高等数学

2 📝 有解析

第2题

第2题
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}4-x^{2}, & |x| \leqslant 2 \\ 0, & |x|>2\end{array}\right.$ ，则 $f(f(x))=$ $\_\_\_\_$ .

3 📝 有解析

第3题

第3题
设 $\displaystyle f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 3} f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
## 数学基础过关 660 题•数学一（习题 $\displaystyle 4 \quad I=\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sin \frac{2}{x}+\cos \frac{1}{x}\right)^{x \cos \sqrt{\frac{x+1}{x^{2}}}}=$

5 📝 有解析

第5题

第5题
I=$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[6]{x^{6}+x^{5}}-\sqrt[6]{x^{6}-x^{5}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

6 📝 有解析

第6题

第6题
\quad I=$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \sin x^{2}-2(1-\cos x) \sin x}{x^{4}}=$ $\_\_\_\_$ ．

7 📝 有解析

第7题

第7题
I=$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x}) \cdots(1-\sqrt[n]{\cos x})}{(1-\cos x)^{n-1}}=$ $\_\_\_\_$ ．

8 📝 有解析

第8题

第8题
I=$\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\mathrm{e}^{x^{2}}+x^{3}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}=$ $\_\_\_\_$ ．

9 📝 有解析

第9题

第9题
I=$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{x^{2}}^{x} \frac{\sin (x t)}{t} \mathrm{~d} t}{x^{2}}=$ $\_\_\_\_$

10 📝 有解析

第10题

第10题
$\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2}\left(2^{\frac{1}{x}}-2^{\frac{1}{x+1}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

11 📝 有解析

第11题

第11题
设 $\alpha>0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(x^{2}+x\right)^{x^{\alpha}}=$ $\_\_\_\_$ ．

12 📝 有解析

第12题

第12题
数列极限 $\displaystyle I=\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\arctan \frac{2}{n}-\arctan \frac{2}{n+1}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

13 📝 有解析

第13题

第13题
设 $\displaystyle x_{0}=0, x_{n}=\frac{1+2 x_{n-1}}{1+x_{n-1}}(n=1,2,3, \cdots)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=$ $\_\_\_\_$ ．

14 📝 有解析

第14题

第14题
设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x+\frac{f(x)}{x}\right)}{x}=3$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
## ✓

15 📝 有解析

第15题

第15题
设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1-x)+x f(x)}{x^{2}}=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-1}{x}=$ $\_\_\_\_$ ．

16 📝 有解析

第16题

第16题
设函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 连续，且 $f(1)=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \ln \left[2+f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)\right]=$ $\_\_\_\_$。

17 📝 有解析

第17题

第17题
设 $a, b$ 为常数，且 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt[3]{1-x^{6}}-a x^{2}-b\right)=0$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．

18 📝 有解析

第18题

第18题
设 $a, b, p$ 为非零常数，则 $\displaystyle I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a+b \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{a-b \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}} \cdot \frac{\sin p x}{|x|}=$ $\_\_\_\_$ ．
19当 $n \rightarrow \infty$ 时，$\displaystyle \frac{1}{3^{n}}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}$ 的等价无穷小形式为 $\mathrm{e}^{\alpha}(\beta \mathrm{e})^{n}$ ，则 $\alpha=$ $\_\_\_\_$ ，$\beta=$
$\_\_\_\_$。

20 📝 有解析

第20题

第20题
设 $f(x)$ 连续，当 $x \rightarrow a$ 时，$f(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小，则当 $x \rightarrow a$ 时 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 $x-a$ 的 $\_\_\_\_$阶无穷小。（填阶数）

21 📝 有解析

第21题

第21题
已知当 $x \rightarrow 0$ 时 $F(x)=\int_{0}^{x-\sin x} \ln (1+t) \mathrm{d} t$ 是 $x^{n}$ 的同阶无穷小，则 $n=$ $\_\_\_\_$ ．

22 📝 有解析

第22题

第22题
设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin x(b \cos x-1)}{\mathrm{e}^{x}+a}, & x>0 \\ \frac{\sin x}{\ln (1+3 x)}, & x<0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 点极限存在，则 $a, b$ 分别为
$\_\_\_\_$。

23 📝 有解析

第23题

第23题
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}6, & x \leqslant 0 \\ \frac{\mathrm{e}^{a x^{3}}-1}{x-\arcsin x}, & x>0\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{3 \sin (x-1)}{x-1}, & x<1 \\ \mathrm{e}^{b x}+1, & x \geqslant 1\end{array}\right.\right.$ ，
若 $f(x)+g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 连续，则 $a=$ $\_\_\_\_$且 $b=$ $\_\_\_\_$。

24 📝 有解析

第24题

第24题
设 $\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}-b}{(x-a)(x-b)}$ 有无穷间断点 $x=\mathrm{e}$ ，可去间断点 $x=1$ ，则 $(a, b)=$ $\_\_\_\_$ ．

25 📝 有解析

第25题

第25题
设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x+x^{2} \mathrm{e}^{n x}}{1+\mathrm{e}^{n x}}$ ，则 $f(x)$ 的连续区间是 $\_\_\_\_$ ．
## ✓

26 📝 有解析

第26题

第26题
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\arctan x, & x \leqslant 1 \\ \frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x^{2}-1}-x\right)+\frac{\pi}{4}, & x>1\end{array}\right.$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
## （－）

27 📝 有解析

第27题

第27题
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\ln (1+b x)}{x}, & x \neq 0 \\ -1, & x=0\end{array}\right.$ ，其中 $b$ 为某常数，$f(x)$ 在定义域上处处可导，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
## 数学基础过关660题•数学一（习题册）

28 📝 有解析

第28题

第28题
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \leqslant 0 \\ x^{\alpha} \sin \frac{1}{x}, & x>0\end{array}\right.$ ，若 $f(x)$ 可导，则 $\alpha$ 应满足 $\_\_\_\_$ ；若 $f^{\prime}(x)$ 连续，则 $\alpha$ 应满足 $\_\_\_\_$ ．

29 📝 有解析

第29题

第29题
设 $f(x)$ 是以 3 为周期的可导函数且是偶函数，$f^{\prime}(-2)=-1$ ，则 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{f(5-2 \sin h)-f(5)}=$ $\_\_\_\_$ ．

30 📝 有解析

第30题

第30题
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导且 $f(0)=1, f^{\prime}(0)=3$ ，则数列极限 $\displaystyle I=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f\left(\frac{1}{n}\right)\right)^{\frac{\frac{1}{n}}{1-\cos \frac{1}{n}}}=$ $\_\_\_\_$ ．

31 📝 有解析

第31题

第31题
设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处二阶导数存在，则

I=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f^{\prime}(a)}{h}= $\_\_\_\_$ ．

32 📝 有解析

第32题

第32题
设 $f(x)=x^{\sin x}(x>0)$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

33 📝 有解析

第33题

第33题
$f(x)=x^{2}(x+1)^{2}(x+2)^{2} \cdots(x+n)^{2}$ ，则 $f^{\prime \prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．
## 数学基础过关660题•数学一（习题册）

34 📝 有解析

第34题

第34题
设 $y=y(x)$ 由参数方程 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2} \ln \left(1+t^{2}\right) \\ y=\arctan t\end{array}\right.$ 确定，则 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=$ $\_\_\_\_$ ， $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．$y=y(x)$ 在任意点处的曲率 $K=$ $\_\_\_\_$ ．

35 📝 有解析

第35题

第35题
设 $y=y(x)$ 由方程 $y=\sin (x+y)$ 确定，则 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．

36 📝 有解析

第36题

第36题
曲线 $y=\ln x$ 上与直线 $x+y=2$ 垂直的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

37 📝 有解析

第37题

第37题
设 $f(x)=\int_{0}^{x} \ln (1+\sin t) \mathrm{d} t$ ，则 $f^{\prime \prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

38 📝 有解析

第38题

第38题
设函数 $y=y(x)$ 为由方程 $x^{2}+\int_{0}^{y}\left(2+\sin t^{2}\right) \mathrm{d} t=1$ 确定的隐函数，则 $\mathrm{d} y=$
$\_\_\_\_$。

39 📝 有解析

第39题

第39题
设 $y=y(x)$ 在 $(-1,1)$ 二阶可导，满足方程：$\displaystyle \left(1-x^{2}\right) \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}-x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+a^{2} y=0$ ，作变量替换 $x=\sin t$ 后，$y$ 作为 $t$ 的函数满足的方程是 $\_\_\_\_$ ．

40 📝 有解析

第40题

第40题
设 $\displaystyle f(x)=\ln \frac{1-2 x}{1+3 x}, n \geqslant 2$ ，则 $f^{(n)}(0)=$
$\_\_\_\_$ ．
（－）

41 📝 有解析

第41题

第41题
曲线 $x=\cos ^{3} t, y=\sin ^{3} t$ 在 $t=t_{0}$ 相应的点曲率最小，则在该点处的曲率半径为
$\_\_\_\_$。
（ ）

42 📝 有解析

第42题

第42题
设 $y=y(x)$ 是由方程 $2 y^{3}-2 y^{2}+2 x y-x^{2}=1$ 确定的，则 $y=y(x)$ 的极值点是
$\_\_\_\_$。
（－）

43 📝 有解析

第43题

第43题
函数 $\displaystyle y=\frac{(x-3)^{2}}{4(x-1)}$ 的单调增区间是 $\_\_\_\_$ ，单调减区间是 $\_\_\_\_$ ，极值是
$\_\_\_\_$ ，凹区间是 $\_\_\_\_$ ，凸区间是 $\_\_\_\_$ ．

44 📝 有解析

第44题

第44题
设 $(1,3)$ 是曲线 $y=x^{3}+a x^{2}+b x+14$ 的拐点，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．

45 📝 有解析

第45题

第45题
设 $f(x)=3 x^{2}+A x^{-3}(x>0), A$ 为正常数，则 $A$ 至少为 $\_\_\_\_$时，有 $f(x) \geqslant 20(x>0)$ ．

46 📝 有解析

第46题

第46题
函数 $f(x)=\left|4 x^{3}-18 x^{2}+27\right|$ 在 $[0,2]$ 上的最小值等于 $\_\_\_\_$ ，最大值等于
$\_\_\_\_$。

47 📝 有解析

第47题

第47题
设有界函数 $f(x)$ 在 $(c,+\infty)$ 内可导，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=b$ ，则 $b=$ $\_\_\_\_$ ．
◯48 曲线 $\displaystyle y=\sqrt{4 x^{2}+x} \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)$ 的全部渐近线是 $\_\_\_\_$ ．

49 📝 有解析

第49题

第49题
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{x}-1}=2$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 处的法线方程为 $\_\_\_\_$ ．

50 📝 有解析

第50题

第50题
设 $y=y(x)$ 二阶可导，且 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=(4-y) y^{\beta}(\beta>0)$ ，若 $y=y(x)$ 的一个拐点是 $\left(x_{0}\right.$ ， $3)$ ，则 $\beta=$ $\_\_\_\_$ ．

51 📝 有解析

第51题

第51题
$\int f^{\prime}\left(\mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x=-(1+x) \mathrm{e}^{-x}+C, f(1)=0$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

53 📝 有解析

第53题

第53题
I=$\displaystyle \int \frac{\sqrt{x+1}+2}{(x+1)^{2}-\sqrt{x+1}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

54 📝 有解析

第54题

第54题
I=$\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x}}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{x}}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

55 📝 有解析

第55题

第55题
I=$\displaystyle \int \frac{x^{4}+1}{1+x^{6}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

56 📝 有解析

第56题

第56题
$\displaystyle I=\int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

57 📝 有解析

第57题

第57题
I=$\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x^{4}+1}}=$ $\_\_\_\_$ ．

58 📝 有解析

第58题

第58题
设 $f(x)=x^{2}-x \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x+2 \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$。

59 📝 有解析

第59题

第59题
设 $f(x)$ 有一阶导数且满足 $\int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t=f(x)+x \sin x$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$。
## （J）

60 📝 有解析

第60题

第60题
I=$\displaystyle \int_{0}^{2}\left(x \sqrt{2 x-x^{2}}-\sqrt{\left(1-\frac{1}{4} x^{2}\right)^{3}}\right) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

61 📝 有解析

第61题

第61题
设 $f(x)$ 为连续函数，$\varphi$ 为常数， $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(\sin (x+\varphi)) \mathrm{d} x=A \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x$ ，则 $A=$
$\_\_\_\_$。

62 📝 有解析

第62题

第62题
$f(x)$=$$\left\{\begin{array}{cc}x \mathrm{e}^{-x^{2}}, & x \geqslant 0 \\ \frac{1}{1+\cos x}, & -1## （－）

63 📝 有解析

第63题

第63题
设 $f(x)$ 是定义于 $x \geqslant 1$ 的正值连续函数，则

F(x)=\int_{1}^{x}\left[\left(\frac{2}{x}+\ln x\right)-\left(\frac{2}{t}+\ln t\right)\right] f(t) \mathrm{d} t(x \geqslant 1) 的极小值点是 $x=$ $\_\_\_\_$ ．

64 📝 有解析

第64题

第64题
定积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} \frac{x|\sin x \cos x|}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

65 📝 有解析

第65题

第65题
设 $f(x)=\max \left\{1, x^{2}\right\}$ ，则 $\int_{1}^{x} f(t) \mathrm{d} t=$ $\_\_\_\_$ ．

66 📝 有解析

第66题

第66题
在曲线 $y=x^{2}(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 上取一点 $\left(t, t^{2}\right)(0

67 📝 有解析

第67题

第67题
$\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{2 x^{2}-1}}=$ $\_\_\_\_$ ．

68 📝 有解析

第68题

第68题
I=$\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left[\frac{2 x^{2}+b x+a}{x(2 x+a)}-1\right] \mathrm{d} x=1$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．

69 📝 有解析

第69题

第69题

$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

70 📝 有解析

第70题

第70题
摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ 与 $x$ 轴围成图形绕 $y=2 a$ 旋转一周而得旋转体的体积 $V=$ $\_\_\_\_$ ．

71 📝 有解析

第71题

第71题
设星形线方程为

$\left\{\begin{array}{l}$
x=a \cos ^{3} t \\
y=a \sin ^{3} t
$\end{array}\right.$ 则它所围成的面积 $A$ 为 $\_\_\_\_$ ，它的弧长 $L$ 为 $\_\_\_\_$ ，它绕 $x$ 轴旋转而生成的旋转体体积 $V$ 为 $\_\_\_\_$ ，该旋转体的侧面积 $S=$ $\_\_\_\_$。

72 📝 有解析

第72题

第72题
设有曲线 $y=\sqrt{x-1}$ ，过原点作其切线，则以曲线、切线及 $x$ 轴所围成平面图形绕 $x$轴旋转一圈所得到的表面积为 $\_\_\_\_$。

73 📝 有解析

第73题

第73题
已知抛物叶形线的一部分：

y^{2}=\frac{x}{9}(3-x)^{2}(0 \leqslant x \leqslant 3) 如图所示，它围成的图形为 $M$ ，则 $M$ 的面积 $A=$ $\_\_\_\_$ ，$M$ 的质心 （形心）$(\bar{x}, \bar{y})=$ $\_\_\_\_$ ．

74 📝 有解析

第74题

第74题
在水平放置的椭圆底柱形容器内储存某种液体，容器的尺寸如图所示，其中椭圆方程为 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$（单位： m ），则当液面过点 $(0, y)(-1 \leqslant y \leqslant 1)$ 处水平线时，容器内液体的体积是 $\_\_\_\_$ ，当容器内储满了液体后，以 $0.16 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}$ 的速度将液体从容器顶端抽出，则当液面降至 $y=0$ 时，液面下降的速度为 $\_\_\_\_$ ，如果
液体的密度为 $1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$ ，抽出全部液体所做的功为 $\_\_\_\_$。

75 📝 有解析

第75题

第75题
设无穷长直线 $L$ 的线密度为 1 ，引力常数为 $k$ ，则 $L$ 对距直线为 $a$ 的单位质点 $A$ 的引力为 $\_\_\_\_$。

76 📝 有解析

第76题

第76题
设 $y=y(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 可导，在 $\forall x \in(0,+\infty)$ 处的增量 $\Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)$ 满足 $\displaystyle \Delta y(1+\Delta y)=\frac{y \Delta x}{1+x}+\alpha$ ，其中 $\alpha$ 当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时是与 $\Delta x$ 等价的无穷小，又 $y(0)=1$ ．则 $y(x)=$
$\_\_\_\_$。

77 📝 有解析

第77题

第77题
设 $a>0$ 是常数，连续函数 $f(x)$ 满足 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=b, y=y(x)$ 是微分方程

y^{\prime \prime}+a y^{\prime}=f(x) \quad(x \in[0,+\infty)) 的解，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} y^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ， $\lim _{x \rightarrow+\infty} y^{\prime \prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

78 📝 有解析

第78题

第78题
若通过点 $(1,0)$ 的曲线 $y=y(x)$ 上每一点 $(x, y)$ 处切线的斜率等于 $\displaystyle 1+\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}$ ，则此曲线的方程是 $\_\_\_\_$。

79 📝 有解析

第79题

第79题
当 $y>0$ 时，微分方程 $\left(x-2 x y-y^{2}\right) \mathrm{d} y+y^{2} \mathrm{~d} x=0$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．

80 📝 有解析

第80题

第80题
设 $y=y(x)$ 是微分方程 $\left(3 x^{2}+2\right) y^{\prime \prime}=6 x y^{\prime}$ 的一个特解，且当 $x \rightarrow 0$ 时 $y(x)$ 是与 $\mathrm{e}^{x}-1$ 等价的无穷小量，则该特解是 $\_\_\_\_$ ．

81 📝 有解析

第81题

第81题
方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=(6 x+2) \mathrm{e}^{x}$ 满足 $y(0)=3, y^{\prime}(0)=0$ 的特解 $y^{*}=$ $\_\_\_\_$ ．

82 📝 有解析

第82题

第82题
已知连续函数 $f(x)$ 满足 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x+\sin x+\int_{0}^{x} t f(x-t) \mathrm{d} t$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

83 📝 有解析

第83题

第83题
设 $y=y(x)$ 是二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+2 m y^{\prime}+n^{2} y=0$ 满足 $y(0)=a$ 与 $y^{\prime}(0) =b$ 的特解，其中 $m>n>0$ ，则 $\int_{0}^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

84 📝 有解析

第84题

第84题
已知 $y_{1}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}, y_{2}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}, y_{3}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{-x}$ 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为 $\_\_\_\_$ ．

85 📝 有解析

第85题

第85题
设 $u=u\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\left(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}>0\right)$ 有二阶连续的偏导数，且满足

$\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-\frac{1}{x} \frac{\partial u}{\partial x}+u=x^{2}+y^{2}$ 则 $u\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

86 📝 有解析

第86题

第86题
设 $\displaystyle f(x, y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{\mathrm{e}^{x y}+x y \sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ，则 $f_{x}^{\prime}(1,0)=$ $\_\_\_\_$ ．

87 📝 有解析

第87题

第87题
设 $z=\mathrm{e}^{x}+y^{2}+f(x+y)$ ，且当 $y=0$ 时，$z=x^{3}$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=$ $\_\_\_\_$。
## 数学基础过关 660 题•数学一（习题册）

88 📝 有解析

第88题

第88题
设 $z=(x-2 y)^{y-2 x}$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\substack{x=1 \\ y=0}}=$ $\_\_\_\_$ ．
89 设 $f(x, y)=\ln |x+y|-\sin (x y)$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}$ 在点 $(1, \pi)$ 处的值为 $\_\_\_\_$ ．

90 📝 有解析

第90题

第90题
设 $f(u, v)$ 是二元可微函数，$z=f\left(x^{y}, y^{2 x}\right)$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=$ $\_\_\_\_$ ．

91 📝 有解析

第91题

第91题
设 $z=\mathrm{e}^{x y}+f(x+y, x y), f(u, v)$ 有二阶连续偏导数，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=$ $\_\_\_\_$ ．

92 📝 有解析

第92题

第92题
已知函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(1,2)$ 处可微，且 $f(1,2)=1, f_{x}^{\prime}(1,2)=2$ ， $f_{y}^{\prime}(1,2)=3$ ，设函数 $\varphi(x)=f(x, 2 f(x, 2 x))$ ，则 $\varphi^{\prime}(1)=$ $\_\_\_\_$ ．

93 📝 有解析

第93题

第93题
设函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，且满足 $\displaystyle 4 \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}}-\frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}}=1$ ，又 $g(x, y)=f\left(x^{2}+\right. \left.y^{2}, x y\right)$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．

94 📝 有解析

第94题

第94题
设 $z=\int_{0}^{1}|x y-t| f(t) \mathrm{d} t, 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1$ ，其中 $f(x)$ 为连续函数，则 $z_{x x}^{\prime \prime}+z_{y y}^{\prime \prime}=$ $\_\_\_\_$ ．

95 📝 有解析

第95题

第95题
设 $f(x), g(x)$ 可微，$u(x, y)=f(2 x+5 y)+g(2 x-5 y)$ ，且满足 $u(x, 0)=\sin 2 x$ ， $u_{y}^{\prime}(x, 0)=0$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

96 📝 有解析

第96题

第96题
设 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=x+y$ ，且 $f(x, 0)=x, f(0, y)=y^{2}$ ，则 $f(x, y)=$
$\_\_\_\_$ ．

97 📝 有解析

第97题

第97题
设连续函数 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 1}} \frac{f(x, y)-2 x+y-2}{\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}}=0$ ，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}=$ $\_\_\_\_$ ．
## O <br>

98 📝 有解析

第98题

第98题
设 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-a-b x-c y}{\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)}=1$ ，其中 $a, b, c$ 为常数，则 $\left.\mathrm{d} f(x, y)\right|_{(0,0)}=$ $\_\_\_\_$ ．

99 📝 有解析

第99题

第99题
设 $\left(a x^{2} y^{2}-2 x y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(2 x^{3} y+b x^{2} y+1\right) \mathrm{d} y$ 是一个函数 $f(x, y)$ 的全微分，则 $a=$
$\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ，$f(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ．

100 📝 有解析

第100题

第100题
设 $f(x, y, z)=\mathrm{e}^{x}+y^{2} z$ ，其中 $z=z(x, y)$ 是由方程 $x+y+z+x y z=0$ 所确定的隐函数，则 $f_{x}^{\prime}(0,1,-1)=$ $\_\_\_\_$ ．

101 📝 有解析

第101题

第101题
若函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $\mathrm{e}^{x+2 y+3 z}+x y z=1$ 确定，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=$ $\_\_\_\_$ ．

102 📝 有解析

第102题

第102题
设函数 $f(u, v)$ 可微，$z=z(x, y)$ 由方程 $(x+1) z-y^{2}=x^{2} f(x-z, y)$ 确定，则 $\left.\mathrm{d} \boldsymbol{z}\right|_{(0,1)}=$ $\_\_\_\_$ ．

103 📝 有解析

第103题

第103题
设 $f(x)$ 为连续函数，且 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=\int_{x}^{y} f(x+y-t) \mathrm{d} t$ 确定二元函数 $z=z(x, y)$ ，则 $\displaystyle z\left(\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

104 📝 有解析

第104题

第104题
二元函数 $f(x, y)=x^{2}\left(2+y^{2}\right)+y \ln y$ 的极小值为 $\_\_\_\_$ ．

105 📝 有解析

第105题

第105题
设方程式 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-2 y-4 z-10=0$ 确定某隐函数 $z=z(x, y)>0$ ，则 $z=z(x, y)$ 的极 $\_\_\_\_$值点是 $\_\_\_\_$ ，相应的极值是 $\_\_\_\_$。

106 📝 有解析

第106题

第106题
设 $a>0$ ，交换积分次序 $\int_{0}^{a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{a y}} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_{a}^{2 a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2 a-y} f(x, y) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

107 📝 有解析

第107题

第107题
交换积分次序 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x^{2}} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{1}^{3} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{1}{2}(3-x)} f(x, y) \mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$ ．

108 📝 有解析

第108题

第108题
将直角坐标系下的累次积分转换成极坐标系下的累次积分并计算
$\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2} R} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{y} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x+\int_{\frac{\sqrt{2}}{2} R}^{R} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{R^{2}-y^{2}}} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$。

109 📝 有解析

第109题

第109题
交换积分次序 $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r=$ $\_\_\_\_$ ．

110 📝 有解析

第110题

第110题
计算 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．

111 📝 有解析

第111题

第111题
计算 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{1} \frac{x y}{\sqrt{1+y^{3}}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．

112 📝 有解析

第112题

第112题
计算 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\arcsin y}^{\pi \arcsin y} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

113 📝 有解析

第113题

第113题
计算 $\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1}\left(x^{2}+2 y\right) \mathrm{d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ．
（－）

114 📝 有解析

第114题

第114题
设 $D$ 为圆域 $x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x+2 y$ ，则 $\iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．

115 📝 有解析

第115题

第115题
设 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=$ $\_\_\_\_$ ．

116 📝 有解析

第116题

第116题
设 $D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ ，则 $I=\iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．

117 📝 有解析

第117题

第117题
已知函数 $f(t)=\int_{0}^{t} \mathrm{~d} x \int_{x}^{t} \mathrm{e}^{t y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，则 $f^{\prime}(1)=$ $\_\_\_\_$ ．

118 📝 有解析

第118题

第118题
设 $f(x, y)$ 为连续函数，且 $\displaystyle f(x, y)=\frac{1}{\pi} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1} f(x, y) \mathrm{d} \sigma+y^{2}$ ，则 $f(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ．

119 📝 有解析

第119题

第119题
设积分$D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant \mathrm{e}^{2}\right\}$ ，则 $\iint_{D} x^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ．

120 📝 有解析

第120题

第120题
设积分$D$ 由曲线 $y=\ln x$ 以及直线 $x=2, y=0$ 围成，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\mathrm{e}^{x y}}{x^{x}-1} \mathrm{~d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ．

576 📝 有解析

第576题

第576题
在级数
（1）$\displaystyle \left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)+\cdots$ ，
（2） $\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\cdots$ ，
（3） $\displaystyle 2-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}-\frac{5}{4}+\cdots+\frac{n+1}{n}-\frac{n+2}{n+1}+\cdots$ ，
（4）$\displaystyle \left(2-\frac{3}{2}\right)+\left(\frac{3}{2}-\frac{4}{3}\right)+\left(\frac{4}{3}-\frac{5}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{n+1}{n}-\frac{n+2}{n+1}\right)+\cdots$
中，发散级数的序号是 $\_\_\_\_$ ．

577 📝 有解析

第577题

第577题
若级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \sqrt{n}\left(\ln \frac{n+1}{n-1}\right)^{p}$ 收敛，则其中常数 $p$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

578 📝 有解析

第578题

第578题
设有正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 满足

$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln \frac{1}{a_{n}}}{\ln n}=q \neq 1$ 则该级数收敛的充要条件是 $q$ 满足 $\_\_\_\_$ ．
579已知幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $x=1$ 处条件收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n}$ 的收敛半径为
$\_\_\_\_$ ．

580 📝 有解析

第580题

第580题
设 $a_{n}>0(n=1,2, \cdots)$ ，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 2^{n} x^{2 n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ．
$Q^{\circ}$

581 📝 有解析

第581题

第581题
已知幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(x-\frac{1}{2}\right)^{n}$ 在 $x=2$ 处发散，在 $x=-1$ 处收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n}$ 的收敛域是 $\_\_\_\_$ ．

582 📝 有解析

第582题

第582题
幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n\left[4^{n}+(-3)^{n}\right]}$ 的收敛半径 $R=$
583幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2^{n}}\right) x^{n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ，和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
$\_\_\_\_$ ，收敛域为 $\_\_\_\_$ ．

584 📝 有解析

第584题

第584题
幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{2 n+1}{(2 n)!} x^{2 n}$ 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ $(x \in$ $\_\_\_\_$ ）．

585 📝 有解析

第585题

第585题
幂级数

1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{2 \cdot 4}-\frac{x^{6}}{2 \cdot 4 \cdot 6}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!!}+\cdots 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

586 📝 有解析

第586题

第586题
幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}$ 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

587 📝 有解析

第587题

第587题
把函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}-2 x-3}$ 展开为 $x$ 的幂级数，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
## ✓

588 📝 有解析

第588题

第588题
$f(x)$=$$\ln \left(2+x-3 x^{2}\right)$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式为 $\_\_\_\_$ ．$

589 📝 有解析

第589题

第589题
设 $f(x)=x \arctan x-\ln \sqrt{1+x^{2}}$ ，则 $f(x)$ 的幂级数展开式是 $\_\_\_\_$ ．
## $(v)$ <br>

590 📝 有解析

第590题

第590题
设 $f(x)$ 是周期为 2 的周期函数且 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ 0, & 1

592 📝 有解析

第592题

第592题
过点 $P(-1,0,4)$ 且与平面 $3 x-4 y+z+10=0$ 平行，又与直线 $\displaystyle L: \frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{1}= \frac{z}{2}$ 相交的直线方程是 $\_\_\_\_$ ．

593 📝 有解析

第593题

第593题
直线 $L:\left\{\begin{array}{l}2 y+3 z-5=0 \\ x-2 y-z+7=0\end{array}\right.$ 在平面 $\Pi: x-y+3 z+8=0$ 上的投影方程为
$\_\_\_\_$。

594 📝 有解析

第594题

第594题
直线 $\displaystyle L: \frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{3}=z+1$ 绕直线 $L_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=3\end{array}\right.$ 旋转一圈所产生的曲面方程是
$\_\_\_\_$。

595 📝 有解析

第595题

第595题
平面 $\Pi: x-2 y+2 z+9=0$ 与以点 $M_{0}(2,0,-1)$ 为球心的球面相切，则该球面的方程是 $\_\_\_\_$ ．

596 📝 有解析

第596题

第596题
设 $\Omega$ 由 $\displaystyle x^{2}+\frac{y^{2}}{2^{2}}+\frac{z^{2}}{3^{2}} \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 1$ 所确定，则 $\iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} v=$ $\_\_\_\_$ $\iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} v=$ ．

597 📝 有解析

第597题

第597题
设 $\Omega$ 是由曲线 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 z \\ x=0\end{array}\right.$ 绕 $z$ 轴旋转一周而成的曲面与平面 $z=2$ 和 $z=8$ 所围立体，则 $\iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} v=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $\Omega$ 是由曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 所围成的，则 $I=\iiint_{\Omega}(x+z) \mathrm{d} v=$
$\_\_\_\_$ ．

599 📝 有解析

第599题

第599题
设球体 $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant z$ 上任一点处的密度等于该点到原点的距离的平方，则此球的质心的 $z$ 坐标为 $\_\_\_\_$。

600 📝 有解析

第600题

第600题
设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a x(a>0)$ ，则面积分 $\iint_{\Sigma}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S=$ $\_\_\_\_$ ．

601 📝 有解析

第601题

第601题
设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ ，则 $\iint_{\Sigma}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} S=$ $\_\_\_\_$ ．
## 数学基础过关 660 题•数学一（习题册）

602 📝 有解析

第602题

第602题
设曲线 $C$ 为圆 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ ，则线积分 $\oint_{C}\left(x^{2}+y^{2}+2 x y\right) \mathrm{d} s=$ $\_\_\_\_$ ．
603设 $L$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，则 $\oint_{L}(x+2 y)^{2} \mathrm{~d} s=$
$\_\_\_\_$ ．

604已知曲线 $L$ 为曲面 $z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$ 与 $x^{2}+y^{2}=1$ 的交线，则 $\oint_{L} x^{2} y^{2} z^{2} \mathrm{~d} s=$
$\_\_\_\_$ ．
$\theta^{\infty}$
若曲线积分 $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} x-a y \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}-1}$ 在$D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 内与路径无关，则 $a=$
$\_\_\_\_$。

606 📝 有解析

第606题

第606题
设 $C$ 为 $|x|+|y|=1$ ，取正向，则 $\displaystyle \oint_{C} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{|x|+|y|}=$ $\_\_\_\_$ ．

607 📝 有解析

第607题

第607题
设 $C$ 为上半圆周 $y=\sqrt{2 x-x^{2}}$ 从 $O(0,0)$ 到 $A(2,0)$ 的弧段，则 $\int_{C}\left(x \mathrm{e}^{y^{2}}-2 y\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-1\right) y \mathrm{e}^{y^{2}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
608设 $C$ 为曲线 $y=\sqrt{\pi} x^{2}$ 上从 $O(0,0)$ 到 $A(1, \sqrt{\pi})$ 的曲线段，则 $\int_{C} \cos y^{2} \mathrm{~d} x-2 x y \sin y^{2} \mathrm{~d} y=$
$\_\_\_\_$ ．

609 📝 有解析

第609题

第609题
设 $\Gamma$ 为曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=1 \\ x-y+z=2\end{array}\right.$ ，从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看去为顺时针方向，则 $I=\oint_{\Gamma}(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z=$ $\_\_\_\_$ ．

610 📝 有解析

第610题

第610题
设 $\Omega$ 是由锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与半球面 $z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 围成的空间，$\Sigma$ 是 $\Omega$的整个边界的外侧，则 $\oiint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．

611 📝 有解析

第611题

第611题
设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 在第一卦限部分的下侧，则 $\iint_{\Sigma} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$。

612 📝 有解析

第612题

第612题
设 $D$ 是由 $x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}, y \geqslant 0$ 所确定的上半圆域，则 $D$ 的形心的 $y$ 坐标 $\bar{y}=$ $\_\_\_\_$ ．

121 📝 有解析

第121题

第121题
设有下列命题
（1）数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛（即存在极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ），则 $x_{n}$ 有界。
（2）数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n+l}=a$ ．其中 $l$ 为某个确定的正整数．
（3）数列 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=a$ 。
（4）数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在 $\displaystyle \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=1$ ．
则以上命题中正确的个数是
（A） 1 ．
（B） 2 ．
（C） 3 ．
（D） 4 ．

122 📝 有解析

第122题

123 📝 有解析

第123题

第123题
有以下命题：设 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A, \lim _{x \rightarrow a} g(x)$ 不存在， $\lim _{x \rightarrow a} h(x)$ 不存在，
（1） $\lim _{x \rightarrow a}(f(x) \cdot g(x))$ 不存在．
（2） $\lim _{x \rightarrow a}(g(x)+h(x))$ 不存在．
（3） $\lim _{x \rightarrow a}(h(x) \cdot g(x))$ 不存在．
（4） $\lim _{x \rightarrow a}(g(x)+f(x))$ 不存在．
则以上命题中正确的个数是
（A） 0 ．
（B） 1 ．
（C）2．
（D） 3 ．

$\begin{gathered}$
x \in(1,2) \cup(2,+\infty) \text {, 则 } f(x) \\
x=2
\end{gathered}

125 📝 有解析

第125题

第125题
下列命题中正确的是
（A）若 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x) \Rightarrow$ 存在 $\delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时 $f(x) \geqslant g(x)$ ．
（B）若存在 $\delta>0$ 使得当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时有 $f(x)>g(x)$ 且 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A_{0}$ ， $\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=B_{0}$ 均存在，则 $A_{0}>B_{0}$ ．
（C）若存在 $\delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时 $f(x)>g(x) \Rightarrow \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)$ ．
（D）若 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)>\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x) \Rightarrow$ 存在 $\delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时有 $f(x)>g(x)$ ．

$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{n}\right)\right]^{n}=$

127 📝 有解析

第127题

第127题
当 $n \rightarrow \infty$ 时，数列 $\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-\mathrm{e}$ 是 $\displaystyle \frac{1}{n}$ 的
（A）高阶无穷小。
（B）低阶无穷小。
（C）等价无穷小。
（D）同阶但非等价无穷小。

128 📝 有解析

第128题

第128题
设 $\displaystyle u_{n}=\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)$ ，则下列命题正确的是
（A） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0$ ．
（B） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=A>0$ ．
（C） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=+\infty$ ．
（D） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}$ 不存在，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n} \neq+\infty$ ．

129 📝 有解析

第129题

第129题
$f(x)$=$$\frac{\sin \pi x}{x-1} \mathrm{e}^{\frac{1}{(x-1)^{3}}}$ ，则当 $x \rightarrow 1$ 时有$
（A） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=-\pi$ ．
（B） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0$ ．
（C） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\infty$ ．
（D） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)$ 不存在，且 $\lim _{x \rightarrow 1} f(x) \neq \infty$ \．

130 📝 有解析

第130题

第130题
I=$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(x \mathrm{e}^{x}\right)-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2} \mathrm{e}^{2 x}}}{x^{4}}=
（A） 0 ．
（B）$-\frac{1}{6}$ ．
（C）$-\frac{1}{8}$ ．
（D）$-\frac{1}{12}$ ．$

131 📝 有解析

第131题

第131题
若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2 x-\sqrt{\cos 2 x}}{x^{k}}=a \neq 0$ ，则
（A）$k=2, a=1$ ．
（B）$k=-2, a=-1$ ．
（C）$k=2, a=-2$ ．
（D）$k=2, a=-1$ ．

132 📝 有解析

第132题

第132题
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{(1-\cos x) \sin ^{2} x}=
（A） 1 ．
（B）$\frac{1}{2}$ ．
（C）$\frac{1}{3}$ ．
（D） 0 ．

$\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}}{\mathrm{e}^{x}}=$$

134 📝 有解析

第134题

第134题
已知 $\displaystyle I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x^{2}+b x+1-\mathrm{e}^{x^{2}-2 x}}{x^{2}}=2$ ，则
（A）$a=5, b=-2$ ．
（B）$a=-2, b=5$ ．
（C）$a=2, b=0$ ．
（D）$a=3, b=-3$ ．

135 📝 有解析

第135题

第135题
设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x-(\sin x) f(x)}{x^{3}}=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{6-f(x)}{x^{2}}=$
（A） 0 ．
（B） 35 ．
（C） 36 ．
（D）$\infty$ ．
（J）

136 📝 有解析

第136题

第136题
下列各题计算过程中正确无误的是
（A）数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(\ln n)^{\prime}}{n^{\prime}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0$ ．
（B） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin \pi x}{3 x^{2}-2 x-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\pi \cos \pi x}{6 x-2}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{-\pi^{2} \sin \pi x}{6}=0$ ．
（C） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \sin \frac{1}{x}}{\sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}}{\cos x}$ 不存在．
（D） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+\sin x}{x-\sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\cos x}{1-\cos x}=\infty$ ．

137 📝 有解析

第137题

第137题
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+n+1}+\frac{2}{n^{2}+n+2}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n+n}\right)=
（A） 3 ．
（B） 2 ．
（C）$\frac{2}{3}$ ．
（D）$\frac{1}{2}$ ．$

138 📝 有解析

第138题

第138题
当 $x \rightarrow 0$ 时下列无穷小中阶数最高的是
（A）$(1+x)^{x^{2}}-1$ ．
（B） $\mathrm{e}^{x^{4}-2 x}-1$ ．
（C） $\int_{0}^{x^{2}} \sin t^{2} \mathrm{~d} t$ ．
（D）$\sqrt{1+2 x}-\sqrt[3]{1+3 x}$ ．

139 📝 有解析

第139题

第139题
设 $x \rightarrow a$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 分别是 $x-a$ 的 $n$ 阶与 $m$ 阶无穷小，则下列命题
（1）$f(x) g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n+m$ 阶无穷小。
（2）若 $n>m$ ，则 $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $x-a$ 的 $n-m$ 阶无穷小．
（3）若 $n \leqslant m$ ，则 $f(x)+g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小．
（4）若 $f(x)$ 连续，则 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 $x-a$ 的 $n+1$ 阶无穷小．
中，正确的个数是
（A） 1 ．
（B） 2 ．
（C） 3 ．
（D） 4 ．

140 📝 有解析

第140题

第140题
设 $f(x)=\int_{0}^{x} t \mathrm{e}^{\sin t} \mathrm{~d} t$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 为无穷小 $x$ 的阶为
（A）一阶。
（B）二阶。
（C）三阶。
（D）四阶．

141 📝 有解析

第141题

第141题
以下函数 $f(g(x))$ 以 $x=0$ 为第二类间断点的是
（A）$f(u)=\ln \left(1+u^{2}\right), g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin ^{2} x+(x+1)^{2}, & x \leqslant 0 \\ x^{2}+1, & x>0\end{array}\right.$ ．
（B）$f(u)=\left\{\begin{array}{ll}1-u, & u \leqslant 0 \\ u^{2}+1, & u>0\end{array}, g(x)=2 \cos x-1\right.$ ．
（C）$\displaystyle f(u)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\ln \left(1-u^{2}\right)}{u} \sin \frac{1}{u}, & u<0 \\ 1-\cos \sqrt{u}, & u \geqslant 0\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x<0 \\ x+\frac{\pi^{2}}{4}, & x \geqslant 0\end{array}\right.\right.$ ．
（D）$\displaystyle f(u)=\mathrm{e}^{u^{2}}+1, g(x)= \begin{cases}\frac{1}{x}, & x<0 \\ 0, & x=0 \\ \sin \frac{1}{x}, & x>0\end{cases}$

142 📝 有解析

第142题

第142题
设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\arctan \frac{x-1}{x}}$ ，则
（A）$x=0$ 与 $x=1$ 都是 $f(x)$ 的第一类间断点。
（B）$x=0$ 与 $x=1$ 都是 $f(x)$ 的第二类间断点．
（C）$x=0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点，$x=1$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点．
（D）$x=0$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点，$x=1$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点．

143 📝 有解析

第143题

第143题
设 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某邻域内有定义，且 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 间断，则在点 $x_{0}$ 处必定间断的函数是
（A）$f(x) \sin x$ ．
（B）$f(x)+\sin x$ ．
（C）$f^{2}(x)$ ．
（D）$|f(x)|$ ．

144 📝 有解析

第144题

第144题
＂$f(x)$ 在 $x_{0}$ 点连续＂是 $|f(x)|$ 在 $x_{0}$ 点连续的
（A）充分条件，但不是必要条件．
（B）必要条件，但不是充分条件．
（C）充分必要条件．
（D）既不是充分条件，也不是必要条件．

145 📝 有解析

第145题

第145题
设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 连续，则＂存在 $x_{n} \in[a,+\infty)$ ，有 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)= \infty$＂是 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 无界的
（A）充分非必要条件．
（B）必要非充分条件．
（C）充要条件．
（D）既非充分又非必要条件．

146 📝 有解析

第146题

第146题
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x^{2}}{x^{3}}, & x>0 \\ g(x) \arcsin ^{2} x, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ ，其中 $g(x)$ 是有界函数，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处
（A）极限不存在．
（B）极限存在，但不连续．
（C）连续，但不可导．
（D）可导．

147 📝 有解析

第147题

第147题
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1}{\mathrm{e}^{x^{2}-1}}, & |x|<1 \\ x^{4}-b x^{2}+c, & |x| \geqslant 1\end{array}\right.$ 可导，则 $(b, c)=$
（A）$(2,1)$ ．
（B）$(1,0)$ ．
（C）$\displaystyle \left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ ．
（D）$(3,2)$ ．

148 📝 有解析

第148题

第148题
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{g(x)-\mathrm{e}^{-x}}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ，其中 $g(x)$ 二阶连续可导，且 $g(0)=1, g^{\prime}(0)=-1$ ，则
（A）$\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{g^{\prime \prime}(0)-1}{2}$ ，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续．
（B）$\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{g^{\prime \prime}(0)+1}{2}$ ，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续．
（C）$\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{g^{\prime \prime}(0)-1}{2}$ ，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上不连续．
（D）$\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{g^{\prime \prime}(0)+1}{2}$ ，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上不连续．

149 📝 有解析

第149题

第149题
设 $f(0)=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x^{2}\right)}{x^{2}}$ 存在是 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导的
（A）充分非必要条件．
（B）必要非充分条件．
（C）充分必要条件．
（D）既非充分又非必要条件．

150 📝 有解析

第150题

第150题
设 $f(x)$ 是以 3 为周期的可导函数且 $f^{\prime}(4)=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1-3 \tan h)}{h}$ 等于
（A） 5 ．
（B） 3 ．
（C） 4 ．
（D） 7 ．

151 📝 有解析

第151题

第151题
设函数 $g(x)$ 在 $x=a$ 点处连续，$f(x)=|x-a| g(x)$ 在 $x=a$ 点处可导，则 $g(a)$满足
（A）$g(a)=a$ ．
（B）$g(a) \neq a$ ．
（C）$g(a)=0$ ．
（D）$g(a) \neq 0$ ．

152 📝 有解析

第152题

第152题
设 $f(x)=x^{2} \mathrm{e}^{3 x}$ ，则 $f^{(n)}(0)=$
（A）$\displaystyle \frac{3^{n}}{n!}$ ．
（B）$n^{2} 3^{n-1}$ ．
（C） $3^{n-2} n(n-1)$ ．
（D） $3^{n-2}(n-1)(n-2)$ ．

153 📝 有解析

第153题

第153题
设 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导，则函数 $|f(x)|$ 在点 $x=a$ 处不可导的充分必要条件是
（A）$f(a)=0$ ，且 $f^{\prime}(a)=0$ ．
（B）$f(a)=0$ ，且 $f^{\prime}(a) \neq 0$ ．
（C）$f(a)>0$ ，且 $f^{\prime}(a)>0$ ．
（D）$f(a)<0$ ，且 $f^{\prime}(a)<0$ ．

154 📝 有解析

第154题

第154题
设 $\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f^{\prime}(x)=a$ ，则
（A）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必可导且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=a$ ．
（B）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必连续，但未必可导。
（C）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必有极限但未必连续．
（D）以上结论都不对。

155 📝 有解析

第155题

第155题
设 $f(x)$ 为连续函数，$g(x)=\int_{-x}^{0} t f(x+t) \mathrm{d} t$ ，则 $g^{\prime}(x)=$
（A）$-\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{d} u$ ．
（B） $\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{d} u$ ．
（C）$-\int_{0}^{-x} f(u) \mathrm{d} u$ ．
（D） $\int_{0}^{-x} f(u) \mathrm{d} u$ ．

156 📝 有解析

第156题

第156题
设常数 $a>1, y=x$ 为曲线 $y=a^{x}$ 的切线，则
（A）$a=\mathrm{e}$ ，切点为 $(\mathrm{e}, \mathrm{e})$ 。
（B）$\displaystyle a=\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}$ ，切点为 $(\mathrm{e}, \mathrm{e})$ ．
（C）$a=\mathrm{e}$ ，切点为 $\displaystyle \left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}, \mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}\right)$ 。
（D）$\displaystyle a=\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}$ ，切点为 $\displaystyle \left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}, \mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}\right)$ ．

157 📝 有解析

第157题

第157题
设 $f(0)=0, f^{\prime}(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 为严格单调增函数，则函数 $\displaystyle g(x)=\frac{1-f(x)}{x}$ 在 $(0$ ， $+\infty$ ）
（A）有界函数．
（B）有极值．
（C）单调增函数．
（D）单调减函数．

158 📝 有解析

第158题

第158题
设 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 可导，且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)>0$ ，则 $\exists \delta>0$ ，使得
（A）$f(x)$ 在 $\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)$ 单调上升．
（B）$f(x)>f\left(x_{0}\right), x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right), x \neq x_{0}$ ．
（C）$f(x)>f\left(x_{0}\right), x \in\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)$ ．
（D）$f(x)

159 📝 有解析

第159题

第159题
设 $f(x)$ 对一切 $x \in(-\infty,+\infty)$ 满足方程 $(x-1) f^{\prime \prime}(x)+2(x-1)\left[f^{\prime}(x)\right]^{3}= 1-\mathrm{e}^{1-x}$ ，且 $f(x)$ 在 $x=a(a \neq 1)$ 处 $f^{\prime}(a)=0$ ，则 $x=a$
（A）是 $f(x)$ 的极小值点．
（B）是 $f(x)$ 的极大值点．
（C）不是 $f(x)$ 的极值点．
（D）是 $f(x)$ 的拐点．

160 📝 有解析

第160题

第160题
设 $f(x)$ 具有二阶连续导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(1)=0, \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{(x-1)^{2}}=\frac{1}{2}$ ，则
（A）$f(1)$ 是 $f(x)$ 的极大值．
（B）$f(1)$ 是 $f(x)$ 的极小值．
（C）$(1, f(1))$ 是曲线 $f(x)$ 的拐点坐标．
（D）$f(1)$ 不是 $f(x)$ 的极值，$(1, f(1))$ 也不是曲线 $f(x)$ 的拐点坐标．

161 📝 有解析

第161题

第161题
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2-\cos x, & x \leqslant 0 \\ \sqrt{x}+1, & x>0\end{array}\right.$ ，则
（A）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,1)$ 不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点．
（B）$x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,1)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点．
（C）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，且 $(0,1)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点．
（D）$x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，$(0,1)$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点．

162 📝 有解析

第162题

第162题
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有定义，则下述命题中正确的是
（A）若 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上可导且单调增加，则对一切 $x \in(-\infty,+\infty)$ ，都有 $f^{\prime}(x)>0$ ．
（B）若 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极值，则 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ ．
（C）若 $f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0$ ，则 $\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点坐标．
（D）若 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime \prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ，则 $x_{0}$ 一定不是 $f(x)$ 的极值点．

163 📝 有解析

第163题

第163题
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可导，$f(a)=\max _{[a, b]} f(x)$ ，则
（A）$f_{+}^{\prime}(a)=0$ ．
（B）$f_{+}^{\prime}(a) \geqslant 0$ ．
（C）$f_{+}^{\prime}(a)<0$ ．
（D）$f_{+}^{\prime}(a) \leqslant 0$ ．

164 📝 有解析

第164题

第164题
数列 $1, \sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, \cdots, \sqrt[n]{n}, \cdots$ 的最大项为
（A）$\sqrt{2}$ ．
（B）$\sqrt[3]{3}$ ．
（C）$\sqrt[4]{4}$ ．
（D）$\sqrt[5]{5}$ ．

165 📝 有解析

第165题

第165题
设 $f(x)=a x^{3}-6 a x^{2}+b$ 在区间 $[-1,2]$ 上的最大值是 3 ，最小值是 -29 ，且 $a>0$ ，则
（A）$a=2, b=-29$ ．
（B）$a=3, b=2$ ．
（C）$a=2, b=3$ ．
（D）以上都不对．

166 📝 有解析

第166题

第166题
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t), \\ y=a(1-\cos t),\end{array}(a>0)\right.$ 在参数 $\displaystyle t=\frac{\pi}{2}$ 对应的点处的曲率为
（A）$\displaystyle \frac{2 \sqrt{2}}{a}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{a}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2} a}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{2} a}$ ．

167 📝 有解析

第167题

第167题
以下四个命题中，正确的是
（A）若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界．
（B）若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界．
（C）若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界．
（D）若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界．

168 📝 有解析

第168题

第168题
设 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 可导，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 有界是 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 有界的
（A）必要非充分条件．
（B）充分非必要条件．
（C）充分且必要条件．
（D）既非充分也非必要条件．

169 📝 有解析

第169题

第169题
函数 $y=f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 连续，其二阶导函数的图形如图所示，则 $y=f(x)$ 的拐点的个数是
（A） 1 ．
（B） 2 ．
（C） 3 ．
（D） 4 ．

170 📝 有解析

第170题

第170题
设 $[0,+\infty)$ 区间上 $y=f(x)$ 的导函数的图形如下图所示，
则 $y=f(x)$ 的拐点的个数是
（A） 1 ．
（B） 2 ．
（C） 3 ．
（D） 4 ．
## 数学基础过关 660 题。数学一（习题册）

171 📝 有解析

第171题

第171题
设曲线 $y=\sqrt[3]{x-4}$ ，则
（A）曲线的凸区间为 $(-\infty, 4)$ ，凹区间为 $(4,+\infty)$ ，拐点为 $(4,0)$ 。
（B）曲线的凹区间为 $(-\infty, 4)$ ，凸区间为 $(4,+\infty)$ ，拐点为 $(4,0)$ ．
（C）曲线的凸区间为 $(-\infty, 4)$ ，凹区间为 $(4,+\infty)$ ，无拐点．
（D）曲线的凹区间为 $(-\infty, 4)$ ，凸区间为 $(4,+\infty)$ ，无拐点．
172函数 $f(x)=3 \arccos x-\arccos \left(3 x-4 x^{3}\right)$ 在 $\displaystyle \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$

173 📝 有解析

第173题

第173题
设 $f(x)$ 在 $(1-\delta, 1+\delta)$ 内存在导数，$f^{\prime}(x)$ 单调减少，且 $f(1)=f^{\prime}(1)=1$ ，则
（A）在 $(1-\delta, 1)$ 和 $(1,1+\delta)$ 内均有 $f(x)（B）在 $(1-\delta, 1)$ 和 $(1,1+\delta)$ 内均有 $f(x)>x$ ．
（C）在 $(1-\delta, 1)$ 内有 $f(x)x$ ．
（D）在 $(1-\delta, 1)$ 内有 $f(x)>x$ ，在 $(1,1+\delta)$ 内有 $f(x)

174 📝 有解析

第174题

第174题
曲线 $\displaystyle y=\frac{x^{2}+1}{\sqrt{x^{2}-1}}$
（A）既有垂直又有水平与斜渐近线．
（B）仅有垂直渐近线．
（C）只有垂直与水平渐近线。
（D）只有垂直与斜渐近线。

175 📝 有解析

第175题

第175题
函数 $f(x)=3 \ln x-x$
（A）没有零点．
（B）有 1 个零点．
（C）有 2 个零点．
（D）有 3 个零点．

176 📝 有解析

第176题

第176题
设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上的一个原函数，则 $f(x)+F(x)$ 在 $(a, b)$ 内
（A）可导．
（B）连续．
（C）存在原函数．
（D）是初等函数．

177 📝 有解析

第177题

第177题
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sin \frac{1}{x}, x \neq 0 \\ 1, \quad x=0\end{array}, F(x)=\int_{-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right.$ ，则 $F(x)$
（A）在 $(-1,1)$ 为无界函数．
（B）在 $(-1,1)$ 为连续有界函数．
（C）在 $(-1,1)$ 有间断点 $x=0$ ．
（D）在 $[-1,1]$ 不可积．

178 📝 有解析

第178题

第178题
设 $f(x)$ 一阶可导，$f(x)>0, f^{\prime}(x)>0$ ，则当 $\Delta x>0$ 时
（A） $\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t>f(x) \Delta x>0$ ．
（B） $\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t（C）$f(x) \Delta x>\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t>0$ ．
（D）$f(x) \Delta x<\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t<0$ ．

179 📝 有解析

第179题

第179题
考察下列叙述：
（1）设 $f^{2}(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续，则 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续．
（2）设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续，则 $|f(x)|$ 在 $x=x_{0}$ 连续．
（3）设 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积．
（4）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 有界，只有有限个间断点，则 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 可积，即在 $[a, b]$ 存在定积分．
我们可知
（A）只有（1），（2）正确．
（B）只有（2），（3）正确．
（C）只有（2），（4）正确．
（D）只有（3），（4）正确．

180 📝 有解析

第180题

第180题
下列函数在指定区间上不存在定积分的是
（A）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}, x \in[-1,1]\right.$ ．
（B）$f(x)=\operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{cl}1, & x>0 \\ 0, & x=0, x \in[a, b] \text { ．} \\ -1, & x<0\end{array}\right.$
（C）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\tan x, & x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \\ 0, & x= \pm \frac{\pi}{2}\end{array}, x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\right.$ ．
（D）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}, x \in[-1,1]\right.$.

181 📝 有解析

第181题

第181题
下列命题中有一个正确的是
（A）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，$f(x) \geqslant 0, \not \equiv 0$ ，则 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x>0$ ．
（B）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，$g(x)$ 在 $[a, b]$ 不可积，则 $f(x)+g(x)$ 在 $[a, b]$ 不可积．
（C）设 $f^{2}(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积．
（D）设 $x_{0} \in(a, b), f(x)$ 在 $[a, b] /\left\{x_{0}\right\}$ 连续且有界，$x=x_{0}$ 是 $f(x)$ 的间断点，则 $F(x)= \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $x=x_{0}$ 不可导．

182 📝 有解析

第182题

第182题
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续，则下列结论中正确的个数为
（1）$f(x)$ 在 $[a, b]$ 的任意子区间 $[\alpha, \beta]$ 上 $\int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $f(x)=0(\forall x \in[a, b])$ ．
（2）$f(x) \geqslant 0(x \in[a, b])$ ，又 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $f(x)=0(x \in[a, b])$ ．
（3）$[\alpha, \beta] \subset[a, b]$ ，则 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_{a}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（A） 0 ．
（B） 1 ．
（C） 2 ．
（D） 3 ．
下述结论不正确的是

184 📝 有解析

第184题

第184题
设 $\displaystyle M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x, N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x, K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{d} x$ ，则
（A）$M>N>K$ ．
（B）$M>K>N$ ．
（C）$K>M>N$ ．
（D）$K>N>M$ ．

185 📝 有解析

第185题

第185题
设 $\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x, I_{2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ，则
（A）$I_{1}<1（B） $1（C）$I_{2}<1（D）$I_{1}

186 📝 有解析

第186题

第186题
下列用牛顿 一 莱布尼茨公式计算定积分的做法中，错误的做法一共有
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin ^{3} x-\sin ^{5} x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\pi} \sin ^{\frac{3}{2}} x \cos x \mathrm{~d} x=\left.\frac{2}{5} \sin ^{\frac{5}{2}} x\right|_{0} ^{\pi}=0$ ．
（2） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{x}=\left.\ln |x|\right|_{-1} ^{1}=0$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\sec ^{2} x}{2+\tan ^{2} x} \mathrm{~d} x=\left.\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right|_{0} ^{\pi}=0$ ．
（4） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} x}\left(\arctan \frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x=\left.\arctan \frac{1}{x}\right|_{-1} ^{1}=\frac{\pi}{2}$ ．
（A） 1 个．
（B） 2 个．
（C） 3 个．
（D） 4 个．

187 📝 有解析

第187题

第187题
I=$\int_{0}^{\pi} x \sqrt{\cos ^{2} x-\cos ^{4} x} \mathrm{~d} x=
（A）$\pi$ ．
（B）$\frac{\pi}{2}$ ．
（C）$\frac{\pi}{3}$ ．
（D）$\frac{\pi}{4}$ ．$

188 📝 有解析

第188题

第188题
I=$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x=
（A）$\pi$ ．
（B）$\frac{\pi}{2}$ ．
（C）$\frac{\pi}{4}$ ．
（D）$\frac{\pi}{8}$ ．
（V）$

189 📝 有解析

第189题

第189题
积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{1} \frac{x^{4}}{\sqrt{1-x}} \mathrm{~d} x=$
（A）$\displaystyle \frac{156}{315}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{256}{315}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{198}{315}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{208}{315}$ ．

190 📝 有解析

第190题

第190题
设 $n, m$ 为非负整数，$I_{n, m}=\int_{0}^{1} x^{n} \ln ^{m} x \mathrm{~d} x$ 是
（A）定积分且值为 $\displaystyle \frac{(-1)^{n} n!}{(n+1)^{m}}$ ．
（B）定积分且值为 $\displaystyle \frac{(-1)^{m} m!}{(n+1)^{m+1}}$ ．
（C）反常积分且发散．
（D）反常积分且值为 $\displaystyle \frac{(-1)^{m} m!}{(n+1)^{m+1}}$ ．

191 📝 有解析

第191题

第191题
设 $\sin x \ln |x|$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则不定积分 $\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$
（A）$\displaystyle x \cos x \ln |x|+x \cdot \frac{\sin x}{|x|}-\sin x \ln |x|+C$ ．
（B）$x \cos x \ln |x|+\sin x-\sin x \ln |x|+C$ ．
（C） $\displaystyle \cos x \ln |x|-\frac{\sin x}{|x|}-\sin x \ln |x|+C$ ．
（D）以上均不正确．

192 📝 有解析

第192题

第192题
$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{\cos ^{2} x}^{2 x^{3}} \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}} \mathrm{~d} t=$
（A）$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+4 x^{6}}}-\frac{1}{\sqrt{1+\cos ^{4} x}}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{6 x^{2}}{\sqrt{1+4 x^{6}}}-\frac{\sin 2 x}{\sqrt{1+\cos ^{4} x}}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{6 x^{2}}{\sqrt{1+4 x^{6}}}+\frac{\sin 2 x}{\sqrt{1+\cos ^{4} x}}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{6 x^{2}}{\sqrt{1+4 x^{6}}}-\frac{1}{\sqrt{1+\cos ^{4} x}}$ ．

193 📝 有解析

第193题

第193题
设 $F(x)=\int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{u^{2}} \ln \left(1+t^{2}\right) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} u$ ，则曲线 $y=F(x)$
（A）在 $(-\infty, 0)$ 是凹的，在 $(0,+\infty)$ 是凸的．
（B）在 $(-\infty, 0)$ 是凸的，在 $(0,+\infty)$ 是凹的．
（C）在 $(-\infty,+\infty)$ 是凹的．
（D）在 $(-\infty,+\infty)$ 是凸的．

194设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sqrt{4+x}, & x>0 \\ 0, & x=0, \\ \sqrt{1-x}, & x<0\end{array} \quad F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right.$ ，则

197 📝 有解析

第197题

第197题
函数 $F(x)=\int_{x}^{x+\pi} \ln \left(1+\cos ^{2} t\right) \cos 2 t \mathrm{~d} t$
（A）为正数．
（B）为负数．
（C）恒为零．
（D）不是常数．

198 📝 有解析

第198题

第198题
设连续函数 $f(x)$ 满足 $f(2 x)=2 f(x)$ ，则 $\int_{1}^{2} x f(x) \mathrm{d} x=a \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $a$ 为
（A） 5 ．
（B） 6 ．
（C） 7 ．
（D） 8 ．
## 数学基础过关 660 题•数学一（习题册）

199 📝 有解析

第199题

第199题
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \geqslant 0 \\ \cos x, & x<0\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{cl}x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.\right.$ ，则在区间 $(-1,1)$ 上
（A）$f(x)$ 与 $g(x)$ 都存在原函数．
（B）$f(x)$ 与 $g(x)$ 都不存在原函数．
（C）$f(x)$ 存在原函数，$g(x)$ 不存在原函数．
（D）$f(x)$ 不存在原函数，$g(x)$ 存在原函数．

200 📝 有解析

第200题

第200题
数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n^{2}+1^{2}}+\frac{n}{n^{2}+2^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\right)=$
（A）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ．

201 📝 有解析

第201题

第201题
数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\int_{0}^{n \pi}|\sin x| \mathrm{d} x}{(n+1) \pi}=$
（A）0．
（B）不存在．
（C）$\displaystyle \frac{2}{\pi}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{1}{\pi}$ ．

202 📝 有解析

第202题

第202题
下列反常积分发散的是
（A） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ．
（B） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（C） $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（D） $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．

203 📝 有解析

第203题

第203题
下列四个反常积分
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^{2}-1}}$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x(x-1)}}$ ．
（3） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2} \sqrt{x^{2}-1}}$ ．
（4） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x\left(x^{2}-1\right)}$ ．
中，收敛的个数是
（A） 1 ．
（B） 2 ．
（C） 3 ．
（D） 4 ．

204 📝 有解析

第204题

第204题
设有下列命题
（1）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续是奇函数，则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．
（2）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，又 $\lim _{R \rightarrow+\infty} \int_{-R}^{R} f(x) \mathrm{d} x$ 存在，则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。
（3） $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x, \int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 均发散，则 $\int_{a}^{+\infty}[f(x)+g(x)] \mathrm{d} x$ 可能发散，也可能收敛。
（4）若 $\int_{-\infty}^{0} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 均发散，则不能确定 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 是否收敛．
则以上命题中正确的个数是
（A） 1 ．
（B） 2 ．
（C） 3 ．
（D） 4 ．
## 数学基础过关 660 题。数学一（习题册）

205 📝 有解析

第205题

第205题
曲线 $\displaystyle y=\cos x\left(x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\right)$ 与 $x$ 轴，$y$ 轴所围面积被曲线 $y=a \sin x$ 等分，则 $a=$
（A）$\displaystyle \frac{2}{5}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{3}{5}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．

206 📝 有解析

第206题

第206题
由曲线 $y=1-(x-1)^{2}$ 及直线 $y=0$ 围成图形绕 $y$ 轴旋转而成立体的体积 $V$ 是
（A） $\int_{0}^{1} \pi(1+\sqrt{1+y})^{2} \mathrm{~d} y$ ．
（B） $\int_{0}^{1} \pi(1-\sqrt{1-y})^{2} \mathrm{~d} y$ ．
（C） $\int_{0}^{1} \pi[(1+\sqrt{1-y})-(1-\sqrt{1-y})]^{2} \mathrm{~d} y$ ．
（D） $\int_{0}^{1} \pi\left[(1+\sqrt{1-y})^{2}-(1-\sqrt{1-y})^{2}\right] \mathrm{d} y$ ．

207 📝 有解析

第207题

第207题
曲线 $r=a \mathrm{e}^{b \theta}(a>0, b>0)$ 从 $\theta=0$ 到 $\theta=\alpha(\alpha>0)$ 的一段弧长为
（A）$s=\int_{0}^{\alpha} a \mathrm{e}^{b \theta} \sqrt{1+b^{2}} \mathrm{~d} \theta$ ．
（B）$s=\int_{0}^{\alpha} \sqrt{1+\left(a b \mathrm{e}^{b \theta}\right)} \mathrm{d} \theta$ ．
（C）$s=\int_{0}^{\alpha} \sqrt{1+\left(a \mathrm{e}^{b \theta}\right)^{2}} \mathrm{~d} \theta$ ．
（D）$s=\int_{0}^{a} a b \mathrm{e}^{b \theta} \sqrt{1+\left(a b \mathrm{e}^{b \theta}\right)^{2}} \mathrm{~d} \theta$ ．

208 📝 有解析

第208题

第208题
旋轮线的一支 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ 的质心是
（A）$\displaystyle \left(\pi a, \frac{4}{3} a\right)$ ．
（B）$\displaystyle \left(\pi a, \frac{2}{3} a\right)$ ．
（C）$\displaystyle \left(\pi a, \frac{5}{4} a\right)$ ．
（D）$\displaystyle \left(\pi a, \frac{7}{4} a\right)$ ．
## （－）

209 📝 有解析

第209题

第209题
峰值为 $V_{m}$ ，周期为 $T$ 的三角形波的电压平均值为
（A）$\displaystyle \frac{V_{m}}{2}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{V_{m}}{\sqrt{3}}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{V_{m}}{4}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{V_{m}}{\sqrt{2}}$ ．

210 📝 有解析

第210题

第210题
半圆形闸门半径为 $R$（米），将其垂直放人水中，且直径与水面齐．设 $\rho g=1$ 。若坐标原点取在圆心，$x$ 轴正向朝下，则闸门所受压力 $p$ 为
（A） $\int_{0}^{R} \sqrt{R^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（B） $\int_{0}^{R} 2 \sqrt{R^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$.
（C） $\int_{0}^{R} 2 x \sqrt{R^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（D） $\int_{0}^{R} 2(R-x) \sqrt{R^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
## 数学基础过关 660 题•数学一（习题册）

211 📝 有解析

第211题

第211题
已知 $y_{1}(x)$ 和 $y_{2}(x)$ 是方程 $y^{\prime}+p(x) y=0$ 的两个不同的特解，则该方程的通解为
（A）$y=C y_{1}(x)$ ．
（B）$y=C y_{2}(x)$ ．
（C）$y=C_{1} y_{1}(x)+C_{2} y_{2}(x)$ ．
（D）$y=C\left(y_{1}(x)-y_{2}(x)\right)$ ．

212 📝 有解析

第212题

第212题
设 $P(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且以 $T$ 为周期，则 $\int_{0}^{T} P(x) \mathrm{d} x=0$ 是方程

$\begin{equation*}$
$\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+P(x) y=0 \tag{*}$
\end{equation*} 有解 $y=y(x) \not \equiv 0$ 且以 $T$ 为周期的
（A）必要非充分条件．
（B）充分非必要条件．
（C）充分且必要条件．
（D）既不充分也不必要条件．

213 📝 有解析

第213题

第213题
设 $y=y(x)$ 是 $y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0$ 的解，其中 $b, c$ 为正的常数，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} y(x)$
（A）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 有关，与 $b, c$ 无关．
（B）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $b, c$ 均无关．
（C）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $c$ 无关，只与 $b$ 有关。
（D）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $b$ 无关，只与 $c$ 有关。

214 📝 有解析

第214题

第214题
已知 $y^{*}=\mathrm{e}^{-2 x}+\left(x^{2}+2\right) \mathrm{e}^{x}$ 是二阶常系数线性非齐次微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=(c x+$ d） $\mathrm{e}^{x}$ 的一个解，则方程中的系数 $a$ 与 $b$ 以及非齐次项中的常数 $c$ 和 $d$ 分别是
（A）$a=1, b=-2, c=6, d=2$ ．
（B）$a=1, b=2, c=6, d=-2$ ．
（C）$a=1, b=-2, c=-6, d=2$ ．
（D）$a=1, b=-2, c=6, d=-2$ ．

215 📝 有解析

第215题

第215题
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，在 $(0,+\infty)$ 内有连续导数且

x \int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t+2 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x f(x)+x^{3} 则可得
（A）$f(x)=C x^{2}-3 x^{2} \ln (1+x)(x \in[0,+\infty)),(C$ 为任意常数）．
（B）$f(x)=x^{2}-3 x^{2} \ln (1+x)(x \in[0,+\infty))$ ．
（C）$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}C x^{2}-3 x^{2} \ln x, & x>0 \\ 0, & x=0\end{array},(C\right.$ 为任意常数）．
（D）$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}-3 x^{2} \ln x, & x>0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ．

216 📝 有解析

第216题

第216题
设 $L$ 是连接两点 $A(0,1)$ 与 $B(1,0)$ 的一条凸弧，$P(x$ ， $y)$ 是 $L$ 上的任意一点．已知凸弧 $L$ 与弦 $A P$ 围成的平面图形的面积等于 $x^{4}$ ，则 $L$ 的方程是
（A） $1-3 x+4 x^{3}$ ．
（B） $1-4 x+3 x^{3}$ ．
（C） $1+3 x-4 x^{3}$ ．
（D） $1+4 x-3 x^{3}$ ．

217 📝 有解析

第217题

第217题
设 $a, b, c$ 为待定常数，则微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=3 x-2 \mathrm{e}^{x}$ 的特解具有形式
（A）$(a x+b) \mathrm{e}^{x}$ ．
（B）$(a x+b) x \mathrm{e}^{x}$ ．
（C）$(a x+b)+c \mathrm{e}^{x}$ ．
（D）$(a x+b)+c x \mathrm{e}^{x}$ ．

218 📝 有解析

第218题

第218题
已知曲线 $y=y(x)$ 经过原点，且在原点的切线平行于直线 $2 x-y-5=0$ ，而 $y(x)$满足微分方程 $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{3 x}$ ，则此曲线的方程为
（A）$y=\sin 2 x$ ．
（B）$\displaystyle y=\frac{1}{2} x^{2} \mathrm{e}^{2 x}+\sin 2 x$ ．
（C）$\displaystyle y=\frac{x}{2}(x+4) \mathrm{e}^{3 x}$ ．
（D）$y=\left(x^{2} \cos x+\sin 2 x\right) \mathrm{e}^{3 x}$ ．

219 📝 有解析

第219题

第219题
设 $f_{1}(x), f_{2}(x)$ 为二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0$ 的两个特解，$C_{1}, C_{2}$是两个任意常数，则 $C_{1} f_{1}(x)+C_{2} f_{2}(x)$ 是该方程通解的充分条件是
（A）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)-f_{2}(x) f^{\prime}{ }_{1}(x)=0$ ．
（B）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)+f_{2}(x) f^{\prime}{ }_{1}(x)=0$ ．
（C）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)+f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x) \neq 0$ ．
（D）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)-f_{2}(x) f^{\prime}{ }_{1}(x) \neq 0$ ．

220 📝 有解析

第220题

第220题
若 $A, B$ 为非零常数，$k$ 为常数，则微分方程 $y^{\prime \prime}+k^{2} y=\cos x$ 的特解可能具有形式
（A）$A \sin x+B \cos x$ ．
（B）$A x \cos x$ ．
（C）$A x \sin x$ ．
（D）$A x \sin x+B x \cos x$ ．

221 📝 有解析

第221题

第221题
设 $A, B$ 都是不等于零的常数，则微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=\mathrm{e}^{x} \cos 2 x$ 有特解
（A）$y^{*}=x \mathrm{e}^{x}(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$ ．
（B）$y^{*}=\mathrm{e}^{x}(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$ ．
（C）$y^{*}=A x \mathrm{e}^{x} \cos 2 x$ ．
（D）$y^{*}=A x \mathrm{e}^{x} \sin 2 x$ ．

222 📝 有解析

第222题

第222题
具有特解 $y_{1}=\mathrm{e}^{-x}, y_{2}=2 x \mathrm{e}^{-x}, y_{3}=3 \mathrm{e}^{x}$ 的三阶常系数齐次线性微分方程是
（A）$y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$ ．
（B）$y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0$ ．
（C）$y^{\prime \prime \prime}-6 y^{\prime \prime}+11 y^{\prime}-6 y=0$ ．
（D）$y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=0$ ．

223 📝 有解析

第223题

第223题
微分方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+x y=\frac{x}{2 y} \mathrm{e}^{-x^{2}}$ 满足 $y(0)=1$ 的特解是
（A）$\displaystyle y=\left(x^{2}+1\right) \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$ ．
（B）$\displaystyle y=\sqrt{\frac{1}{2} x^{2}+1} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} x^{2}}$ ．
（C）$\displaystyle y=\left(\frac{1}{2} x^{2}+1\right) \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$ ．
（D）$\displaystyle y=\sqrt{\frac{1}{2} x^{2}+1} \mathrm{e}^{-x^{2}}$ ．

224 📝 有解析

第224题

第224题
微分方程 $\left(y^{2}-1\right) \mathrm{d} x+(2 x y-\cos y) \mathrm{d} y=0$ 的通解是
（A）$y^{2} x-\sin y=C$ ．
（B）$y^{2} x-\cos y=C$ ．
（C）$\left(y^{2}-1\right) x-\cos y=C$ ．
（D）$\left(y^{2}-1\right) x-\sin y=C$ ．
其中 $C$ 为任意常数．

225 📝 有解析

第225题

第225题
方程 $x^{2} y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}-2 y=0$ 的通解为
（A）$y=C_{1} \mathrm{e}^{x}+C_{2} \mathrm{e}^{2 x}$ ．
（B）$y=\left(C_{1}+C_{2} x\right) \mathrm{e}^{x}$ ．
（C）$y=C_{1} x+C_{2} x^{2}$ ．
（D）$\displaystyle y=\frac{C_{1}}{x^{2}}+C_{2} x$ ．

226 📝 有解析

第226题

第226题
设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\frac{\sin \left(x^{2} y+y^{4}\right)}{x^{2}+y^{2}}$ ，则 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=$
（A） 1 ．
（B） 0 ．
（C）$+\infty$ ．
（D）不存在，也不为 $\infty$ ．
（－）

227 📝 有解析

第227题

第227题
设 $k$ 为常数，则极限 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2} \sin k y}{x^{2}+y^{4}}$
（A）等于 0 ．
（B）等于 $\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
（C）不存在．
（D）存在与否和 $k$ 取值有关．

228 📝 有解析

第228题

第228题
极限 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}$
（A）不存在．
（B）等于 2 ．
（C）等于 $\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
（D）等于 0 ．

229 📝 有解析

第229题

第229题
极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x y \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$
（A）不存在．
（B）等于 1 ．
（C）等于 0 ．
（D）等于 2 ．

230 📝 有解析

第230题

第230题
设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
（A）连续、偏导数存在．
（B）连续、偏导数不存在．
（C）不连续、偏导数存在．
（D）不连续、偏导数不存在．

231 📝 有解析

第231题

第231题
设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
（A）不连续．
（B）连续但偏导数不存在．
（C）连续且偏导数存在但不可微．
（D）可微。
232设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处

233 📝 有解析

第233题

第233题
设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}x y \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
（A）不连续．
（B）连续，但偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在．
（C）连续且偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 都存在，但不可微．
（D）全微分存在但一阶偏导函数 $f_{x}^{\prime}$ 和 $f_{y}^{\prime}$ 不连续．

234 📝 有解析

第234题

第234题
设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
（A）连续，但偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在．
（B）连续且偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 都存在，但不可微．
（C）可微但 $f_{x}^{\prime}$ 和 $f_{y}^{\prime}$ 不连续．
（D）可微且 $f_{x}^{\prime}$ 和 $f_{y}^{\prime}$ 连续．

235 📝 有解析

第235题

第235题
设 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)+2 x-y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=1$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
（A）不连续．
（B）连续但两个偏导数不存在．
（C）两个偏导数存在但不可微．
（D）可微．
236设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-1}{x^{2}+y^{2}}=2$ ，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处

237 📝 有解析

第237题

第237题
函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点可微的充分条件是
（A） $\lim _{x \rightarrow 0} f_{x}^{\prime}(x, 0)=f_{x}^{\prime}(0,0)$ 且 $\lim _{y \rightarrow 0} f_{y}^{\prime}(0, y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$ ．
（B） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}[f(x, y)-f(0,0)]=0$ ．
（C） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}$ 和 $\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y}$ 都存在．
（D） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f_{x}^{\prime}(x, y)=f_{x}^{\prime}(0,0)$ 且 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f_{y}^{\prime}(x, y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$ ．

238 📝 有解析

第238题

第238题
如果 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，那么下列命题正确的是
（A）若极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微．
（B）若极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微．
（C）若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在．
（D）若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在．

239 📝 有解析

第239题

第239题
二元函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续是函数 $z=f(x, y)$ 在该点处两个偏导数 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 都存在的
（A）必要但非充分条件．
（B）充分但非必要条件．
（C）充要条件．
（D）既非充分条件也非必要条件．

240 📝 有解析

第240题

第240题
设 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处两个偏导数 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 都存在，则
（A）$f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续．
（B） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ 存在．
（C） $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f\left(x, y_{0}\right)=\lim _{y \rightarrow y_{0}} f\left(x_{0}, y\right)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ．
（D）$f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微．

241 📝 有解析

第241题

第241题
函数 $f(x, y)$ 的两个偏导数在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续是函数 $f(x, y)$ 在该点处可微的
（A）充分但非必要条件．
（B）必要但非充分条件．
（C）充分必要条件．
（D）既不充分也不必要条件．

242 📝 有解析

第242题

第242题
设函数 $f(x, y)$ 可微，且对任意 $x, y$ 都有 $\displaystyle \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}>0, \frac{\partial f(x, y)}{\partial y}<0$ ，则使不等式 $f\left(x_{1}, y_{1}\right)（A）$x_{1}>x_{2}, y_{1}（B）$x_{1}>x_{2}, y_{1}>y_{2}$ ．
（C）$x_{1}（D）$x_{1}y_{2}$ ．

243 📝 有解析

第243题

第243题
设可微函数 $f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}>1, \frac{\partial f}{\partial y}<-1, f(0,0)=0$ ，则下列结论正确的是
（A）$f(1,1)>1$ ．
（B）$f(-1,1)>-2$ ．
（C）$f(-1,-1)<0$ ．
（D）$f(1,-1)>2$ ．
## （ ）

244 📝 有解析

第244题

第244题
已知方程 $\displaystyle f\left(\frac{y}{x}, \frac{z}{x}\right)=0$ 确定了函数 $z=z(x, y), f(u, v)$ 可微，则 $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=$
（A）$z$ ．
（B）$-z$ ．
（C）$y$ ．
（D）$-y$ ．

245 📝 有解析

第245题

第245题
设函数 $f(x, y)$ 可微且 $f(x+1, \ln (1+x))=(1+x)^{3}+x \ln (1+x)(x+1)^{\ln (x+1)}$ ， $f\left(x^{2}, x-1\right)=x^{4} \mathrm{e}^{x-1}+(x-1)\left(x^{2}-1\right) x^{2(x-1)}$ ，则 $\mathrm{d} f(1,0)=$
（A） $\mathrm{d} x+\mathrm{d} y$ ．
（B） $\mathrm{d} x-2 \mathrm{~d} y$ ．
（C） $\mathrm{d} x-\mathrm{d} y$ ．
（D） $2 \mathrm{~d} x+\mathrm{d} y$ ．

246 📝 有解析

第246题

第246题
已知 $\mathrm{d} f(x, y)=\left(2 y^{2}+2 x y+3 x^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(4 x y+x^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，则 $f(x, y)=$
（A） $2 x y^{2}+x^{2} y$ ．
（B） $2 x y^{2}+x^{2} y+x^{3}$ ．
（C） $2 x y^{2}+x^{2} y+x^{3}+C$ ．
（D） $3 x y^{2}+x^{2} y+x^{3}+C$ ．

247 📝 有解析

第247题

第247题
设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)}{1-\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}}=-2$ ，则
（A）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 不存在．
（B）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 存在但不为零。
（C）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点取极大值．
（D）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点取极小值．

248 📝 有解析

第248题

第248题
下列命题正确的是
（A）若 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为 $f(x, y)$ 的极值点，则 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 必为 $f(x, y)$ 的驻点．
（B）若 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为 $f(x, y)$ 的驻点，则 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 必为 $f(x, y)$ 的极值点．
（C）若 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为有界闭$D$ 上连续的函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 内部唯一的极值点，且 $f(x, y)$在该点取极大值，则 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 取得它在 $D$ 上的最大值．
（D）若 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 取得极小值，则 $f\left(x, y_{0}\right)$ 在 $x=x_{0}$ 处取极小值，$f\left(x_{0}, y\right)$ 在 $y=y_{0}$ 处取极小值．

249 📝 有解析

第249题

第249题
设 $F(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且 $F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0$ ．若一元函数 $y=y(x)$ 是由方程 $F(x, y)=0$ 所确定的在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 附近的隐函数，则 $x_{0}$ 是函数 $y=y(x)$ 的极小值点的一个充分条件是
（A）$F_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0$ ．
（B）$F_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)<0$ ．
（C）$F_{y y}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0$ ．
（D）$F_{y y}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)<0$ ．

250 📝 有解析

第250题

第250题
函数 $f(x, y)=k x^{2}+y^{3}-3 y$ 在点 $(0,1)$ 处
（A）取极大值．
（B）取极小值．
（C）不取得极值．
（D）是否取得极值与 $k$ 取值有关．

251 📝 有解析

第251题

第251题
函数 $f(x, y)=1+x+y$ 在$x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 上的最大值与最小值之积为
（A）-1 ．
（B） 1 ．
（C） $1+\sqrt{2}$ ．
（D） $1-\sqrt{2}$ ．

252 📝 有解析

第252题

第252题
函数 $f(x, y)=\mathrm{e}^{-x y}$ 在$D=\left\{(x, y) \mid 4 x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上的最大值是
（A） $\mathrm{e}^{2}$ ．
（B）e．
（C） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{4}}$ ．
（D） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{2}}$ ．

253 📝 有解析

第253题

第253题
设 $f(x, y)=x^{3}-4 x^{2}+2 x y-y^{2}$ ，$D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 4,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，则下面结论正确的是
（A）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点且是 $f(x, y)$ 在$D$ 的最大值点．
（B）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点但不是 $f(x, y)$ 在$D$ 的最大值点．
（C）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点．
（D）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的驻点，但不是极值点．

254 📝 有解析

第254题

第254题
已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 某邻域内连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)+4 x^{2}-y^{2}}{x^{4}+x^{2} y^{2}+y^{4}}=1$ ，则
（A）点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的极值点．
（B）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点．
（C）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点．
（D）所给条件不足以判断点 $(0,0)$ 是否为 $f(x, y)$ 的极值点．

255 📝 有解析

第255题

第255题
设有三个正数 $x, y, z$ 满足 $x+y+z=a$ ，其中 $a>0$ 为常数，又

x y z \leqslant b 则 $b$ 的最小取值是
（A）$\displaystyle \frac{a^{3}}{21}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{a^{3}}{18}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{a^{3}}{9}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{a^{3}}{27}$ ．

256 📝 有解析

第256题

第256题
设 $D$ 是 $x O y$ 平面上以 $(1,1),(-1,1)$ 和 $(-1,-1)$ 为顶点的三角形，$D_{1}$ 是 $D$ 在第一象限的部分，则 $\iint_{D}(x y+\cos x \sin y) \mathrm{d} \sigma$ 等于
（A） $2 \iint_{D_{1}} \cos x \sin y \mathrm{~d} \sigma$ ．
（B） $2 \iint_{D_{1}} x y \mathrm{~d} \sigma$ ．
（C） $4 \iint_{D_{1}}(x y+\cos x \sin y) \mathrm{d} \sigma$ ．
（D） 0 ．

257 📝 有解析

第257题

第257题
累次积分 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{1}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ 可写成
（A） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
（B） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{y}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
（C） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
（D） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．

258 📝 有解析

第258题

第258题
设 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ，则在极坐标系 $(r, \theta)$ 中的累次积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}}^{1} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r$可化为直角坐标系 $(x, y)$ 中的累次积分
（A） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
（B） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{f(x, y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} y$ ．
（C） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
（D） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{f(x, y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} y$ ．

259 📝 有解析

第259题

第259题
累次积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ 可写成
（A） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1+\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
（B） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{2 x-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
（C） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{2 y-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
（D） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{2} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．

260 📝 有解析

第260题

第260题
累次积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{1} \frac{x y}{\sqrt{1+y^{3}}} \mathrm{~d} y=$
（A）$\displaystyle \frac{1}{4}(\sqrt{2}-1)$ ．
（B）$\displaystyle \frac{1}{3}(\sqrt{2}-1)$ ．
（C）$\displaystyle \frac{1}{4}(\sqrt{2}+1)$ ．
（D）$\displaystyle \frac{1}{3}(\sqrt{2}+1)$ ．

261 📝 有解析

第261题

第261题
设$D$ 由 $y=x, y=x+1, y=1, y=3$ 围成，则 $\iint_{D} y \mathrm{~d} \sigma=$
（A） 2 ．
（B） 3 ．
（C） 4 ．
（D） 6 ．

262 📝 有解析

第262题

第262题
设积分$D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x+2 y\right\}$ ，则 $\iint_{D}\left(x^{2}+x y+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=$
（A） $6 \pi$ ．
（B） $8 \pi$ ．
（C） $10 \pi$ ．
（D） $12 \pi$ ．
（4）

263 📝 有解析

第263题

第263题
设积分$D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，则二重积分
$\displaystyle I=\iint_{D} \frac{\mathrm{~d} \sigma}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=$
（A）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ．

264 📝 有解析

第264题

第264题
设积分$D=\left\{(x, y)| | x\left|\leqslant 1,|y| \leqslant 1, x^{2}+y^{2} \geqslant x\right\}\right.$ ，则 $\iint_{D}|x y| \mathrm{d} \sigma=$
（A）$\displaystyle \frac{5}{6}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{11}{12}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{7}{8}$ ．

265 📝 有解析

第265题

第265题
设积分$D$ 是由曲线 $y=\sqrt{x}$ ，直线 $y=1$ 及 $y$ 轴围成，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$
（A） $\displaystyle 1+\frac{2}{\mathrm{e}}$ ．
（B） $\displaystyle 1-\frac{2}{\mathrm{e}}$ ．
（C） $\displaystyle 1-\frac{1}{\mathrm{e}}$ ．
（D） $\displaystyle 1+\frac{1}{\mathrm{e}}$ ．

266 📝 有解析

第266题

第266题
设积分$D$ 由 $y=x$ 与 $y^{2}=x$ 围成，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin \pi y}{y} \mathrm{~d} \sigma=$
（A）$\pi$ ．
（B）$-\pi$ ．
（C）$\displaystyle \frac{1}{\pi}$ ．
（D）$\displaystyle -\frac{1}{\pi}$ ．

267 📝 有解析

第267题

第267题
设积分$D=\{(x, y) \mid \sqrt{|x|}+\sqrt{|y|} \leqslant 1\}$ ，则 $I=\iint_{D}(\sqrt{|x|}+\sqrt{|y|}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
（A）$\displaystyle \frac{4}{15}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{2}{5}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{8}{15}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{4}{5}$ ．

268 📝 有解析

第268题

第268题
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \geqslant 1, x^{2}+y^{2} \leqslant 9, x \leqslant \sqrt{3} y, y \leqslant \sqrt{3} x\right\}$ ，则 $\displaystyle \iint_{D} \arctan \frac{y}{x} \mathrm{~d} \sigma=$
（A）$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{\pi^{2}}{6}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{\pi^{2}}{3}$ ．

269 📝 有解析

第269题

第269题
累次积分 $I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x$ 等于
（A）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{3} \ln (\sqrt{2}+1)$ ．
（B）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{3} \ln (\sqrt{2}-1)$ ．
（C）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{1}{6} \ln (\sqrt{2}+1)$ ．
（D）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{1}{6} \ln (\sqrt{2}-1)$ ．

270 📝 有解析

第270题

第270题
设 $\displaystyle I_{1}=\iint_{D} \frac{x+y}{4} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_{2}=\iint_{D} \sqrt{\frac{x+y}{4}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_{3}=\iint_{D} \sqrt[3]{\frac{x+y}{4}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 由不等式 $(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \leqslant 2$ 所确定，则
（A）$I_{2}（B）$I_{1}（C）$I_{3}（D）$I_{3}

271 📝 有解析

第271题

第271题
设平面域 $D$ 由 $\displaystyle x+y=\frac{1}{2}, x+y=1$ 及两条坐标轴围成，$I_{1}=\iint_{D} \ln (x+y)^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ， $I_{2}=\iint_{D}(x+y)^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_{3}=\iint_{D} \sin (x+y)^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，则
（A）$I_{1}（B）$I_{3}（C）$I_{1}（D）$I_{3}

272 📝 有解析

第272题

第272题
设积分$$
$\begin{gathered}$
D_{1}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\} ; D_{2}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2\right\} \\
D_{3}=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{1}{2} x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right.\right\} ; D_{4}=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^{2}+\frac{1}{2} y^{2} \leqslant 1\right.\right\}
\end{gathered}

记 $\displaystyle I_{i}=\iint_{D_{i}}\left[1-\left(x^{2}+\frac{1}{2} y^{2}\right)\right] \mathrm{d} \sigma(i=1,2,3,4)$ ，则 $\max \left\{I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}\right\}=$
（A）$I_{1}$ ．
（B）$I_{2}$ ．
（C）$I_{3}$ ．
（D）$I_{4}$ ．

273 📝 有解析

第273题

第273题
设 $g(x)$ 有连续的导数，$g(0)=0, g^{\prime}(0)=a \neq 0, f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连续，则 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant r^{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{g\left(r^{2}\right)}=$
（A）$\displaystyle \frac{f(0,0)}{a}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{f(0,0)}{2 a}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{\pi}{a} f(0,0)$ ．
（D）$\displaystyle \frac{\pi}{2 a} f(0,0)$ ．

274 📝 有解析

第274题

第274题
设 $f(x, y)$ 连续，且 $f(x, y)=x y+\iint_{D} f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$ ，其中 $D$ 是由 $y=0, y=x^{2}, x=$ 1 所围，则 $f(x, y)$ 等于
（A）$x y$ ．
（B） $2 x y$ ．
（C）$\displaystyle x y+\frac{1}{8}$ ．
（D）$x y+1$ ．

275 📝 有解析

第275题

第275题
设 $g(x)$ 是可微函数 $y=f(x)$ 的反函数，且 $\displaystyle f(1)=0, \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=\frac{2023}{2}$ ，则 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t$ 的值为
（A）0．
（B） 2022 ．
（C） 2023 ．
（D） 2100 ．

616 📝 有解析

第616题

第616题
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 条件收敛，则
（A）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 都收敛。
（B）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 都发散。
（C）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 收敛而级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 发散。
（D）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 发散而级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 收敛。

617 📝 有解析

第617题

第617题
在关于级数的如下四个结论中正确的结论是
（A）若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}^{2}$ 都收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+v_{n}\right)^{2}$ 收敛。
（B）若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_{n} v_{n}\right|$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}^{2}$ 都收敛。
（C）若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散，则 $\displaystyle u_{n} \geqslant \frac{1}{n}$ ．
（D）若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，且 $u_{n} \geqslant v_{n}(n=1,2, \cdots)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 也收敛。

618 📝 有解析

第618题

第618题
现有关于级数的如下四个结论：
（1）若 $a_{n}>0$ 且 $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1(n=1,2,3, \cdots)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。
（2）若 $a_{n}>0$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}>1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散．
（3）若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}+a_{2 n}\right)$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。
（4）设 $a_{n}>0(n=1,2,3, \cdots)$ 且极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}$ 存在，又 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ．
其中正确的是
（A）（1），（2）．
（B）（1），（3）．
（C）（3），（4）．
（D）（2），（4）．

619 📝 有解析

第619题

第619题
设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是正项级数，$S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ 是它的部分和，则下列结论中
（1）若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} S_{n} a_{n}$ 发散。
（2）若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ 收敛。
（3）若 $\left\{n a_{n}\right\}$ 是有界数列，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收敛。
（4）若 $a_{n}>a_{n+1}(n=1,2,3, \cdots)$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。
正确的是
（A）（1），（2）．
（B）（2），（3）．
（C）（3），（4）．
（D）（4），（1）．

620 📝 有解析

第620题

第620题
已知 $u_{n}>0(n=1,2,3, \cdots)$ ，且 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_{n}$ 条件收敛。若设 $v_{n}=3 u_{2 n-1}-u_{2 n} (n=1,2,3, \cdots)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$
（A）发散．
（B）条件收敛。
（C）绝对收敛。
（D）收敛或发散取决于 $\left\{u_{n}\right\}$ 的具体形式．

621 📝 有解析

第621题

第621题
a_{n}$ 和 $b_{n}$ 符合下列哪一个条件，可由 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散推得 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 发散．
（A）$a_{n} \leqslant b_{n}$ ．
（B）$\left|a_{n}\right| \leqslant b_{n}$ ．
（C）$a_{n} \leqslant\left|b_{n}\right|$ ．
（D）$\left|a_{n}\right| \leqslant\left|b_{n}\right|$ ．$

622 📝 有解析

第622题

第622题
在命题
（1）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收敛。
（2）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛且 $n \rightarrow \infty$ 时 $a_{n}$ 与 $b_{n}$ 是等价无穷小，则 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛。
（3）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle a_{n}=o\left(\frac{1}{n}\right)(n \rightarrow \infty)$ 。
（4）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，又 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 绝对收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 绝对收敛。
中正确的是
（A）（1）．
（B）（2）．
（C）（3）．
（D）

624 📝 有解析

第624题

第624题
设 $a>0$ 为常数，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \cdot \frac{a^{n}}{1+a^{n}}$ 条件收敛，则 $a$ 的取值范围是
（A）$a \in(0,+\infty)$ ．
（B）$a \in(0,1]$ ．
（C）$a \in[1,+\infty)$ ．
（D）$\displaystyle a \in\left[\frac{1}{2},+\infty\right)$ ．设 $\alpha, \beta, \gamma$ 均为大于 1 的常数，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{\gamma}+\alpha^{n}}{n^{\alpha}+\ln ^{\beta} n+\gamma^{n}}$

626 📝 有解析

第626题

第626题
设正数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调减少，且交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 发散，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left(\frac{1}{a_{n}+1}\right)^{n}$
（A）发散．
（B）条件收敛．
（C）绝对收敛。
（D）玫散性不能仅由题设条件确定．

627 📝 有解析

第627题

第627题
在如下四个级数
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{\ln n}{n}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\left(\sin n^{2}\right) \ln ^{3} n}{\sqrt[3]{n^{4}+1}}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}-(-1)^{n}}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}+\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\right)$ ．
中，条件收敛的级数是
（A）（1），（2）．
（B）（2），（3）．
（C）（3），（4）．
（D）（1），（4）．

628 📝 有解析

第628题

第628题
下列四个级数中，发散的级数是
（A）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln \ln n}}$ ．
（B）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{2^{n}}$ ．
（C）$\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n \ln ^{\alpha} n(\ln \ln n)^{\beta}}$（其中 $\alpha>1, \beta>0$ ）．
（D）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \sin \left[\left(n+\frac{1}{\ln n}\right) \pi\right]$ ．

629 📝 有解析

第629题

第629题
设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n!)}{n^{p}}$ 收敛，则 $p$ 的取值范围是
（A）$p>1$ ．
（B）$p>2$ ．
（C） $0（D）$\displaystyle p>\frac{1}{2}$ ．

630 📝 有解析

第630题

第630题
设 $f(x)$ 有连续的一阶导数且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=a>0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} f\left(\frac{1}{n}\right)$
（A）发散．
（B）绝对收敛．
（C）条件收敛。
（D）敛散性与 $a$ 有关．

631 📝 有解析

第631题

第631题
若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛域是 $(-8,8]$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n} x^{n}}{n(n-1)}$ 的收敛半径及 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{3 n}$ 的收敛域分别是
（A） $8,(-2,2]$ ．
（B） $8,[-2,2]$ ．
（C） $4,(-2,2]$ ．
（D） $8,[-2,2)$ ．

632 📝 有解析

第632题

第632题
级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{3^{n}}$ 的和 $S=$
（A）$\displaystyle \frac{3}{32}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{3}{16}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{3}{8}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ．
## $\sigma^{\circ}$ <br>

633 📝 有解析

第633题

第633题
幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n(n+1)}$ 的和函数 $S(x)=$
（A） $\displaystyle \ln (1-x)+\frac{1}{x} \ln (1-x)+1 \quad(-1 \leqslant x<1, x \neq 0)$ ．
（B） $\displaystyle \ln (1+x)+\frac{1}{x} \ln (1-x)+1 \quad(-1（C）$\displaystyle -\ln (1-x)+\frac{1}{x} \ln (1-x)+1 \quad(-1 \leqslant x<1, x \neq 0)$ ．
（D）$\displaystyle -\ln (1-x)+\frac{1}{x} \ln (1+x)+1 \quad(-1

634 📝 有解析

第634题

第634题
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1-\cos x}{x^{2}}, & x \neq 0 \\ \frac{1}{2}, & x=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处六阶导数 $f^{(6)}(0)$
（A）不存在．
（B）等于 $\displaystyle -\frac{1}{6}$ ．
（C）等于 $\displaystyle \frac{1}{56}$ ．
（D）等于 $\displaystyle -\frac{1}{56}$ ．

635 📝 有解析

第635题

第635题
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+1, & 0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2} \\ x-1, & \frac{1}{2}（A）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
（B）$\displaystyle -\frac{1}{2}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{3}{2}$ ．
（D）$\displaystyle -\frac{3}{2}$ ．
636曲线 $\displaystyle L:\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{5}=1 \\ x-2 z+3=0\end{array}\right.$ 在 $x O y$ 面上的投影柱面方程是

637 📝 有解析

第637题

第637题
直线 $\displaystyle L: \frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-3}{1}$ 与平面 $\Pi: x-y+2 z+4=0$ 的夹角为
（A）$\pi$ ．
（B）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ．
638直线 $L$ 为 $\left\{\begin{array}{l}x+3 y+2 z+1=0 \\ 2 x-y-10 z+3=0\end{array}\right.$ ，平面 $\Pi$ 为 $4 x-2 y+z-2=0$ ，则

639 📝 有解析

第639题

第639题
点 $M_{1}(0,1,-1)$ 到直线 $\displaystyle L: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z+1}{1}$ 的距离 $d=$
（A）$\sqrt{2}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
（D）$\sqrt{3}$ ．
设 $\left|\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right| \neq 0$ ，则直线 $\displaystyle L_{3}: \frac{x-a_{3}}{a_{1}-a_{2}}=\frac{y-b_{3}}{b_{1}-b_{2}}=\frac{z-c_{3}}{c_{1}-c_{2}}$ 与直线 $\displaystyle L_{1}: \frac{x-a_{1}}{a_{2}-a_{3}}= \frac{y-b_{1}}{b_{2}-b_{3}}=\frac{z-c_{1}}{c_{2}-c_{3}}$ 是

641 📝 有解析

第641题

第641题
设有空间$\Omega_{1}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, z \geqslant 0$ ；及 $\Omega_{2}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ ， $z \geqslant 0$ ，则
（A） $\iiint_{\Omega_{1}} x \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} x \mathrm{~d} v$.
（B） $\iiint_{\Omega_{1}} y \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} y \mathrm{~d} v$.
（C） $\iiint_{\Omega_{1}} z \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} z \mathrm{~d} v$ ．
（D） $\iiint_{\Omega_{1}} x y z \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} x y z \mathrm{~d} v$ ．

642 📝 有解析

第642题

第642题
设 $\Omega$ 是由曲面 $z=x^{2}+y^{2}, y=x, y=0, z=1$ 在第一卦限所围成的，$f(x, y$ ， $z)$ 在 $\Omega$ 上连续，则 $\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v$ 等于
（A） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{1-y^{2}}} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}+y^{2}}^{1} f(x, y, z) \mathrm{d} z$.
（B） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} x \int_{y}^{\sqrt{1-y^{2}}} \mathrm{~d} y \int_{x^{2}+y^{2}}^{1} f(x, y, z) \mathrm{d} z$ ．
（C） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{1-y^{2}}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1} f(x, y, z) \mathrm{d} z$ ．
（D） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{1-y^{2}}} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}+y^{2}}^{1} f(x, y, z) \mathrm{d} z$ ．

643 📝 有解析

第643题

第643题
设 $f(x)$ 有连续的导数，$f(0)=0$ ，$\Omega$ 由柱面 $x^{2}+y^{2}=t^{2}(t>0)$ 和两平面 $z= 0, z=1$ 所围成，则 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t^{4}} \iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} v$ 等于
（A）$\pi f^{\prime}(0)$ ．
（B）$\pi f(0)$ ．
（C）$\displaystyle \frac{\pi}{2} f(0)$ ．
（D）$\displaystyle \frac{\pi}{2} f^{\prime}(0)$ ．

644 📝 有解析

第644题

第644题
下列结论
（1）$\oint_{x^{2}+y^{2}=a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} s=a^{2} \oint_{x^{2}+y^{2}=a^{2}} \mathrm{~d} s=2 \pi a^{3}$ ．
（2） $\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=a^{2} \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}} \mathrm{~d} \sigma=\pi a^{4}$ ．
（3）$\oiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S=a^{2} \oiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}} \mathrm{~d} S=4 \pi a^{4}$ ．
（4） $\displaystyle \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} v=a^{2} \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant a^{2}} \mathrm{~d} v=\frac{4}{3} \pi a^{5}$ ．
中正确的条数为
（A） 1 条。
（B） 2 条．
（C） 3 条．
（D） 4 条．

645 📝 有解析

第645题

第645题
设 $C_{k}(k=1,2,3)$ 分别为曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1, \frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1, x^{2}+y^{2}=2$ ，其方向为逆时针方向，$I_{k}=\oint_{C_{k}}\left(3 y x^{2}+y^{3}\right) \mathrm{d} x+(3 x+y) \mathrm{d} y(k=1,2,3)$ ．则
（A）$I_{1}（B）$I_{1}（C）$I_{3}（D）$I_{2}

646 📝 有解析

第646题

第646题
设曲线 $L$ 为椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ，其周长为 $l$ ，则 $\oint_{L}(b x+a y)^{2} \mathrm{~d} s$ 等于
（A）$(a+b) l$ ．
（B）$\left(a^{2}+b^{2}\right) l$ ．
（C）$a^{2} b^{2} l$ ．
（D）$a b l$ ．

647 📝 有解析

第647题

第647题
设 $L$ 是以 $A(1,0), B(0,1), C(-1,0), D(0,-1)$ 为顶点的正方形边界，则 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x+y+1}{|x|+|y|} \mathrm{d} s$ 等于
（A） $4 \sqrt{2}$ ．
（B） 0 ．
（C） $2 \sqrt{2}$ ．
（D） 4 ．

648 📝 有解析

第648题

第648题
在力场 $\displaystyle \boldsymbol{F}=\frac{y^{3} \boldsymbol{i}-x^{3} \boldsymbol{j}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ 的作用下，一质点沿圆周 $x^{2}+y^{2}=1$ 逆时针运动一圈所做的功为
（A）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{3 \pi}{2}$ ．
（C）$\displaystyle -\frac{\pi}{2}$ ．
（D）$\displaystyle -\frac{3 \pi}{2}$ ．

651 📝 有解析

第651题

第651题
下列曲线积分
（1） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}$ ．
（2） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ．
（3） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ．
（4） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}$ ．
中，在平面 $D: x^{2}+y^{2}>0$ 上与路径无关的有
（A） 1 个．
（B） 2 个．
（C） 3 个．
（D） 4 个．

652 📝 有解析

第652题

第652题
设曲线 $L: f(x, y)=1(f(x, y)$ 具有一阶连续偏导数），过第 II 象限内的点 $M$ 和第 IV 象限内的点 $N, \Gamma$ 为 $L$ 上从点 $M$ 到点 $N$ 的一段弧，则下列积分小于零的是
（A） $\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
（B） $\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
（C） $\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} s$ ．
（D） $\int_{\Gamma} f_{x}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} x+f_{y}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} y$ ．

653 📝 有解析

第653题

第653题
设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ 上半部分的上侧，则下列结论不正确的是
（A） $\iint_{\Sigma} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ．
（B） $\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ．
（C） $\iint_{\Sigma} y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ．
（D） $\iint_{\Sigma} y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ．

654 📝 有解析

第654题

第654题
设有曲线 $\Gamma:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ ，从 $x$ 轴正向看去为逆时针方向，则 $\oint_{\Gamma} y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z$ 等于
（A）$\sqrt{2} \pi a^{2}$ ．
（B）$-\sqrt{2} \pi a^{2}$ ．
（C）$-\sqrt{3} \pi a^{2}$ ．
（D）$\sqrt{3} \pi a^{2}$ ．

655 📝 有解析

第655题

第655题
函数 $f(x, y, z)=x^{2} y^{3}+3 y^{2} z^{3}$ 在点 $(0,1,1)$ 处方向导数的最大值为
（A）$\sqrt{107}$ ．
（B）$\sqrt{117}$ ．
（C） 117 ．
（D） 107 ．

658 📝 有解析

第658题

第658题
过点 $(1,0,0),(0,1,0)$ ，且与曲面 $z=x^{2}+y^{2}$ 相切的平面为
（A）$z=0$ 与 $x+y-z=1$ ．
（B）$z=0$ 与 $2 x+2 y-z=2$ ．
（C）$x=y$ 与 $x+y-z=1$ ．
（D）$x=y$ 与 $2 x+2 y-z=2$ ．

659 📝 有解析

第659题

第659题
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ 在点 $(1,-1,0)$ 处的切线方程为
（A）$\displaystyle \frac{x-1}{2}=y+1=z$ ．
（B）$\displaystyle \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{x-1}{-1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{1}$ ．
（D）$\displaystyle x-1=y+1=-\frac{z}{2}$ ．

660 📝 有解析

第660题

第660题
函数 $f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 在点 $(1,-1,1)$ 处沿曲线 $x=t, y=-t^{2}, z=t^{3}$ 在该点指向 $x$ 轴负向一侧的切线方向的方向导数等于
（A）-12 ．
（B） 12 ．
（C）$\displaystyle -\frac{12}{\sqrt{14}}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{12}{\sqrt{14}}$ ．

1 📝 有解析

第1题

## 第1题 (高等数学 - 未知)
设函数 $f(x)$ 为定义在 $(-\infty,+\infty)$ 的奇函数，且 $\forall x \in(-\infty,+\infty), f(x+2)- f(x)=f(2)$ ，若 $f(x)$ 是以 2 为周期的周期函数，则 $f(1)=$

2 📝 有解析

第2题

## 第2题 (高等数学 - 填空题)
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}4-x^{2}, & |x| \leqslant 2 \\ 0, & |x|>2\end{array}\right.$ ，则 $f(f(x))=$ $\_\_\_\_$ .

3 📝 有解析

第3题

## 第3题 (高等数学 - 填空题)
设 $\displaystyle f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 3} f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
## 数学基础过关 660 题•数学一（习题 $\displaystyle 4 \quad I=\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sin \frac{2}{x}+\cos \frac{1}{x}\right)^{x \cos \sqrt{\frac{x+1}{x^{2}}}}=$

4 📝 有解析

第4题

## 第4题 (线性代数 - 选择题)
设 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 是非齐次线性方程组， $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}$ 是其任意两个解，则下列结论错误的是
（A） $\boldsymbol{\eta}_{1}+\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个解．
（B）$\displaystyle \frac{1}{2} \boldsymbol{\eta}_{1}+\frac{1}{2} \boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的一个解．
（C） $\boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个解．
（D） $2 \boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的一个解．

5 📝 有解析

第5题

## 第5题 (高等数学 - 填空题)
I=$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[6]{x^{6}+x^{5}}-\sqrt[6]{x^{6}-x^{5}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

6 📝 有解析

第6题

## 第6题 (高等数学 - 填空题)
\quad I=$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \sin x^{2}-2(1-\cos x) \sin x}{x^{4}}=$ $\_\_\_\_$ ．

7 📝 有解析

第7题

## 第7题 (高等数学 - 填空题)
I=$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x}) \cdots(1-\sqrt[n]{\cos x})}{(1-\cos x)^{n-1}}=$ $\_\_\_\_$ ．

8 📝 有解析

第8题

## 第8题 (高等数学 - 填空题)
I=$\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\mathrm{e}^{x^{2}}+x^{3}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}=$ $\_\_\_\_$ ．

9 📝 有解析

第9题

## 第9题 (高等数学 - 填空题)
I=$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{x^{2}}^{x} \frac{\sin (x t)}{t} \mathrm{~d} t}{x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ，$$

10 📝 有解析

第10题

## 第10题 (高等数学 - 填空题)
$\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2}\left(2^{\frac{1}{x}}-2^{\frac{1}{x+1}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

11 📝 有解析

第11题

## 第11题 (高等数学 - 填空题)
设 $\alpha>0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(x^{2}+x\right)^{x^{\alpha}}=$ $\_\_\_\_$ ．

12 📝 有解析

第12题

## 第12题 (高等数学 - 填空题)
数列极限 $\displaystyle I=\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\arctan \frac{2}{n}-\arctan \frac{2}{n+1}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

13 📝 有解析

第13题

## 第13题 (高等数学 - 填空题)
设 $\displaystyle x_{0}=0, x_{n}=\frac{1+2 x_{n-1}}{1+x_{n-1}}(n=1,2,3, \cdots)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=$ $\_\_\_\_$ ．

14 📝 有解析

第14题

## 第14题 (高等数学 - 填空题)
设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x+\frac{f(x)}{x}\right)}{x}=3$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
## ✓

15 📝 有解析

第15题

## 第15题 (高等数学 - 填空题)
设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1-x)+x f(x)}{x^{2}}=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-1}{x}=$ $\_\_\_\_$ ．

16 📝 有解析

第16题

## 第16题 (高等数学 - 填空题)
设函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 连续，且 $f(1)=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \ln \left[2+f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)\right]=$ $\_\_\_\_$。

17 📝 有解析

第17题

## 第17题 (高等数学 - 填空题)
设 $a, b$ 为常数，且 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt[3]{1-x^{6}}-a x^{2}-b\right)=0$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．

18 📝 有解析

第18题

## 第18题 (高等数学 - 填空题)
设 $a, b, p$ 为非零常数，则 $\displaystyle I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a+b \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{a-b \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}} \cdot \frac{\sin p x}{|x|}=$ $\_\_\_\_$ ．
19当 $n \rightarrow \infty$ 时，$\displaystyle \frac{1}{3^{n}}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}$ 的等价无穷小形式为 $\mathrm{e}^{\alpha}(\beta \mathrm{e})^{n}$ ，则 $\alpha=$ $\_\_\_\_$ ，$\beta=$
$\_\_\_\_$。

20 📝 有解析

第20题

## 第20题 (高等数学 - 填空题)
设 $f(x)$ 连续，当 $x \rightarrow a$ 时，$f(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小，则当 $x \rightarrow a$ 时 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 $x-a$ 的 $\_\_\_\_$阶无穷小。（填阶数）

21 📝 有解析

第21题

## 第21题 (高等数学 - 填空题)
已知当 $x \rightarrow 0$ 时 $F(x)=\int_{0}^{x-\sin x} \ln (1+t) \mathrm{d} t$ 是 $x^{n}$ 的同阶无穷小，则 $n=$ $\_\_\_\_$ ．

22 📝 有解析

第22题

## 第22题 (高等数学 - 填空题)
设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin x(b \cos x-1)}{\mathrm{e}^{x}+a}, & x>0 \\ \frac{\sin x}{\ln (1+3 x)}, & x<0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 点极限存在，则 $a, b$ 分别为
$\_\_\_\_$。

23 📝 有解析

第23题

## 第23题 (高等数学 - 填空题)
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}6, & x \leqslant 0 \\ \frac{\mathrm{e}^{a x^{3}}-1}{x-\arcsin x}, & x>0\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{3 \sin (x-1)}{x-1}, & x<1 \\ \mathrm{e}^{b x}+1, & x \geqslant 1\end{array}\right.\right.$ ，
若 $f(x)+g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 连续，则 $a=$ $\_\_\_\_$且 $b=$ $\_\_\_\_$。

24 📝 有解析

第24题

## 第24题 (高等数学 - 填空题)
设 $\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}-b}{(x-a)(x-b)}$ 有无穷间断点 $x=\mathrm{e}$ ，可去间断点 $x=1$ ，则 $(a, b)=$ $\_\_\_\_$ ．

25 📝 有解析

第25题

## 第25题 (高等数学 - 填空题)
设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x+x^{2} \mathrm{e}^{n x}}{1+\mathrm{e}^{n x}}$ ，则 $f(x)$ 的连续区间是 $\_\_\_\_$ ．
## ✓

26 📝 有解析

第26题

## 第26题 (高等数学 - 填空题)
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\arctan x, & x \leqslant 1 \\ \frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x^{2}-1}-x\right)+\frac{\pi}{4}, & x>1\end{array}\right.$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
## （－）

27 📝 有解析

第27题

## 第27题 (高等数学 - 填空题)
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\ln (1+b x)}{x}, & x \neq 0 \\ -1, & x=0\end{array}\right.$ ，其中 $b$ 为某常数，$f(x)$ 在定义域上处处可导，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
## 数学基础过关660题•数学一（习题册）

28 📝 有解析

第28题

## 第28题 (高等数学 - 填空题)
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \leqslant 0 \\ x^{\alpha} \sin \frac{1}{x}, & x>0\end{array}\right.$ ，若 $f(x)$ 可导，则 $\alpha$ 应满足 $\_\_\_\_$ ；若 $f^{\prime}(x)$ 连续，则 $\alpha$ 应满足 $\_\_\_\_$ ．

29 📝 有解析

第29题

## 第29题 (高等数学 - 填空题)
设 $f(x)$ 是以 3 为周期的可导函数且是偶函数，$f^{\prime}(-2)=-1$ ，则 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{f(5-2 \sin h)-f(5)}=$ $\_\_\_\_$ ．

30 📝 有解析

第30题

## 第30题 (高等数学 - 填空题)
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导且 $f(0)=1, f^{\prime}(0)=3$ ，则数列极限 $\displaystyle I=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f\left(\frac{1}{n}\right)\right)^{\frac{\frac{1}{n}}{1-\cos \frac{1}{n}}}=$ $\_\_\_\_$ ．

31 📝 有解析

第31题

## 第31题 (高等数学 - 填空题)
设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处二阶导数存在，则 I=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f^{\prime}(a)}{h}= $\_\_\_\_$ ．

32 📝 有解析

第32题

## 第32题 (高等数学 - 填空题)
设 $f(x)=x^{\sin x}(x>0)$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

33 📝 有解析

第33题

## 第33题 (高等数学 - 填空题)
$f(x)=x^{2}(x+1)^{2}(x+2)^{2} \cdots(x+n)^{2}$ ，则 $f^{\prime \prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．
## 数学基础过关660题•数学一（习题册）

34 📝 有解析

第34题

## 第34题 (高等数学 - 填空题)
设 $y=y(x)$ 由参数方程 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2} \ln \left(1+t^{2}\right) \\ y=\arctan t\end{array}\right.$ 确定，则 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=$ $\_\_\_\_$ ， $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．$y=y(x)$ 在任意点处的曲率 $K=$ $\_\_\_\_$ ．

35 📝 有解析

第35题

## 第35题 (高等数学 - 填空题)
设 $y=y(x)$ 由方程 $y=\sin (x+y)$ 确定，则 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．

36 📝 有解析

第36题

## 第36题 (高等数学 - 填空题)
曲线 $y=\ln x$ 上与直线 $x+y=2$ 垂直的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

37 📝 有解析

第37题

## 第37题 (高等数学 - 填空题)
设 $f(x)=\int_{0}^{x} \ln (1+\sin t) \mathrm{d} t$ ，则 $f^{\prime \prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

38 📝 有解析

第38题

## 第38题 (高等数学 - 填空题)
设函数 $y=y(x)$ 为由方程 $x^{2}+\int_{0}^{y}\left(2+\sin t^{2}\right) \mathrm{d} t=1$ 确定的隐函数，则 $\mathrm{d} y=$
$\_\_\_\_$。

39 📝 有解析

第39题

## 第39题 (高等数学 - 填空题)
设 $y=y(x)$ 在 $(-1,1)$ 二阶可导，满足方程：$\displaystyle \left(1-x^{2}\right) \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}-x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+a^{2} y=0$ ，作变量替换 $x=\sin t$ 后，$y$ 作为 $t$ 的函数满足的方程是 $\_\_\_\_$ ．

40 📝 有解析

第40题

## 第40题 (高等数学 - 填空题)
设 $\displaystyle f(x)=\ln \frac{1-2 x}{1+3 x}, n \geqslant 2$ ，则 $f^{(n)}(0)=$
$\_\_\_\_$ ．
（－）

41 📝 有解析

第41题

## 第41题 (高等数学 - 填空题)
曲线 $x=\cos ^{3} t, y=\sin ^{3} t$ 在 $t=t_{0}$ 相应的点曲率最小，则在该点处的曲率半径为
$\_\_\_\_$。
（ ）

42 📝 有解析

第42题

## 第42题 (高等数学 - 填空题)
设 $y=y(x)$ 是由方程 $2 y^{3}-2 y^{2}+2 x y-x^{2}=1$ 确定的，则 $y=y(x)$ 的极值点是
$\_\_\_\_$。
（－）

43 📝 有解析

第43题

## 第43题 (高等数学 - 填空题)
函数 $\displaystyle y=\frac{(x-3)^{2}}{4(x-1)}$ 的单调增区间是 $\_\_\_\_$ ，单调减区间是 $\_\_\_\_$ ，极值是
$\_\_\_\_$ ，凹区间是 $\_\_\_\_$ ，凸区间是 $\_\_\_\_$ ．

44 📝 有解析

第44题

## 第44题 (高等数学 - 填空题)
设 $(1,3)$ 是曲线 $y=x^{3}+a x^{2}+b x+14$ 的拐点，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．

45 📝 有解析

第45题

## 第45题 (高等数学 - 填空题)
设 $f(x)=3 x^{2}+A x^{-3}(x>0), A$ 为正常数，则 $A$ 至少为 $\_\_\_\_$时，有 $f(x) \geqslant 20(x>0)$ ．

46 📝 有解析

第46题

## 第46题 (高等数学 - 填空题)
函数 $f(x)=\left|4 x^{3}-18 x^{2}+27\right|$ 在 $[0,2]$ 上的最小值等于 $\_\_\_\_$ ，最大值等于
$\_\_\_\_$。

47 📝 有解析

第47题

## 第47题 (高等数学 - 填空题)
设有界函数 $f(x)$ 在 $(c,+\infty)$ 内可导，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=b$ ，则 $b=$ $\_\_\_\_$ ．
◯48 曲线 $\displaystyle y=\sqrt{4 x^{2}+x} \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)$ 的全部渐近线是 $\_\_\_\_$ ．

49 📝 有解析

第49题

## 第49题 (高等数学 - 填空题)
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{x}-1}=2$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 处的法线方程为 $\_\_\_\_$ ．

50 📝 有解析

第50题

## 第50题 (高等数学 - 填空题)
设 $y=y(x)$ 二阶可导，且 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=(4-y) y^{\beta}(\beta>0)$ ，若 $y=y(x)$ 的一个拐点是 $\left(x_{0}\right.$ ， $3)$ ，则 $\beta=$ $\_\_\_\_$ ．

51 📝 有解析

第51题

## 第51题 (高等数学 - 填空题)
$\int f^{\prime}\left(\mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x=-(1+x) \mathrm{e}^{-x}+C, f(1)=0$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

52 📝 有解析

第52题

## 第52题 (高等数学 - 未知)
I=$\displaystyle \int \sqrt{\frac{3-2 x}{3+2 x}} \mathrm{~d} x=$

53 📝 有解析

第53题

## 第53题 (高等数学 - 填空题)
I=$\displaystyle \int \frac{\sqrt{x+1}+2}{(x+1)^{2}-\sqrt{x+1}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

54 📝 有解析

第54题

## 第54题 (高等数学 - 填空题)
I=$\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x}}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{x}}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

55 📝 有解析

第55题

## 第55题 (高等数学 - 填空题)
I=$\displaystyle \int \frac{x^{4}+1}{1+x^{6}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

56 📝 有解析

第56题

## 第56题 (高等数学 - 填空题)
$\displaystyle I=\int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

57 📝 有解析

第57题

## 第57题 (高等数学 - 填空题)
I=$\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x^{4}+1}}=$ $\_\_\_\_$ ．

58 📝 有解析

第58题

## 第58题 (高等数学 - 填空题)
设 $f(x)=x^{2}-x \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x+2 \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$。

59 📝 有解析

第59题

## 第59题 (高等数学 - 填空题)
设 $f(x)$ 有一阶导数且满足 $\int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t=f(x)+x \sin x$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$。
## （J）

60 📝 有解析

第60题

## 第60题 (高等数学 - 填空题)
I=$\displaystyle \int_{0}^{2}\left(x \sqrt{2 x-x^{2}}-\sqrt{\left(1-\frac{1}{4} x^{2}\right)^{3}}\right) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

61 📝 有解析

第61题

## 第61题 (高等数学 - 填空题)
设 $f(x)$ 为连续函数，$\varphi$ 为常数， $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(\sin (x+\varphi)) \mathrm{d} x=A \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x$ ，则 $A=$
$\_\_\_\_$。

62 📝 有解析

第62题

## 第62题 (高等数学 - 填空题)
$f(x)$=$$\left\{\begin{array}{cc}x \mathrm{e}^{-x^{2}}, & x \geqslant 0 \\ \frac{1}{1+\cos x}, & -1## （－）

63 📝 有解析

第63题

## 第63题 (高等数学 - 填空题)
设 $f(x)$ 是定义于 $x \geqslant 1$ 的正值连续函数，则 F(x)=\int_{1}^{x}\left[\left(\frac{2}{x}+\ln x\right)-\left(\frac{2}{t}+\ln t\right)\right] f(t) \mathrm{d} t(x \geqslant 1) 的极小值点是 $x=$ $\_\_\_\_$ ．

64 📝 有解析

第64题

## 第64题 (高等数学 - 填空题)
定积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} \frac{x|\sin x \cos x|}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

65 📝 有解析

第65题

## 第65题 (高等数学 - 填空题)
设 $f(x)=\max \left\{1, x^{2}\right\}$ ，则 $\int_{1}^{x} f(t) \mathrm{d} t=$ $\_\_\_\_$ ．

66 📝 有解析

第66题