
【解】否，下面给予证明．对于任意 $\displaystyle n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B$ ，若 $\displaystyle A B-B A=E$ ，则两边取矩阵的迹，并注意到 $\displaystyle \operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(B A)$ ，得 $\displaystyle 0=n$ ，矛盾．所以不存在方阵 $\displaystyle A, B$ ，使 $\displaystyle A B-B A=E$ ．
对于线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ ，任取 $\displaystyle V$ 的一个基，并设 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 在这个基下的矩阵分别为 $\displaystyle A, B$ ，若 $\displaystyle \mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$ ，则相应的有 $\displaystyle A B-B A=E$ ，矛盾．所以不存在 $\displaystyle n$ 维线性空
间 $\displaystyle V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ ，满足 $\displaystyle \mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$ ．
【注】若线性空间 $\displaystyle V$ 是无穷维的，则存在 $\displaystyle V$ 的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ ，满足 $\displaystyle \mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$ ．例如，设 $\displaystyle V=P[x]$ 是数域 $\displaystyle P$ 上多项式全体所构成的线性空间，定义
$$
\mathbf{A} f(x)=f^{\prime}(x), \mathbf{B} f(x)=x f(x), \forall f(x) \in V,
$$
容易验证： $\displaystyle \mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$ ．
（2）设 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle A$ 的各行元素之和为常数 $\displaystyle c$ ，则 $\displaystyle A^{3}$ 的各行元素之和是否为常数？若是，
是多少？说明理由．
【解】是．设 $\displaystyle \eta=(1,1, \cdots, 1)^{\mathrm{T}}$ 是 $\displaystyle n$ 维列向量，则由 $\displaystyle A$ 的各行元素之和为常数 $\displaystyle c$ ，知 $\displaystyle A \eta=c \eta$ ，从而 $\displaystyle A^{3} \eta=c^{3} \eta$ ．所以 $\displaystyle A^{3}$ 的各行元素之和为常数 $\displaystyle c^{3}$ ．
（3）设 $\displaystyle m \times n$ 矩阵 $\displaystyle A$ 的秩为 $\displaystyle r$ ，任取 $\displaystyle A$ 的 $\displaystyle r$ 个线性无关的行向量，再取 $\displaystyle A$ 的 $\displaystyle r$ 个线性无关的列向量，组成的 $\displaystyle r$ 阶子式是否一定不为 0 ？若是，给出证明；若否，举出反例．
【解】是．不妨考虑 $\displaystyle A$ 的后 $\displaystyle r$ 个线性无关的行向量及后 $\displaystyle r$ 个线性无关的列向量，所组成的 $\displaystyle r$ 阶子式记为 $\displaystyle D$ 。假设 $\displaystyle D=0$ ，则仅对 $\displaystyle A$ 的后 $\displaystyle r$ 行施行初等行变换，可得
$$
A \rightarrow\left(\begin{array}{cc}
B & C \\
\alpha & 0
\end{array}\right)=H
$$
其中 $\displaystyle B$ 是 $\displaystyle (m-1) \times(n-r)$ 矩阵，$\displaystyle C$ 是 $\displaystyle (m-1) \times r$ 矩阵，$\displaystyle \alpha$ 是 $\displaystyle n-r$ 维行向量。根据初等行变换不改变矩阵的秩且不改变列向量之间的线性相关性，知 $\displaystyle \operatorname{rank}(C)=r$ ，且 $\displaystyle \alpha \neq 0$ ．于是有
$$
\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(H) \geq \operatorname{rank}(C)+\operatorname{rank}(\alpha)=r+1,
$$
矛盾．所以 $\displaystyle D \neq 0$ ．
（4）设 $\displaystyle A, B$ 都是 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle B X=0$ 同解，则 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 的列向
量组是否等价？行向量组是否等价？若是，给出证明；若否，举出反例．
【解】第 1 个结论不成立，反例如下：若 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ ，则线性方程组
$\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle B X=0$ 同解，但 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 的列向量组显然不等价．
第 2 个结论成立，兹证明如下：依题意，线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle B X=0$ 同解，所以 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)$ 。记 $\displaystyle r=n-\operatorname{rank}(A)$ ，任取 $\displaystyle A X=0$ 的一个基础解系（当然也是 $\displaystyle B X=0$的基础解系）构成 $\displaystyle n \times r$ 矩阵 $\displaystyle C$ ，则 $\displaystyle \operatorname{rank}(C)=r$ ，且 $\displaystyle A C=O, B C=O$ ．
考虑齐次线性方程组 $\displaystyle C^{\mathrm{T}} X=0$ ，其解空间 $\displaystyle S$ 的维数 $\displaystyle \operatorname{dim}(S)=n-r=\operatorname{rank}(A)$ 。
因为 $\displaystyle C^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}}=O$ ，所以 $\displaystyle A$ 的行向量都是 $\displaystyle C^{\mathrm{T}} X=0$ 的解，因此 $\displaystyle A$ 的行空间 $\displaystyle W_{A}$ 是 $\displaystyle S$ 的一个子空间，即 $\displaystyle W_{A} \subseteq S$ ．注意到 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(W_{A}\right)=\operatorname{rank}(A)=\operatorname{dim}(S)$ ，故 $\displaystyle W_{A}=S$ ．
同理可证，$\displaystyle B$ 的行空间 $\displaystyle W_{B}=S$ ．于是有 $\displaystyle W_{A}=W_{B}$ ，这就表明 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 的行向量组等价．
【注】若 $\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle B X=0$ 都仅有零解，则 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)=n$ ，仍是第 1 个结论不成立（反例从略），第2个结论成立．事实上，此时存在 $\displaystyle m$ 阶可逆矩阵 $\displaystyle P_{1}, P_{2}$ ，使得 $\displaystyle P_{1} A=\binom{E_{n}}{O}, P_{2} B=\binom{E_{n}}{O}$ ，令 $\displaystyle P=P_{2}^{-1} P_{1}$ ，则 $\displaystyle P$ 是可逆矩阵，且 $\displaystyle P A=B$ 。由此容易证明，
$\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 的行向量组等价．
（5）把实数域 $\displaystyle \mathbf{R}$ 看成有理数域 $\displaystyle \mathbf{Q}$ 上的线性空间，$\displaystyle b=p^{3} q^{2} r$ ，这里的 $\displaystyle p, q, r \in \mathbf{Q}$ 是互不相同的素数．判断向量组 $\displaystyle 1, \sqrt[n]{b}, \sqrt[n]{b^{2}}, \cdots, \sqrt[n]{b^{n-1}}$ 是否线性相关？说明理由．
【解】向量组 $\displaystyle 1, \sqrt[n]{b}, \sqrt[n]{b^{2}}, \cdots, \sqrt[n]{b^{n-1}}$ 是线性无关的，可用反证法证之．若不然，则存在不全为零的 $\displaystyle k_{0}, k_{1}, \cdots, k_{n-1} \in Q$ ，使得
$$
k_{0} 1+k_{1} \sqrt[n]{b}+k_{2} \sqrt[n]{b^{2}}+\cdots+k_{n-1} \sqrt[n]{b^{n-1}}=0
$$
这就是说，$\displaystyle B=\sqrt[n]{b}$ 是非零的有理系数多项式 $\displaystyle f(x)=k_{0}+k_{1} x+\cdots+k_{n-1} x^{n-1}$ 的根，即
$$
f(B)=k_{0}+k_{1} B+\cdots+k_{n-1} B^{n-1}=0
$$
另一方面，对于整系数多项式 $\displaystyle g(x)=x^{n}-b$ ，显然有 $\displaystyle g(B)=0$ ，即 $\displaystyle B$ 是多项式 $\displaystyle g(x)$ 的根．取素数 $\displaystyle r$ ，利用 Eisenstein 判别法，易知 $\displaystyle g(x)$ 在有理数域 $\displaystyle \mathbf{Q}$ 上不可约，这就是说，不存在非零的次数更低 $\displaystyle (\leq n-1)$ 的有理系数多项式 $\displaystyle h(x)$ ，使得 $\displaystyle h(B)=0$ ，矛盾．
因此，向量组 $\displaystyle 1, \sqrt[n]{b}, \sqrt[n]{b^{2}}, \cdots, \sqrt[n]{b^{n-1}}$ 是线性无关的．
题20260北京大学真题
5、设 $\displaystyle n$ 阶复矩阵 $\displaystyle A$ 满足：对于任意正整数 $\displaystyle k$ ，都有 $\displaystyle \operatorname{tr}\left(A^{k}\right)=0$ ．求 $\displaystyle A$ 的特征值．
【解】设 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 是 $\displaystyle A$ 的全部特征值，则 $\displaystyle A$ 的特征多项式为
$$
\Delta(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)\left(\lambda-\lambda_{2}\right) \cdots\left(\lambda-\lambda_{n}\right)=\lambda^{n}-\sigma_{1} \lambda^{n-1}+\sigma_{2} \lambda^{n-2}-\cdots+(-1)^{n} \sigma_{n}
$$
其中 $\displaystyle \sigma_{k}$ 是 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 的 $\displaystyle k$ 次初等对称多项式 $\displaystyle (1 \leq k \leq n)$ ．
因为 $\displaystyle \lambda_{1}^{k}, \lambda_{2}^{k}, \cdots, \lambda_{n}^{k}$ 是 $\displaystyle A^{k}$ 的全部特征值，所以
$$
s_{k}=\lambda_{1}^{k}+\lambda_{2}^{k}+\cdots+\lambda_{n}^{k}=\operatorname{tr}\left(A^{k}\right)=0, k=1,2, \cdots .
$$
对于 $\displaystyle 1 \leq k \leq n$ ，利用牛顿（Newton）公式
$$
s_{k}-\sigma_{1} s_{k-1}+\sigma_{2} s_{k-2}-\cdots+(-1)^{k-1} \sigma_{k-1} s_{1}+(-1)^{k} k \sigma_{k}=0
$$
可得 $\displaystyle \sigma_{k}=0$ ，从而有 $\displaystyle \Delta(\lambda)=\lambda^{n}$ ．因此，$\displaystyle A$ 的特征值 $\displaystyle \lambda_{1}=\lambda_{2}=\cdots=\lambda_{n}=0$ ．
【解】设 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 是 $\displaystyle A$ 的全部特征值，则 $\displaystyle A$ 的特征多项式为
$$
\Delta(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)\left(\lambda-\lambda_{2}\right) \cdots\left(\lambda-\lambda_{n}\right)=\lambda^{n}-\sigma_{1} \lambda^{n-1}+\sigma_{2} \lambda^{n-2}-\cdots+(-1)^{n} \sigma_{n}
$$
其中 $\displaystyle \sigma_{k}$ 是 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 的 $\displaystyle k$ 次初等对称多项式 $\displaystyle (1 \leq k \leq n)$ ．
因为 $\displaystyle \lambda_{1}^{k}, \lambda_{2}^{k}, \cdots, \lambda_{n}^{k}$ 是 $\displaystyle A^{k}$ 的全部特征值，所以
$$
s_{k}=\lambda_{1}^{k}+\lambda_{2}^{k}+\cdots+\lambda_{n}^{k}=\operatorname{tr}\left(A^{k}\right)=0, k=1,2, \cdots .
$$
对于 $\displaystyle 1 \leq k \leq n$ ，利用牛顿（Newton）公式
$$
s_{k}-\sigma_{1} s_{k-1}+\sigma_{2} s_{k-2}-\cdots+(-1)^{k-1} \sigma_{k-1} s_{1}+(-1)^{k} k \sigma_{k}=0
$$
可得 $\displaystyle \sigma_{k}=0$ ，从而有 $\displaystyle \Delta(\lambda)=\lambda^{n}$ ．因此，$\displaystyle A$ 的特征值 $\displaystyle \lambda_{1}=\lambda_{2}=\cdots=\lambda_{n}=0$ ．
题20461南京大学真题
三、（20 分）试用正交线性替换将二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}- 4 x_{1} x_{3}-8 x_{2} x_{3}$ 化成标准形，并写出所用的正交线性替换．
题20462南京大学真题
四、（10 分）设 $\displaystyle A, B$ 都是数域 $\displaystyle P$ 上 $\displaystyle n$ 级方阵。如果 $\displaystyle A$ 在域 $\displaystyle P$ 上有 $\displaystyle n$ 个不同的特征值，且 $\displaystyle A B=B A$ ，证明：$\displaystyle B$ 相似于一个对角矩阵．
题20479南京大学真题
七、（15 分）设 A 是 n 级正定矩阵， B 是 n 级实矩阵并且 0 不是 B 的特征值，证明：$\displaystyle \left|A+B^{\prime} B\right|>|A|$
分析： B 是 n 级实矩阵并且 0 不是 B 的特征值可得出 $\displaystyle |B| \neq 0$ ，即 B 可逆。而 $\displaystyle B^{\prime} B$为对称矩阵，故存在可逆矩阵 C 使它相似于对角矩阵即 $\displaystyle C^{-1} B^{\prime} B C=\left(\begin{array}{cccc}\lambda_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & 0 & 0 \\ \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_{\mathrm{n}}\end{array}\right)\left(\lambda_{1}, \lambda_{2} \ldots \ldots \lambda_{n}>0\right)$ ，而 A 又为 n 级正定矩
阵故存在可逆矩阵 D 使它相似于对角矩阵即 $\displaystyle D^{-1} A D=\left(\begin{array}{cccc}\gamma_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \gamma_{2} & 0 & 0 \\ \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \gamma_{\mathrm{n}}\end{array}\right)$
所以
$$
\left|A+B^{\prime} B\right|=\left|(C D)^{-1}\left(A+B^{\prime} B\right)(C D)\right|=\left\lvert\, \begin{array}{cccccccc}
\lambda_{1}+\gamma_{1} & 0 & 0 & 0 & \gamma_{1} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \lambda_{2}+\gamma_{2} & 0 & 0 & 0 & \gamma_{2} & 0 & 0 \\
\ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots & \mid>\ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots \\
0 & 0 & 0 & \lambda_{n}+\gamma_{n} & 0 & 0 & 0 & \gamma_{n}
\end{array}\right.
$$
故有 $\displaystyle \left|A+B^{\prime} B\right|>|A|$ ，整理一下分析过程即得证明过程。
分析： B 是 n 级实矩阵并且 0 不是 B 的特征值可得出 $\displaystyle |B| \neq 0$ ，即 B 可逆。而 $\displaystyle B^{\prime} B$为对称矩阵，故存在可逆矩阵 C 使它相似于对角矩阵即 $\displaystyle C^{-1} B^{\prime} B C=\left(\begin{array}{cccc}\lambda_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & 0 & 0 \\ \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_{\mathrm{n}}\end{array}\right)\left(\lambda_{1}, \lambda_{2} \ldots \ldots \lambda_{n}>0\right)$ ，而 A 又为 n 级正定矩
阵故存在可逆矩阵 D 使它相似于对角矩阵即 $\displaystyle D^{-1} A D=\left(\begin{array}{cccc}\gamma_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \gamma_{2} & 0 & 0 \\ \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \gamma_{\mathrm{n}}\end{array}\right)$
所以
$$
\left|A+B^{\prime} B\right|=\left|(C D)^{-1}\left(A+B^{\prime} B\right)(C D)\right|=\left\lvert\, \begin{array}{cccccccc}
\lambda_{1}+\gamma_{1} & 0 & 0 & 0 & \gamma_{1} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \lambda_{2}+\gamma_{2} & 0 & 0 & 0 & \gamma_{2} & 0 & 0 \\
\ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots & \mid>\ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots \\
0 & 0 & 0 & \lambda_{n}+\gamma_{n} & 0 & 0 & 0 & \gamma_{n}
\end{array}\right.
$$
故有 $\displaystyle \left|A+B^{\prime} B\right|>|A|$ ，整理一下分析过程即得证明过程。
题20480南京大学真题
八、（15 分）设 A 是三级正交矩阵并且 $\displaystyle |A|=1$ ，求证：
（1） 1 是 A 的一个特征值
（2） A 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)$ 可表示为 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}-a \lambda^{2}+a \lambda-1$ ，其中 a 是某个实数。
（3）若 A 的特征值全为实数并且 $\displaystyle |A+E| \neq 0$ ，则 A 的转置 $\displaystyle A^{\prime}=A^{2}-3 A+3 E$ ，其中 E 是 3 级单位矩阵。
证明：（1）$\displaystyle |E-A|=\left|A A^{\prime}-A\right|=|A|\left|A^{\prime}-E\right|=|A-E|=(-1)^{3}|E-A|=-|E-A|$ ，故 $\displaystyle |E-A|=0$ ，所以 1 是 A 的一个特征值；
（2）根据哈密尔顿一卡莱定理得到 A 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)$ 为 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}+a \lambda^{2}+b \lambda-1$ ，而根据（1）得出 $\displaystyle \lambda=1$ 是 $\displaystyle f(\lambda)=0$ 的解故解得 $\displaystyle a+b=0$ ，所以 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}-a \lambda^{2}+a \lambda-1$
（3）因为 A 是三级正交矩阵，故 $\displaystyle A A^{\prime}=A^{\prime} A=E$ 即 $\displaystyle |A|^{2}=1$ ，而 $\displaystyle |A+E| \neq 0$ 故 $\displaystyle \lambda=-1$不是 A 的特征值，所以 $\displaystyle \lambda=1,1$ 是 A 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)$ 的解，代入得到 $\displaystyle \mathrm{a}=3$ ，所以 A 的 特 征 多 项 式 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}-3 \lambda^{2}+3 \lambda-1$ ，即 $\displaystyle A^{3}-3 A^{2}+3 A-E=0 \Leftrightarrow A\left(A^{2}-3 A+3 E\right)=E$ ，所以 $\displaystyle A^{\prime}=A^{2}-3 A+3 E$ 。
（1） 1 是 A 的一个特征值
（2） A 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)$ 可表示为 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}-a \lambda^{2}+a \lambda-1$ ，其中 a 是某个实数。
（3）若 A 的特征值全为实数并且 $\displaystyle |A+E| \neq 0$ ，则 A 的转置 $\displaystyle A^{\prime}=A^{2}-3 A+3 E$ ，其中 E 是 3 级单位矩阵。
证明：（1）$\displaystyle |E-A|=\left|A A^{\prime}-A\right|=|A|\left|A^{\prime}-E\right|=|A-E|=(-1)^{3}|E-A|=-|E-A|$ ，故 $\displaystyle |E-A|=0$ ，所以 1 是 A 的一个特征值；
（2）根据哈密尔顿一卡莱定理得到 A 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)$ 为 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}+a \lambda^{2}+b \lambda-1$ ，而根据（1）得出 $\displaystyle \lambda=1$ 是 $\displaystyle f(\lambda)=0$ 的解故解得 $\displaystyle a+b=0$ ，所以 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}-a \lambda^{2}+a \lambda-1$
（3）因为 A 是三级正交矩阵，故 $\displaystyle A A^{\prime}=A^{\prime} A=E$ 即 $\displaystyle |A|^{2}=1$ ，而 $\displaystyle |A+E| \neq 0$ 故 $\displaystyle \lambda=-1$不是 A 的特征值，所以 $\displaystyle \lambda=1,1$ 是 A 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)$ 的解，代入得到 $\displaystyle \mathrm{a}=3$ ，所以 A 的 特 征 多 项 式 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}-3 \lambda^{2}+3 \lambda-1$ ，即 $\displaystyle A^{3}-3 A^{2}+3 A-E=0 \Leftrightarrow A\left(A^{2}-3 A+3 E\right)=E$ ，所以 $\displaystyle A^{\prime}=A^{2}-3 A+3 E$ 。
题20490南京大学真题
9．设 $\displaystyle A$ 是一个 $\displaystyle n$ 级矩阵，如果存在一个整数 $\displaystyle m$ 使 $\displaystyle A^{m}=0$ ，则 $\displaystyle A$ 的特征值都为零．
题20491南京大学真题
10．设 $\displaystyle a$ 是一个非零的 $\displaystyle n$ 维实列向量，$\displaystyle A=E_{n}-2 \frac{a a^{\prime}}{a^{\prime} a}$ ．则 $\displaystyle A$ 是正交矩阵并且 1 是 $\displaystyle A$ 的 $\displaystyle n-1$ 重特征值．
题20657武汉大学真题
6．（20 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & \cdots & 1 \\ \vdots & & \vdots \\ 1 & \cdots & 1\end{array}\right)$ 是 $\displaystyle n$ 阶矩阵，
（1）求 $\displaystyle A$ 的特征值和特征向量；
（2）求可逆矩阵 $\displaystyle P$ ，使 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角矩阵．
（1）求 $\displaystyle A$ 的特征值和特征向量；
（2）求可逆矩阵 $\displaystyle P$ ，使 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角矩阵．
题20658武汉大学真题
7．（12 分）设 $\displaystyle A 、 C$ 是 $\displaystyle n$ 阶实正定矩阵，$\displaystyle B$ 是矩阵方程 $\displaystyle A X+X A=C$ 的唯一解，证明：
（1）$\displaystyle B$ 是对称矩阵；
（2）$\displaystyle B$ 是正定矩阵．
（1）$\displaystyle B$ 是对称矩阵；
（2）$\displaystyle B$ 是正定矩阵．
题20663武汉大学真题
4．（10 分）求实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots x_{n}\right)=n \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{2}(n \geq 2)$ 的秩和正、负惯性指数．
题20665武汉大学真题
6．（15 分）设 $\displaystyle A 、 B$ 是 $\displaystyle n$ 阶非零矩阵，且有 $\displaystyle A^{2}=A, B^{2}=B, A B=B A=0$ ，证明：
（1） 0,1 必是 $\displaystyle A 、 B$ 的特征值；
（2）若 $\displaystyle X$ 是 $\displaystyle A$ 的属于特征值 1 的特征向量，则 $\displaystyle X$ 也是 $\displaystyle B$ 的属于特征值 0 的特征向量．
（1） 0,1 必是 $\displaystyle A 、 B$ 的特征值；
（2）若 $\displaystyle X$ 是 $\displaystyle A$ 的属于特征值 1 的特征向量，则 $\displaystyle X$ 也是 $\displaystyle B$ 的属于特征值 0 的特征向量．
题20666武汉大学真题
7．（20 分）已知二次曲面方程 $\displaystyle x^{2}+k y^{2}+z^{2}+2 x y+2 x z+2 y z=4$ 可通过正交变换
$\displaystyle \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime}\end{array}\right)$,
化为椭圆柱面 $\displaystyle y^{\prime 2}+4 z^{\prime 2}=4$ ，求 $\displaystyle k$ 的值和正交矩阵 $\displaystyle P$ ．
$\displaystyle \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime}\end{array}\right)$,
化为椭圆柱面 $\displaystyle y^{\prime 2}+4 z^{\prime 2}=4$ ，求 $\displaystyle k$ 的值和正交矩阵 $\displaystyle P$ ．
题20667武汉大学真题
8．（15 分）设 $\displaystyle \alpha=\left(a_{1}, \cdots, a_{n}\right)$ 是 $\displaystyle n(n \geq 2)$ 维非零向量。证明：$\displaystyle \alpha^{T} \alpha$ 可相似于一对角矩阵，并求此对角矩阵。
题20673武汉大学真题
一、判断下列命题是否正确（共 $\displaystyle \mathbf{5}$ 小题，每小题 $\displaystyle \mathbf{6}$ 分，共 $\displaystyle \mathbf{3 0}$ 分）：
题20722武汉大学真题
8．设 $\displaystyle V$ 是复数域上的 $\displaystyle n$ 维线性空间，$\displaystyle f, g$ 是 $\displaystyle V$ 的线性变换，且 $\displaystyle f g=g f$ ，证明：
（1）如果 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle f$ 的特征值，那么 $\displaystyle V_{\lambda}$（ $\displaystyle \lambda$ 的特征子空间）是 $\displaystyle g$ 的不变子空间；（8分）
（2）$\displaystyle f, g$ 至少有一个公共的特征向量．（7 分）
（1）如果 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle f$ 的特征值，那么 $\displaystyle V_{\lambda}$（ $\displaystyle \lambda$ 的特征子空间）是 $\displaystyle g$ 的不变子空间；（8分）
（2）$\displaystyle f, g$ 至少有一个公共的特征向量．（7 分）
题20723武汉大学真题
9．设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n$ 阶方阵，证明：如果 $\displaystyle r(A)+r(A-E)=n$ ，则 $\displaystyle A$ 可对角化．（20 分）
题20725武汉大学真题
一．（20 分）设 $\displaystyle A$ 是元素全为 1 的 $\displaystyle n$ 阶方阵，$\displaystyle E$ 为 $\displaystyle n$ 阶单位矩阵。
（1）求行列式 $\displaystyle |a E+b A|$ 的值，其中 $\displaystyle a, b$ 是实常数；
（2）已知 $\displaystyle 1<\operatorname{rank}(a E+b A)<n$ ，试确定 $\displaystyle a, b$ 所满足的条件，并求下列线性子空间的维数：
$$
W=\left\{x \mid(a E+b A) x=0, x \in R^{n}\right\} .
$$
（1）求行列式 $\displaystyle |a E+b A|$ 的值，其中 $\displaystyle a, b$ 是实常数；
（2）已知 $\displaystyle 1<\operatorname{rank}(a E+b A)<n$ ，试确定 $\displaystyle a, b$ 所满足的条件，并求下列线性子空间的维数：
$$
W=\left\{x \mid(a E+b A) x=0, x \in R^{n}\right\} .
$$
题20727武汉大学真题
三．（20 分）已知二次型 $\displaystyle f=x_{1}{ }^{2}+x_{2}{ }^{2}+x_{3}{ }^{2}+9 x_{4}{ }^{2}+2 a\left(x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+x_{3} x_{1}\right)$ 问当 $\displaystyle a$ 取何值时， $\displaystyle f$ 是正定的，半正定的，以及不定的二次型．
题20729武汉大学真题
五．（20 分）设 $\displaystyle E$ 是 $\displaystyle n$ 阶单位矩阵，证明：
（1）若 $\displaystyle A, B$ 是 $\displaystyle n$ 阶矩阵，$\displaystyle A^{2}=A$ ，且 $\displaystyle E-A-B$ 是可逆矩阵，则 $\displaystyle \operatorname{rank}(A B)=\operatorname{rank}(B A)$
（2）若 $\displaystyle A=E-\xi \xi^{T}$ ，其中 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle n$ 维列向量，$\displaystyle \xi^{T}$ 是 $\displaystyle \xi$ 的转置，则 $\displaystyle \xi^{T} \xi=1$ 的充分必要条件是 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)<n$ ；
（3）若 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶实矩阵，且 $\displaystyle A+A^{T}=E$ ，其中 $\displaystyle A^{T}$ 是 $\displaystyle A$ 的转置，则 $\displaystyle A$ 是可逆矩阵．
（1）若 $\displaystyle A, B$ 是 $\displaystyle n$ 阶矩阵，$\displaystyle A^{2}=A$ ，且 $\displaystyle E-A-B$ 是可逆矩阵，则 $\displaystyle \operatorname{rank}(A B)=\operatorname{rank}(B A)$
（2）若 $\displaystyle A=E-\xi \xi^{T}$ ，其中 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle n$ 维列向量，$\displaystyle \xi^{T}$ 是 $\displaystyle \xi$ 的转置，则 $\displaystyle \xi^{T} \xi=1$ 的充分必要条件是 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)<n$ ；
（3）若 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶实矩阵，且 $\displaystyle A+A^{T}=E$ ，其中 $\displaystyle A^{T}$ 是 $\displaystyle A$ 的转置，则 $\displaystyle A$ 是可逆矩阵．
题20731武汉大学真题
八．（15 分）设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶矩阵，$\displaystyle \lambda_{0}$ 是 $\displaystyle A$ 的 $\displaystyle n$ 重特征值， $\displaystyle \operatorname{rank}\left(\lambda_{0} E-A\right)=n-1$ ．
（1）求使 $\displaystyle \left(\lambda_{0} E-A\right)^{m}=0$ 的最小正整数 $\displaystyle m$ ；
（2）证明：$\displaystyle \left(\lambda_{0} E-A\right)^{n-1}$ 必有一个列向量是 $\displaystyle A$ 的属于 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的特征向量．
（1）求使 $\displaystyle \left(\lambda_{0} E-A\right)^{m}=0$ 的最小正整数 $\displaystyle m$ ；
（2）证明：$\displaystyle \left(\lambda_{0} E-A\right)^{n-1}$ 必有一个列向量是 $\displaystyle A$ 的属于 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的特征向量．
题20732武汉大学真题
七．解（1）易知 $\displaystyle A$ 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)=|\lambda E-A|=(\lambda-1)\left(\lambda^{2}-6 \lambda+8-3 a\right)$ ．
若 $\displaystyle \lambda=1$ 是 $\displaystyle f(\lambda)$ 的二重根，则 $\displaystyle \lambda=1$ 是 $\displaystyle \lambda^{2}-6 \lambda+8-3 a$ 的零点，即 $\displaystyle 1^{2}-6+8-3 a=0$ ，解得 $\displaystyle a=1$ 。此时，对 $\displaystyle \lambda E-A$ 作初等变换化为正规形
$$
\lambda E-A=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda-1 & -5 & -5 \\
0 & \lambda-4 & -3 \\
0 & -1 & \lambda-2
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{lll}
1 & & \\
& \lambda-1 & \\
& & (\lambda-1)(\lambda-5)
\end{array}\right)
$$
所以，$\displaystyle A$ 的最小多项式 $\displaystyle m(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-5)$ ．又 $\displaystyle A$ 的初等因子组为 $\displaystyle \lambda-1, \lambda-1, \lambda-5$ ，故 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形为对角阵 $\displaystyle J_{1}=\operatorname{diag}(1,1,5)$ 。
若 $\displaystyle \lambda=1$ 不是 $\displaystyle f(\lambda)$ 的二重根，则 $\displaystyle \lambda^{2}-6 \lambda+8-3 a$ 为完全平方，从而 $\displaystyle 8-3 a=9$ ，解得 $\displaystyle a=-\frac{1}{3}$ ，此时，对 $\displaystyle \lambda E-A$ 作初等变换化为正规形
$$
\lambda E-A=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda-1 & -5 & -5 \\
0 & \lambda-4 & -3 \\
0 & \frac{1}{3} & \lambda-2
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{lll}
1 & & \\
& 1 & \\
& & (\lambda-1)(\lambda-3)^{2}
\end{array}\right)
$$
所以，$\displaystyle A$ 的最小多项式 $\displaystyle m(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-3)^{2}$ ．又 $\displaystyle A$ 的初等因子组为 $\displaystyle \lambda-1,(\lambda-3)^{2}$ ，故 $\displaystyle A$的 Jordan 标准形为
$$
J_{2}=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right)
$$
（2）根据上面解答可知，$\displaystyle A$ 相似于对角矩阵的充分必要条件是 $\displaystyle a=1$ ． \(\square\)
若 $\displaystyle \lambda=1$ 是 $\displaystyle f(\lambda)$ 的二重根，则 $\displaystyle \lambda=1$ 是 $\displaystyle \lambda^{2}-6 \lambda+8-3 a$ 的零点，即 $\displaystyle 1^{2}-6+8-3 a=0$ ，解得 $\displaystyle a=1$ 。此时，对 $\displaystyle \lambda E-A$ 作初等变换化为正规形
$$
\lambda E-A=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda-1 & -5 & -5 \\
0 & \lambda-4 & -3 \\
0 & -1 & \lambda-2
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{lll}
1 & & \\
& \lambda-1 & \\
& & (\lambda-1)(\lambda-5)
\end{array}\right)
$$
所以，$\displaystyle A$ 的最小多项式 $\displaystyle m(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-5)$ ．又 $\displaystyle A$ 的初等因子组为 $\displaystyle \lambda-1, \lambda-1, \lambda-5$ ，故 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形为对角阵 $\displaystyle J_{1}=\operatorname{diag}(1,1,5)$ 。
若 $\displaystyle \lambda=1$ 不是 $\displaystyle f(\lambda)$ 的二重根，则 $\displaystyle \lambda^{2}-6 \lambda+8-3 a$ 为完全平方，从而 $\displaystyle 8-3 a=9$ ，解得 $\displaystyle a=-\frac{1}{3}$ ，此时，对 $\displaystyle \lambda E-A$ 作初等变换化为正规形
$$
\lambda E-A=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda-1 & -5 & -5 \\
0 & \lambda-4 & -3 \\
0 & \frac{1}{3} & \lambda-2
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{lll}
1 & & \\
& 1 & \\
& & (\lambda-1)(\lambda-3)^{2}
\end{array}\right)
$$
所以，$\displaystyle A$ 的最小多项式 $\displaystyle m(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-3)^{2}$ ．又 $\displaystyle A$ 的初等因子组为 $\displaystyle \lambda-1,(\lambda-3)^{2}$ ，故 $\displaystyle A$的 Jordan 标准形为
$$
J_{2}=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right)
$$
（2）根据上面解答可知，$\displaystyle A$ 相似于对角矩阵的充分必要条件是 $\displaystyle a=1$ ． \(\square\)
题20805武汉大学真题
七、（15分）设 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 为 $\displaystyle n$ 阶方阵， $\displaystyle \operatorname{det}(\boldsymbol{A})=18$ ，且 $\displaystyle 3 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{*}=15 \boldsymbol{E}_{n}$ ，其中 $\displaystyle \boldsymbol{A}^{*}$ 为 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵， $\displaystyle \boldsymbol{E}_{n}$ 为 $\displaystyle n$ 阶单位矩阵。
（1）求 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 的一个零化多项式 $\displaystyle f(\boldsymbol{\lambda})$ ；
（2）求 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 的极小多项式 $\displaystyle m(\lambda)$ ；
（3）求 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 的 Jordan 标准形．
（1）求 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 的一个零化多项式 $\displaystyle f(\boldsymbol{\lambda})$ ；
（2）求 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 的极小多项式 $\displaystyle m(\lambda)$ ；
（3）求 $\displaystyle \boldsymbol{A}$ 的 Jordan 标准形．
题20806武汉大学真题
八、（15 分）设 $\displaystyle V$ 是复数域上的 $\displaystyle n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma, \tau$ 是 $\displaystyle V$ 的线性变换，且 $\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$ ．证明：
（1）$\displaystyle \sigma$ 的核 $\displaystyle \sigma^{-1}(\mathbf{0})$ 是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间；
（2）$\displaystyle \sigma$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的特征子空间 $\displaystyle V_{\lambda_{0}}$ 是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间；
（3）$\displaystyle \sigma, \tau$ 至少有一个公共的特征向量．
（1）$\displaystyle \sigma$ 的核 $\displaystyle \sigma^{-1}(\mathbf{0})$ 是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间；
（2）$\displaystyle \sigma$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的特征子空间 $\displaystyle V_{\lambda_{0}}$ 是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间；
（3）$\displaystyle \sigma, \tau$ 至少有一个公共的特征向量．
题20895浙江大学真题
六、（15 分）设 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ，满足下列条件：
（i） $\displaystyle 0 \leq a_{i j} \leq 1, \forall i, j$ ；（ii）$\displaystyle a_{i 1}+a_{i 2}+\cdots+a_{i n}=1,(i=1,2, \cdots, n)$ ．求证：
（1）若 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle A$ 的任意一个特征值，则 $\displaystyle |\lambda| \leq 1$ ；
（2）$\displaystyle \lambda_{0}=1$ 为 $\displaystyle A$ 的任意一个特征值．
七、（15 分）$\displaystyle R^{n}$ 是 $\displaystyle n$ 维欧氏空间，$\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶正定阵，$\displaystyle \alpha=\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ \cdots \\ x_{n}\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}y_{1} \\ y_{2} \\ \cdots \\ y_{n}\end{array}\right) \in R^{n}$ ．求证： $\displaystyle \left(\alpha^{T} A \beta\right)^{2} \leq\left(\alpha^{T} A \alpha\right)\left(\beta^{T} A \beta\right)$ ，且等号成立当且仅当 $\displaystyle \alpha, \beta$ 线性相关．
（i） $\displaystyle 0 \leq a_{i j} \leq 1, \forall i, j$ ；（ii）$\displaystyle a_{i 1}+a_{i 2}+\cdots+a_{i n}=1,(i=1,2, \cdots, n)$ ．求证：
（1）若 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle A$ 的任意一个特征值，则 $\displaystyle |\lambda| \leq 1$ ；
（2）$\displaystyle \lambda_{0}=1$ 为 $\displaystyle A$ 的任意一个特征值．
七、（15 分）$\displaystyle R^{n}$ 是 $\displaystyle n$ 维欧氏空间，$\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶正定阵，$\displaystyle \alpha=\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ \cdots \\ x_{n}\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}y_{1} \\ y_{2} \\ \cdots \\ y_{n}\end{array}\right) \in R^{n}$ ．求证： $\displaystyle \left(\alpha^{T} A \beta\right)^{2} \leq\left(\alpha^{T} A \alpha\right)\left(\beta^{T} A \beta\right)$ ，且等号成立当且仅当 $\displaystyle \alpha, \beta$ 线性相关．
题20896浙江大学真题
八（1）设 $\displaystyle A, B$ 分别为复数矩阵域上的 䂙介和阶方阵，并且 $\displaystyle A, B$ 没有公共的特征值，求证 $\displaystyle A X=X B$ 只有空解（这里 $\displaystyle X=\left(x_{i j}\right)_{k \times k}$ ）
（2）在 $\displaystyle \Re^{n \times n}$ 中，变换 $\displaystyle \mathrm{A}: X \mapsto A X+X A, A \in \Re^{n \times n}, ~ \mathrm{~A}$ 为一个固定的矩阵，且 A 的特征值不为（－A）的特征值，求证：A为一个线形变换。
（2）在 $\displaystyle \Re^{n \times n}$ 中，变换 $\displaystyle \mathrm{A}: X \mapsto A X+X A, A \in \Re^{n \times n}, ~ \mathrm{~A}$ 为一个固定的矩阵，且 A 的特征值不为（－A）的特征值，求证：A为一个线形变换。
题20906浙江大学真题
四、（20分）设 $\displaystyle n$ 维线性空间 $\displaystyle V$ 的线性变换 $\displaystyle A$ 有 $\displaystyle n$ 个互异的特征值，线性变换 $\displaystyle B$与 $\displaystyle A$ 可交换的充要条件是 $\displaystyle B$ 是 $\displaystyle E, A, A^{2}, \cdots, A^{n-1}$ 的线性组合，其中 $\displaystyle E$ 为恒等变换．五、（ 10 分）证明：$\displaystyle n$ 阶幂零指数为 $\displaystyle n-1$ 的矩阵都相似。
$$
\text { (若 } A^{n-1}=0, \quad A^{n-2} \neq 0 \text { 而称 } A \text { 的幂零指数为 } n-1 \text { ) }
$$
$$
\text { (若 } A^{n-1}=0, \quad A^{n-2} \neq 0 \text { 而称 } A \text { 的幂零指数为 } n-1 \text { ) }
$$
题20932浙江大学真题
六、（20分）用正交线性替换化下面的实二次型为标准型，并写出所用的正交线性替换。
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{1} x_{4}-2 x_{2} x_{3}+2 x_{2} x_{4}+2 x_{3} x_{4}
$$
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{1} x_{4}-2 x_{2} x_{3}+2 x_{2} x_{4}+2 x_{3} x_{4}
$$
题20933浙江大学真题
七、（8 分）设 $\displaystyle A, B$ 是 $\displaystyle n$ 级复矩阵，且 $\displaystyle A B=B A$ 。求证：存在一个 $\displaystyle n$ 级可逆矩阵 $\displaystyle P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 与 $\displaystyle P^{-1} B P$ 都是上三角矩阵。
题20934浙江大学真题
八、（7 分）设 $\displaystyle A, B$ 是 $\displaystyle \boldsymbol{n}$ 级复矩阵，其中 $\displaystyle A$ 是幂零矩阵（即存在正整数 $\displaystyle m$ ，使得 $\displaystyle A^{m}=0$ ）而且 $\displaystyle A B=B A$ ，求证：$\displaystyle |A+B|=|B|$ 。
题20947浙江大学真题
4．（20分）设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n$ 阶复矩阵，若存在正整数 $\displaystyle n$ 使得 $\displaystyle A^{n}=0$ ，则称 $\displaystyle A$ 为幂零矩阵。求证：
（1）$\displaystyle A$ 为幂零矩阵的充要条件是 $\displaystyle A$ 的特征值全为零；
（2）设 $\displaystyle A$ 不可逆，也不是幂零矩阵，那么存在 $\displaystyle n$ 阶可逆矩阵 $\displaystyle P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=\left(\begin{array}{cc}B & 0 \\ 0 & C\end{array}\right)$ ，其中是 $\displaystyle B$ 幂零矩阵，$\displaystyle C$ 是可逆矩阵。
（1）$\displaystyle A$ 为幂零矩阵的充要条件是 $\displaystyle A$ 的特征值全为零；
（2）设 $\displaystyle A$ 不可逆，也不是幂零矩阵，那么存在 $\displaystyle n$ 阶可逆矩阵 $\displaystyle P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=\left(\begin{array}{cc}B & 0 \\ 0 & C\end{array}\right)$ ，其中是 $\displaystyle B$ 幂零矩阵，$\displaystyle C$ 是可逆矩阵。
题20948浙江大学真题
5．（20 分）已知实对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}4 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 4\end{array}\right)$ ，求正交矩阵 $\displaystyle P$ 使得 $\displaystyle P^{T} A P$ 成为对角矩阵。
题20964浙江大学真题
3．（16 分）设 $\displaystyle A, B \in P^{n \times n}$ ，求证：$\displaystyle (A B)^{*}=B^{*} A^{*}$ 。
证明：
（1）当 $\displaystyle |A B| \neq 0$ 时，这时有 $\displaystyle |A| \neq 0,|B| \neq 0$ ，由公式 $\displaystyle A^{*}=|A| A^{-1}$ ，可得
$$
(A B)^{*}=|A B|(A B)^{-1}=|B| B^{-1}|A| A^{-1}=B^{*} A^{*} \text { 。结论成立 }
$$
（2）当 $\displaystyle |A B|=0$ 时，考虑矩阵 $\displaystyle A(\lambda)=A-\lambda E, B(\lambda)=B-\lambda E$ ，由于 $\displaystyle A 、 B$ 都
最多只有有限个特征值，因此存在无穷多个 $\displaystyle \lambda$ ，使得 $\displaystyle |A(\lambda)| \neq 0,|B(\lambda)| \neq 0$
（1）
那么有上面（1）的结论有 $\displaystyle \quad(A(\lambda) B(\lambda))^{*}=(B(\lambda))^{*}(A(\lambda))^{*} \quad$（2）
令 $\displaystyle (A(\lambda) B(\lambda))^{*}=\left(f_{i j}(\lambda)\right)_{n \times n},(B(\lambda))^{*}(A(\lambda))^{*}=\left(g_{i j}(\lambda)\right)_{n \times n}$
由（2）式有 $\displaystyle f_{i j}(\lambda)=g_{i j}(\lambda)$
由于有无穷多个 $\displaystyle \lambda$ 使（1）式成立，从而有无穷多个 $\displaystyle \lambda$ 使（3）式成立，但 $\displaystyle f_{i j}(\lambda), g_{i j}(\lambda)$ 都是多项式，从而（3）式对一切 $\displaystyle \lambda$ 都成立。特别令 $\displaystyle \lambda=0$ ，有
$$
(A B)^{*}=(A(0) B(0))^{*}=B *(0) A *(0)=B * A * \text { 。证毕 }
$$
证明：
（1）当 $\displaystyle |A B| \neq 0$ 时，这时有 $\displaystyle |A| \neq 0,|B| \neq 0$ ，由公式 $\displaystyle A^{*}=|A| A^{-1}$ ，可得
$$
(A B)^{*}=|A B|(A B)^{-1}=|B| B^{-1}|A| A^{-1}=B^{*} A^{*} \text { 。结论成立 }
$$
（2）当 $\displaystyle |A B|=0$ 时，考虑矩阵 $\displaystyle A(\lambda)=A-\lambda E, B(\lambda)=B-\lambda E$ ，由于 $\displaystyle A 、 B$ 都
最多只有有限个特征值，因此存在无穷多个 $\displaystyle \lambda$ ，使得 $\displaystyle |A(\lambda)| \neq 0,|B(\lambda)| \neq 0$
（1）
那么有上面（1）的结论有 $\displaystyle \quad(A(\lambda) B(\lambda))^{*}=(B(\lambda))^{*}(A(\lambda))^{*} \quad$（2）
令 $\displaystyle (A(\lambda) B(\lambda))^{*}=\left(f_{i j}(\lambda)\right)_{n \times n},(B(\lambda))^{*}(A(\lambda))^{*}=\left(g_{i j}(\lambda)\right)_{n \times n}$
由（2）式有 $\displaystyle f_{i j}(\lambda)=g_{i j}(\lambda)$
由于有无穷多个 $\displaystyle \lambda$ 使（1）式成立，从而有无穷多个 $\displaystyle \lambda$ 使（3）式成立，但 $\displaystyle f_{i j}(\lambda), g_{i j}(\lambda)$ 都是多项式，从而（3）式对一切 $\displaystyle \lambda$ 都成立。特别令 $\displaystyle \lambda=0$ ，有
$$
(A B)^{*}=(A(0) B(0))^{*}=B *(0) A *(0)=B * A * \text { 。证毕 }
$$
题20965浙江大学真题
4．（题（1）为 $\displaystyle \mathbf{1 5}$ 分，题（2）为 $\displaystyle \mathbf{5}$ 分，共 $\displaystyle \mathbf{2 0}$ 分）
实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 b x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ 经正交线性替换 $\displaystyle \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}=P\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)^{T}$ 化为标准型 $\displaystyle y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2}$ 。
（1）求 $\displaystyle a, b$ 及正交矩阵 $\displaystyle P$ ；
（2）问二次型 $\displaystyle f$ 是正定的吗？为什么？
实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 b x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ 经正交线性替换 $\displaystyle \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}=P\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)^{T}$ 化为标准型 $\displaystyle y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2}$ 。
（1）求 $\displaystyle a, b$ 及正交矩阵 $\displaystyle P$ ；
（2）问二次型 $\displaystyle f$ 是正定的吗？为什么？
题20967浙江大学真题
6．（16 分）设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶复矩阵，且存在正整数 $\displaystyle m$ 使得 $\displaystyle A^{m}=E$（这里 $\displaystyle E$ 是 $\displaystyle n$ 阶单位阵）。证明：$\displaystyle A$ 与对角矩阵相似。
题20996浙江大学真题
9．（20 分）对复域上方阵 $\displaystyle A$ ，证明：
（1）存在正整数 $\displaystyle m$ 使 $\displaystyle A^{m}=0$ 当且仅当 $\displaystyle A$ 的特征值均为零；
（2）若存在正整数 $\displaystyle m$ 使 $\displaystyle A^{m}=0$ ，证明：$\displaystyle |A+E|=1$ 。（其中 $\displaystyle E$ 表示与 $\displaystyle A$ 同阶的单位矩阵）
（1）存在正整数 $\displaystyle m$ 使 $\displaystyle A^{m}=0$ 当且仅当 $\displaystyle A$ 的特征值均为零；
（2）若存在正整数 $\displaystyle m$ 使 $\displaystyle A^{m}=0$ ，证明：$\displaystyle |A+E|=1$ 。（其中 $\displaystyle E$ 表示与 $\displaystyle A$ 同阶的单位矩阵）
题21052浙江大学真题
7．A 为对称阵，$\displaystyle A^{3}-6 A^{2}+11 A-6=0 \ldots \ldots . .(I)$
求 $\displaystyle \max _{A} \max _{\|x\|=1} \lambda_{1} x_{1}^{2}+\lambda_{2} x_{2}^{2}+\lambda_{3} x_{3}^{2}$（第一个极大值是对所有满足 I 的矩阵 A 取的）
求 $\displaystyle \max _{A} \max _{\|x\|=1} \lambda_{1} x_{1}^{2}+\lambda_{2} x_{2}^{2}+\lambda_{3} x_{3}^{2}$（第一个极大值是对所有满足 I 的矩阵 A 取的）
题21054浙江大学真题
9． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} A^{n}=0 \Leftrightarrow A$ 的所有特征值 $\displaystyle |\lambda|<1$